8.3: Інтегральні та порівняльні тести
Знати, чи збігається серія, дуже важливо, особливо коли ми обговорюємо Power Series. Теореми 60 і 61 дають критерії, коли геометричний іp -ряд сходяться, а теорема 63 дає швидкий тест, щоб визначити, чи розходиться ряд. Існує багато важливих серій, збіжність яких не може бути визначена цими теоремами, тому ми вводимо набір тестів, які дозволяють нам обробляти широкий спектр рядів. Ми починаємо з інтегрального тесту.
Інтегральний тест
Ми заявили в розділі 8.1, що послідовність{an} - це функція, областьa(n) якої єN, набір натуральних чисел. Якщо ми можемоa(n) поширюватисяR на дійсні числа, і це як позитивне, так і зменшується на[1,∞), то збіжність∞∑n=1an така ж, як∞∫1a(x)dx.
теорема8.3.1: integral test
Нехай послідовність{an} буде визначенаan=a(n), деa(n) є безперервним, додатним і зменшується на[1,∞). Потім∞∑n=1an сходиться, якщо, і тільки якщо,∞∫1a(x)dx сходиться.
Ми можемо продемонструвати істинність інтегрального тесту з двома простими графіками. На8.3.1a малюнку висота кожного прямокутникаa(n)=an дляn=1,2,…, і явно прямокутники охоплюють більшу площу, ніж область підy=a(x). Тому можна зробити висновок, що
∞∫1a(x)dx<∞∑n=1an.

На8.3.1b малюнку малюємо прямокутники підy=a(x) правилом правої руки, починаючи зn=2. На цей раз площа прямокутників менше площі підy=a(x), так∞∑n=2an<∞∫1a(x)dx. Зверніть увагу, з чого починається це підсумовуванняn=2; додаванняa1 до обох сторін дозволяє нам переписати підсумовування, починаючи зn=1:
∞∑n=1an<a1+∞∫1a(x)dx.
Поєднуючи рівняння\ ref {eq:integral_testa} і\ ref {eq:integral_testb}, ми маємо
∞∑n=1an<a1+∞∫1a(x)dx<a1+∞∑n=1an.
Теорема8.3.1
З Рівняння\ ref {eq:integral_testc} ми можемо зробити наступні два твердження:
- Якщо∞∑n=1an розходиться, так і робить∞∫1a(x)dx (тому що∞∑n=1an<a1+∞∫1a(x)dx)
- Якщо∞∑n=1an сходиться, так і робить∞∫1a(x)dx (тому що∞∫1a(x)dx<∞∑n=1an.)
Тому ряд і інтеграл або обидва сходяться, або обидва розходяться.
Теорема8.3.1 дозволяє розширити цю теорему на ряди, деa(n) є додатною і зменшується[b,∞) для деякихb>1.
Приклад8.3.1: Using the Integral Test
Визначаємо збіжність∞∑n=1lnnn2. (Умови послідовності{an}={lnn/n2} та nth часткових сум наведені на малюнку8.3.2).
Рішення
Малюнок8.3.2 має на увазі,a(n)=(lnn)/n2 що позитивний і зменшується на[2,∞). Ми також можемо визначити це аналітично. Ми знаємо, щоa(n) це позитивно, якlnn і теn2, і інше, і позитивно[2,∞). Щоб визначити, щоa(n) зменшується, розглянемоa′(n)=(1−2lnn)/n3, що є негативним дляn≥2. Так якa′(n) негативний,a(n) то зменшується.

Застосовуючи інтегральний тест, ми перевіряємо збіжність∞∫1lnxx2dx. Інтеграція цього неправильного інтеграла вимагає використання Інтеграція частинами, зu=lnx іdv=1/x2dx.
\[\begin{align*}\int\limits_1^\infty \dfrac{\ln x}{x^2} dx &=\lim\limits_{b\to\infty} \int\limits_1^b \dfrac{\ln x}{x^2} dx\\ &=\lim\limits_{b\to\infty} -\dfrac1x\ln x\Big|_1^b + \int\limits_1^b\dfrac1{x^2} dx \\ &=\lim\limits_{b\to\infty} -\dfrac1x\ln x -\dfrac 1x\Big|_1^b\\ &=\lim\limits_{b\to\infty}1-\dfrac1b-\dfrac{\ln b}{b}.\quad \text{Apply L'Hˆopital's Rule:}\\ &= 1. \end{align*}\]
Оскільки∞∫1lnxx2dx сходиться, так і відбувається∞∑n=1lnnn2.
Теорема 61 була дана без обґрунтування, стверджуючи, що загальнийp -ряд∞∑n=11(an+b)p сходиться якщо, і тільки якщо,p>1. У наступному прикладі ми доведемо, що це правда, застосовуючи інтегральний тест.
Приклад8.3.2: Using the Integral Test to establish Theorem 61
Використовуйте інтегральний тест, щоб довести, що∞∑n=11(an+b)p сходиться, якщо, і тільки якщо,p>1.
Рішення
Розглянемо інтеграл∞∫11(ax+b)pdx; припускаючиp≠1,
\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int\ limits_1^\ infty\ dfrac1 {(ax+b) ^p} дх &=\ lim\ limits_ {c\ to\ infty}\ int\ limits_1^c\ dfrac1 {(ax+b) ^p} дх\\
&=\ lim\ limits_ {c\ to\ infty}\ dfrac {1} {a (1-p)} (ax+b) ^ {1-р}\ big|_1^c\\
&=\ lim\ limits_ {c\ to\ infty}\ dfrac {1} {a (1-p)}\ великий ((ac+b) ^ {1-p} - ( а+б) ^ {1-р}\ великий).
\ end {вирівнювати*}\]
Ця межа сходиться якщо, і тільки якщо,p>1. Легко показати, що інтеграл також розходиться у випадкуp=1. (Цей результат схожий на роботу, що передувала Key Idea 21.)
Тому∞∑n=11(an+b)p сходиться якщо, і тільки якщо,p>1.
Ми розглянемо ще два тести збіжності в цьому розділі, обидва тести порівняння. Тобто ми визначаємо збіжність одного ряду, порівнюючи його з іншим рядом з відомою збіжністю.
Тест прямого порівняння
теорема8.3.1: direct comparison test
{bn}Дозволяти{an} і бути позитивними послідовностями, деan≤bn для всіхn≥N, для деякихN≥1.
- Якщо∞∑n=1bn сходиться, то∞∑n=1an сходиться.
- Якщо∞∑n=1an розходиться, то∞∑n=1bn розходиться.
Примітка: Послідовність{an} є позитивною послідовністю, якщоan>0 для всіхn.
Через теорему 64, будь-яка теорема, яка спирається на позитивну послідовність, все ще має значення, колиan>0 для всіх, крім кінцевого числа значеньn.
Приклад8.3.3: Applying the Direct Comparison Test
Визначаємо збіжність∞∑n=113n+n2.
Рішення
Ця серія не є ні геометричною, ніp -серією, але здається спорідненою. Ми прогнозуємо, що він сходиться, тому шукаємо ряд з більшими термінами, які сходяться. (Зверніть увагу, що інтегральний тест здається важким для застосування тут.)
Так як3n<3n+n2,13n>13n+n2 для всіхn≥1. Ряд∞∑n=113n є збіжним геометричним рядом; за теоремою 66,∞∑n=113n+n2 сходиться.
Приклад8.3.4: Applying the Direct Comparison Test
Визначаємо збіжність∞∑n=11n−lnn.
Рішення
Ми знаємо, що серія гармонік∞∑n=11n розходиться, і здається, що дана серія тісно пов'язана з нею, тому ми прогнозуємо, що вона буде розходитися.
Так якn≥n−lnn для всіхn≥1,1n≤1n−lnn для всіхn≥1.
Гармонічна серія розходиться, тому ми робимо висновок, що також∞∑n=11n−lnn розходиться.
Концепція прямого порівняння потужна і часто відносно проста у застосуванні. Практика допомагає розвинути необхідну інтуїцію, щоб швидко підібрати правильний ряд, з яким можна порівняти. Однак легко побудувати серію, для якої важко застосувати тест прямого порівняння.
Розглянемо∞∑n=11n+lnn. Він дуже схожий на розбіжні ряди, наведені в прикладі 8.3.5. Підозрюємо, що він також розходиться, як1n≈1n+lnn для великихn. Однак нерівність, яку ми, природно, хочемо використовувати, «йде неправильним шляхом»: оскількиn≤n+lnn для всіхn≥1,1n≥1n+lnn для всіхn≥1. Дана серія має терміни менше, ніж терміни дивергентного ряду, і ми не можемо нічого з цього зробити висновок.
На щастя, ми можемо застосувати ще один тест до даного ряду, щоб визначити його збіжність.
Тест порівняння великих лімітів
Теорема 67: тест граничного порівняння
{bn}Дозволяти{an} і бути позитивними послідовностями.
- Якщоlimn→∞anbn=L, деL є додатне дійсне число, то∞∑n=1an і∞∑n=1bn інше сходяться або обидва розходяться.
- Якщоlimn→∞anbn=0, то якщо∞∑n=1bn сходиться, то так і відбувається∞∑n=1an.
- Якщоlimn→∞anbn=∞, то якщо∞∑n=1bn розходиться, то так і відбувається∞∑n=1an.
Теорема 67 найбільш корисна, коли{bn} відома збіжність ряду з і ми намагаємося визначити збіжність ряду з{an}.
Ми використовуємо тест порівняння лімітів у наступному прикладі, щоб вивчити серію,∞∑n=11n+lnn яка мотивувала цей новий тест.
Приклад8.3.5: Applying the Limit Comparison Test
Визначте збіжність за∞∑n=11n+lnn допомогою тесту порівняння лімітів.
Рішення
Порівнюємо члени∞∑n=11n+lnn до членів гармонійної послідовності∞∑n=11n:
\ [\ begin {align*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {1/ (n+\ ln n)} {1/n} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {n} {n+\ ln n}\\
&= 1\ quad\ text {(після застосування правила L'Hˆo pital)}.
\ end {вирівнювати*}\]
Оскільки серія гармонік розходиться, ми робимо висновок, що також∞∑n=11n+lnn розходиться.
Приклад8.3.6: Applying the Limit Comparison Test
Визначаємо збіжність∞∑n=113n−n2
Рішення
Цей ряд схожий на той, що в прикладі 8.3.3, але зараз ми розглядаємо3n−n2 "" замість "»3n+n2. Ця різниця ускладнює застосування тесту прямого порівняння.
Замість цього ми використовуємо тест порівняння лімітів і порівнюємо з серією∞∑n=113n:
\ [\ begin {align*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {1/ (3^n-n^2)} {1/3^n} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {3^n} {3^n-n^2}\\
&= 1\ квадратний\ текст {(після дворазового застосування правила L'Hˆo пітал)}.
\ end {вирівнювати*}\]
Ми знаємо∞∑n=113n, що це конвергентний геометричний ряд, отже, також∞∑n=113n−n2 сходиться.
Як вже говорилося раніше, практика допомагає розвинути інтуїцію, щоб швидко вибрати серію, з якою порівнювати. Загальне правило полягає в тому, щоб вибрати ряд на основі домінуючого терміна у вираженні{an}. Також корисно відзначити, що факторіали домінують експоненціальні, які домінують над алгебраїчними функціями (наприклад, поліномами), які домінують над логарифмами. У попередньому прикладі домінуючим терміном13n−n2 було3n, тому ми порівняли ряд з∞∑n=113n. Однак важко застосувати тест порівняння обмежень до серій, що містять факторіали, оскільки ми не навчилися застосовувати правило L'Hˆo pital доn!.
Приклад8.3.7: Applying the Limit Comparison Test
Визначаємо збіжність∞∑n=1√n+3n2−n+1.
Рішення
Ми наївно намагаємося застосувати правило, наведене вище, і зауважимо, що домінуючим терміном у вираженні ряду є1/n2. Знаючи, що∞∑n=11n2 сходиться, ми намагаємося застосувати тест порівняння лімітів:
\ [\ почати {вирівнювати*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(\ sqrt {n} +3)/(n^2-n+1)} {1/n^2} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {n^2 (\ sqrt n+3)} {n^2-n+1}\
&=\ infty\ quad\ text {(Застосувати правило L'Hˆo pital)}.
\ end {вирівнювати*}\]
Теорема 67 частина (3) застосовується лише тоді, коли∞∑n=1bn розходиться; у нашому випадку вона сходиться. Зрештою, наш тест нічого не виявив про зближення нашої серії.
Проблема в тому, що ми вибрали бідну серію, з якою можна порівняти. Оскільки чисельник і знаменник членів ряду є одночасно алгебраїчними функціями, ми повинні були порівняти наш ряд з домінуючим терміном чисельника, розділеним на домінантний член знаменника.
Домінуючим терміном чисельника єn1/2 і домінуючим терміном знаменника єn2. Таким чином, слід порівняти терміни даного ряду зn1/2/n2=1/n3/2:
\ [\ почати {вирівнювати*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(\ sqrt {n} +3)/(n^2-n+1)} {1/n^ {3/2}} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {n^ {3/2} (\ sqrt n+3)} {n^2-n+1}\
&= 1\ quad\ text {(Застосувати правило L'Hˆo pital)}.
\ end {вирівнювати*}\]
Оскількиp -ряд∞∑n=11n3/2 сходиться, ми робимо висновок, що також∞∑n=1√n+3n2−n+1 сходиться.
Ми згадували раніше, що інтегральний тест не працює добре з серіями, що містять факторіальні терміни. Наступний розділ представляє Ratio Test, який добре справляється з такими серіями. Ми також вводимо кореневий тест, який добре підходить для серій, де кожен термін піднімається до певної сили.