Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

8.3: Інтегральні та порівняльні тести

Знати, чи збігається серія, дуже важливо, особливо коли ми обговорюємо Power Series. Теореми 60 і 61 дають критерії, коли геометричний іp -ряд сходяться, а теорема 63 дає швидкий тест, щоб визначити, чи розходиться ряд. Існує багато важливих серій, збіжність яких не може бути визначена цими теоремами, тому ми вводимо набір тестів, які дозволяють нам обробляти широкий спектр рядів. Ми починаємо з інтегрального тесту.

Інтегральний тест

Ми заявили в розділі 8.1, що послідовність{an} - це функція, областьa(n) якої єN, набір натуральних чисел. Якщо ми можемоa(n) поширюватисяR на дійсні числа, і це як позитивне, так і зменшується на[1,), то збіжністьn=1an така ж, як1a(x)dx.

теорема8.3.1: integral test

Нехай послідовність{an} буде визначенаan=a(n), деa(n) є безперервним, додатним і зменшується на[1,). Потімn=1an сходиться, якщо, і тільки якщо,1a(x)dx сходиться.

Ми можемо продемонструвати істинність інтегрального тесту з двома простими графіками. На8.3.1a малюнку висота кожного прямокутникаa(n)=an дляn=1,2,, і явно прямокутники охоплюють більшу площу, ніж область підy=a(x). Тому можна зробити висновок, що

1a(x)dx<n=1an.

8.13. PNG
Малюнок8.3.1: Ілюстрація істини інтегрального тесту.

На8.3.1b малюнку малюємо прямокутники підy=a(x) правилом правої руки, починаючи зn=2. На цей раз площа прямокутників менше площі підy=a(x), такn=2an<1a(x)dx. Зверніть увагу, з чого починається це підсумовуванняn=2; додаванняa1 до обох сторін дозволяє нам переписати підсумовування, починаючи зn=1:

n=1an<a1+1a(x)dx.

Поєднуючи рівняння\ ref {eq:integral_testa} і\ ref {eq:integral_testb}, ми маємо

n=1an<a1+1a(x)dx<a1+n=1an.

Теорема8.3.1

З Рівняння\ ref {eq:integral_testc} ми можемо зробити наступні два твердження:

  1. Якщоn=1an розходиться, так і робить1a(x)dx (тому щоn=1an<a1+1a(x)dx)
  2. Якщоn=1an сходиться, так і робить1a(x)dx (тому що1a(x)dx<n=1an.)

Тому ряд і інтеграл або обидва сходяться, або обидва розходяться.

Теорема8.3.1 дозволяє розширити цю теорему на ряди, деa(n) є додатною і зменшується[b,) для деякихb>1.

Приклад8.3.1: Using the Integral Test

Визначаємо збіжністьn=1lnnn2. (Умови послідовності{an}={lnn/n2} та nth часткових сум наведені на малюнку8.3.2).

Рішення

Малюнок8.3.2 має на увазі,a(n)=(lnn)/n2 що позитивний і зменшується на[2,). Ми також можемо визначити це аналітично. Ми знаємо, щоa(n) це позитивно, якlnn і теn2, і інше, і позитивно[2,). Щоб визначити, щоa(n) зменшується, розглянемоa(n)=(12lnn)/n3, що є негативним дляn2. Так якa(n) негативний,a(n) то зменшується.

imageedit_2_7233719900.png
Малюнок8.3.2: Побудова послідовності та рядів у прикладі8.3.1.

Застосовуючи інтегральний тест, ми перевіряємо збіжність1lnxx2dx. Інтеграція цього неправильного інтеграла вимагає використання Інтеграція частинами, зu=lnx іdv=1/x2dx.

\[\begin{align*}\int\limits_1^\infty \dfrac{\ln x}{x^2} dx &=\lim\limits_{b\to\infty} \int\limits_1^b \dfrac{\ln x}{x^2} dx\\ &=\lim\limits_{b\to\infty} -\dfrac1x\ln x\Big|_1^b + \int\limits_1^b\dfrac1{x^2} dx \\ &=\lim\limits_{b\to\infty} -\dfrac1x\ln x -\dfrac 1x\Big|_1^b\\ &=\lim\limits_{b\to\infty}1-\dfrac1b-\dfrac{\ln b}{b}.\quad \text{Apply L'Hˆopital's Rule:}\\ &= 1. \end{align*}\]

Оскільки1lnxx2dx сходиться, так і відбуваєтьсяn=1lnnn2.

Теорема 61 була дана без обґрунтування, стверджуючи, що загальнийp -рядn=11(an+b)p сходиться якщо, і тільки якщо,p>1. У наступному прикладі ми доведемо, що це правда, застосовуючи інтегральний тест.

Приклад8.3.2: Using the Integral Test to establish Theorem 61

Використовуйте інтегральний тест, щоб довести, щоn=11(an+b)p сходиться, якщо, і тільки якщо,p>1.

Рішення

Розглянемо інтеграл11(ax+b)pdx; припускаючиp1,

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int\ limits_1^\ infty\ dfrac1 {(ax+b) ^p} дх &=\ lim\ limits_ {c\ to\ infty}\ int\ limits_1^c\ dfrac1 {(ax+b) ^p} дх\\
&=\ lim\ limits_ {c\ to\ infty}\ dfrac {1} {a (1-p)} (ax+b) ^ {1-р}\ big|_1^c\\
&=\ lim\ limits_ {c\ to\ infty}\ dfrac {1} {a (1-p)}\ великий ((ac+b) ^ {1-p} - ( а+б) ^ {1-р}\ великий).
\ end {вирівнювати*}\]

Ця межа сходиться якщо, і тільки якщо,p>1. Легко показати, що інтеграл також розходиться у випадкуp=1. (Цей результат схожий на роботу, що передувала Key Idea 21.)

Томуn=11(an+b)p сходиться якщо, і тільки якщо,p>1.

Ми розглянемо ще два тести збіжності в цьому розділі, обидва тести порівняння. Тобто ми визначаємо збіжність одного ряду, порівнюючи його з іншим рядом з відомою збіжністю.

Тест прямого порівняння

теорема8.3.1: direct comparison test

{bn}Дозволяти{an} і бути позитивними послідовностями, деanbn для всіхnN, для деякихN1.

  1. Якщоn=1bn сходиться, тоn=1an сходиться.
  2. Якщоn=1an розходиться, тоn=1bn розходиться.

Примітка: Послідовність{an} є позитивною послідовністю, якщоan>0 для всіхn.

Через теорему 64, будь-яка теорема, яка спирається на позитивну послідовність, все ще має значення, колиan>0 для всіх, крім кінцевого числа значеньn.

Приклад8.3.3: Applying the Direct Comparison Test

Визначаємо збіжністьn=113n+n2.

Рішення

Ця серія не є ні геометричною, ніp -серією, але здається спорідненою. Ми прогнозуємо, що він сходиться, тому шукаємо ряд з більшими термінами, які сходяться. (Зверніть увагу, що інтегральний тест здається важким для застосування тут.)

Так як3n<3n+n2,13n>13n+n2 для всіхn1. Рядn=113n є збіжним геометричним рядом; за теоремою 66,n=113n+n2 сходиться.

Приклад8.3.4: Applying the Direct Comparison Test

Визначаємо збіжністьn=11nlnn.

Рішення

Ми знаємо, що серія гармонікn=11n розходиться, і здається, що дана серія тісно пов'язана з нею, тому ми прогнозуємо, що вона буде розходитися.

Так якnnlnn для всіхn1,1n1nlnn для всіхn1.

Гармонічна серія розходиться, тому ми робимо висновок, що такожn=11nlnn розходиться.

Концепція прямого порівняння потужна і часто відносно проста у застосуванні. Практика допомагає розвинути необхідну інтуїцію, щоб швидко підібрати правильний ряд, з яким можна порівняти. Однак легко побудувати серію, для якої важко застосувати тест прямого порівняння.

Розглянемоn=11n+lnn. Він дуже схожий на розбіжні ряди, наведені в прикладі 8.3.5. Підозрюємо, що він також розходиться, як1n1n+lnn для великихn. Однак нерівність, яку ми, природно, хочемо використовувати, «йде неправильним шляхом»: оскількиnn+lnn для всіхn1,1n1n+lnn для всіхn1. Дана серія має терміни менше, ніж терміни дивергентного ряду, і ми не можемо нічого з цього зробити висновок.

На щастя, ми можемо застосувати ще один тест до даного ряду, щоб визначити його збіжність.

Тест порівняння великих лімітів

Теорема 67: тест граничного порівняння

{bn}Дозволяти{an} і бути позитивними послідовностями.

  1. Якщоlimnanbn=L, деL є додатне дійсне число, тоn=1an іn=1bn інше сходяться або обидва розходяться.
  2. Якщоlimnanbn=0, то якщоn=1bn сходиться, то так і відбуваєтьсяn=1an.
  3. Якщоlimnanbn=, то якщоn=1bn розходиться, то так і відбуваєтьсяn=1an.

Теорема 67 найбільш корисна, коли{bn} відома збіжність ряду з і ми намагаємося визначити збіжність ряду з{an}.

Ми використовуємо тест порівняння лімітів у наступному прикладі, щоб вивчити серію,n=11n+lnn яка мотивувала цей новий тест.

Приклад8.3.5: Applying the Limit Comparison Test

Визначте збіжність заn=11n+lnn допомогою тесту порівняння лімітів.

Рішення

Порівнюємо члениn=11n+lnn до членів гармонійної послідовностіn=11n:

\ [\ begin {align*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {1/ (n+\ ln n)} {1/n} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {n} {n+\ ln n}\\
&= 1\ quad\ text {(після застосування правила L'Hˆo pital)}.
\ end {вирівнювати*}\]

Оскільки серія гармонік розходиться, ми робимо висновок, що такожn=11n+lnn розходиться.

Приклад8.3.6: Applying the Limit Comparison Test

Визначаємо збіжністьn=113nn2

Рішення
Цей ряд схожий на той, що в прикладі 8.3.3, але зараз ми розглядаємо3nn2 "" замість "»3n+n2. Ця різниця ускладнює застосування тесту прямого порівняння.

Замість цього ми використовуємо тест порівняння лімітів і порівнюємо з серієюn=113n:

\ [\ begin {align*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {1/ (3^n-n^2)} {1/3^n} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {3^n} {3^n-n^2}\\
&= 1\ квадратний\ текст {(після дворазового застосування правила L'Hˆo пітал)}.
\ end {вирівнювати*}\]

Ми знаємоn=113n, що це конвергентний геометричний ряд, отже, такожn=113nn2 сходиться.

Як вже говорилося раніше, практика допомагає розвинути інтуїцію, щоб швидко вибрати серію, з якою порівнювати. Загальне правило полягає в тому, щоб вибрати ряд на основі домінуючого терміна у вираженні{an}. Також корисно відзначити, що факторіали домінують експоненціальні, які домінують над алгебраїчними функціями (наприклад, поліномами), які домінують над логарифмами. У попередньому прикладі домінуючим терміном13nn2 було3n, тому ми порівняли ряд зn=113n. Однак важко застосувати тест порівняння обмежень до серій, що містять факторіали, оскільки ми не навчилися застосовувати правило L'Hˆo pital доn!.

Приклад8.3.7: Applying the Limit Comparison Test

Визначаємо збіжністьn=1n+3n2n+1.

Рішення

Ми наївно намагаємося застосувати правило, наведене вище, і зауважимо, що домінуючим терміном у вираженні ряду є1/n2. Знаючи, щоn=11n2 сходиться, ми намагаємося застосувати тест порівняння лімітів:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(\ sqrt {n} +3)/(n^2-n+1)} {1/n^2} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {n^2 (\ sqrt n+3)} {n^2-n+1}\
&=\ infty\ quad\ text {(Застосувати правило L'Hˆo pital)}.
\ end {вирівнювати*}\]

Теорема 67 частина (3) застосовується лише тоді, колиn=1bn розходиться; у нашому випадку вона сходиться. Зрештою, наш тест нічого не виявив про зближення нашої серії.

Проблема в тому, що ми вибрали бідну серію, з якою можна порівняти. Оскільки чисельник і знаменник членів ряду є одночасно алгебраїчними функціями, ми повинні були порівняти наш ряд з домінуючим терміном чисельника, розділеним на домінантний член знаменника.

Домінуючим терміном чисельника єn1/2 і домінуючим терміном знаменника єn2. Таким чином, слід порівняти терміни даного ряду зn1/2/n2=1/n3/2:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ lim_ {n\ to\ infty}\ dfrac {(\ sqrt {n} +3)/(n^2-n+1)} {1/n^ {3/2}} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ dfrac {n^ {3/2} (\ sqrt n+3)} {n^2-n+1}\
&= 1\ quad\ text {(Застосувати правило L'Hˆo pital)}.
\ end {вирівнювати*}\]

Оскількиp -рядn=11n3/2 сходиться, ми робимо висновок, що такожn=1n+3n2n+1 сходиться.

Ми згадували раніше, що інтегральний тест не працює добре з серіями, що містять факторіальні терміни. Наступний розділ представляє Ratio Test, який добре справляється з такими серіями. Ми також вводимо кореневий тест, який добре підходить для серій, де кожен термін піднімається до певної сили.

Автори та атрибуція