8.6: Серія живлення

Поки що наше дослідження рядів розглядало питання «Чи є сума цих нескінченних членів кінцевою? , «Тобто, «Чи сходиться серія?» Зараз ми підходимо до ряду з іншої точки зору: як функція. Враховуючи значення$x$, ми$f(x)$ оцінюємо, знаходячи суму конкретного ряду, яка залежить від$x$ (припускаючи, що ряд сходиться). Ми починаємо цей новий підхід до серії з визначення.

Визначення 36: силовий ряд

$\{a_n\}$Дозволяти бути послідовність, нехай$x$ бути змінною, і нехай$c$ бути дійсним числом.

1. Силова серія в$x$ - це серія $$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots$$
2. Силовий ряд в$x$ центрі$c$ - це серія $$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n = a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\ldots$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Examples of power series

Випишіть перші п'ять термінів наступних силових рядів:

$1. \sum\limits_{n=0}^\infty x^n \qquad\qquad 2. \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(x+1)^n}n\qquad\qquad 3. \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-\pi)^{2n}}{(2n)!}.$

Рішення

1. Однією з конвенцій, які ми приймаємо, є те, що$x^0=1$ незалежно від вартості$x$. Тому $$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n = 1+x+x^2+x^3+x^4+\ldots$$ Це геометричний ряд в$x$.
2. Цей ряд зосереджений на$c=-1$. Зверніть увагу, з чого починається ця серія$n=1$. Ми могли б переписати цю серію, починаючи$n=0$ з розуміння цього$a_0=0$, і, отже, перший термін є$0$. $$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(x+1)^n}n = (x+1) - \frac{(x+1)^2}{2} + \frac{(x+1)^3}{3} - \frac{(x+1)^4}{4}+\frac{(x+1)^5}{5}\ldots$$
3. Цей ряд зосереджений на$c=\pi$. Нагадаємо, що$0!=1$. $$\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} \frac{(x-\pi)^{2n}}{(2n)!} = -1+\frac{(x-\pi)^2}{2} - \frac{(x-\pi)^4}{24}+ \frac{(x-\pi)^6}{6!}-\frac{(x-\pi)^8}{8!}\ldots$$

Введено степеневий ряд як тип функції, де$x$ задано значення та повертається сума ряду. Звичайно, не кожна серія сходиться. Наприклад, у частині 1 Прикладу 8.6.1 ми визнали ряд$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ як геометричний ряд в$x$. Теорема 60 стверджує, що цей ряд сходиться тільки тоді, коли$|x|<1$.

При цьому виникає питання: «За якими значеннями$x$ буде сходитися даний енергетичний ряд? », що призводить нас до теореми та визначення.

теорема 73: збіжність степеневих рядів

Нехай$\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$ буде дано силовий ряд. Тоді вірно одне з наступних дій:

1. Серія сходиться тільки при$x=c$.
2. Є$R>0$ таке, що серія сходиться для всіх$x$ в$(c-R,c+R)$ і розходиться для всіх$x<c-R$ і$x>c+R$.
3. Серія сходиться для всіх$x$.

Значення має$R$ важливе значення при розумінні степеневого ряду, отже, йому дається назва в наступному визначенні. Також зауважте, що частина 2 Теореми 73 робить твердження про інтервал$(c-R,c+R)$, але не кінцеві точки цього інтервалу. Серія може сходитися або не сходитися в цих кінцевих точках.

Визначення 37: Радіус і інтервал збіжності

1. Число,$R$ наведене в теоремі 73, є радіусом збіжності заданого ряду. Коли ряд сходиться тільки для$x=c$, ми говоримо радіус збіжності 0, тобто$R=0$. Коли ряд сходиться для всіх$x$, ми говоримо, що ряд має нескінченний радіус збіжності, тобто$R=\infty$.
2. Інтервал збіжності - це сукупність всіх значень,$x$ для яких ряд сходиться.

Щоб знайти значення,$x$ для яких сходиться даний ряд, ми будемо використовувати тести збіжності, які ми вивчали раніше (особливо тест на співвідношення). Однак всі тести вимагали, щоб терміни серії були позитивними. Наступна теорема дає нам роботу навколо цієї проблеми.

Теорема 74: Радіус збіжності ряду та абсолютна збіжність

Ряди$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ і$\sum\limits_{n=0}^\infty \big|a_nx^n\big|$ мають однаковий радіус збіжності$R$.

Теорема 74 дозволяє знайти радіус$R$ збіжності ряду, застосувавши тест коефіцієнта (або будь-який застосовний тест) до абсолютного значення членів ряду. Ми практикуємо це в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$: Determining the radius and interval of convergence.

Знайдіть радіус і інтервал збіжності для кожного з наступних рядів:

1. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
2. $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$
3. $\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n(x-3)^n$
4. $\sum\limits_{n=0}^\infty n!x^n$

Рішення

1. Застосовуємо тест співвідношення до ряду$\sum\limits_{n=0}^\infty \left|\frac{x^n}{n!}\right|$:\ [\ begin {align*}\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ frac {\ big|x^ {n+1}/(n+1)! \ big|} {\ big|x^n/n! \ big|} &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ ліворуч |\ frac {x^ {n+1}} {x^n}\ cdot\ frac {n!} {(n+1)!} \ праворуч |\\
   &=\ lim\ limits_ {n\ to\ infty}\ ліворуч |\ frac x {n+1}\ праворуч |\\
   &= 0\ текст {для всіх} x.\ end {align*}\]
2. Тест співвідношення показує нам, що незалежно від вибору$x$, серія сходиться. Тому радіус збіжності є$R=\infty$, а інтервал збіжності дорівнює$(-\infty,\infty)$.
3. Ми застосовуємо Ratio Test до серії$\sum\limits_{n=1}^\infty \left|(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}\right| = \sum\limits_{n=1}^\infty \left|\frac{x^n}{n}\right|$: $$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\big|x^{n+1}/(n+1)\big|}{\big|x^n/n\big|} &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{x^{n+1}}{x^n}\cdot \frac{n}{n+1}\right| \\&= \lim\limits_{n\to\infty} |x|\frac{n}{n+1}\\&= |x|.\end{align*}$$
   
   The Ratio Test стверджує, що серія збігається, якщо межа$|a_{n+1}/a_n| = L<1$. Ми знайшли межу вище, щоб бути$|x|$; отже, силовий ряд сходиться$|x| <1$, коли, або коли$x$ знаходиться в$(-1,1)$. Таким чином радіус збіжності дорівнює$R=1$.
   
   Щоб визначити інтервал збіжності, нам потрібно перевірити кінцеві точки$(-1,1)$. Коли$x=-1$, ми маємо протилежне серії гармонік: Серія $$\begin{align*}\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(-1)^n}{n} &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{-1}{n}\\&= -\infty.\end{align*}$$ розходиться, коли$x=-1$.
   
   Коли$x=1$ у нас є серія$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{(1)^n}{n}$, яка є змінною гармонійною серією, яка сходиться. Тому інтервал зближення є$(-1,1]$.
4. Ми застосовуємо тест на співвідношення до серії$\sum\limits_{n=0}^\infty \big|2^n(x-3)^n\big|$:
   $$\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\big| 2^{n+1}(x-3)^{n+1}\big|}{\big|2^n(x-3)^n\big|} &= \lim\limits_{n\to\infty} \left|\frac{2^{n+1}}{2^n}\cdot\frac{(x-3)^{n+1}}{(x-3)^n}\right|\\&=\lim\limits_{n\to\infty} \big|2(x-3)\big|.\end{align*}$$
   
   Відповідно до тесту співвідношення, серія сходиться, коли$\big|2(x-3)\big|<1 \implies \big|x-3\big| < 1/2$. Серія зосереджена на 3, і$x$ повинна знаходитися в межах$1/2$ 3, щоб серія сходилася. Тому радіус збіжності є$R=1/2$, і ми знаємо, що ряд сходиться абсолютно для всіх$x$ в$(3-1/2,3+1/2) = (2.5, 3.5)$.
   
   Перевіряємо на збіжність в кінцевих точках, щоб знайти інтервал збіжності. Коли$x=2.5$, маємо: $$\begin{align*}\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n(2.5-3)^n &= \sum\limits_{n=0}^\infty 2^n(-1/2)^n \\&=\sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n,\end{align*}$$ який розходиться. Подібний процес показує, що серія також розходиться на$x=3.5$. Тому інтервал зближення є$(2.5, 3.5)$.
5. Ми застосовуємо тест співвідношення до$\sum\limits_{n=0}^\infty \big|n!x^n\big|$:\[\begin{align*}\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\big| (n+1)!x^{n+1}\big|}{\big|n!x^n\big|} &= \lim\limits_{n\to\infty} \big|(n+1)x\big|\\&= \infty\ \text{ for all $x$, except $x=0$.}\end{align*}\] Тест коефіцієнта показує, що серія розходиться для всіх,$x$ крім$x=0$. Тому радіус збіжності є$R=0$.

Ми можемо використовувати ряд потужності для визначення функції:

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$$

де область of$f$ - підмножина інтервалу збіжності степеневого ряду. До таких функцій можна застосовувати методи обчислення, зокрема, ми можемо знайти похідні та антипохідні.

Теорема 75: Похідні та невизначені інтеграли функцій степеневих рядів

$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n$Дозволяти функція, визначена степеневим рядом, з радіусом збіжності$R$.

1. $f(x)$є безперервним і диференційованим на$(c-R,c+R)$.
2. $f^\prime (x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot n\cdot (x-c)^{n-1}$, з радіусом сходження$R$.
3. $\int f(x)\ dx = C+\sum\limits_{n=0}^\infty a_n\frac{(x-c)^{n+1}}{n+1}$, з радіусом сходження$R$.

Кілька приміток про теорему 75:

1. Теорема стверджує, що диференціювання та інтеграція не змінюють радіус збіжності. У ньому нічого не сказано про інтервал сходження. Вони не завжди однакові.
2. Зверніть увагу, як підсумовування для$f^\prime (x)$ починається з$n=1$. Це пов'язано з тим, що постійний$a_0$ термін$f(x)$ переходить до 0.
3. Диференціація та інтеграція - це просто обчислюється термін за терміном, використовуючи Правила влади.

Приклад$\PageIndex{3}$: Derivatives and indefinite integrals of power series

Нехай$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$. Знайти$f^\prime (x)$ і$F(x) =\int f(x)\ dx$ разом з ними відповідні інтервали зближення.

Рішення

Знайдено похідну та невизначений інтеграл$f(x)$, слідуючи теоремі 75.

1. $f^\prime (x) = \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1} = 1+2x+3x^2+4x^3+\cdots.$
   У прикладі 8.6.1 ми визнали, що$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ це геометричний ряд в$x$. Ми знаємо, що такий геометричний ряд сходиться коли$|x|<1$; тобто інтервал збіжності є$(-1,1)$.
   
   Для визначення інтервалу збіжності$f^\prime (x)$, розглянуто кінцеві точки$(-1,1)$:
   $$f^\prime (-1) = 1-2+3-4+\cdots,\quad \text{which diverges.}$$
   $$f^\prime (1) = 1+2+3+4+\cdots,\quad \text{which diverges.}$$
   
   Отже, інтервал збіжності$f^\prime (x)$ є $(-1,1)$.
2. $F(x) = \int f(x)\ dx = C+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = C+ x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}3+\cdots$
   Щоб знайти інтервал збіжності$F(x)$, ми знову розглянемо кінцеві точки$(-1,1)$:
   $$F(-1) = C-1+1/2-1/3+1/4+\cdots$$
   
   Значення$C$ не має значення; зверніть увагу, що решта ряду є чергуються рядами, що терміни сходяться до 0. За тестом чергування серії ця серія сходиться. (Насправді ми можемо визнати, що умови серії після$C$ протилежні змінному гармонійному ряду. Таким чином, ми можемо сказати, що$F(-1) = C-\ln 2$.)
   $$F(1) = C+1+1/2+1/3+1/4+\cdots$$
   
   Зверніть увагу, що це підсумовування$C\ +$ є Гармонічний ряд, який розходиться. Оскільки$F$ сходиться для$x=-1$ і розходиться за$x=1$, інтервал сходження$F(x)$ є$[-1,1)$.

Попередній приклад показав, як приймати похідну та невизначений інтеграл степеневого ряду без мотивації, чому ми дбаємо про такі операції. Ми можемо піклуватися про саму математичну насолоду «що ми можемо», що є достатньою мотивацією для багатьох. Тим не менш, ми не могли б не визнати, що ми можемо багато чому навчитися від прийняття похідних і невизначені інтеграли.

Нагадаємо, що$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ в прикладі 8.6.3 це геометричний ряд. Згідно теоремі 60, цей ряд сходиться до$1/(1-x)$ коли$|x|<1$. Таким чином, можна сказати

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n = \frac 1{1-x},\quad \text{ on }\quad (-1,1).$$

Інтегруючи силовий ряд, (як це зроблено в прикладі 8.6.3), ми знаходимо

$$F(x) = C_1+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1},\label{eq:ps3a}$$

при інтеграції функції$f(x) = 1/(1-x)$ дає

$$F(x) = -\ln|1-x| + C_2.\label{eq:ps3b}$$

Рівняння рівняння\ ref {eq:ps3a} і\ ref {eq:ps3b}, ми маємо

$$F(x) = C_1+\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln|1-x| + C_2.$$

Відпускаючи$x=0$, у нас є$F(0) = C_1 = C_2$. Це означає, що ми можемо скинути константи і зробити висновок

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1} = -\ln|1-x|.$$

У прикладі 8.6.3 ми встановили, що ряд зліва сходиться на$x=-1$; підставляючи$x=-1$ по обидва боки вищевказаної рівності дає

$$-1+\frac12-\frac13+\frac14-\frac15+\cdots = -\ln 2.$$

Ліворуч у нас є протилежність серії змінних гармонік; праворуч у нас є$-\ln 2$. Ми робимо висновок, що

$$1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots = \ln 2.$$

Важливо: Ми заявили в Key Idea 31 (у розділі 8.2), що серія змінних гармонік збігається$\ln 2$, і знову посилалися на цей факт у розділі 8.5. Однак ми ніколи не приводили аргументу, чому це було так. Наведена вище робота нарешті показує, як ми робимо висновок, що серія змінних гармонік сходиться до$\ln 2$.

Ми використовуємо цей тип аналізу в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{4}$: Analyzing power series functions

Нехай$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$. Знайти$f^\prime (x)$ і$\int f(x)\ dx$, і використовувати їх для аналізу поведінки$f(x)$.

Рішення

Почнемо з двох заміток: спочатку, в прикладі 8.6.2, ми знайшли інтервал збіжності цього степеневого ряду дорівнює$(-\infty,\infty)$. По-друге, пізніше нам буде корисно виписати кілька термінів серії:

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}2+\frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} +\cdots\label{eq:ps4}$$

Тепер знаходимо похідну:

\ [\ begin {align*}
f^\ прайм (x) &=\ сума\ limits_ {n = 1} ^\ infty n\ frac {x^ {n-1}} {n!} \\
&=\ сума\ limits_ {n = 1} ^\ infty\ розрив {x^ {n-1}} {(n-1)!} = 1+х+\ розрив {x^2} {2!} +\ точки. \\
\ text {Оскільки ряд починається з$n=1$ і кожен член посилається на$(n-1)$,} &\ text {ми можемо повторно індексувати ряд, починаючи з$n=0$:}\\
&=\ sum\ limits_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^ {n}} {n!} \\
&= f (х).
\ end {вирівнювати*}\]

Ми знайшли похідну від$f(x)$ is$f(x)$. Єдині функції, для яких це вірно, мають вигляд$y=ce^x$ для якоїсь константи$c$. Як$f(0) = 1$ (див. Рівняння\ ref {eq:ps4}),$c$ має бути 1. Тому робимо висновок, що

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x$$

для всіх$x$.

Ми також можемо знайти$\int f(x)\ dx$:

\ [\ почати {вирівнювати*}
\ int f (x) х &= С+\ сума\ limits_ {n = 0} ^\ infty\ гідророзриву {x^ {n+1}} {n! (n+1)}\\
&= C +\ сума\ limits_ {n = 0} ^\ infty\ frac {x^ {n+1}} {(n+1)!}
\ end {вирівнювати*}\]

Виписуємо кілька термінів цієї останньої серії:

$$C+ \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = C+ x+ \frac{x^2}2+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$

Інтеграл$f(x)$ відрізняється від$f(x)$ тільки постійною, знову ж таки вказуючи на це$f(x) = e^x$.

Приклад 8.6.4 і робота наступного Приклад 8.6.3 встановлені зв'язки між функцією степеневого ряду і «регулярними» функціями, з якими ми мали справу в минулому. Взагалі, з огляду на функцію степеневого ряду, важко (якщо не неможливо) висловити функцію в терміні елементарних функцій. Ми вибрали приклади, де все вийшло добре.

В останньому прикладі цього розділу ми покажемо, як розв'язати просте диференціальне рівняння з степеневим рядом. \\

Приклад$\PageIndex{5}$: Solving a differential equation with a power series.

Дайте перші 4 умови силового ряду рішення$y^\prime = 2y$, де$y(0) = 1$.

Рішення

Диференціальне рівняння$y^\prime = 2y$ описує функцію,$y=f(x)$ де похідна$y$ дорівнює двічі$y$ і$y(0)=1$. Це досить просте диференціальне рівняння; з трохи роздумів слід розуміти$y=Ce^{2x}$, що якщо$y^\prime = 2Ce^{2x}$, то і отже$y^\prime = 2y$. $C=1$Дозволяючи задовольнити початкову умову$y(0)=1$.

Давайте ігноруємо той факт, що ми вже знаємо рішення і знайдемо функцію степеневого ряду, яка задовольняє рівнянню. Рішення, яке ми шукаємо, матиме форму

$$f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots$$

для невідомих коефіцієнтів$a_n$. Ми можемо знайти$f^\prime (x)$ за допомогою теореми 75:

$$f^\prime (x) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot n\cdot x^{n-1} = a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\cdots.$$

З тих пір$f^\prime (x) = 2f(x)$, у нас є

\ [\ почати {вирівнювати*}
a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3\ cdots &= 2\ великий (
a_0+a_1x+a_2x^2a_2x^2a_2a_3x^3+\ cdots
\ кінець {align*}\]

Коефіцієнти подібних степеней$x$ повинні бути рівні, тому ми знаходимо, що

$$a_1 = 2a_0,\quad 2a_2 = 2a_1,\quad 3a_3 = 2a_2,\quad 4a_4 = 2a_3,\quad \text{etc.}$$

Початкова умова$y(0) = f(0) = 1$ вказує на це$a_0 = 1$; за допомогою цього ми можемо знайти значення інших коефіцієнтів:

\ [\ begin {align*}
a_0 = 1\ текст {і} a_1=2a_0 &\ Стрілка вправо a_1 = 2;\
a_1 = 2\ текст {і} 2a_2 = 2a_1 &\ Стрілка вправо a_2=4/2 =2;\
a_2=2\ text {і} 3a_3 = 2a_2 &\ Стрілка вправо a_3=8/ (2\ cdot3) =4/3;\\
a_3=4/3\ текст {і} 4a_4 = 2a_3 &\ стрілка вправо a_4 = 16/ (2\ cdot3\ cdot4) = 2/3.
\ end {вирівнювати*}\]

Таким чином, перші 5 членів степеневого ряду розв'язку диференціального рівняння$y^\prime =2y$ є

$$f(x) = 1+ 2x+2x^2 + \frac43x^3+\frac23x^4+\cdots$$

У розділі 8.8, коли ми вивчаємо Серію Тейлора, ми навчимося розпізнавати цю серію як описувану$y=e^{2x}$.

Наш останній приклад ілюструє, що може бути важко розпізнати елементарну функцію за її розширенням рядів потужності. Набагато простіше почати з відомої функції, вираженої термінами елементарних функцій, і представляти її як функцію степеневого ряду. Можна задатися питанням, чому ми б турбувалися робити це, оскільки остання функція, ймовірно, здається складнішою. У наступних двох розділах ми покажемо як це зробити, так і чому такий процес може принести користь.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribApexCalc