7.E: Застосування інтеграції (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60718

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

7.1: Площа між кривими

Терміни та поняття

1. T/F: Значення між кривими завжди позитивне.

2. T/F: Обчислення може бути використано для пошуку площі основних геометричних фігур.

3. Своїми словами опишіть, як знайти загальну площу, обнесену$y=f(x)\text{ and }y=g(x)$.

Проблеми

У вправах 4-10 знайдіть площу затіненої області на даному графіку.

4.
$7104.PNG$

5.
$7105.PNG$

6.
$7106.PNG$

7.
$7107.PNG$

8.
$7108.PNG$

9.
$7109.PNG$

10.
$7110.PNG$

У Вправи 11-16 знайдіть загальну площу, укладену функціями$f$ і$g$.

11. $f(x)=2x^2+5x-3,\, g(x)=x^2+4x-1$

12. $f(x)=x^2-3x+2,\, g(x)=-3x+3$

13. $f(x)=\sin x,\, g(x)=2x/\pi$

14.. $f(x)=x^3-4x^2+x-1,\, g(x)=-x^2+2x-4$

15. $f(x)=x,\, g(x)=\sqrt{x}$

16. $f(x)=-x^3+5x^2+2x+1,\, g(x)=3x^2+x+3$

17. Функції$f(x)=\cos (2x)\text{ and }g(x) =\sin x$ перетинаються нескінченно багато разів, утворюючи нескінченну кількість повторюваних, замкнених областей. Знайдіть райони цих регіонів.

У вправах 18-22 знайти площу замкнутої області двома способами:
1. розглядаючи межі як функції x, і
2. розглядаючи межі як функції y.

18.
$7118.PNG$

19.
$7119.PNG$

20.
$7120.PNG$

21.
$7121.PNG$

22.
$7122.PNG$

У вправах 23-26 знайти трикутник, утворений заданими трьома точками.

23. $(1,1),\, (2,3)\text{ and }(3,3)$

24. $(-1,1),\, (1,3)\text{ and }(2,-1)$

25. $(1,1),\, (3,3)\text{ and }(3,3)$

26. $(0,0),\, (2,5)\text{ and }(5,2)$

27. Використовуйте трапецієподібне правило, щоб наблизити площу зображеного озера, довжина якого в сотнях футів вимірюється з кроком 100 футів.
$7127.PNG$

28. Використовуйте Правило Сімпсона, щоб наблизити площу зображеного озера, довжина якого в сотнях футів вимірюється з кроком 200 футів.

$7128.PNG$

7.2: Обсяг за площею поперечного перерізу: методи диска та шайби

Терміни та поняття

1. T/F: Тверда речовина обертання утворюється шляхом обертання форми навколо осі.

2. Своїми словами поясніть, як пов'язані методи диска та шайби.

3 Поясніть, як одиниці об'єму знаходяться в інтегралі Теореми 54: якщо$A(x)$ має одиниці in$^2$, як$\int A(x)\,dx$ має одиниці in$^3$?

Проблеми

У вправах 4-7 область декартової площини затінюється. Використовуйте метод диска/шайби, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо осі x.

4.
$7204.PNG$

5.
$7205.PNG$

6.
$7206.PNG$

7.
$7207.PNG$

У вправах 8-11 область декартової площини заштрихована. Використовуйте метод диска/шайби, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо осі y.

8.
$7208.PNG$

9.
$7209.PNG$

10.
$7210.PNG$
(Підказка: Інтеграція по частинам буде потрібно двічі. Спочатку нехай$u=\text{arccos}^2 x$, потім нехай$u=\text{arccos } x$.)

11.
$7211.PNG$

У Вправах 12-17 описана область декартової площини. Використовуйте метод диска/шайби, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо кожної з заданих осей.

12. Регіон обмежений:$y=\sqrt{x},\,y=0\text{ and }x=1.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$y=1$
(c) осі y
(d)$x=1$

13. Регіон обмежений:$y=4-x^2\text{ and }y=0.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$y=4$
(c)$y=-1$
(d)$x=2$

14. Трикутник з вершинами$(1,1),\,(1,2)\text{ and }(2,1).$
Повернути приблизно:
(a) вісь x
(b)$y=2$
(c) -вісь y
(d)$x=1$

15. Регіон обмежений:$y=y=x^2-2x+2,\text{ and }y=2x-1.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$y=1$
(c)$y=5$

16. Регіон обмежений:$y=1/\sqrt{x^2+1},\,x=-1,\,x=1 \text{ and the x-axis}.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$y=1$
(c)$y=-1$

17. Регіон обмежений:$y=2x,\,y=x\text{ and }x=2.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$y=4$
(c) осі y
(d)$x=2$

У вправах 18-21 описано тверде тіло. Орієнтуйте тверде тіло вздовж осі x таким чином, щоб$A(x)$ можна було отримати функцію площі поперечного перерізу, потім застосуйте теорему 54, щоб знайти об'єм твердого тіла.

18. Правильний круглий конус висотою 10 і базовим радіусом 5.
$7218.PNG$

19. Косий правий круглий конус висотою 10 і радіусом основи 5. (Підказка: всі поперечні перерізи є колами.)
$7219.PNG$

20. Конус прямокутного трикутника висотою 10 і основою якого є право, рівнобедрений трикутник з довжиною сторони 4.
$7220.PNG$

21. Суцільне тіло довжиною 10 з прямокутним підставою і трикутним верхом, причому один кінець являє собою квадрат з довжиною сторони 5, а інший кінець являє собою трикутник з підставою і висотою 5.

$7221.PNG$

7.3: Метод оболонки

Терміни та поняття

1. T/F: Тверда речовина обертання утворюється шляхом обертання форми навколо осі.

2. T/F: Метод оболонки можна використовувати лише тоді, коли метод шайби виходить з ладу.

3. T/F: Метод оболонки працює шляхом інтеграції площ поперечного перерізу твердого тіла.

4. T/F: При знаходженні обсягу твердої речовини обертання, яка оберталася навколо вертикальної осі, метод оболонки інтегрується щодо x.

Проблеми

У вправах 5-8 область декартової площини заштрихована. Використовуйте метод оболонки, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо осі y.

5.
$7305.PNG$

6.
$7306.PNG$

7.
$7307.PNG$

8.
$7308.PNG$

У вправах 9-12 область декартової площини заштрихована. Використовуйте метод оболонки, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо осі x.

9.
$7309.PNG$

10.
$7310.PNG$

11.
$7311.PNG$

12.
$7312.PNG$

У Вправах 13-18 описана область декартової площини. Використовуйте метод оболонки, щоб знайти об'єм твердого тіла обертання, утвореного обертанням області навколо кожної з заданих осей.

13. Регіон обмежений:$y=\sqrt{x},\,y=0\text{ and }x=1.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$y=1$
(c) осі y
(d)$x=1$

14. Регіон обмежений:$y=4-x^2\text{ and }y=0.$
Повернути приблизно:
(a)$x=2$
(b)$x=-2$
(c) вісь x
(d)$y=4$

15. Трикутник з вершинами$(1,1),\,(1,2)\text{ and }(2,1).$
Повернути близько:
(a) осі x
(b)$x=1$
(c) осі x
(d)$y=2$

16. Регіон обмежений:$y=y=x^2-2x+2,\text{ and }y=2x-1.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$x=1$
(c)$x=-1$

17. Регіон обмежений:$y=1/\sqrt{x^2+1},\,x=1 \text{ and the x and y-axis}.$
Поворот приблизно:
(a) осі x
(b)$x=1$

18. Регіон обмежений:$y=2x,\,y=x\text{ and }x=2.$
Поворот приблизно:
(a) осі y
(b)$x=2$
(c) осі x
(d)$y=4$

7.4: Довжина дуги та площа поверхні

Терміни та поняття

1. T/F: Інтегральна формула для обчислення довжини дуги була знайдена шляхом першого наближення довжини дуги прямими відрізками.

2. T/F: Інтегральна формула для обчислення довжини дуги включає квадратний корінь, тобто інтеграція, ймовірно, проста.

Проблеми

У вправах 3-12 знайти довжину дуги функції на заданому інтервалі.

3. $f(x) = x\text{ on }[0,1].$

4. $f(x) = \sqrt{8}x\text{ on }[-1,1].$

5. $f(x) = \frac{1}{3}x^{3/2}-x^{1/2}\text{ on }[0,1].$

6. $f(x) = \frac{1}{12}x^3+\frac{1}{x}\text{ on }[1,4].$

7. $f(x) = 2x^{3/2}-\frac{1}{6}\sqrt{x}\text{ on }[0,9].$

8. $f(x) = \cosh x \text{ on }[-\ln 2,\ln 2].$

9. $f(x) = \frac{1}{2}(e^2+e^{-x})\text{ on }[0,\ln 5].$

10. $f(x) = \frac{1}{12}x^5+\frac{1}{5x^3}\text{ on }[0.1,1].$

11. $f(x) = \ln \left ( \sin x \right ) \text{ on }[\pi/6,\pi/2].$

12. $f(x) = \ln \left ( \cos x \right )\text{ on }[0,\pi/4].$

У вправах 13-20 встановіть інтеграл для обчислення довжини дуги функції на заданому інтервалі. Не оцінюйте інтеграл.

13. $f(x) = x^2\text{ on }[0,1].$

14. $f(x) = x^{10}\text{ on }[0,1].$

15. $f(x) = \sqrt{x}\text{ on }[0,1].$

16. $f(x) = \ln x \text{ on }[1,e].$

17. $f(x) = \sqrt{1-x^2}\text{ on }[-1,1].$(Примітка: це описує верхню половину кола з радіусом 1.)

18. $f(x) = \sqrt{1-x^2/9} \text{ on }[-3,3]$. (Примітка: це описує верхню половину затемнення з великою віссю довжиною 6 і незначною віссю довжини 2.)

19. $f(x) = \frac{1}{x}\text{ on }[1,2]$.

20. $f(x) = \sec x\text{ on }[-\pi/4, \pi/4]$.

У вправах 21-28 використовуйте Правило Сімпсона, з$n=4$, щоб наблизити довжину дуги функції на заданому інтервалі. Примітка: це ті ж проблеми, що і в Вправи 13-20.

21. $f(x) = x^2\text{ on }[0,1].$

22. $f(x) = x^{10}\text{ on }[0,1].$

23. $f(x) = \sqrt{x}\text{ on }[0,1].$(Примітка:$f'(x)$ не визначено в$x=0$.)

24. $f(x) = \ln x \text{ on }[1,e].$

25. $f(x) = \sqrt{1-x^2}\text{ on }[-1,1].$(Примітка:$f'(x)$ не визначено в кінцевих точках.)

26. $f(x) = \sqrt{1-x^2/9} \text{ on }[-3,3]$. (Примітка:$f'(x)$ не визначено в кінцевих точках.)

27. $f(x) = \frac{1}{x}\text{ on }[1,2]$.

28. $f(x) = \sec x\text{ on }[-\pi/4, \pi/4]$.

У вправах 29-33 знайти площу поверхні описуваного твердого тіла обертання.

29. Тверде тіло, утворене$y=2x \text{ on }[0,1]$ обертанням навколо осі х.

30. Тверде тіло, утворене$y=x^2 \text{ on }[0,1]$ обертанням навколо осі y.

31. Тверде тіло, утворене$y=x^3 \text{ on }[0,1]$ обертанням навколо осі х.

32. Тверде тіло, утворене$y=\sqrt{x} \text{ on }[0,1]$ обертанням навколо осі х.

33. Тверде тіло, утворене$y=\sqrt{1-x^2} \text{ on }[-1,1]$ обертанням навколо осі х.

7.5: Робота

Терміни та поняття

1. Які типові одиниці роботи?

2. Якщо людина має масу 80 кг на Землі, чи буде його маса на Місяці більшою, меншою чи однаковою?

3. Якщо жінка важить 130 фунтів на Землі, чи буде її вага на Місяці більшою, меншою чи однаковою?

Проблеми

4. 100-футовий мотузку вагою 0,1 фунт/фут висить над краєм висотної будівлі.
(а) Скільки робіт виконано, потягнувши всю мотузку на вершину будівлі?
(b) Скільки мотузки натягується, коли виконується половина загальної роботи?

5. Над краєм висотної будівлі нависає мотузка 50 м, щільністю маси 0,2 кг/м.
(а) Скільки робіт виконано, потягнувши всю мотузку на вершину будівлі?
(б) Скільки робіт виконується витягування в перші 20 м?

6. Мотузка довжиною$l$ футів висить над краєм високого скелі. (Припустимо, що скеля вище довжини мотузки.) Мотузка має щільність ваги$d$ фунт/фут.
(а) Скільки роботи виконується, потягнувши всю мотузку на вершину скелі?
(б) Який відсоток від загальної роботи виконується натягуванням в першій половині мотузки?
(c) Скільки мотузки натягується, коли виконується половина загальної роботи?

7. Над краєм 10-метрової будівлі нависає мотузка товщиною 20 м з масовою щільністю 0,5 кг/м. Скільки робіт виконується підтягування мотузки наверх?

8. Кран піднімає вантаж 2000 фунтів вертикально 30 футів за допомогою 1-дюймового кабелю вагою 1,68 фунт/фут.
(а) Скільки роботи виконується підйом кабелю самостійно?
(b) Скільки роботи виконується з підняттям вантажу самостійно?
(c) Чи можна зробити висновок, що виконана робота з підйому кабелю незначна порівняно з виконаною роботою з підняттям вантажу?

9. Мішок піску 100 фунтів піднімається рівномірно 120 футів за одну хвилину. Пісок витікає з мішка зі швидкістю 1/4 фунт/с.Яка загальна робота виконана при підйомі мішка?

10. Коробка вагою 2 фунтів піднімає 10 фунтів піску вертикально 50 футів. Тріщина в коробці дозволяє піску витікати таким чином, що 9 фунтів піску знаходиться в коробці в кінці поїздки. Припустимо, що пісок просочився з рівномірною швидкістю. Яка загальна робота виконана при підйомі ящика та піску?

11. Сила 1000 фунтів стискає пружину 3 дюйма. Скільки робіт виконується при стисканні пружини?

12. Зусиллям 2 Н розтягується пружина на 5 см. Скільки робіт виконується при розтягуванні пружини?

13. Сила 50 фунтів стискає пружину від природної довжини від 18 до 12 дюймів. Скільки робіт виконується при стисканні пружини?

14. Сила 20 фунтів розтягує пружину від природної довжини від 6 до 8 дюймів. Скільки робіт виконується при розтягуванні пружини?

15. Зусилля 7 Н розтягує пружину від природної довжини від 11 см до 21 см. Скільки виконується робота по розтягуванню пружини з довжини 16 см до 21 см?

16. Сила$f$ N розтягує пружину$d$ m від її природної довжини. Скільки робіт виконується при розтягуванні пружини?

17. До пружини прикріплюється вага 20 фунтів. Вага спирається на пружину, стискаючи пружину з природною довжиною від 1 фута до 6 дюймів.
Скільки роботи виконується при підйомі коробки на 1,5 фута (тобто пружина буде розтягнута на 1 фут за межі своєї природної довжини)?

18. До пружини прикріплюється вага 20 фунтів. Вага спирається на пружину, стискаючи пружину з природною довжиною від 1 фута до 6 дюймів.
Скільки проводиться робота по підняттю коробки 6 в (тобто повернення пружини до природної довжини)?

19. Циліндричний бак висотою 5 м радіусом 2 м заповнений 3 м бензину, масовою щільністю 737,22 кг/м$^3$. Обчислити загальну виконану роботу по перекачуванню всього бензину в верхню частину бака.

20. Циліндричний резервуар 6 футів радіусом 3 футів заповнений водою, яка має щільність ваги 62.4 фунт/фут$^3$. Вода повинна бути перекачана до точки 2 футів вище верхньої частини бака.
(а) Скільки робіт виконується при відкачуванні всієї води з бака?
(б) Скільки робіт виконується при відкачуванні 3 футів води з резервуара?
(c) У який момент становить 1/2 від загальної кількості виконаної роботи?

21. Бензовоз заправляється бензином з щільністю ваги 45,93 фунт/фут$^3$. Значення дозування біля основи заклинює закриття, змушуючи оператора спорожнити резервуар за допомогою перекачування газу до точки 1 фут над верхньою частиною резервуара. Припустимо, що бак є ідеальним циліндром, довжиною 20 футів з діаметром 7,5 футів. Скільки виконується робота по перекачуванню всього бензину з бака?

22. Резервуар для зберігання мазуту глибиною 10 футів з трапецієподібними сторонами, 5 футів у верхній частині 2 футів внизу і шириною 15 футів (див. Схему нижче). Враховуючи, що мазут важить 55,46 фунт/фут$^3$, знайдіть виконану роботу з перекачування всього масла з бака до точки 3 футів над верхньою частиною бака.
$7522.PNG$

23. Конічний резервуар глибиною 5 м з верхнім радіусом 3 м. (Це аналогічно Прикладу 224.) Резервуар заповнюється чистою водою, масовою щільністю 1000 кг/м$^3$.
(а) Знайдіть роботу, виконану в перекачуванні всієї води до верхньої частини бака.
(б) Знайдіть роботу, виконану при перекачуванні верхніх 2,5 м води до верхньої частини бака.
(в) Знайдіть роботу, виконану при перекачуванні верхньої половини води, за обсягом, до верхньої частини бака.

24. Резервуар для води має форму усіченого конуса, з розмірами, наведеними нижче, і заповнений водою з щільністю ваги 62,4 фунт/фут$^3$. Знайдіть роботу, виконану в перекачуванні всієї води до точки на 1 фут вище верхньої частини бака.
$7524.PNG$

25. Резервуар для води має форму перевернутої піраміди, з розмірами, наведеними нижче, і заповнений водою з масовою щільністю 1000 кг/м$^3$. Знайдіть виконану роботу по перекачуванню всієї води до точки на 5 м вище верхньої частини бака.
$7525.PNG$

26. Резервуар для води має форму усіченої, перевернутої піраміди, з заданими розмірами продувки, і заповнений водою з масовою щільністю 1000 кг/м$^3$. Знайдіть виконану роботу по перекачуванню всієї води до точки на 1 м вище верхньої частини бака.
$7526.PNG$

7.6: Рідкі сили

Терміни та поняття

1. Створіть своїми словами Принцип Паскаля.

2. Створіть своїми словами, чим тиск відрізняється від сили.

Проблеми

У вправах 3-12 знайдіть силу рідини, що чиниться на дану пластину, занурену у воду з щільністю ваги 62,4 фунт/фут$^3$.

3.
$7603.PNG$

4.
$7604.PNG$

5.
$7605.PNG$

6.
$7606.PNG$

7.
$7607.PNG$

8.
$7608.PNG$

9.
$7609.PNG$

10.
$7610.PNG$

11.
$7611.PNG$

12.
$7612.PNG$

У вправах 13-18 зображена сторона контейнера. Знайдіть силу рідини, що чиниться на цій пластині, коли контейнер наповнений:
1. водою, щільністю ваги 62,4 фунт/фут$^3$
2. бетон, з щільністю ваги 150 фунт/фут$^3$.

13.
$7613.PNG$

14.
$7614.PNG$

15.
$7615.PNG$

16.
$7616.PNG$

17.
$7617.PNG$

18.
$7618.PNG$

19. Наскільки глибоко повинен бути занурений у воду центр вертикально орієнтованої круглої пластини радіусом 1 фут з щільністю ваги 62,4 фунт/фут$^3$, щоб сила рідини на тарілці досягла 1,000 фунтів?

20. Наскільки глибоко повинен бути занурений у воду центр вертикально орієнтованої квадратної пластини з довжиною сторони 2 фути, щільністю ваги 62,4 фунт/фут$^3$, щоб сила рідини на тарілці досягла 1,000 фунтів?