6: Методи інтеграції
- Page ID
- 60772
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 6.1: Заміна
- Ця глава присвячена дослідженню методик антидиференціації. Хоча не кожна функція має антипохідну з точки зору елементарних функцій (поняття, введене в розділі про числове інтегрування), ми все ще можемо знайти антипохідні найрізноманітніших функцій.
- 6.2: Інтеграція частинами
- Інтеграція частинами - це процес, який знаходить інтеграл добутку функцій в терміні інтеграла їх похідної та антипохідної. Він часто використовується для перетворення антипохідного добутку функцій в антидериватив, для якого розчин можна легше знайти. Правило можна вивести в одному рядку, просто інтегруючи правило добутку диференціації.
- 6.3: Тригонометричні інтеграли
- Функції, що включають тригонометричні функції, корисні, оскільки вони добре описують періодичну поведінку. У цьому розділі описано кілька методик знаходження антипохідних певних комбінацій тригонометричних функцій.
- 6.4: Тригонометрична заміна
- З тих пір ми вивчили ряд методів інтеграції, включаючи заміщення та інтеграцію частинами, але ми все ще не можемо оцінити вищезгаданий інтеграл, не вдаючись до геометричної інтерпретації. У цьому розділі представлена тригонометрична заміна, метод інтеграції, який заповнює цю прогалину в нашій майстерності інтеграції. Ця методика працює за тим же принципом, що і «звичайна» заміна, розглянута раніше.
- 6.5: Розкладання часткової фракції
- У цьому розділі досліджуються антипохідні раціональних функцій. Можна показати, що будь-який многочлен може бути врахований у добуток лінійних і нескорочуваних квадратичних членів. Ключова ідея стверджує, як розкласти раціональну функцію на суму раціональних функцій, знаменниками яких є поліноми нижчого ступеня.
- 6.6: Гіперболічні функції
- Гіперболічні функції - це набір функцій, які мають безліч застосувань до математики, фізики та техніки. Серед багатьох інших застосувань вони використовуються для опису формування супутникових кілець навколо планет, для опису форми мотузки, що звисає з двох точок, і мають застосування до теорії спеціальної відносності. Цей розділ визначає гіперболічні функції та описує багато їх властивостей, особливо їх корисність для обчислення.
- 6.7: Правило L'Hopital
- Хоча ця глава присвячена вивченню методів інтеграції, цей розділ не стосується інтеграції. Швидше, це стосується техніки оцінки певних меж, яка буде корисна в наступному розділі, де інтеграція ще раз обговорюється. У цьому розділі представлено правило L'Hôpital, метод вирішення меж, який створює невизначені форми 0/0 та ∞.
- 6.8: Неправильна інтеграція
- Коли ми визначили певний інтеграл, ми зробили два умови: інтервал, через який ми інтегрували, [a, b], був скінченним інтервалом, а функція f (x) була безперервною на [a, b] (гарантуючи, що діапазон f був кінцевим). У цьому розділі розглядаються інтеграли, де одна або обидві з перерахованих вище умов не витримуються. Такі інтеграли називаються невідповідними інтегралами.
Мініатюра: Графік, що показує кілька ітерацій методу Ньютона на графіку\(y=x^2\) з початковим здогадкою\(x_0=4\). (Громадське надбання; Пол Брін).