6.E: Застосування антидиференціації (вправи)

6.1: Заміна

Терміни та поняття

1. Заміна «скасовує» яке похідне Правило?

2. T/F: Можна використовувати алгебру для перезапису integrand інтеграла, щоб полегшити оцінку.

Проблеми

У вправах 3-14 оцініть невизначене ціле, щоб розвинути розуміння заміщення.

3. \(\int 3x^2 (x^3-5)^7\,dx\)

4. \(\int (2x-5)(x^2-5x+7)^3\,dx\)

5. \(\int x(x^2+1)^8\,dx\)

6. \(\int (12x+14)(3x^2+7x+7)^3\,dx\)

7. \(\int \frac{1}{2x+7}\,dx\)

8. \(\int \frac{1}{\sqrt{2x+3}}\,dx\)

9. \(\int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx\)

10. \(\int \frac{x^3-x}{\sqrt{x}}\,dx\)

11. \(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx\)

12. \(\int \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}}\,dx\)

13. \(\int \frac{\frac{1}{x}+1}{x^2}\,dx\)

14. \(\int \frac{\ln (x)}{x}\,dx\)

У вправах 15-23 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю тригонометричних функцій.

15. \(\int \sin^2 (x) \cos (x)\,dx\)

16. \(\int \cos (3-6x)\,dx\)

17. \(\int \sec^2 (4-x)\,dx\)

18. \(\int \sec (2x)\,dx\)

19. \(\int \tan^2 (x)\sec^2 (x)\,dx\)

20. \(\int x \cos (x^2)\,dx\)

21. \(\int \tan^2 (x)\,dx\)

22. \(\int \cot x\,dx\). Не просто звертайтеся до Теореми 45 для відповіді; виправдайте її за допомогою підстановки.

23. \(\int \csc x\,dx\). Не просто звертайтеся до Теореми 45 для відповіді; виправдайте її за допомогою підстановки.

У вправах 24-30 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю експоненціальних функцій.

24. \(\int e^{3x-1}\,dx\)

25. \(\int e^{x^3}x^2\,dx\)

26. \(\int e^{x^2-2x+1}(x-1)\,dx\)

27. \(\int \frac{e^x+1}{e^x}\,dx\)

28. \(\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}}\,dx\)

29. \(\int 3^{3x}\,dx\)

30. \(\int 4^{2x}\,dx\)

У вправах 31-34 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю логарифмічних функцій.

31. \(\int \frac{\ln x}{x}\,dx\)

32. \(\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx\)

33. \(\int \frac{(\ln x)^3}{x}\,dx\)

34. \(\int \frac{1}{x\ln (x^2)}\,dx\)

У вправах 35-40 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю раціональних функцій.

35. \(\int \frac{x^2+3x+1}{x}\,dx\)

36. \(\int \frac{x^3+x^2+x+1}{x}\,dx\)

37. \(\int \frac{x^3-1}{x+!}\,dx\)

38. \(\int \frac{x^2+2x-5}{x-3}\,dx\)

39. \(\int \frac{3x^2-5x+7}{x+1}\,dx\)

40. \(\int \frac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x}\,dx\)

У вправах 41-50 використовуйте підстановку для оцінки невизначеної інтегральної оберненої тригонометричної функції.

41. \(\int \frac{7}{x^2+7}\,dx\)

42. \(\int \frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\,dx\)

43. \(\int \frac{14}{\sqrt{5-x^2}}\,dx\)

44. \(\int \frac{2}{x\sqrt{x^2-9}}\,dx\)

45. \(\int \frac{5}{\sqrt{x^4-16x^2}}\,dx\)

46. \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx\)

47. \(\int \frac{1}{x^2-2x+8}\,dx\)

48. \(\int \frac{2}{\sqrt{-x^2+6x+7}}\,dx\)

49. \(\int \frac{3}{\sqrt{-x^2+8x+9}}\,dx\)

50. \(\int \frac{5}{x^2+6x+34}\,dx\)

У вправах 51-75 оцініть невизначений інтеграл.

51. \(\int \frac{x^2}{(x^3+3)^2}\,dx\)

52. \(\int (3x^2+2x)(5x^3+5x^2+2)^8\,dx\)

53. \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx\)

54. \(\int x^2 \csc^2 (x^3+1)\,dx\)

55. \(\int \sin (x) \sqrt{\cos (x)}\,dx\)

56. \(\int \frac{1}{x-5}\,dx\)

57. \(\int \frac{7}{3x+2}\,dx\)

58. \(\int \frac{3x^3+4x^2+2x-22}{x^2+3x+5}\,dx\)

59. \(\int \frac{2x+7}{x^2+7x+3}\,dx\)

60. \(\int \frac{9(2x+3)}{3x^2+9x+7}\,dx\)

61. \(\int \frac{-x^3+14x^2-46x-7}{x^2-7x+1}\,dx\)

62. \(\int \frac{x}{x^2+81}\,dx\)

63. \(\int \frac{2}{4x^2+1}\,dx\)

64. \(\int \frac{1}{x\sqrt{4x^2-1}}\,dx\)

65. \(\int \frac{1}{\sqrt{16-9x^2}}\,dx\)

66. \(\int \frac{3x-2}{x^2-2x+10}\,dx\)

67. \(\int \frac{7-2x}{x^2+12x+61}\,dx\)

68. \(\int \frac{x^2+5x-2}{x^2-10x+32}\,dx\)

69. \(\int \frac{x^3}{x^2+9}\,dx\)

70. \(\int \frac{x^3-x}{x^2+4x+9}\,dx\)

71. \(\int \frac{\sin (x)}{\cos^2 (x)+1}\,dx\)

72. \(\int \frac{\cos (x)}{\sin^2 (x)+1}\,dx\)

73. \(\int \frac{\cos (x)}{1-\sin^2 (x)}\,dx\)

74. \(\int \frac{3x-3}{\sqrt{x^2-2x-6}}\,dx\)

75. \(\int \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}\,dx\)

У вправах 76-83 оцініть певний інтеграл.

76. \(\int_1^3 \frac{1}{x-5}\,dx\)

77. \(\int_2^6 x\sqrt{x-2}\,dx\)

78. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 (x)\cos (x)\,dx\)

79. \(\int_0^1 2x (1-x^2)^4\,dx\)

80. \(\int_{-2}^{-1} (x+1)e^{x^2+2x+1}\,dx\)

81. \(\int_{-1}^1 \frac{1}{x+x^2}\,dx\)

82. \(\int_2^4 \frac{1}{x^2-6x+10}\,dx\)

83. \(\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\)

6.2: Інтеграція частинами

Терміни та поняття

1. T/F: Інтеграція частинами корисна при оцінці integrands, які містять продукти функції.

2. T/F: Інтеграція частинами може розглядатися як «протилежність правилу ланцюга».

3. Для чого корисний «ЛІАТ»?

Проблеми

У вправах 4-33 оцініть заданий невизначений інтеграл.

4. \(\int x\sin x\,dx\)

5. \(\int xe^{-x}\,dx\)

6. \(\int x^2\sin x\,dx\)

7. \(\int x^3\sin x\,dx\)

8. \(\int xe^{x^2}\,dx\)

9. \(\int x^3e^x\,dx\)

10. \(\int xe^{-2x}\,dx\)

11. \(\int e^x \sin x\,dx\)

12. \(\int e^{2x}\cos x\,dx\)

13. \(\int e^{2x}\sin (3x)\,dx\)

14. \(\int e^{5x}\cos (5x)\,dx\)

15. \(\int \sin x \cos x\,dx\)

16. \(\int \sin^{-1} x\,dx\)

17. \(\int \tan^{-1} (2x)\,dx\)

18. \(\int x\tan^{-1} x\,dx\)

19. \(\int \sin^{-1} x\,dx\)

20. \(\int x\ln x\,dx\)

21. \(\int (x-2)\ln x\,dx\)

22. \(\int x\ln (x-1)\,dx\)

23. \(\int x\ln (x^2)\,dx\)

24. \(\int x^2 \ln x\,dx\)

25. \(\int (\ln x)^2\,dx\)

26. \(\int (\ln (x+1))^2\,dx\)

27. \(\int x\sec^2 x\,dx\)

28. \(\int x\csc^2 x\,dx\)

29. \(\int x\sqrt{x-2}\,dx\)

30. \(\int x\sqrt{x^2-2}\,dx\)

31. \(\int \sec x \tan x\,dx\)

32. \(\int x\sec x \tan x\,dx\)

33. \(\int x\csc x \cot x\,dx\)

У вправах 34-38 оцініть невизначений інтеграл після першого внесення заміни.

34. \(\int \sin (\ln x)\,dx\)

35. \(\int \sin (\sqrt{x})\,dx\)

36. \(\int \ln (\sqrt{x})\,dx\)

37. \(\int e^{\sqrt{x}}\,dx\)

38. \(\int e^{\ln x}\,dx\)

У вправах 39-47 оцініть певний інтеграл. Примітка: відповідні невизначені інтеграли з'являються у Вправи 4-12.

39. \(\int_0^{\pi} x\sin x\,dx\)

40. \(\int_{-1}^1 xe^{-x}\,dx\)

41. \(\int_{-\pi/4}{^\pi/4} x^2\sin x\,dx\)

42. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^3\sin x\,dx\)

43. \(\int_0^{\sqrt{\ln 2}} xe^{x^2}\,dx\)

44. \(\int_0^1 x^3e^x\,dx\)

45. \(\int_1^2 xe^{-2x}\,dx\)

46. \(\int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx\)

47. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{2x}\cos x\,dx\)

6.3: Тригонометричні інтеграли

Терміни та поняття

1. T/F:\(\int \sin^2 (x) \cos^2 x \,dx\) не можна оцінити за допомогою методів, описаних у цьому розділі, оскільки обидві повноваження\(\sin x\) та\(\cos x\) рівні.

2. T/F:\(\sin^3 x \cos^3 x \,dx\) не може бути оцінений за допомогою методів, описаних у цьому розділі, оскільки обидві сили\(\sin x\text{ and }\cos x\) непарні.

3. T/F: У цьому розділі розглядається, як оцінити невизначені інтеграли, такі як\(\int \sin^5 x \tan^3 x\,dx\).

Проблеми

У вправах 4-26 оцініть невизначений інтеграл.

4. \(\int \sin x \cos^4 x\,dx\)

5. \(\int \sin^3 x \cos x\,dx\)

6. \(\int \sin^3 x \cos^2 x\,dx\)

7. \(\int \sin^3 x \cos^3 x\,dx\)

8. \(\int \sin^6 x \cos^5 x\,dx\)

9. \(\int \sin^2 x \cos^7 x\,dx\)

10. \(\int \sin^2 x \cos^2 x\,dx\)

11. \(\int \sin (5x) \cos (3x)\,dx\)

12. \(\int \sin (x) \cos (2x)\,dx\)

13. \(\int \sin (3x) \sin (7x)\,dx\)

14. \(\int \sin (\pi x) \sin (2\pi x)\,dx\)

15. \(\int \cos (x) \cos (2x)\,dx\)

16. \(\int \cos \left (\frac{\pi}{2}x\right ) \cos (\pi x)\,dx\)

17. \(\int \tan^4 x \sec^2 x\,dx\)

18. \(\int \tan^2 x \sec^4 x\,dx\)

19. \(\int \tan^3 x \sec^4 x\,dx\)

20. \(\int \tan^3 x \sec^2 x\,dx\)

21. \(\int \tan^3 x \sec^3 x\,dx\)

22. \(\int \tan^5 x \sec^5 x\,dx\)

23. \(\int \tan^4 (x)\,dx\)

24. \(\int \sec^5 x\,dx\)

25. \(\int \tan^2 x \sec x\,dx\)

26. \(\int \tan^2 x \sec^3 x\,dx\)

У вправах 27-33 оцініть певний інтеграл. Примітка: відповідні невизначені інтеграли з'являються в попередньому наборі.

27. \(\int_{0}^{\pi}\sin x \cos^4 x \,dx\)

28. \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin^3 x \cos x \,dx\)

29. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^7 x \,dx\)

30. \(\int_{0}^{\pi/2} \sin (5x) \cos (3x) \,dx\)

31. \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos (x) \cos (2x) \,dx\)

32. \(\int_{0}^{\pi/4} \tan^4 x \sec^2 x \,dx\)

33. \(\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2 x \sec^4 x \,dx\)

6.4: Тригонометрична заміна

Терміни та поняття

1. Тригонометрична заміщення працює за тими ж принципами, що і Інтеграція заміщенням, хоча може відчувати себе «_____».

2. Якщо використовується тригонометрична заміна на цілогранд\(\sqrt{25-x^2}\), що містить, то слід встановити x = ______.

3. Розглянемо Піфагорійську ідентичність\(\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1\).
(а) Яку ідентичність отримують, коли обидві сторони розділені на\(\cos^2 \theta\)?
(b) Використовуйте нову ідентифікацію для спрощення\(9\tan^2 \theta +9\).

4. Чому Key Idea 13 (a) стверджує\(\sqrt{a^2-x^2} = a\cos \theta\), що, а ні\(|a \cos \theta |\)?

Проблеми

У вправах 5-16 застосуйте тригонометричну підстановку для оцінки невизначені інтеграли.

5. \(\int \sqrt{x^2+1}\,dx\)

6. \(\int \sqrt{x^2+4}\,dx\)

7. \(\int \sqrt{1-x^2}\,dx\)

8. \(\int \sqrt{9-x^2}\,dx\)

9. \(\int \sqrt{x^2-1}\,dx\)

10. \(\int \sqrt{x^2-16}\,dx\)

11. \(\int \sqrt{4x^2+1}\,dx\)

12. \(\int \sqrt{1-9x^2}\,dx\)

13. \(\int \sqrt{16x^2-1}\,dx\)

14. \(\int \frac{3}{\sqrt{x^2+2}}\,dx\)

15. \(\int \frac{3}{\sqrt{7-x^2}}\,dx\)

16. \(\int \frac{5}{\sqrt{x^2-8}}\,dx\)

У вправах 17-26 оцініть невизначені інтеграли. Деякі можуть бути оцінені без тригонометричної заміни.

17. \(\int \frac{\sqrt{x^2-11}}{x}\,dx\)

18. \(\int \frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx\)

19. \(\int \frac{x}{\sqrt{x^2-3}}\,dx\)

20. \(\int x^2 \sqrt{1-x^2}\,dx\)

21. \(\int \frac{x}{(x^2+0)^{3/2}}\,dx\)

22. \(\int \frac{5x^2}{\sqrt{x^2-10}}\,dx\)

23. \(\int \frac{1}{(x^2+4x+13)^2}\,dx\)

24. \(\int x^2(1-x^2)^{-3/2}\,dx\)

25. \(\int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\,dx\)

26. \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\,dx\)

У Вправах 27-32 оцінюють певні інтеграли, зробивши правильну тригонометричну підстановку та змінюючи межі інтеграції. (Примітка: кожен з відповідних невизначений інтегралів раніше з'явився у наборі вправ.)

27. \(\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2} \,dx\)

28. \(\int_{4}^{8}\sqrt{x^2-16} \,dx\)

29. \(\int_{0}^{2}\sqrt{x^2+4} \,dx\)

30. \(\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x^2+1)^2} \,dx\)

31. \(\int_{-1}^{1} \sqrt{9x^2} \,dx\)

32. \(\int_{-1}^{1}x^2\sqrt{1-x^2} \,dx\)

6.5 Розкладання часткового дробу

Терміни та поняття

1. Заповніть бланк: Розкладання часткового дробу - це метод перезапису _____ функцій.

2. T/F: Іноді необхідно використовувати поліноміальне ділення перед використанням розкладання часткового дробу.

3. Розкладіть\(\frac{1}{x^2-3x}\) без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

4. Розкладіть\(\frac{7-x}{x^2-9}\) без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

5. Розкладіть\(\frac{x-3}{x^2-7}\) без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

6. Розкладіть\(\frac{2x+5}{x^3+7x}\) без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

Проблеми

У вправах 7-25 оцініть невизначений інтеграл.

7. \(\int \frac{7x+7}{x^2+3x-10}\,dx\)

8. \(\int \frac{7x-2}{x^2+x}\,dx\)

9. \(\int \frac{-4}{3x^2-12}\,dx\)

10. \(\int \frac{x+7}{(x+5)^2}\,dx\)

11. \(\int \frac{-3x-20}{(x+8)^2}\,dx\)

12. \(\int \frac{9x^2+11x+7}{x(x+1)^2}\,dx\)

13. \(\int \frac{-12x^2-x+33}{(x-1)(x+3)(3-2x)}\,dx\)

14. \(\int \frac{94x^2-10x}{(7x+3)(5x-1)(3x-1)}\,dx\)

15. \(\int \frac{x^2+2+1}{x^2+x-2}\,dx\)

16. \(\int \frac{x^3}{x^2-2x-20}\,dx\)

17. \(\int \frac{2x^2-4x+6}{x^2-2x+3}\,dx\)

18. \(\int \frac{1}{x^2+3x^2+3x}\,dx\)

19. \(\int \frac{x^2+x+5}{x^2+4x+10}\,dx\)

20. \(\int \frac{12x^2+21x+3}{(x+1)(3x^2+5x-1)}\,dx\)

21. \(\int \frac{6x^2+8x-4}{(x-3)(x^2+6x+10)}\,dx\)

22. \(\int \frac{2x^2+x+1}{(x+1)(x^2+9)}\,dx\)

23. \(\int \frac{x^2-20x-69}{(x-7)(x^2+2x+17)}\,dx\)

24. \(\int \frac{9x^2-60x+33}{(x-9)(x^2-2x+11)}\,dx\)

25. \(\int \frac{6x^2+45x+121}{(x+2)(x^2+10x+27)}\,dx\)

У вправах 26-29 оцініть певний інтеграл.

26. \(\int_{1}^{2} \frac{8x+21}{(x+2)(x+3)} \,dx\)

27. \(\int_{0}^{5} \frac{14x+6}{(3x+2)(x+4)} \,dx\)

28. \(\int_{-1}^{1} \frac{x^2+5x-5}{(x-10)(x^2+4x+5)} \,dx\)

29. \(\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)(x^2+2x+1)} \,dx\)

6.6: Гіперболічні функції

Терміни та поняття

1. У Key Idea 16 наведено\(\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C\) рівняння. Чому "\(\ln |\cosh x|\)" не використовується - тобто чому абсолютні значення не потрібні?

2. Гіперболічні функції використовуються для визначення точок на правій частині гіперболи\(x^2-y^2=1\), як показано на малюнку 6.13. Як ми можемо використовувати гіперболічні функції для визначення точок на лівій частині гіперболи?

Проблеми

У вправах 3-10 перевірте задану особистість за допомогою визначення 23, як це зроблено в прикладі 186.

3. \(\coth^2 x-\text{csch }^2 x=1\)

4. \(\cosh 2x = \cosh^2 x+\sinh^2 x\)

5. \(\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x+1}{2}\)

6. \(\sinh^2 x = \frac{\cosh 2x-1}{2}\)

7. \(\frac{d}{dx} [\text{sech } x] = -\text{sech } x \tanh x\)

8. \(\frac{d}{dx} [\coth x] = -\text{sech } x \tanh x\)

9. \(\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C\)

10. \(\int \coth x\,dx = \ln |\sinh x|+C\)

У вправах 11-21 знайдіть похідну заданої функції.

11. \(f(x) = \cosh 2x\)

12. \(f(x) = \tanh (x^2)\)

13. \(f(x) = \ln (\sinh x)\)

14. \(f(x) = \sinh x\cosh x\)

15. \(f(x) = x\sinh x -\cosh x\)

16. \(f(x) = \text{sech }^{-1}(x^2)\)

17. \(f(x) = \sinh^{-1}(3x)\)

18. \(f(x) = \cosh^{-1}(2x^2)\)

19. \(f(x) = \tanh^{-1}(x+5)\)

20. \(f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)\)

21. \(f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)\)

У вправах 22-26 знайти рівняння прямої дотичної до функції при заданому значенні x.

22. \(f(x) = \sinh x\text{ at }x=0\)

23. \(f(x) = \cosh x\text{ at }x=\ln 2\)

24. \(f(x) = \text{sech }^2 x\text{ at }x=\ln3\)

25. \(f(x) = \sinh^{-1} x\text{ at }x=0\)

26. \(f(x) = \cosh^{-1} x\text{ at }x=\sqrt{2}\)

У вправах 27-40 оцініть даний невизначений інтеграл.

27. \(\int \tanh (2x)\,dx\)

28. \(\int \cosh (3x-7) \,dx\)

29. \(\int \sinh x \cosh x\,dx\)

30. \(\int x\cosh x \,dx\)

31. \(\int x\sinh x\,dx\)

32. \(\int \frac{1}{9-x^2}\,dx\)

33. \(\int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\,dx\)

34. \(\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\,dx\)

35. \(\int \frac{1}{x^2-16}\,dx\)

36. \(\int \frac{1}{x^2+x}\,dx\)

37. \(\int \frac{e^x}{x^{2x}+1}\,dx\)

38. \(\int \sinh^{-1} x\,dx\)

39. \(\int \tanh^{-1}x\,dx\)

40. \(\int \text{sech } x\,dx\)(Підказка: помножити на\(\frac{\cosh x}{\cosh x}\); набір\(u=\sinh x\).)

У вправах 41-43 оцініть заданий певний інтеграл.

41. \(\int_{-1}^{1}\sinh x\,dx\)

42. \(\int_{-\ln 2}^{\ln 2}\cosh x\,dx\)

43. \(\int_{0}^1 \tanh^{-1}x\,dx\).

6.7: Правило L'Hopital

Терміни та поняття

1. Перерахуйте різні невизначені форми, описані в цьому розділі.

2. T/F: Правило L'hopital забезпечує більш швидкий метод обчислення похідних.

3. T/F: Правило лікарні стверджує, що\(\frac{d}{dx} \left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right ) = \frac{f'(x)}{g'(x)}\).

4. Поясніть, що означає невизначена форма\(1^{\infty}\) «».

5. Заповніть пропуски» Правило частки застосовується\(\frac{f(x)}{g(x)}\) при прийомі _____; Правило l'hopital застосовується при прийнятті певного_______.

6. Створіть (але не оцінюйте) ліміт, який повертає "\(\infty^0\)».

7. Створіть\(f(x)\) таку функцію, яка\(\lim\limits_{x\to1}f(x)\) повертає "\(0^0\)».

Проблеми

У вправах 8-52 оцініть заданий ліміт.

8. \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}\)

9. \(\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-7x+10}\)

10. \(\lim\limits_{x\to \pi} \frac{\sin x}{x-\pi}\)

11. \(\lim\limits_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\cos (2x)}\)

12. \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (5x)}{x}\)

13. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{x+2}\)

14. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}\)

15. \(\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}\)

16. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-1}{x^2}\)

17. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2}\)

18. \(\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x-\sin x}{x^3-x^2}\)

19. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^4}{e^x}\)

20. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x}\)

21. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{\sqrt{x}}\)

22. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{2^x}\)

23. \(\lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{3^x}\)

24. \(\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-7x^2+15x-9}\)

25. \(\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3+4x^2+4x}{x^3+7x^2+16x+12}\)

26. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}\)

27. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln (x^2)}{x}\)

28. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\left ( \ln x\right )^2}{x}\)

29. \(\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot \ln x\)

30. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}\cdot \ln x\)

31. \(\lim\limits_{x\to 0^+} xe^{1/x}\)

32. \(\lim\limits_{x\to \infty} x^3-x^2\)

33. \(\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}-\ln x\)

34. \(\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x\)

35. \(\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}e^{-1/x}\)

36. \(\lim\limits_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x}\)

37. \(\lim\limits_{x\to 0+} (2x)^x\)

38. \(\lim\limits_{x\to 0^+} (2/x)^x\)

39. \(\lim\limits_{x\to 0^+} (\sin x)^x\)Підказка: використовуйте теорему про стискання.

40. \(\lim\limits_{x\to 1^+} (1-x)^{1-x}\)

41. \(\lim\limits_{x\to \infty} (x)^{1/x}\)

42. \(\lim\limits_{x\to \infty} (1/x)^x\)

43. \(\lim\limits_{x\to 1^1} (\ln x)^{1-x}\)

44. \(\lim\limits_{x\to \infty} (1+x)^{1/x}\)

45. \(\lim\limits_{x\to \infty}(1+x^2)^{1/x}\)

46. \(\lim\limits_{x\to \pi/2} \tan x \cos x\)

47. \(\lim\limits_{x\to \pi /2} \tan x \sin (2x)\)

48. \(\lim\limits_{x\to 1^+} \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{1-x}\)

49. \(\lim\limits_{x\to 3^+} \frac{5}{x^2-9}-\frac{x}{x-3}\)

50. \(\lim\limits_{x\to \infty}x\tan (1/x)\)

51. \(\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)^3}{x}\)

52. \(\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{\ln x}\)

6.8: Неправильна інтеграція

Терміни та поняття

1. Визначено певний інтеграл з якими двома умовами?

2. Якщо\(\lim\limits_{b\to \infty}\int_0^b f(x)\,dx\) існує, то інтеграл\(\int_0^{\infty}f(x)\,dx\) вважається __________.

3. Якщо\(\int_1^{\infty} f(x)\,dx=10,\text{ and }0\le g(x)\le f(x)\) для всіх х, то ми знаємо, що\(\int_1^{\infty}g(x)\,dx\) ______.

4. Для яких значень p будуть\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx\) сходитися?

5. Для яких значень p будуть\(\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx\) сходитися?

6. Для яких значень p будуть\(\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}\,dx\) сходитися?

Проблеми

У вправах 7-33 оцініть даний неправильний інтеграл.

7. \(\int_0^{\infty}e^{5-2x}\,dx\)

8. \(\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} \,dx\)

9. \(\int_{1}^{\infty}x^{-4} \,dx\)

10. \(\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+9} \,dx\)

11. \(\int_{-\infty}^{0}2^x \,dx\)

12. \(\int_{-\infty}^{0}\left ( \frac{1}{2}\right )^x \,dx\)

13. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \,dx\)

14. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+4} \,dx\)

15. \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx\)

16. \(\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx\)

17. \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x-1} \,dx\)

18. \(\int_{1}^{2}\frac{1}{x-1} \,dx\)

19. \(\int_{-1}^{1}\frac{1}{x} \,dx\)

20. \(\int_{1}^{3}\frac{1}{x-2} \,dx\)

21. \(\int_{0}^{\pi} \sec^2 x \,dx\)

22. \(\int_{-2}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx\)

23. \(\int_{0}^{\infty}xe^{-x} \,dx\)

24. \(\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx\)

25. \(\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx\)

26. \(\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} \,dx\)

27. \(\int_{0}^{1}x\ln x \,dx\)

28. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \,dx\)

29. \(\int_{0}^{1}\ln x \,dx\)

30. \(\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} \,dx\)

31. \(\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx\)

32. \(\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin x \,dx\)

33. \(\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x \,dx\)

У вправах 34-43 використовуйте тест прямого порівняння або тест на порівняння границь, щоб визначити, чи збігається чи розходиться даний певний інтеграл. Чітко вказати, який тест використовується і з якою функцією порівнюється integrand.

34. \(\int_{10}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{3x^2+2x-5}} \,dx\)

35. \(\int_{2}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{7x^3-x}} \,dx\)

36. \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^3-x^2+x+1}} \,dx\)

37. \(\int_{1}^{\infty} e^{-x}\ln x \,dx\)

38. \(\int_{5}^{\infty} e^{-x^2+3x-1} \,dx\)

39. \(\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x} \,dx\)

40. \(\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2+\sin x} \,dx\)

41. \(\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^2+\cos x} \,dx\)

42. \(\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x+e^x} \,dx\)

43. \(\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x-x} \,dx\)