6.E: Застосування антидиференціації (вправи)

6.1: Заміна

Терміни та поняття

1. Заміна «скасовує» яке похідне Правило?

2. T/F: Можна використовувати алгебру для перезапису integrand інтеграла, щоб полегшити оцінку.

Проблеми

У вправах 3-14 оцініть невизначене ціле, щоб розвинути розуміння заміщення.

3. $\int 3x^2 (x^3-5)^7\,dx$

4. $\int (2x-5)(x^2-5x+7)^3\,dx$

5. $\int x(x^2+1)^8\,dx$

6. $\int (12x+14)(3x^2+7x+7)^3\,dx$

7. $\int \frac{1}{2x+7}\,dx$

8. $\int \frac{1}{\sqrt{2x+3}}\,dx$

9. $\int \frac{x}{\sqrt{x+3}}\,dx$

10. $\int \frac{x^3-x}{\sqrt{x}}\,dx$

11. $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}\,dx$

12. $\int \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}}\,dx$

13. $\int \frac{\frac{1}{x}+1}{x^2}\,dx$

14. $\int \frac{\ln (x)}{x}\,dx$

У вправах 15-23 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю тригонометричних функцій.

15. $\int \sin^2 (x) \cos (x)\,dx$

16. $\int \cos (3-6x)\,dx$

17. $\int \sec^2 (4-x)\,dx$

18. $\int \sec (2x)\,dx$

19. $\int \tan^2 (x)\sec^2 (x)\,dx$

20. $\int x \cos (x^2)\,dx$

21. $\int \tan^2 (x)\,dx$

22. $\int \cot x\,dx$. Не просто звертайтеся до Теореми 45 для відповіді; виправдайте її за допомогою підстановки.

23. $\int \csc x\,dx$. Не просто звертайтеся до Теореми 45 для відповіді; виправдайте її за допомогою підстановки.

У вправах 24-30 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю експоненціальних функцій.

24. $\int e^{3x-1}\,dx$

25. $\int e^{x^3}x^2\,dx$

26. $\int e^{x^2-2x+1}(x-1)\,dx$

27. $\int \frac{e^x+1}{e^x}\,dx$

28. $\int \frac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}}\,dx$

29. $\int 3^{3x}\,dx$

30. $\int 4^{2x}\,dx$

У вправах 31-34 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю логарифмічних функцій.

31. $\int \frac{\ln x}{x}\,dx$

32. $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$

33. $\int \frac{(\ln x)^3}{x}\,dx$

34. $\int \frac{1}{x\ln (x^2)}\,dx$

У вправах 35-40 використовуйте підстановку для оцінки невизначеного інтеграла за участю раціональних функцій.

35. $\int \frac{x^2+3x+1}{x}\,dx$

36. $\int \frac{x^3+x^2+x+1}{x}\,dx$

37. $\int \frac{x^3-1}{x+!}\,dx$

38. $\int \frac{x^2+2x-5}{x-3}\,dx$

39. $\int \frac{3x^2-5x+7}{x+1}\,dx$

40. $\int \frac{x^2+2x+1}{x^3+3x^2+3x}\,dx$

У вправах 41-50 використовуйте підстановку для оцінки невизначеної інтегральної оберненої тригонометричної функції.

41. $\int \frac{7}{x^2+7}\,dx$

42. $\int \frac{3}{\sqrt{9-x^2}}\,dx$

43. $\int \frac{14}{\sqrt{5-x^2}}\,dx$

44. $\int \frac{2}{x\sqrt{x^2-9}}\,dx$

45. $\int \frac{5}{\sqrt{x^4-16x^2}}\,dx$

46. $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}}\,dx$

47. $\int \frac{1}{x^2-2x+8}\,dx$

48. $\int \frac{2}{\sqrt{-x^2+6x+7}}\,dx$

49. $\int \frac{3}{\sqrt{-x^2+8x+9}}\,dx$

50. $\int \frac{5}{x^2+6x+34}\,dx$

У вправах 51-75 оцініть невизначений інтеграл.

51. $\int \frac{x^2}{(x^3+3)^2}\,dx$

52. $\int (3x^2+2x)(5x^3+5x^2+2)^8\,dx$

53. $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$

54. $\int x^2 \csc^2 (x^3+1)\,dx$

55. $\int \sin (x) \sqrt{\cos (x)}\,dx$

56. $\int \frac{1}{x-5}\,dx$

57. $\int \frac{7}{3x+2}\,dx$

58. $\int \frac{3x^3+4x^2+2x-22}{x^2+3x+5}\,dx$

59. $\int \frac{2x+7}{x^2+7x+3}\,dx$

60. $\int \frac{9(2x+3)}{3x^2+9x+7}\,dx$

61. $\int \frac{-x^3+14x^2-46x-7}{x^2-7x+1}\,dx$

62. $\int \frac{x}{x^2+81}\,dx$

63. $\int \frac{2}{4x^2+1}\,dx$

64. $\int \frac{1}{x\sqrt{4x^2-1}}\,dx$

65. $\int \frac{1}{\sqrt{16-9x^2}}\,dx$

66. $\int \frac{3x-2}{x^2-2x+10}\,dx$

67. $\int \frac{7-2x}{x^2+12x+61}\,dx$

68. $\int \frac{x^2+5x-2}{x^2-10x+32}\,dx$

69. $\int \frac{x^3}{x^2+9}\,dx$

70. $\int \frac{x^3-x}{x^2+4x+9}\,dx$

71. $\int \frac{\sin (x)}{\cos^2 (x)+1}\,dx$

72. $\int \frac{\cos (x)}{\sin^2 (x)+1}\,dx$

73. $\int \frac{\cos (x)}{1-\sin^2 (x)}\,dx$

74. $\int \frac{3x-3}{\sqrt{x^2-2x-6}}\,dx$

75. $\int \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}\,dx$

У вправах 76-83 оцініть певний інтеграл.

76. $\int_1^3 \frac{1}{x-5}\,dx$

77. $\int_2^6 x\sqrt{x-2}\,dx$

78. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 (x)\cos (x)\,dx$

79. $\int_0^1 2x (1-x^2)^4\,dx$

80. $\int_{-2}^{-1} (x+1)e^{x^2+2x+1}\,dx$

81. $\int_{-1}^1 \frac{1}{x+x^2}\,dx$

82. $\int_2^4 \frac{1}{x^2-6x+10}\,dx$

83. $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx$

6.2: Інтеграція частинами

Терміни та поняття

1. T/F: Інтеграція частинами корисна при оцінці integrands, які містять продукти функції.

2. T/F: Інтеграція частинами може розглядатися як «протилежність правилу ланцюга».

3. Для чого корисний «ЛІАТ»?

Проблеми

У вправах 4-33 оцініть заданий невизначений інтеграл.

4. $\int x\sin x\,dx$

5. $\int xe^{-x}\,dx$

6. $\int x^2\sin x\,dx$

7. $\int x^3\sin x\,dx$

8. $\int xe^{x^2}\,dx$

9. $\int x^3e^x\,dx$

10. $\int xe^{-2x}\,dx$

11. $\int e^x \sin x\,dx$

12. $\int e^{2x}\cos x\,dx$

13. $\int e^{2x}\sin (3x)\,dx$

14. $\int e^{5x}\cos (5x)\,dx$

15. $\int \sin x \cos x\,dx$

16. $\int \sin^{-1} x\,dx$

17. $\int \tan^{-1} (2x)\,dx$

18. $\int x\tan^{-1} x\,dx$

19. $\int \sin^{-1} x\,dx$

20. $\int x\ln x\,dx$

21. $\int (x-2)\ln x\,dx$

22. $\int x\ln (x-1)\,dx$

23. $\int x\ln (x^2)\,dx$

24. $\int x^2 \ln x\,dx$

25. $\int (\ln x)^2\,dx$

26. $\int (\ln (x+1))^2\,dx$

27. $\int x\sec^2 x\,dx$

28. $\int x\csc^2 x\,dx$

29. $\int x\sqrt{x-2}\,dx$

30. $\int x\sqrt{x^2-2}\,dx$

31. $\int \sec x \tan x\,dx$

32. $\int x\sec x \tan x\,dx$

33. $\int x\csc x \cot x\,dx$

У вправах 34-38 оцініть невизначений інтеграл після першого внесення заміни.

34. $\int \sin (\ln x)\,dx$

35. $\int \sin (\sqrt{x})\,dx$

36. $\int \ln (\sqrt{x})\,dx$

37. $\int e^{\sqrt{x}}\,dx$

38. $\int e^{\ln x}\,dx$

У вправах 39-47 оцініть певний інтеграл. Примітка: відповідні невизначені інтеграли з'являються у Вправи 4-12.

39. $\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$

40. $\int_{-1}^1 xe^{-x}\,dx$

41. $\int_{-\pi/4}{^\pi/4} x^2\sin x\,dx$

42. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^3\sin x\,dx$

43. $\int_0^{\sqrt{\ln 2}} xe^{x^2}\,dx$

44. $\int_0^1 x^3e^x\,dx$

45. $\int_1^2 xe^{-2x}\,dx$

46. $\int_0^{\pi} e^x \sin x\,dx$

47. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} e^{2x}\cos x\,dx$

6.3: Тригонометричні інтеграли

Терміни та поняття

1. T/F:$\int \sin^2 (x) \cos^2 x \,dx$ не можна оцінити за допомогою методів, описаних у цьому розділі, оскільки обидві повноваження$\sin x$ та$\cos x$ рівні.

2. T/F:$\sin^3 x \cos^3 x \,dx$ не може бути оцінений за допомогою методів, описаних у цьому розділі, оскільки обидві сили$\sin x\text{ and }\cos x$ непарні.

3. T/F: У цьому розділі розглядається, як оцінити невизначені інтеграли, такі як$\int \sin^5 x \tan^3 x\,dx$.

Проблеми

У вправах 4-26 оцініть невизначений інтеграл.

4. $\int \sin x \cos^4 x\,dx$

5. $\int \sin^3 x \cos x\,dx$

6. $\int \sin^3 x \cos^2 x\,dx$

7. $\int \sin^3 x \cos^3 x\,dx$

8. $\int \sin^6 x \cos^5 x\,dx$

9. $\int \sin^2 x \cos^7 x\,dx$

10. $\int \sin^2 x \cos^2 x\,dx$

11. $\int \sin (5x) \cos (3x)\,dx$

12. $\int \sin (x) \cos (2x)\,dx$

13. $\int \sin (3x) \sin (7x)\,dx$

14. $\int \sin (\pi x) \sin (2\pi x)\,dx$

15. $\int \cos (x) \cos (2x)\,dx$

16. $\int \cos \left (\frac{\pi}{2}x\right ) \cos (\pi x)\,dx$

17. $\int \tan^4 x \sec^2 x\,dx$

18. $\int \tan^2 x \sec^4 x\,dx$

19. $\int \tan^3 x \sec^4 x\,dx$

20. $\int \tan^3 x \sec^2 x\,dx$

21. $\int \tan^3 x \sec^3 x\,dx$

22. $\int \tan^5 x \sec^5 x\,dx$

23. $\int \tan^4 (x)\,dx$

24. $\int \sec^5 x\,dx$

25. $\int \tan^2 x \sec x\,dx$

26. $\int \tan^2 x \sec^3 x\,dx$

У вправах 27-33 оцініть певний інтеграл. Примітка: відповідні невизначені інтеграли з'являються в попередньому наборі.

27. $\int_{0}^{\pi}\sin x \cos^4 x \,dx$

28. $\int_{-\pi}^{\pi}\sin^3 x \cos x \,dx$

29. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^7 x \,dx$

30. $\int_{0}^{\pi/2} \sin (5x) \cos (3x) \,dx$

31. $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos (x) \cos (2x) \,dx$

32. $\int_{0}^{\pi/4} \tan^4 x \sec^2 x \,dx$

33. $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2 x \sec^4 x \,dx$

6.4: Тригонометрична заміна

Терміни та поняття

1. Тригонометрична заміщення працює за тими ж принципами, що і Інтеграція заміщенням, хоча може відчувати себе «_____».

2. Якщо використовується тригонометрична заміна на цілогранд$\sqrt{25-x^2}$, що містить, то слід встановити x = ______.

3. Розглянемо Піфагорійську ідентичність$\sin^2 \theta +\cos^2 \theta =1$.
(а) Яку ідентичність отримують, коли обидві сторони розділені на$\cos^2 \theta$?
(b) Використовуйте нову ідентифікацію для спрощення$9\tan^2 \theta +9$.

4. Чому Key Idea 13 (a) стверджує$\sqrt{a^2-x^2} = a\cos \theta$, що, а ні$|a \cos \theta |$?

Проблеми

У вправах 5-16 застосуйте тригонометричну підстановку для оцінки невизначені інтеграли.

5. $\int \sqrt{x^2+1}\,dx$

6. $\int \sqrt{x^2+4}\,dx$

7. $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$

8. $\int \sqrt{9-x^2}\,dx$

9. $\int \sqrt{x^2-1}\,dx$

10. $\int \sqrt{x^2-16}\,dx$

11. $\int \sqrt{4x^2+1}\,dx$

12. $\int \sqrt{1-9x^2}\,dx$

13. $\int \sqrt{16x^2-1}\,dx$

14. $\int \frac{3}{\sqrt{x^2+2}}\,dx$

15. $\int \frac{3}{\sqrt{7-x^2}}\,dx$

16. $\int \frac{5}{\sqrt{x^2-8}}\,dx$

У вправах 17-26 оцініть невизначені інтеграли. Деякі можуть бути оцінені без тригонометричної заміни.

17. $\int \frac{\sqrt{x^2-11}}{x}\,dx$

18. $\int \frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx$

19. $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-3}}\,dx$

20. $\int x^2 \sqrt{1-x^2}\,dx$

21. $\int \frac{x}{(x^2+0)^{3/2}}\,dx$

22. $\int \frac{5x^2}{\sqrt{x^2-10}}\,dx$

23. $\int \frac{1}{(x^2+4x+13)^2}\,dx$

24. $\int x^2(1-x^2)^{-3/2}\,dx$

25. $\int \frac{\sqrt{5-x^2}}{7x^2}\,dx$

26. $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}\,dx$

У Вправах 27-32 оцінюють певні інтеграли, зробивши правильну тригонометричну підстановку та змінюючи межі інтеграції. (Примітка: кожен з відповідних невизначений інтегралів раніше з'явився у наборі вправ.)

27. $\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2} \,dx$

28. $\int_{4}^{8}\sqrt{x^2-16} \,dx$

29. $\int_{0}^{2}\sqrt{x^2+4} \,dx$

30. $\int_{-1}^{1} \frac{1}{(x^2+1)^2} \,dx$

31. $\int_{-1}^{1} \sqrt{9x^2} \,dx$

32. $\int_{-1}^{1}x^2\sqrt{1-x^2} \,dx$

6.5 Розкладання часткового дробу

Терміни та поняття

1. Заповніть бланк: Розкладання часткового дробу - це метод перезапису _____ функцій.

2. T/F: Іноді необхідно використовувати поліноміальне ділення перед використанням розкладання часткового дробу.

3. Розкладіть$\frac{1}{x^2-3x}$ без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

4. Розкладіть$\frac{7-x}{x^2-9}$ без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

5. Розкладіть$\frac{x-3}{x^2-7}$ без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

6. Розкладіть$\frac{2x+5}{x^3+7x}$ без розв'язування коефіцієнтів, як це зроблено в прикладі 181.

Проблеми

У вправах 7-25 оцініть невизначений інтеграл.

7. $\int \frac{7x+7}{x^2+3x-10}\,dx$

8. $\int \frac{7x-2}{x^2+x}\,dx$

9. $\int \frac{-4}{3x^2-12}\,dx$

10. $\int \frac{x+7}{(x+5)^2}\,dx$

11. $\int \frac{-3x-20}{(x+8)^2}\,dx$

12. $\int \frac{9x^2+11x+7}{x(x+1)^2}\,dx$

13. $\int \frac{-12x^2-x+33}{(x-1)(x+3)(3-2x)}\,dx$

14. $\int \frac{94x^2-10x}{(7x+3)(5x-1)(3x-1)}\,dx$

15. $\int \frac{x^2+2+1}{x^2+x-2}\,dx$

16. $\int \frac{x^3}{x^2-2x-20}\,dx$

17. $\int \frac{2x^2-4x+6}{x^2-2x+3}\,dx$

18. $\int \frac{1}{x^2+3x^2+3x}\,dx$

19. $\int \frac{x^2+x+5}{x^2+4x+10}\,dx$

20. $\int \frac{12x^2+21x+3}{(x+1)(3x^2+5x-1)}\,dx$

21. $\int \frac{6x^2+8x-4}{(x-3)(x^2+6x+10)}\,dx$

22. $\int \frac{2x^2+x+1}{(x+1)(x^2+9)}\,dx$

23. $\int \frac{x^2-20x-69}{(x-7)(x^2+2x+17)}\,dx$

24. $\int \frac{9x^2-60x+33}{(x-9)(x^2-2x+11)}\,dx$

25. $\int \frac{6x^2+45x+121}{(x+2)(x^2+10x+27)}\,dx$

У вправах 26-29 оцініть певний інтеграл.

26. $\int_{1}^{2} \frac{8x+21}{(x+2)(x+3)} \,dx$

27. $\int_{0}^{5} \frac{14x+6}{(3x+2)(x+4)} \,dx$

28. $\int_{-1}^{1} \frac{x^2+5x-5}{(x-10)(x^2+4x+5)} \,dx$

29. $\int_{0}^{1} \frac{x}{(x+1)(x^2+2x+1)} \,dx$

6.6: Гіперболічні функції

Терміни та поняття

1. У Key Idea 16 наведено$\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C$ рівняння. Чому "$\ln |\cosh x|$" не використовується - тобто чому абсолютні значення не потрібні?

2. Гіперболічні функції використовуються для визначення точок на правій частині гіперболи$x^2-y^2=1$, як показано на малюнку 6.13. Як ми можемо використовувати гіперболічні функції для визначення точок на лівій частині гіперболи?

Проблеми

У вправах 3-10 перевірте задану особистість за допомогою визначення 23, як це зроблено в прикладі 186.

3. $\coth^2 x-\text{csch }^2 x=1$

4. $\cosh 2x = \cosh^2 x+\sinh^2 x$

5. $\cosh^2 x = \frac{\cosh 2x+1}{2}$

6. $\sinh^2 x = \frac{\cosh 2x-1}{2}$

7. $\frac{d}{dx} [\text{sech } x] = -\text{sech } x \tanh x$

8. $\frac{d}{dx} [\coth x] = -\text{sech } x \tanh x$

9. $\int \tanh x\,dx = \ln (\cosh x)+C$

10. $\int \coth x\,dx = \ln |\sinh x|+C$

У вправах 11-21 знайдіть похідну заданої функції.

11. $f(x) = \cosh 2x$

12. $f(x) = \tanh (x^2)$

13. $f(x) = \ln (\sinh x)$

14. $f(x) = \sinh x\cosh x$

15. $f(x) = x\sinh x -\cosh x$

16. $f(x) = \text{sech }^{-1}(x^2)$

17. $f(x) = \sinh^{-1}(3x)$

18. $f(x) = \cosh^{-1}(2x^2)$

19. $f(x) = \tanh^{-1}(x+5)$

20. $f(x) = \tanh^{-1} (\cos x)$

21. $f(x) = \cosh^{-1} (\sec x)$

У вправах 22-26 знайти рівняння прямої дотичної до функції при заданому значенні x.

22. $f(x) = \sinh x\text{ at }x=0$

23. $f(x) = \cosh x\text{ at }x=\ln 2$

24. $f(x) = \text{sech }^2 x\text{ at }x=\ln3$

25. $f(x) = \sinh^{-1} x\text{ at }x=0$

26. $f(x) = \cosh^{-1} x\text{ at }x=\sqrt{2}$

У вправах 27-40 оцініть даний невизначений інтеграл.

27. $\int \tanh (2x)\,dx$

28. $\int \cosh (3x-7) \,dx$

29. $\int \sinh x \cosh x\,dx$

30. $\int x\cosh x \,dx$

31. $\int x\sinh x\,dx$

32. $\int \frac{1}{9-x^2}\,dx$

33. $\int \frac{2x}{\sqrt{x^4-4}}\,dx$

34. $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^3}}\,dx$

35. $\int \frac{1}{x^2-16}\,dx$

36. $\int \frac{1}{x^2+x}\,dx$

37. $\int \frac{e^x}{x^{2x}+1}\,dx$

38. $\int \sinh^{-1} x\,dx$

39. $\int \tanh^{-1}x\,dx$

40. $\int \text{sech } x\,dx$(Підказка: помножити на$\frac{\cosh x}{\cosh x}$; набір$u=\sinh x$.)

У вправах 41-43 оцініть заданий певний інтеграл.

41. $\int_{-1}^{1}\sinh x\,dx$

42. $\int_{-\ln 2}^{\ln 2}\cosh x\,dx$

43. $\int_{0}^1 \tanh^{-1}x\,dx$.

6.7: Правило L'Hopital

Терміни та поняття

1. Перерахуйте різні невизначені форми, описані в цьому розділі.

2. T/F: Правило L'hopital забезпечує більш швидкий метод обчислення похідних.

3. T/F: Правило лікарні стверджує, що$\frac{d}{dx} \left ( \frac{f(x)}{g(x)}\right ) = \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

4. Поясніть, що означає невизначена форма$1^{\infty}$ «».

5. Заповніть пропуски» Правило частки застосовується$\frac{f(x)}{g(x)}$ при прийомі _____; Правило l'hopital застосовується при прийнятті певного_______.

6. Створіть (але не оцінюйте) ліміт, який повертає "$\infty^0$».

7. Створіть$f(x)$ таку функцію, яка$\lim\limits_{x\to1}f(x)$ повертає "$0^0$».

Проблеми

У вправах 8-52 оцініть заданий ліміт.

8. $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{x-1}$

9. $\lim\limits_{x\to 2}\frac{x^2+x-6}{x^2-7x+10}$

10. $\lim\limits_{x\to \pi} \frac{\sin x}{x-\pi}$

11. $\lim\limits_{x\to\pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\cos (2x)}$

12. $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin (5x)}{x}$

13. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{x+2}$

14. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (2x)}{\sin (3x)}$

15. $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin (ax)}{\sin (bx)}$

16. $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-1}{x^2}$

17. $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{e^x-x-1}{x^2}$

18. $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{x-\sin x}{x^3-x^2}$

19. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x^4}{e^x}$

20. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x}$

21. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{\sqrt{x}}$

22. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{e^x}{2^x}$

23. $\lim\limits_{x\to \infty}\frac{e^x}{3^x}$

24. $\lim\limits_{x\to 3} \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x^3-7x^2+15x-9}$

25. $\lim\limits_{x\to -2}\frac{x^3+4x^2+4x}{x^3+7x^2+16x+12}$

26. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x}$

27. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\ln (x^2)}{x}$

28. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{\left ( \ln x\right )^2}{x}$

29. $\lim\limits_{x\to 0^+}x\cdot \ln x$

30. $\lim\limits_{x\to 0^+}\sqrt{x}\cdot \ln x$

31. $\lim\limits_{x\to 0^+} xe^{1/x}$

32. $\lim\limits_{x\to \infty} x^3-x^2$

33. $\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{x}-\ln x$

34. $\lim\limits_{x\to -\infty} xe^x$

35. $\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}e^{-1/x}$

36. $\lim\limits_{x\to 0^+} (1+x)^{1/x}$

37. $\lim\limits_{x\to 0+} (2x)^x$

38. $\lim\limits_{x\to 0^+} (2/x)^x$

39. $\lim\limits_{x\to 0^+} (\sin x)^x$Підказка: використовуйте теорему про стискання.

40. $\lim\limits_{x\to 1^+} (1-x)^{1-x}$

41. $\lim\limits_{x\to \infty} (x)^{1/x}$

42. $\lim\limits_{x\to \infty} (1/x)^x$

43. $\lim\limits_{x\to 1^1} (\ln x)^{1-x}$

44. $\lim\limits_{x\to \infty} (1+x)^{1/x}$

45. $\lim\limits_{x\to \infty}(1+x^2)^{1/x}$

46. $\lim\limits_{x\to \pi/2} \tan x \cos x$

47. $\lim\limits_{x\to \pi /2} \tan x \sin (2x)$

48. $\lim\limits_{x\to 1^+} \frac{1}{\ln x}-\frac{1}{1-x}$

49. $\lim\limits_{x\to 3^+} \frac{5}{x^2-9}-\frac{x}{x-3}$

50. $\lim\limits_{x\to \infty}x\tan (1/x)$

51. $\lim\limits_{x\to \infty} \frac{(\ln x)^3}{x}$

52. $\lim\limits_{x\to 1}\frac{x^2+x-2}{\ln x}$

6.8: Неправильна інтеграція

Терміни та поняття

1. Визначено певний інтеграл з якими двома умовами?

2. Якщо$\lim\limits_{b\to \infty}\int_0^b f(x)\,dx$ існує, то інтеграл$\int_0^{\infty}f(x)\,dx$ вважається __________.

3. Якщо$\int_1^{\infty} f(x)\,dx=10,\text{ and }0\le g(x)\le f(x)$ для всіх х, то ми знаємо, що$\int_1^{\infty}g(x)\,dx$ ______.

4. Для яких значень p будуть$\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ сходитися?

5. Для яких значень p будуть$\int_{10}^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ сходитися?

6. Для яких значень p будуть$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}\,dx$ сходитися?

Проблеми

У вправах 7-33 оцініть даний неправильний інтеграл.

7. $\int_0^{\infty}e^{5-2x}\,dx$

8. $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^3} \,dx$

9. $\int_{1}^{\infty}x^{-4} \,dx$

10. $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{x^2+9} \,dx$

11. $\int_{-\infty}^{0}2^x \,dx$

12. $\int_{-\infty}^{0}\left ( \frac{1}{2}\right )^x \,dx$

13. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+1} \,dx$

14. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+4} \,dx$

15. $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx$

16. $\int_{1}^{2} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx$

17. $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x-1} \,dx$

18. $\int_{1}^{2}\frac{1}{x-1} \,dx$

19. $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x} \,dx$

20. $\int_{1}^{3}\frac{1}{x-2} \,dx$

21. $\int_{0}^{\pi} \sec^2 x \,dx$

22. $\int_{-2}^{1} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \,dx$

23. $\int_{0}^{\infty}xe^{-x} \,dx$

24. $\int_{0}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx$

25. $\int_{-\infty}^{\infty}xe^{-x^2} \,dx$

26. $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{e^x+e^{-x}} \,dx$

27. $\int_{0}^{1}x\ln x \,dx$

28. $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x} \,dx$

29. $\int_{0}^{1}\ln x \,dx$

30. $\int_{1}^{\infty} \frac{\ln x}{x^2} \,dx$

31. $\int_{1}^{\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \,dx$

32. $\int_{0}^{\infty}e^{-x}\sin x \,dx$

33. $\int_{0}^{\infty} e^{-x}\cos x \,dx$

У вправах 34-43 використовуйте тест прямого порівняння або тест на порівняння границь, щоб визначити, чи збігається чи розходиться даний певний інтеграл. Чітко вказати, який тест використовується і з якою функцією порівнюється integrand.

34. $\int_{10}^{\infty}\frac{3}{\sqrt{3x^2+2x-5}} \,dx$

35. $\int_{2}^{\infty} \frac{4}{\sqrt{7x^3-x}} \,dx$

36. $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^3-x^2+x+1}} \,dx$

37. $\int_{1}^{\infty} e^{-x}\ln x \,dx$

38. $\int_{5}^{\infty} e^{-x^2+3x-1} \,dx$

39. $\int_{0}^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{e^x} \,dx$

40. $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x^2+\sin x} \,dx$

41. $\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^2+\cos x} \,dx$

42. $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x+e^x} \,dx$

43. $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{e^x-x} \,dx$