6.5: Розкладання часткової фракції

У цьому розділі досліджуються антипохідні раціональних функцій. Нагадаємо, що раціональні функції - це функції виду$f(x)= \frac{p(x)}{q(x)}$, де$p(x)$ і$q(x)$ є поліномами і$q(x)\neq 0$. Такі функції виникають у багатьох контекстах, одним з яких є розв'язування певних фундаментальних диференціальних рівнянь.

Почнемо з прикладу, який демонструє мотивацію цього розділу. Розглянемо інтеграл$\int \frac{1}{x^2-1}\ dx$. У нас немає простої формули для цього (якби знаменник був$x^2+1$, ми б визнали антипохідну як функцію арктангенса). Це можна вирішити за допомогою тригонометричної підстановки, але зверніть увагу, як інтеграл легко оцінити, як тільки ми зрозуміємо:

$\ гідророзриву {1} {x^2-1} =\ гідророзриву {1/2} {x-1} -\ гідророзриву {1/2} {x+1}.\]

Таким чином

$$\begin{align}\int\frac{1}{x^2-1}\ dx &= \int\frac{1/2}{x-1}\ dx - \int\frac{1/2}{x+1}\ dx \\ &= \frac12\ln|x-1| - \frac12\ln|x+1| + C.\end{align}$$

Цей розділ вчить, як розкладати

$\ розрив {1} {x^2-1}\ квад\ текст {в}\ квад\ гідророзрив {1/2} {x-1} -\ гідророзриву {1/2} {x+1}.\]

Почнемо з раціональної функції$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, де$p$ і$q$ не мають якихось загальних$p$ факторів і ступінь менше ступеня$q$. Можна показати, що будь-який многочлен, а отже$q$, може бути врахований у добуток лінійних і нескорочуваних квадратичних членів. Наступна Ключова ідея стверджує, як розкласти раціональну функцію на суму раціональних функцій, знаменники яких мають нижчий ступінь, ніж$q$.

Ключова ідея 15: Розкладання часткових дробів

$\frac{p(x)}{q(x)}$Дозволяти бути раціональною функцією, де ступінь менше ступеня$q$.$p$

1. Лінійні терміни: Дозвольте$(x-a)$ ділити$q(x)$, де$(x-a)^n$ найвища сила$(x-a)$, що ділить$q(x)$. Тоді розкладання$\frac{p(x)}{q(x)}$ буде містити суму $$\ frac {A_1} {(x-a)} +\ frac {A_2} {(x-a) ^2} +\ cdots +\ frac {a_n} {(x-a) ^n} .$$
2. Квадратичні терміни: Нехай$x^2+bx+c$ розділити$q(x)$,$(x^2+bx+c)^n$ де найвища сила$x^2+bx+c$, що ділить$q(x)$. Тоді розкладання$\frac{p(x)}{q(x)}$ буде містити суму $$\ frac {B_1x+C_1} {x^2+bx+c} +\ frac {B_2x+C_2} {(x^2+bx+c) ^2} +\ cdots+\ frac {B_nx+C_n} {(x^2+bx+c) ^n} .$$

Щоб знайти коефіцієнти$A_i$,$B_i$ і$C_i$:

1. Помножте всі дроби на$q(x)$, очистивши знаменники. Збирайте подібні терміни.
2. Зрівняти отримані коефіцієнти степенів$x$ і вирішити отриману систему лінійних рівнянь.

Наступні приклади продемонструють, як реалізувати цю Ключову Ідею на практиці. У прикладі$\PageIndex{1}$ підкреслюється аспект розкладання Ключової ідеї.

Приклад$\PageIndex{1}$: Decomposing into partial fractions

Розкладаємо$f(x)=\frac{1}{(x+5)(x-2)^3(x^2+x+2)(x^2+x+7)^2}$ без розв'язування для отриманих коефіцієнтів.

Рішення

Знаменник вже врахований, оскільки обидва$x^2+x+2$ і$x^2+x+7$ не можуть бути враховані далі. Нам потрібно$f(x)$ правильно розкласти. Оскільки$(x+5)$ є лінійним терміном, який ділить знаменник, то буде

$\ гідророзриву {A} {x+5}\]

термін в розкладанні.

Як$(x-2)^3$ ділить знаменник, у нас будуть наступні члени в розкладанні:

$\ гідророзриву {B} {x-2},\ квад\ гідророзриву {C} {(x-2) ^2}\ квад\ текст {і}\ квад\ розрив {D} {(x-2) ^3}.\]

$x^2+x+2$Термін в знаменнику призводить до$\frac{Ex+F}{x^2+x+2}$ терміну.

Нарешті,$(x^2+x+7)^2$ термін призводить до термінів

$\ розрив {Gx+H} {x^2+x+7}\ квад\ текст {і}\ квад\ розрив {Ix+J} {(x^2+x+7) ^2}.\]

Всі разом ми маємо

$$\begin{align} \frac{1}{(x+5)(x-2)^3(x^2+x+2)(x^2+x+7)^2} &= \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-2}+ \frac{C}{(x-2)^2}+\frac{D}{(x-2)^3}+ \\ & \frac{Ex+F}{x^2+x+2}+\frac{Gx+H}{x^2+x+7}+\frac{Ix+J}{(x^2+x+7)^2} \end{align}$$

Рішення для коефіцієнтів$A$,$B \ldots J$ було б трохи нудно, але не «важко».

Приклад$\PageIndex{2}$: Decomposing into partial fractions

Виконати розкладання часткової фракції$\frac{1}{x^2-1}$.

Рішення

Знаменник множник на два лінійні члени:$x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Таким чином

$\ гідророзриву {1} {x^2-1} =\ гідророзриву {A} {x-1} +\ гідророзриву {B} {x+1}.\]

Щоб вирішити для$A$ і$B$, спочатку помножте на$x^2-1 = (x-1)(x+1)$:

$$\begin{align}1 &= \frac{A(x-1)(x+1)}{x-1}+\frac{B(x-1)(x+1)}{x+1} \\ &= A(x+1) + B(x-1)\\ &= Ax+A + Bx-B\end{align}$$

Тепер збирайте подібні терміни.

$$= (A+B)x + (A-B).$$

Наступний крок - ключовий. Зверніть увагу на рівність, яку ми маємо:

$$1 = (A+B)x+(A-B).$$

Для наочності перепишіть ліву сторону як

$$0x+1 = (A+B)x+(A-B).$$

Зліва коефіцієнт$x$ терміна дорівнює 0; праворуч - він$(A+B)$. Оскільки обидві сторони рівні, ми повинні мати це$0=A+B$.

Так само ліворуч ми маємо постійний член 1; праворуч постійний термін є$(A-B)$. Тому у нас є$1=A-B$.

У нас є два лінійних рівняння з двома невідомими. Це легко вирішити вручну, що призводить до

$\ begin {масив} {c} A+B = 0\\ A-B = 1\ кінець {масив}\ Rightarrow\ begin {масив} {c} A=1/2\\ B = -1/2\ end {масив}. $$Таким чином$$ \ гідророзриву {1} {x^2-1} =\ розрив {1/2} {x-1} -\ гідророзриву {1/2} {x+1}.\]

Приклад$\PageIndex{3}$: Integrating using partial fractions

Використовуйте розкладання часткових дробів для інтеграції$\int\frac{1}{(x-1)(x+2)^2}\ dx.$

Рішення

Розкладаємо цілісність наступним чином, як описано Key Idea 15:

$\ гідророзрив {1} {(x-1) (x+2) ^2} =\ гідророзриву {A} {x-1} +\ гідророзриву {B} {x+2} +\ гідророзриву {C} {(x+2) ^2}.\]

Щоб вирішити для$A$,$B$ і$C$, ми множимо обидві сторони на$(x-1)(x+2)^2$ і збираємо подібні терміни:

$$\begin{align}1 &= A(x+2)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x-1)\\ &= Ax^2+4Ax+4A + Bx^2 + Bx-2B + Cx-C \\ &= (A+B)x^2 + (4A+B+C)x + (4A-2B-C)\end{align}$$

Примітка: Рівняння$\PageIndex{22}$ пропонує прямий шлях до знаходження значень$A$,$B$ і$C$. Так як рівняння тримає для всіх значень$x$, він тримається, зокрема, коли$x=1$. Однак, коли$x=1$, права сторона спрощує$A(1+2)^2 = 9A$. Так як ліва сторона все ще 1, у нас є$1 = 9A$. Звідси$A = 1/9$.

Так само рівність тримається коли$x=-2$; це призводить до рівняння$1=-3C$. Таким чином$C = -1/3$.

Знаючи$A$ і$C$, ми можемо знайти значення,$B$ вибравши ще одне значення$x$, наприклад$x=0$, і вирішуючи для$B$.

У нас є

$ 0x^2+0x+ 1 = (А+Б) х ^ 2 + (4А+В+С) х + (4А-2В-С)\]

що веде до рівнянь

$ $A+B = 0,\ квадроцикл 4A+B+C = 0\ квад\ текст {і}\ квад 4A-2B-C = 1.\]

Ці три рівняння з трьох невідомих призводять до унікального рішення:

$ $ A = 1/9,\ квадрад B = -1/9\ квад\ текст {і}\ квад C = -1/3.\]

Таким чином

$\ int\ розрив {1} {(x-1) (x+2) ^2}\ dx =\ int\ гідророзриву {1/9} {x-1}\ dx +\ int\ розрив {-1/9} {x+2}\ dx +\ int\ розрив {-1/3} {(x+2) ^2}\ dx.\]

Кожен може бути інтегрований з простою заміною з$u=x-1$ або$u=x+2$ (або шляхом безпосереднього застосування Key Idea 10, оскільки знаменники є лінійними функціями). Кінцевий результат

$\ int\ гідророзриву {1} {(x-1) (x+2) ^2}\ dx =\ frac19\ ln|х-1| -\ frac19\ ln|x+2| +\ frac1 {3 (x+2)} +C.\]

Приклад$\PageIndex{4}$: Integrating using partial fractions

Використовуйте розкладання часткового дробу для інтеграції$\int \frac{x^3}{(x-5)(x+3)}\ dx$.

Рішення

Ключова ідея 15 передбачає, що ступінь чисельника менше ступеня знаменника. Оскільки це не так, ми починаємо з використання поліноміального ділення, щоб зменшити ступінь чисельника. Ми опускаємо кроки, але заохочуємо читача перевірити це

$\ розрив {x^3} {(x-5) (x+3)} = х+2+\ розрив {19x+30} {(x-5) (х+3)}.\]

Використовуючи Key Idea 15, ми можемо переписати нову раціональну функцію як:

$\ гідророзрив {19x+30} {(x-5) (x+3)} =\ розрив {A} {x-5} +\ гідророзриву {B} {x+3}\]

для відповідних значень$A$ і$B$. Очищаючи знаменники, ми маємо

Примітка: Значення$A$ і$B$ можна швидко знайти за допомогою методики, описаної в полі Прикладу$\PageIndex{3}$.}

$$\begin{align}19x+30 &= A(x+3) + B(x-5)\\ &= (A+B)x + (3A-5B). \end{align}$$

З цього випливає, що:

$$\begin{align} 19&= A+B \\30&= 3A-5B.\\ \end{align}$$

Розв'язування цієї системи лінійних рівнянь дає

$$\begin{align} 125/8 &=A\\27/8 &=B. \end{align}$$

Тепер ми можемо інтегруватися.

$$\begin{align}\int \frac{x^3}{(x-5)(x+3)}\ dx &= \int\left(x+2+\frac{125/8}{x-5}+\frac{27/8}{x+3}\right)\ dx \\ &= \frac{x^2}2 + 2x + \frac{125}{8}\ln|x-5| + \frac{27}8\ln|x+3| + C.\end{align}$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Integrating using partial fractions

Використовуйте розкладання часткового дробу для оцінки$\int\frac{7x^2+31x+54}{(x+1)(x^2+6x+11)}\ dx.$

Рішення

Ступінь чисельника менше ступеня знаменника, тому ми починаємо з застосування Key Idea 15. У нас є:

$$\frac{7x^2+31x+54}{(x+1)(x^2+6x+11)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2+6x+11}.$$

Тепер очистіть знаменники.

$$\begin{align} 7x^2+31x+54 &= A(x^2+6x+11) + (Bx+C)(x+1)\\ &= (A+B)x^2 + (6A+B+C)x + (11A+C). \end{align}$$
З цього випливає, що:

$$\begin{align} 7&=A+B\\ 31 &= 6A+B+C\\ 54 &= 11A+C. \end{align}$$

Розв'язування цієї системи лінійних рівнянь дає приємний результат$A=5$,$B = 2$ і$C=-1$. Таким чином

$\ int\ розрив {7x^2+31x+54} {(x+1) (x^2+6x+11)}\ dx =\ int\ ліворуч (\ розрив {5} {x+1} +\ frac {2x-1} {х ^2+6x+11}\ праворуч)\ dx.\]

Перший термін цього нового цілісності легко оцінити; це призводить до$5\ln|x+1|$ терміну. Другий термін не складний, але робить кілька кроків і використовує методи заміщення.

Ціле$\frac{2x-1}{x^2+6x+11}$ число має квадратичну в знаменнику і лінійний член в чисельнику. Це змушує нас спробувати підміну. Нехай$u = x^2+6x+11$, так$du = (2x+6)\ dx$. Чисельник є$2x-1$, немає$2x+6$, але ми можемо отримати$2x+6$ член в чисельнику, додавши 0 у вигляді "$7-7$.»

$$\begin{align} \frac{2x-1}{x^2+6x+11} &= \frac{2x-1+7-7}{x^2+6x+11} \\ &= \frac{2x+6}{x^2+6x+11} - \frac{7}{x^2+6x+11}.\end{align}$$

Тепер ми можемо інтегрувати перший термін із заміною, що призводить до$\ln|x^2+6x+11|$ терміну. Заключний термін може бути інтегрований за допомогою арктангенса. Спочатку заповніть квадрат в знаменнику:

$\ гідророзриву {7} {x^2+6x+11} =\ гідророзриву {7} {(x+3) ^2+2}.\]

Антипохідне останнього терміна можна знайти за допомогою теореми 6.1.3 і підстановки:

$\ int\ frac {7} {x^2+6x+11}\ dx =\ frac {7} {\ sqrt {2}}\ tan^ {-1}\ ліворуч (\ frac {x+3} {\ sqrt {2}}\ праворуч) +C.\]

Давайте почнемо спочатку і складемо всі кроки разом.

$$\begin{align}\int\frac{7x^2+31x+54}{(x+1)(x^2+6x+11)}\ dx &= \int\left(\frac{5}{x+1} + \frac{2x-1}{x^2+6x+11}\right)\ dx \\ &= \int\frac{5}{x+1}\ dx + \int\frac{2x+6}{x^2+6x+11}\ dx -\int\frac{7}{x^2+6x+11}\ dx \\ &= 5\ln|x+1|+ \ln|x^2+6x+11| -\frac{7}{\sqrt{2}}\tan^{-1}\left(\frac{x+3}{\sqrt{2}}\right)+C.\end{align}$$

Як і у випадку з багатьма іншими проблемами в обчисленні, важливо пам'ятати, що не очікується «побачити» остаточну відповідь відразу після того, як побачити проблему. Швидше, з огляду на початкову проблему, ми розбиваємо її на більш дрібні проблеми, які легше вирішити. Остаточна відповідь - це поєднання відповідей менших проблем.

Розкладання часткових дробів є важливим інструментом при роботі з раціональними функціями. Зауважте, що в його основі це техніка алгебри, а не обчислення, оскільки ми переписуємо дріб в новому вигляді. Незважаючи на це, це дуже корисно в області числення, оскільки дозволяє оцінити певний набір «складних» інтегралів.

У наступному розділі представлені нові функції, які називаються гіперболічними функціями. Вони дозволять нам робити заміни, подібні до тих, що зустрічаються при вивченні тригонометричної заміщення, що дозволить нам наблизитися до ще більших проблем інтеграції.

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribApexCalc
• Template:ContribMarshall