5.E: Програми інтеграції (вправи)

5.1: Антипохідні та невизначена інтеграція

Терміни та поняття

1. Визначте термін «антидериватив» своїми словами

2. Чи точніше посилатися на «» антипохідне\(f(x)\) або «» антипохідне від\(f(x)\)?

3. Використовуйте власні слова, щоб визначити невизначений інтеграл\(f(x)\).

4. Заповніть пробіли: «Зворотні операції виконують ____ речі в _____ порядку».

5. Що таке «проблема початкового значення»?

6. Похідна функції позиції є _____ функцією.

7. Антипохідне функції прискорення є ______ функцією.

Проблеми

У вправах 8-26 оцініть даний невизначений інтеграл.

8. \(\int 3x^3 \,dx\)

9. \(\int x^8 \,dx\)

10. \(\int (10x^2-2) \,dx\)

11. \(\int \,dt\)

12. \(\int 1 \,ds\)

13. \(\int \frac{1}{3t^2}\, dt\)

14. \(\int \frac{1}{t^2}\, dt\)

15. \(\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx\)

16. \(\int \sec^2 \theta\, d\theta\)

17. \(\int \sin \theta\, d\theta\)

18. \(\int (\sec x \tan x +\csc x \cot x )\, dx\)

19. \(\int 5e^\theta\, d\theta\)

20. \(\int 3^t\, dt\)

21. \(\int \frac{5^t}{2}\, dt\)

22. \(\int (2t+3)^2\, dt\)

23. \(\int (t^2+3)(t^3-2t)\, dt\)

24. \(\int x^2x^3\, dx\)

25. \(\int e^\pi\, dx\)

26. \(\int a\, dx\)

27. Ця проблема досліджує, чому Теорема 35 стверджує, що\(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x|+C\).
(a) Що таке домен\(y=\ln x\)?
(б) Знайти\(\frac{d}{dx}(\ln x)\).
(c) Що таке домен\(y=\ln (-x)\)?
(г) Знайти\(\frac{d}{dx}\left ( (\ln (-x)\right )\).
(e) Ви повинні виявити, що\(1/x\) має два типи антипохідних, залежно від того чи\(x>0\) чи\(x<0\). В одному виразі дайте формулу,\(\int \frac{1}{x}\,dx\) яка враховує ці різні домени, і поясніть свою відповідь.

У вправах 28-38 знайти\(f(x)\) описану заданою задачею початкового значення.

28. \(f'(x)=\sin x\text{ and }f(0)=2\)

29. \(f'(x)=5e^x\text{ and }f(0)=10\)

30. \(f'(x)=4x^3-3x^2\text{ and }f(-1)=9\)

31. \(f'(x)=\sec^2 x\text{ and }f(\pi/4)=5\)

32. \(f'(x)=7^x\text{ and }f(2)=1\)

33. \(f''(x)=5\text{ and }f'(0)=7,f(0)=3\)

34. \(f''(x)=7x\text{ and }f'(1)=-1,f(1)=10\)

35. \(f''(x)=5e^x\text{ and }f'(0)=3,f(0)=5\)

36. \(f''(\theta)=\sin \theta \text{ and }f'(\pi)=2,f(\pi)=4\)

37. \(f''(x)=24x^2+2^x-\cos x \text{ and }f'(0)=5,f(0)=0\)

38. \(f''(x)=0\text{ and }f'(1)=3,f(1)=1\)

Рецензія

39. Використовуйте інформацію, отриману від першої та другої похідної, для ескізу\(f(x)=\frac{1}{e^x+1}\).

40. Дано\(y=x^2e^x\cos x\), знайдіть\(dy\).

5.2: Певний інтеграл

Терміни та поняття

1. Що таке «загальна підписана площа»?

2. Що таке «водотоннажність»?

3. Що таке\(\int_3^3 \sin x\,dx\)

4. Дайте єдиний певний інтеграл, який має таке ж значення, що і\(\int_0^1 (2x+3)\,dx +\int_1^2 (2x+3)\,dx\).

Проблеми

У вправах 5-9\(f(x)\) наведено графік функції. Використовуючи геометрію графа, оцініть певні інтеграли.

5.

(а)\(\int_0^1 (-2x+4)\,dx\)
(б)\(\int_0^2 (-2x+4)\,dx\)
(c)\(\int_0^3 (-2x+4)\,dx\)
(d)\(\int_1^3 (-2x+4)\,dx\)
(е)\(\int_2^4 (-2x+4)\,dx\)
(f)\(\int_0^1 (-6x+12)\,dx\)

6.

(а)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
(б)\(\int_0^3 f(x)\,dx\)
(c)\(\int_0^5 f(x)\,dx\)
(d)\(\int_2^5 f(x)\,dx\)
(е)\(\int_5^3 f(x)\,dx\)
(f)\(\int_0^3 f(x)\,dx\)

7.

(а)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
(б)\(\int_2^4 f(x)\,dx\)
(c)\(\int_2^4 2f(x)\,dx\)
(d)\(\int_0^1 4x\,dx\)
(е)\(\int_2^3 (2x-4)\,dx\)
(f)\(\int_2^3 (4x-8)\,dx\)

8.

(а)\(\int_0^1 (x-1)\,dx\)
(б)\(\int_0^2 (x-1)\,dx\)
(c)\(\int_0^3 (x-1)\,dx\)
(d)\(\int_2^3 (x-1)\,dx\)
(е)\(\int_1^4 (x-1)\,dx\)
(f)\(\int_1^4 \left ((x-1)+1\right )\,dx\)

9.

(а)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
(б)\(\int_2^4 f(x)\,dx\)
(с)\(\int_0^4 f(x)\,dx\)
(г)\(\int_0^4 5f(x)\,dx\)

У вправах 10-13\(f(x)\) наведено графік функції; числа всередині затінених областей дають площу цієї області. Оцініть певні інтеграли, використовуючи інформацію про цю область.

10.

(а)\(\int_0^1 f(x)\,dx\)
(б)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
(с)\(\int_0^3 f(x)\,dx\)
(г)\(\int_1^2 -3f(x)\,dx\)

11.

(а)\(\int_0^2 f(x)\, dx\)
(б)\(\int_2^4 f(x)\, dx\)
(с)\(\int_0^4 f(x)\, dx\)
(г)\(\int_0^1 f(x)\, dx\)

12.

(а)\(\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx\)
(б)\(\int_{1}^{2}f(x)\,dx\)
(с)\(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\)
(г)\(\int_{0}^{1}f(x)\,dx\)

13.

(а)\(\int_0^2 5x^2\,dx\)
(б)\(\int_0^2 (x^2+1)\,dx\)
(с)\(\int_1^3 (x-1)^2\,dx\)
(г)\(\int_2^4 \left ( (x-2)+5\right )\,dx\)

У вправах 14-15 наведено графік швидкісної функції об'єкта, що рухається по прямій. Відповідайте на питання, засновані на цьому графіку.

14.

(a) Яка максимальна швидкість об'єкта?
(b) Яке максимальне переміщення об'єкта?
(c) Яке загальне переміщення об'єкта на [0,3]?

15.

(a) Яка максимальна швидкість об'єкта?
(b) Яке максимальне переміщення об'єкта?
(c) Яке загальне переміщення об'єкта на [0,5]?

16. Об'єкт кидається прямо вгору зі швидкістю, в ft/s, задана\(v(t) = -32t+64\), де\(t\) знаходиться в секундах, з висоти 48 футів.
(a) Яка максимальна швидкість об'єкта?
(b) Яке максимальне переміщення об'єкта?
(c) Коли відбувається максимальне зміщення?
(d) Коли об'єкт досягне висоти 0? (Підказка: знайдіть, коли зміщення становить -48 футів.)

17. Об'єкт кидається прямо вгору зі швидкістю, в ft/s, задана\(v(t)=-32t+96\), де\(t\) секунди, з висоти 64 футів.
(а) Яка початкова швидкість об'єкта?
(b) Що таке зміщення об'єкта 0?
(c) Скільки часу потрібно, щоб об'єкт повернувся на початкову висоту?
(d) Коли об'єкт досягне висоти 210 футів?

У вправах 18-21, нехай

• \(\int_0^2 f(x) \,dx=5\),
• \(\int_0^3 f(x) \,dx=7\),
• \(\int_0^2 g(x) \,dx=-3\), і
• \(\int_2^3 g(x) \,dx=5\).

Використовуйте ці значення для оцінки заданих визначених інтегралів.

18. \(\int_0^2 \left ( f(x)+g(x)\right )\,dx\)

19. \(\int_0^3 \left ( f(x)-g(x)\right )\,dx\)

20. \(\int_2^3 \left ( 3f(x)+2g(x)\right )\,dx\)

21. Знайти значення для\(a\) і\(b\) такі, що
\(\int_0^3 \left ( af(x)+bg(x)\right )\,dx=0\)

У вправах 22-25 нехай

• \(\int_0^3 s(t)\,dt =10\),
• \(\int_3^5 s(t)\,dt =8\),
• \(\int_3^5 r(t)\,dt =-1\), і
• \(\int_0^5 r(t)\,dt =11\).

Використовуйте ці значення для оцінки заданих визначених інтегралів.

22. \(\int_0^3 \left ( s(t)+r(t)\right )\,dt\)

23. \(\int_5^0 \left ( s(t)-r(t)\right )\,dt\)

24. \(\int_3^3 \left ( \pi s(t)-7r(t)\right )\,dt\)

25. Знайти значення для a і b такі, що
\(\int_0^5 \left ( ar(t)+bs(t)\right )\,dt=0\)

Рецензія

У вправах 26-29 оцініть даний невизначений інтеграл.

26. \(\int (x^3-2x^2+7x-9)\,dx\)

27. \(\int (\sin x -\cos x +\sec^2 x)\,dx\)

28. \(\int (\sqrt[3]{t}+\frac{1}{t^2}+2^t)\,dt\)

29. \(\int \left ( \frac{1}{x} -\csc x \cot x \right )\,dx\)

5.3: Суми Рімана

Терміни та поняття

1. Фундаментальна методика обчислення полягає у використанні ________ для уточнення наближень, щоб отримати точну відповідь.

2. Що таке верхня межа при підсумовуванні\(\sum_{i=7}^{14} (48i-201)\)?

3. Цей розділ наближає певні інтеграли, використовуючи яку геометричну форму?

4. T/F: Сума, що використовує правило правої руки, є прикладом суми Рімана.

Проблеми

У вправах 5-11 випишіть кожен член підсумовування і обчислюйте суму.

5. \(\sum_{i=2}^4 i^2\)

6. \(\sum_{i=-1}^3 (4i-2)\)

7. \(\sum_{i=-2}^2 \sin (\pi i/2)\)

8. \(\sum_{i=1}^5 \frac{1}{i}\)

9. \(\sum_{i=1}^6 (-1)^i i\)

10. \(\sum_{i=1}^4 \left ( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right )\)

11. \(\sum_{i=0}^5 (-1)^i \cos (\pi i)\)

У вправах 12-15 запишіть кожну суму в підсумовувальних позначеннях.

12. \(3+6+9+12+15\)

13. \(-1+0+3+8+15+24+35+48+63\)

14. \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\)

15. \(1-e+e^2-e^3+e^4\)

У вправах 16-22 оцініть підсумовування за допомогою теореми 37.

16. \(\sum_{i=1}^25 i\)

17. \(\sum_{i=1}^10 (3i^2-2i)\)

18. \(\sum_{i=1}^15 (2i^3-10)\)

19. \(\sum_{i=1}^10 (-4i^3+10i^2-7i+11)\)

20. \(\sum_{i=1}^10 (i^3-3t^2+2i+7)\)

21. \(1+2+3+... + 99+100\)

22. \(1+4+9+...+361+400\)

Теорема 37 станів

\(\sum_{i=1}^n a_i = \sum+{i=1}^k a_i+\sum_{i=k+1}^n a_i\), так

\(\sum_{i=k+1}^n a_i = \sum_{i=1}^n a_i -\sum_{i=1}^k a_i \).

Використовуйте цей факт разом з іншими частинами теореми 37 для оцінки підсумовувань, наведених у вправах 23-26.

23. \(\sum_{i=11}^20 i\)

24. \(\sum_{i=16}^25 i^3\)

25. \(\sum_{i=7}^12 4\)

26. \(\sum_{i=5}^10 4i^3\)

У вправах 27-32 дано певний інтеграл
\(\int_a^b f(x)\,dx \).
(а) Графік\(f(x)\) на [a, b].
(b) Додайте до ескізу прямокутники за допомогою наданого правила.
(c)\(\int_a^b f(x)\,dx\) Зближення шляхом підсумовування площ прямокутників.

27. \(\int_{-3}^3 x^2\,dx\), з 6 прямокутниками за допомогою правила лівої руки.

28. \(\int_{0}^2 (5-x^2)\,dx\), з 4 прямокутниками, використовуючи правило середньої точки.

29. \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\), з 6 прямокутниками, використовуючи Правило правої руки.

30. \(\int_0^3 2^x\,dx\), з 5 прямокутниками за допомогою правила лівої руки.

31. \(\int_1^2 \ln x\,dx\), з 3 прямокутниками, використовуючи правило середньої точки.

32. \(\int_1^9 \frac{1}{x} \,dx\), з 4 прямокутниками, використовуючи Правило правої руки.

У вправах 33-38 дано певний інтеграл
\(\int_a^b f(x)\,dx\). Як продемонстровано в прикладі 123 і 124, виконайте наступне.
(a) Знайдіть формулу для наближення\(\int_a^b f(x)\,dx\) за допомогою\(n\) підінтервалів та наданого правила.
(b) Оцінити формулу за допомогою\(n=10,\,100\text{ and }1000.\)
(c) Знайти межу формули\(n\to \infty\), як, щоб знайти точне значення\(\int_a^b f(x)\,dx\).

33. \(\int_0^1 x^3\,dx\), використовуючи Правило правої руки.

34. \(\int_{-1}^1 3x^2\,dx\), використовуючи Правило лівої руки.

35. \(\int_{-1}^3 (3x-1)\,dx\), використовуючи правило середньої точки.

36. \(\int_1^4 (2x^2-3)\,dx\), використовуючи Правило лівої руки.

37. \(\int_{-10}^{10}(5-x)\,dx\), використовуючи Правило правої руки.

38. \(\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx\), використовуючи Правило правої руки.

Рецензія

У вправах 39-44 знайдіть антипохідну даної функції.

39. \(f(x) = 5\sec^2 x\)

40. \(f(x) = \frac{7}{x}\)

41. \(g(t) = 4t^5-5t^3+8\)

42. \(g(t) =5\cdot 8^t\)

43. \(g(t) =\cos t +\sin t\)

44. \(f(x) =\frac{1}{\sqrt{x}}\)

5.4: Фундаментальна теорема числення

Терміни та поняття

1. Як пов'язані певні та невизначені інтеграли?

2. Які константи інтеграції найчастіше використовуються при оцінці певних інтегралів?

3. T/F: Якщо\(f\) є безперервною функцією, то також\(F(x) =\int_a^x f(t)\,dt\) є безперервною функцією.

4. Певний інтеграл може бути використаний для пошуку «площі під кривою». Дайте два інших використання для певних інтегралів.

Проблеми

У вправах 5-28 оцініть певний інтеграл.

5. \(\int_1^3 (3x^2-2x+1)\,dx\)

6. \(\int_0^4 (x-1)^2\,dx\)

7. \(\int_{-1}^1 (x^3-x^5)\,dx\)

8. \(\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx\)

9. \(\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx\)

10. \(\int_1^e \frac{1}{x}\,dx\)

11. \(\int_{-1}^1 5^x \,dx\)

12. \(\int_{-2}^{-1}(4-2x^3)\,dx\)

13. \(\int_0^{\pi}(2\cos x -2\sin x)\,dx\)

14. \(\int_1^3 e^x\,dx\)

15. \(\int_0^4 \sqrt{t}\,dt\)

16. \(\int_9^{25} \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt\)

17. \(\int_1^8 \sqrt[3]{x}\,dx\)

18. \(\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx\)

19. \(\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx\)

20. \(\int_1^2 \frac{1}{x^3}\,dx\)

21. \(\int_0^1 x\,dx\)

22. \(\int_0^1 x^2\,dx\)

23. \(\int_0^1 x^3\,dx\)

24. \(\int_0^1 x^{100}\,dx\)

25. \(\int_{-4}^4 dx\)

26. \(\int_{-10}^{-5} 3\,dx\)

27. \(\int_{-2}^2 0\,dx\)

28. \(\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc x \cot x\,dx\)

29. Поясніть чому:
(a)\(\int_{-1}^1 x^n\,dx=0\), коли n - додатне, непарне число, і
(b),\(\int_{-1}^1x^n\,dx =2\int_0^1 x^n \,dx\) коли n - додатне, парне число.

У вправах 30-33 знайдіть значення c, гарантоване теоремою про середнє значення.

30. \(\int_0^2 x^2\,dx\)

31. \(\int_{-2}^2 x^2\,dx\)

32. \(\int_0^1 e^x\,dx\)

33\(\int_0^16 \sqrt{x}\,dx\)

У вправах 34-39 знайти середнє значення функції на заданому інтервалі.

34. \(f(x) =\sin x \text{ on }[0,\pi/2]\)

35. \(y =\sin x \text{ on }[0,\pi]\)

36. \(y = x \text{ on }[0,4]\)

37. \(y =x^2 \text{ on }[0,4]\)

38. \(y =x^3 \text{ on }[0,4]\)

39. \(g(t) =1/t \text{ on }[1,e]\)

У вправах 40-44 задана швидкісна функція об'єкта, що рухається по прямій. Знайти зміщення об'єкта за заданий проміжок часу.

40. \(v(t) =-32t+20\)фут/с на [0,5].

41. \(v(t) =-32t+200\)фут/с на [0,10].

42. \(v(t) =2^t\)миль/год на [-1,1].

43. \(v(t) =\cos t\)фут/с на\([0,3\pi /2]\).

44. \(v(t) =\sqrt[4]{t}\)фут/с на [0,16].

У вправах 45-48 дана функція прискорення об'єкта, що рухається по прямій. Знайти зміну швидкості об'єкта за заданий проміжок часу.

45. \(a(t) =-32\)фут/с на [0,2].

46. \(a(t) =10\)фут/с на [0,5].

47. \(a(t) =t\)фут/с\(^2\) на [0,2].

48. \(a(t) =\cos t\)фут/с\(^2\) на\([0,\pi]\).

У вправах 49-52 накидайте задані функції та означте площу закритої області.

49. \(y =2x,\, y=5x,\text{ and }x=3\).

50. \(y=-x+1,\,y=3x+6,\,x=2\text{ and }x=-1\).

51. \(y=x^2-2x+5,\,y=5x-5\).

52. \(y = 2x^2+2x-5,\,y=x^2+3x+7\).

У вправах 53-56 знайдіть\(F'(x)\).

53. \(F(x) =\int_2^{x^3+x}\frac{1}{t}\,dt\)

54. \(F(x) = \int_{x^3}^0 t^3\,dt\)

55. \(F(x)=\frac{x}{x^2}(t+2)\,dt\)

56. \(F(x) =\int_{\ln x}^{e^x}\sin t\,dt\)

5.5: Чисельна інтеграція

Терміни та поняття

1. T/F: Правило Сімпсона - це метод наближення антипохідних.

2. Які дві основні ситуації, коли необхідно наближення значення певного інтеграла?

3. Чому правила лівої та правої руки рідко використовуються?

Проблеми

У вправах 4-11 дано певний інтеграл.
(а) Наближення певного інтеграла з трапецієподібним правилом і\(n=4\).
(b) Наближення певного інтеграла з правилом Сімпсона і\(n=4\).
(c) Знайти точне значення інтеграла.

4. \(\int_{-1}^1 x^2\,dx\)

5. \(\int_{0}^{10} 5x\,dx\)

6. \(\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx\)

7. \(\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx\)

8. \(\int_{0}^{3} (x^3+2x^2-5x+7)\,dx\)

9. \(\int_{0}^{1} x^4\,dx\)

10. \(\int_{0}^{2x} \cos x\,dx\)

11. \(\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx\)

У вправах 12-19 наближають певний інтеграл з трапецієподібним правилом і правилом Сімпсона, с\(n=6\).

12. \(\int_{0}^{1}\cos (x^2)\,dx\)

13. \(\int_{-1}^{1}e^{x^2}\,dx\)

14. \(\int_{0}^{5}\sqrt{x^2+1}\,dx\)

15. \(\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx\)

16. \(\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos x}\,dx\)

17. \(\int_{1}^{4}\ln x\,dx\)

18. \(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sin x +2}\,dx\)

19. \(\int_{0}^{6}\frac{1}{\sin x +2}\,dx\)

У вправах 20-23 знайти n таке, що похибка в наближенні заданого певного інтеграла менше 0,0001 при використанні:
(а) трапецієподібного правила
(b) Правило Сімпсона

20. \(\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx\)

21. \(\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)

22. \(\int_{0}^{\pi} \cos (x^2)\,dx\)

23. \(\int_{0}^{5} x^4\,dx\)

У вправах 24-25 дається область. Знайдіть площу регіону за допомогою правила Сімпсона:
(а) де вимірювання знаходяться в сантиметрах, взятих з кроком 1см, і
(b) де вимірювання знаходяться в сотнях ярдів, взятих з кроком 100 ярдів.

24.

25.