6.6: Гіперболічні функції
Гіперболічні функції - це набір функцій, які мають безліч застосувань до математики, фізики та техніки. Серед багатьох інших застосувань вони використовуються для опису формування супутникових кілець навколо планет, для опису форми мотузки, що звисає з двох точок, і мають застосування до теорії спеціальної відносності. Цей розділ визначає гіперболічні функції та описує багато їх властивостей, особливо їх корисність для обчислення.
Ці функції іноді називають «гіперболічними тригонометричними функціями», оскільки між ними та стандартними тригонометричними функціями існує багато, багато зв'язків. Малюнок6.6.1 демонструє одне таке з'єднання. Подібно до того, як косинус і синус використовуються для визначення точок на коліx2+y2=1, визначеному, функції гіперболічний косинус і гіперболічний синус використовуються для визначення точок на гіперболіx2−y2=1.
Рисунок6.6.1: Використання тригонометричних функцій для визначення точок на колі та гіперболічних функцій для визначення точок на гіперболі. Площа затінених областей включається в них.
Почнемо з їх визначення.
Визначення6.6.1: Hyperbolic Functions
- coshx=ex+e−x2
- sinhx=ex−e−x2
- tanhx=sinhxcoshx
- sechx=1coshx
- cschx=1sinhx
- cothx=coshxsinhx
Ці гіперболічні функції зображені на малюнку6.6.2. У графікиcoshx іsinhx, графікиex/2 іe−x/2 включаються пунктирними лініями. Якx отримує «великий»,coshx іsinhx кожен діє якex/2; колиx є великим від'ємним числом,coshx діє такe−x/2, як $\ sinh x$ діє як−e−x/2.
Зверніть увагу на областіtanhx іsechx є(−∞,∞), тоді як обидваcothx іcschx мають вертикальні асимптоти вx=0. Також зверніть увагу на діапазони цих функцій, особливоtanhx: якx→∞, обидваsinhx іcoshx підхідe−x/2, звідсиtanhx підходи1.
Наступний приклад досліджує деякі властивості цих функцій, які мають чудову схожість з властивостями їх тригонометричних аналогів.
Примітка вимови: «кош» римується з «gosh», «sinh» римується з «pinch», а «tanh» римується з «ранчо».
Малюнок6.6.2: Графіки гіперболічних функцій.
Приклад6.6.1: Exploring properties of hyperbolic functions
Використовуйте Definition,6.6.1 щоб переписати такі вирази.
- cosh2x−sinh2x
- tanh2x+sech2x
- 2coshxsinhx
- ddx(coshx)
- ddx(sinhx)
- ddx(tanhx)
Рішення
- cosh2x−sinh2x=(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=e2x+2exe−x+e−2x4−e2x−2exe−x+e−2x4=44=1.Отжеcosh2x−sinh2x=1.
- tanh2x+sech2x=sinh2xcosh2x+1cosh2x=sinh2x+1cosh2xNow use identity from #1.=cosh2xcosh2x=1.Отжеtanh2x+sech2x=1.
- 2coshxsinhx=2(ex+e−x2)(ex−e−x2)=2⋅e2x−e−2x4=e2x−e−2x2=sinh(2x).Таким чином2coshxsinhx=sinh(2x).
- ddx(coshx)=ddx(ex+e−x2)=ex−e−x2=sinhx.Такddx(coshx)=sinhx.
- ddx(sinhx)=ddx(ex−e−x2)=ex+e−x2=coshx.Такddx(sinhx)=coshx.
- ddx(tanhx)=ddx(sinhxcoshx)=coshxcoshx−sinhxsinhxcosh2x=1cosh2x=sech2x.Такddx(tanhx)=sech2x.
Наступна ключова ідея узагальнює багато важливих ідентичностей, що стосуються гіперболічних функцій. Кожен може бути перевірений, звернувшись до Визначення6.6.1.
Ключова ідея 16: Корисні властивості гіперболічної функції
Основні тотожності
- cosh2x−sinh2x=1
- tanh2x+sech2x=1
- coth2x−csch2x=1
- cosh2x=cosh2x+sinh2x
- sinh2x=2sinhxcoshx
- cosh2x=cosh2x+12
- sinh2x=cosh2x−12
похідні
- ddx(coshx)=sinhx
- ddx(sinhx)=coshx
- ddx(tanhx)=sech2x
- ddx(sechx)=−sechxtanhx
- ddx(cschx)=−cschxcothx
- ddx(cothx)=−csch2x
Інтеграли
- ∫coshx dx=sinhx+C
- ∫sinhx dx=coshx+C
- ∫tanhx dx=ln(coshx)+C
- ∫cothx dx=ln|sinhx|+C
Практикуємо використання Key Idea 16
Приклад6.6.2: Derivatives and integrals of hyperbolic functions
Оцініть наступні похідні та інтеграли.
- ddx(cosh2x)
- ∫sech2(7t−3) dt
- ∫ln20coshx dx
Рішення
- Використовуючи правило ланцюга безпосередньо, ми маємоddx(cosh2x)=2sinh2x.
Просто щоб продемонструвати, що це працює, давайте також використаємо базову ідентифікацію, знайдену в Key Idea 16:cosh2x=cosh2x+sinh2x.
ddx(cosh2x)=ddx(cosh2x+sinh2x)=2coshxsinhx+2sinhxcoshx=4coshxsinhx.Використовуючи іншу базову ідентичність, ми можемо це побачити4coshxsinhx=2sinh2x. Ми отримуємо однакову відповідь в будь-якому випадку. - Ми використовуємо заміну, зu=7t−3 іdu=7dt. Застосовуючи ключові ідеї 10 і 16 ми маємо:
$\ int\ text {sech} ^2 (7t-3)\ dt =\ frac17\ tanh (7t-3) + C.$$ - int ln20 кошх dx= сінхх Біг| ln20= sinh( ln2)− sinh0= sinh( ln2).
Ми можемо спростити цей останній вираз, якsinhx базується на показниках:
sinh( ln2)= frace ln2−e− ln22= frac2−1/22= frac34.
Обернені гіперболічні функції
Подібно до того, як обернені тригонометричні функції корисні в певних інтеграціях, зворотні гіперболічні функції корисні з іншими. На малюнку 16 показані обмеження доменів, щоб зробити кожну функцію один-на-один, а також отримані домени та діапазони їх обернених функцій. Їх графіки наведені на малюнку6.6.3
Оскільки гіперболічні функції визначаються термінами експоненціальних функцій, їх зворотні можуть бути виражені термінами логарифмів, як показано в Key Idea 17. Це часто зручніше посилатися,sinh−1x ніж наln(x+√x2+1), особливо коли людина працює над теорією і не потрібно обчислювати фактичні значення. З іншого боку, коли потрібні обчислення, технологія часто корисна, але багато ручних калькуляторів не маютьsinh−1x кнопки\ textit {зручно}. (Часто до нього можна отримати доступ за системою меню, але не зручно.) У такій ситуації стане в нагоді логарифмічне подання. Читачеві не рекомендується запам'ятовувати їх, а скоріше знати, що вони існують, і знати, як їх використовувати, коли це необхідно.
Таблиця6.6.1:coshx Графікиsinhx та їх зворотні.
Малюнок6.6.3: Графіки гіперболічних функцій та їх обернень.
Наступні Ключові ідеї дають похідні та інтеграли, що стосуються обернених гіперболічних функцій. У Key Idea 19 наведено зворотні гіперболічні та логарифмічні зображення антипохідної функції на основі Key Idea 17. Знову ж таки, ці останні функції часто більш корисні, ніж перші. Зверніть увагу, як обернені гіперболічні функції можуть бути використані для розв'язання інтегралів, які ми використовували тригонометричну заміну для розв'язання в розділі 6.4.
Key IDeA 17: Логарифмічні визначення обернених гіперболічних функцій.
- cosh−1x=ln(x+√x2−1); x≥1
- tanh−1x=12ln(1+x1−x); |x|<1
- sech−1x=ln(1+√1−x2x); 0<x≤1
- sinh−1x=ln(x+√x2+1)
- coth−1x=12ln(x+1x−1); |x|>1
- csch−1x=ln(1x+√1+x2|x|); x≠0
Ключова ідея 18: Похідні за участю обернених гіперболічних функцій
- ddx(cosh−1x)=1√x2−1; x>1
- ddx(sinh−1x)=1√x2+1
- ddx(tanh−1x)=11−x2; |x|<1
- ddx(sech−1x)=−1x√1−x2;0<x<1
- ddx(csch−1x)=−1|x|√1+x2; x≠0
- ddx(coth−1x)=11−x2; |x|>1
Ключова ідея 19: Інтеграли за участю обернених гіперболічних функцій
- ∫1√x2−a2 dx=cosh−1(xa)+C; 0<a<x=ln|x+√x2−a2|+C
- ∫1√x2+a2 dx=sinh−1(xa)+C; a>0=ln|x+√x2+a2|+C
- ∫1a2−x2 dx={1atanh−1(xa)+Cx2<a21acoth−1(xa)+Ca2<x2=12aln|a+xa−x|+C
- ∫1x√a2−x2 dx=−1asech−1(xa)+C; 0<x<a=1aln(xa+√a2−x2)+C
- ∫1x√x2+a2 dx=−1acsch−1|xa|+C; x≠0, a>0=1aln|xa+√a2+x2|+C
Ми практикуємо використання похідних і інтегральних формул в наступному прикладі.
Приклад6.6.3: Derivatives and integrals involving inverse hyperbolic functions
Оцініть наступне.
- ddx[cosh−1(3x−25)]
- ∫1x2−1 dx
- ∫1√9x2+10 dx
Рішення
- Застосування ключової ідеї 18 з правилом ланцюга дає:
$\ frac {d} {dx}\ лівий [\ cosh^ {-1}\ лівий (\ frac {3x-2} 5\ праворуч)\ праворуч] =\ frac {1} {\ sqrt {\ left (\ frac {3x-2} 5\ праворуч) ^2-1}}\ cdot\ frac35. $$ - Множення чисельника і знаменника на(−1) дає:∫1x2−1 dx=∫−11−x2 dx. Другий інтеграл можна вирішити за допомогою прямого застосування пункту #3 з Key Idea 19, сa=1. Таким чином∫1x2−1 dx=−∫11−x2 dx={−tanh−1(x)+Cx2<1−coth−1(x)+C1<x2=−12ln|x+1x−1|+C=12ln|x−1x+1|+C.
Відзначимо, що саме ця проблема була вирішена на початку розділу 6.5. У цьому прикладі відповідь була дана як12ln|x−1|−12ln|x+1|+C. Зауважте, що це еквівалентно відповіді, наведеній у Рівнянні6.6.29, якln(a/b)=lna−lnb.
- Це вимагає заміни, після чого можна застосувати пункт #2 з Key Idea 19.
Нехайu=3x, отжеdu=3dx. У нас є
∫1√9x2+10 dx=13∫1√u2+10 du.
Приміткаa2=10, отже,a=√10. тепер застосувати інтегральне правило.
=13sinh−1(3x√10)+C=13ln|3x+√9x2+10|+C.
Цей розділ охоплює багато землі. Нові функції були введені разом з деякими їх фундаментальними ідентичностями, їх похідними та антипохідними, їх оберненнями та похідними та антипохідними цих інверсів. Було представлено чотири ключові ідеї, кожна з яких містить досить багато інформації.
Не розглядайте цей розділ як містить джерело інформації, яку потрібно запам'ятати, а як орієнтир для майбутнього вирішення проблем. Key Idea 19 містить, мабуть, найкориснішу інформацію. Знайте форми інтеграції, це допомагає оцінити та зрозуміти, як використовувати зворотну гіперболічну відповідь та логарифмічну відповідь.
Наступний розділ робить коротку перерву від демонстрації нових методів інтеграції. Натомість він демонструє техніку оцінки меж, які повертають невизначені форми. Ця методика буде корисна в розділі 6.8, де будуть виникати межі при оцінці певних певних інтегралів.