6.4: Тригонометрична заміна

У розділі 5.2 ми визначили певний інтеграл як підписану область під кривою». У цьому розділі ми ще не вивчили фундаментальну теорему числення, тому ми оцінили спеціальні визначені інтеграли, які описували красиві геометричні фігури. Наприклад, ми змогли оцінити

$$\begin{equation}\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\ dx = \frac{9\pi}{2}\end{equation}$$

як ми визнали, що$f(x) = \sqrt{9-x^2}$ описували верхню половину кола з радіусом 3.

З тих пір ми вивчили ряд методів інтеграції, включаючи заміщення та інтеграцію частинами, але ми все ще не можемо оцінити вищезгаданий інтеграл, не вдаючись до геометричної інтерпретації. У цьому розділі представлена тригонометрична заміна, метод інтеграції, який заповнює цю прогалину в нашій майстерності інтеграції. Цей метод працює за тим же принципом, що і заміна, що і в розділі 6.1, хоча він може відчувати себе «назад». У розділі 6.1 ми встановили$u=f(x)$, для якоїсь функції$f$, і замінили$f(x)$ на$u$. У цьому розділі ми встановимо$x=f(\theta)$, де$f$ знаходиться тригонометрична функція, потім$x$ замініть на$f(\theta)$.

Почнемо з демонстрації цього методу в оцінці інтеграла в$\PageIndex{1}$. Після прикладу узагальнимо метод і наведемо більше прикладів.

Приклад$\PageIndex{1}$: Using Trigonometric Substitution

Оцініть$\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\ dx$.

Рішення

Почнемо з того$9\sin^2\theta + 9\cos^2\theta = 9$, що зазначимо, що, а значить$9\cos^2\theta = 9-9\sin^2\theta$. Якщо ми пустимо$x=3\sin\theta$, то$9-x^2 = 9-9\sin^2\theta = 9\cos^2\theta$.

Налаштування$x=3\sin \theta$ дає$dx = 3\cos\theta\ d\theta$. Ми майже готові до заміни. Ми також хочемо змінити наші межі інтеграції. Прив'язане$x=-3$ відповідає$\theta = -\pi/2$ (для коли$\theta = -\pi/2$,$x=3\sin \theta = -3$). Аналогічним чином,$x=3$ прив'язка замінюється пов'язаним$\theta = \pi/2$. Таким чином

$$\begin{align}\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2}\ dx &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{9-9\sin^2\theta} (3\cos\theta)\ d\theta \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3\sqrt{9\cos^2\theta} \cos\theta\ d\theta \\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 3|3\cos \theta| \cos\theta\ d\theta.\end{align}$$

$[-\pi/2,\pi/2]$$\cos \theta$Увімкнено, завжди позитивне, тому ми можемо скинути абсолютні значення барів, а потім використовувати формулу зменшення потужності:

$$\begin{align} &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 9\cos^2 \theta\ d\theta\\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{9}{2}\big(1+\cos(2\theta)\big)\ d\theta\\ & = \frac92 \big(\theta +\frac12\sin(2\theta)\big)\Bigg|_{-\pi/2}^{\pi/2}= \frac92\pi.\end{align}$$

Це відповідає нашій відповіді раніше.

Ми зараз докладно опишемо тригонометричну заміну. Цей метод відмінно справляється з інтегралами, які містять$\sqrt{a^2-x^2}$,$\sqrt{x^2-a^2}$ і$\sqrt{x^2+a^2}$. Наступна ключова ідея 13 описує процедуру для кожного випадку, а потім додаткові приклади. Кожен прямокутний трикутник діє як посилання, щоб допомогти нам зрозуміти відносини між$x$ і$\theta$.

Ключова ідея 13: Тригонометрична заміна

1. Для інтегралів, що містять$\sqrt{a^2-x^2}$:
   Нехай$x=a\sin\theta$,$dx = a\cos\theta\ d\theta$
   Таким чином$\theta = \sin^{-1}(x/a)$, для$-\pi/2\leq \theta\leq \pi/2$.
   На цьому інтервалі$\cos\theta\geq 0$, так
   $\sqrt{a^2-x^2} = a\cos\theta$.
2. Для інтегралів, що містять$\sqrt{x^2+a^2}$:
   Нехай$x=a\tan\theta$,$dx = a\sec^2\theta\ d\theta$
   Таким чином$\theta = \tan^{-1}(x/a)$, для$-\pi/2 < \theta < \pi/2$.
   На цьому інтервалі$\sec\theta> 0$, так
   $\sqrt{x^2+a^2} = a\sec\theta$.
3. Для інтегралів, що містять$\sqrt{x^2-a^2}$:
   Нехай$x=a\sec\theta$,$dx = a\sec\theta\tan\theta\ d\theta$
   Таким чином$\theta = \sec^{-1}(x/a)$. Якщо$x/a\geq 1$, то$0\leq\theta<\pi/2$; якщо$x/a \leq -1$, то$\pi/2<\theta\leq \pi$.
   Ми обмежуємо нашу роботу куди$x\geq a$, так$x/a\geq 1$, і$0\leq\theta<\pi/2$.
   На цьому інтервалі$\tan\theta\geq 0$, так
   $\sqrt{x^2-a^2} = a\tan\theta$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Using Trigonometric Substitution

Оцінити$\int \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\ dx.$

Рішення

Використовуючи Key Idea 13 (b), ми розпізнаємо$a=\sqrt{5}$ і встановлюємо$x= \sqrt{5}\tan \theta$. Це робить$dx = \sqrt{5}\sec^2\theta\ d\theta$. Ми будемо використовувати той факт, що$\sqrt{5+x^2} = \sqrt{5+5\tan^2\theta} = \sqrt{5\sec^2\theta} = \sqrt{5}\sec\theta.$ Підставляючи, у нас є:

$$\begin{align}\int \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\ dx &= \int \frac{1}{\sqrt{5+5\tan^2\theta}}\sqrt{5}\sec^2\theta\ d\theta \\ &= \int \frac{\sqrt{5}\sec^2\theta}{\sqrt{5}\sec\theta} \ d\theta\\ &= \int \sec\theta\ d\theta\\ &= \ln\big|\sec\theta+\tan\theta\big|+C.\end{align}$$

Поки етапи інтеграції закінчилися, ми ще не закінчили. Первісна проблема була викладена в терміні$x$, тоді як наша відповідь дається в терміні$\theta$. Ми повинні перетворити назад в$x$.

Допомагає опорний трикутник, наведений у Key Idea 13 (b). З$x=\sqrt{5}\tan\theta$, у нас є

$$\tan \theta = \frac x{\sqrt{5}}\quad \text{and}\quad \sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}.$$

Це дає

$$\begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{5+x^2}}\ dx &= \ln\big|\sec\theta+\tan\theta\big|+C \\ &= \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}+ \frac x{\sqrt{5}}\right|+C.\end{align}$$

Ми можемо залишити цю відповідь як є, або ми можемо використовувати логарифмічну ідентичність, щоб спростити її. Примітка:

$$\begin{align} \ln\left|\frac{\sqrt{x^2+5}}{\sqrt{5}}+ \frac x{\sqrt{5}}\right|+C &= \ln\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\big(\sqrt{x^2+5}+ x\big)\right|+C \\ &= \ln\left|\frac{1}{\sqrt{5}}\right| + \ln\big|\sqrt{x^2+5}+ x\big|+C\\ &= \ln\big|\sqrt{x^2+5}+ x\big|+C,\end{align}$$

де$\ln\big(1/\sqrt{5}\big)$ термін поглинається в константу$C$. (У розділі 6.6 ми дізнаємося інший спосіб підходу до цієї проблеми.)

Приклад$\PageIndex{3}$: Using Trigonometric Substitution

Оцініть$\int \sqrt{4x^2-1}\ dx$.

Рішення

Почнемо з перезапису integrand так, щоб він виглядав як$\sqrt{x^2-a^2}$ для деякого значення$a$:

$$\begin{align}\sqrt{4x^2-1} &= \sqrt{4\left(x^2-\frac14\right)}\\ &= 2\sqrt{x^2-\left(\frac12\right)^2}\end{align}$$

Таким чином$a=1/2$, у нас є, і після Key Idea 13 (c), ми встановлюємо$x= \frac12\sec\theta$, і, отже,$dx = \frac12\sec\theta\tan\theta\ d\theta$.

Тепер ми перепишемо інтеграл з такими підстановками:

$$\begin{align} \int \sqrt{4x^2-1}\ dx &= \int 2\sqrt{x^2-\left(\frac12\right)^2}\ dx\\ &= \int 2\sqrt{\frac14\sec^2\theta - \frac14}\left(\frac12\sec\theta\tan\theta\right)\ d\theta\\ &=\int \sqrt{\frac14(\sec^2\theta-1)}\Big(\sec\theta\tan\theta\Big)\ d\theta\\ &=\int\sqrt{\frac14\tan^2\theta}\Big(\sec\theta\tan\theta\Big)\ d\theta\\ &=\int \frac12\tan^2\theta\sec\theta\ d\theta\\ &=\frac12\int \Big(\sec^2\theta-1\Big)\sec\theta\ d\theta\\ &=\frac12\int \big(\sec^3\theta - \sec\theta\big)\ d\theta.\end{align}$$

Ми$\sec^3\theta$ інтегрували в прикладі 6.3.6, виявивши, що його антипохідні

$$\int \sec^3\theta\ d\theta = \frac12\Big(\sec \theta\tan \theta + \ln|\sec \theta+\tan \theta|\Big)+C.$$

Таким чином

$$\begin{align} \int \sqrt{4x^2-1}\ dx &=\frac12\int \big(\sec^3\theta - \sec\theta\big)\ d\theta\\ &= \frac12\left(\frac12\Big(\sec \theta\tan \theta + \ln|\sec \theta+\tan \theta|\Big) -\ln|\sec \theta + \tan\theta|\right) + C\\ &= \frac14\left(\sec\theta\tan\theta -\ln|\sec\theta+\tan\theta|\right)+C.\end{align}$$

Ми ще не закінчили. Наш початковий інтеграл дається з точки зору$x$, тоді як наша остаточна відповідь, як дано, з точки зору$\theta$. Нам потрібно переписати нашу відповідь в плані$x$. З$a=1/2$, і$x=\frac12\sec\theta$, опорний трикутник в Key Idea 13 (c) показує, що

$$\tan \theta = \sqrt{x^2-1/4}\Big/(1/2) = 2\sqrt{x^2-1/4}\quad \text{and}\quad \sec\theta = 2x.$$

Таким чином

$$\begin{align}\frac14\Big(\sec\theta\tan\theta -\ln\big|\sec\theta+\tan\theta\big|\Big)+C &= \frac14\Big(2x\cdot 2\sqrt{x^2-1/4} - \ln\big|2x + 2\sqrt{x^2-1/4}\big|\Big)+C\\ &= \frac14\Big(4x\sqrt{x^2-1/4} - \ln\big|2x + 2\sqrt{x^2-1/4}\big|\Big)+C.\end{align}$$

Остаточна відповідь дається в останньому рядку вище, повторюється тут:

$$\int \sqrt{4x^2-1}\ dx = \frac14\Big(4x\sqrt{x^2-1/4} - \ln\big|2x + 2\sqrt{x^2-1/4}\big|\Big)+C.$$

Приклад$\PageIndex{4}$: Using Trigonometric Substitution

Оцініть$\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\ dx$.

Рішення

Ми використовуємо Key Idea 13 (a) з$a=2$,$dx = 2\cos \theta$ і$x=2\sin \theta$, отже,$\sqrt{4-x^2} = 2\cos\theta$. Це дає

$$\begin{align}\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\ dx &= \int \frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta}(2\cos\theta)\ d\theta\\ &= \int \cot^2\theta\ d\theta\\ &= \int (\csc^2\theta -1)\ d\theta\\ &= -\cot\theta -\theta + C.\end{align}$$

Нам потрібно переписати нашу відповідь в плані$x$. Використовуючи опорний трикутник, знайдений у Key Idea 13 (a), ми маємо$\cot\theta = \sqrt{4-x^2}/x$ і$\theta = \sin^{-1}(x/2)$. Таким чином

$$\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\ dx = -\frac{\sqrt{4-x^2}}x-\sin^{-1}\left(\frac x2\right) + C.$$

Тригонометрична заміна може застосовуватися в багатьох ситуаціях, навіть тих, які не мають форми$\sqrt{a^2-x^2}$,$\sqrt{x^2-a^2}$ або$\sqrt{x^2+a^2}$. У наступному прикладі ми застосовуємо його до інтегралу, який ми вже знаємо, як обробляти.

Приклад$\PageIndex{5}$: Using Trigonometric Substitution

Оцініть$\int\frac1{x^2+1}\ dx$.

Рішення

Відповідь ми знаємо вже як$\tan^{-1}x+C$. Тут ми застосовуємо тригонометричну заміну, щоб показати, що ми отримуємо ту саму відповідь, не покладаючись на знання похідної арктангенсної функції.

Використовуючи Key Idea 13 (b), нехай$x=\tan\theta$,$dx=\sec^2\theta\ d\theta$ і зверніть увагу, що$x^2+1 = \tan^2\theta+1 = \sec^2\theta$. Таким чином

$$\begin{align}\int \frac1{x^2+1}\ dx &= \int \frac{1}{\sec^2\theta}\sec^2\theta\ d\theta \\ &= \int 1\ d\theta\\ &= \theta + C.\end{align}$$

З тих пір$x=\tan \theta$$\theta = \tan^{-1}x$, і робимо висновок, що$\int\frac1{x^2+1}\ dx = \tan^{-1}x+C.$

Наступний приклад схожий на попередній тим, що він не включає квадрат-корінь. Він показує, як кілька методів та ідентичностей можуть бути об'єднані для отримання рішення.

Приклад$\PageIndex{6}$: Using Trigonometric Substitution

Оцінити$\int\frac1{(x^2+6x+10)^2}\ dx.$

Рішення

Починаємо з завершення квадрата, потім робимо$u=x+3$ підстановку з подальшою тригонометричною підстановкою$u=\tan\theta$:

$$\begin{align}\int \frac1{(x^2+6x+10)^2}\ dx =\int \frac1{\big((x+3)^2+1\big)^2}\ dx&= \int \frac1{(u^2+1)^2}\ du. \end{align}$$

Тепер зробіть підміну$u=\tan\theta$,$du=\sec^2\theta\ d\theta$:

$$\begin{align} &= \int \frac1{(\tan^2\theta+1)^2}\sec^2\theta\ d\theta\\ &= \int\frac 1{(\sec^2\theta)^2}\sec^2\theta\ d\theta\\ &= \int \cos^2\theta\ d\theta.\end{align}$$

Застосовуючи формулу зменшення потужності, ми маємо

$$\begin{align} &= \int \left(\frac12 +\frac12\cos(2\theta)\right)\ d\theta\\ &= \frac12\theta + \frac14\sin(2\theta) + C. \end{align}$$

Нам потрібно повернутися до змінної$x$. Як$u=\tan\theta$,$\theta = \tan^{-1}u$. Використовуючи ідентичність$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ та використовуючи опорний трикутник, знайдений у Key Idea 13 (b), ми маємо

$$\frac14\sin(2\theta) = \frac12\frac u{\sqrt{u^2+1}}\cdot\frac 1{\sqrt{u^2+1}} = \frac12\frac u{u^2+1}.$$

Нарешті, повертаємося до$x$ з підміною$u=x+3$. Почнемо з виразу в Рівняння\ eqref {eq:extrigsub7}:

$$\begin{align}\frac12\theta + \frac14\sin(2\theta) + C &= \frac12\tan^{-1}u + \frac12\frac{u}{u^2+1}+C\\ &= \frac12\tan^{-1}(x+3) + \frac{x+3}{2(x^2+6x+10)}+C.\end{align}$$

Зазначаючи наш кінцевий результат в одному рядку,

$$\int\frac1{(x^2+6x+10)^2}\ dx=\frac12\tan^{-1}(x+3) + \frac{x+3}{2(x^2+6x+10)}+C.$$

Наш останній приклад повертає нас до певних інтегралів, як видно в нашому першому прикладі. З огляду на певний інтеграл, який можна оцінити за допомогою тригонометричної підстановки, ми могли б спочатку оцінити відповідний невизначений інтеграл (змінивши від інтеграла$x$ до одиниці за термінами$\theta$, потім перетворюючи назад в$x$), а потім оцінювати за допомогою вихідних меж. Однак набагато простіше змінити межі, коли ми замінюємо.

Приклад$\PageIndex{7}$: Definite integration and Trigonometric Substitution

Оцініть$\int_0^5\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}\ dx$.

Рішення

Використовуючи Key Idea 13 (b), ми встановлюємо$x=5\tan\theta$$dx = 5\sec^2\theta\ d\theta$, і відзначаємо, що$\sqrt{x^2+25} = 5\sec\theta$. Замінюючи, ми також можемо змінити межі інтеграції.

Нижня межа вихідного інтеграла дорівнює$x=0$. Як$x=5\tan\theta$, вирішуємо за$\theta$ і знаходимо$\theta = \tan^{-1}(x/5)$. Таким чином, нова нижня межа є$\theta = \tan^{-1}(0) = 0$. Початкова верхня межа$x=5$, таким чином, нова верхня межа є$\theta = \tan^{-1}(5/5) = \pi/4$.

Таким чином, ми маємо

$$\begin{align} \int_0^5\frac{x^2}{\sqrt{x^2+25}}\ dx &= \int_0^{\pi/4} \frac{25\tan^2\theta}{5\sec\theta}5\sec^2\theta\ d\theta\\ &= 25\int_0^{\pi/4} \tan^2\theta\sec\theta \ d\theta.\end{align}$$

Ми зіткнулися з цим невизначений інтеграл в прикладі$\PageIndex{3}$, де ми знайшли

$$\int \tan^2\theta\sec\theta \ d\theta = \frac12\big(\sec\theta\tan\theta-\ln|\sec\theta+\tan\theta|\big).$$

Так

$$\begin{align}25\int_0^{\pi/4} \tan^2\theta\sec\theta\ d\theta &= \frac{25}2\big(\sec\theta\tan\theta-\ln|\sec\theta+\tan\theta|\big)\Bigg|_0^{\pi/4}\\&= \frac{25}2\big(\sqrt2-\ln(\sqrt2+1)\big)\\&\approx 6.661.\end{align}$$

Наступні рівності дуже корисні при оцінці інтегралів за допомогою тригонометричної заміни.

Ket Idea 14: Корисні рівності з тригонометричною заміною

1. $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
2. $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1 = 1-2\sin^2\theta$
3. $\int \sec^3\theta\ d\theta = \frac12\Big(\sec \theta\tan \theta + \ln\big|\sec \theta+\tan \theta\big|\Big)+C$
4. $\int \cos^2\theta\ d\theta = \int \frac12\big(1+\cos(2\theta)\big)\ d\theta = \frac12\big(\theta+\sin\theta\cos\theta\big)+C.$

У наступному розділі представлена декомпозиція часткового дробу, яка є алгебраїчною технікою, яка перетворює «складні» дроби на суми «простіших» дробів, полегшуючи інтеграцію.

Автори та авторства

• Template:ContribApexCalc
• Template:ContribMarshall