Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Інтеграція частинами

Ось простий інтеграл, який ми ще не можемо оцінити:

$\ int х\ cos х\, дх.\]

Це проста справа, щоб взяти похідну від integrand, використовуючи Правило продукту, але немає правила продукту для інтегралів. Однак у цьому розділі представлено Інтеграція частинами, метод інтеграції, який базується на Правилі продукту для похідних. Це дасть нам можливість оцінити цей інтеграл.

Правило продукту говорить, що якщоu іv є функціямиx, то(uv)=uv+uv. Для простоти ми написалиu дляu(x) іv дляv(x). Припустимо, ми інтегруємо обидві сторони щодоx. Це дає

$\ int (ув) '\, дх =\ int (u'v+uv')\, дх.\]

За фундаментальною теоремою обчислення ліва сторона інтегрується вuv. Права сторона може бути розбита на два інтеграли, і у нас є

$ $ ув =\ int у'в\, ДХ +\ int ув'\, дх.\]

Рішення для другого інтеграла ми маємо

$\ int ув'\, дх = ув -\ int у'в\, дх.\]

Використовуючи диференціальні позначення, ми можемо записатиdu=u(x)dxdv=v(x)dx і вираз вище можна записати наступним чином:

$\ int u\, dv = ув -\ int v\, ду.\]

Це формула Інтеграція по частинам. Для довідкових цілей ми констатуємо це в теоремі.

Теорема6.2.1: Integration by Parts

vДозволятиu і бути диференційовні функціїx на інтервалі,I що міститьa іb. Тоді

u dv=uvv du,

та інтеграція частинами

x=bx=au dv=uv|bax=bx=av du.

Спробуємо приклад, щоб зрозуміти нашу нову техніку.

Приклад6.2.1: Integrating using Integration by Parts

Оцінитиxcosx dx.

Рішення

Ключем до інтеграції частинами є ідентифікація частини інтегралу як "u" і частина як "dv. Регулярна практика допоможе зробити хороші ідентифікації, а пізніше ми представимо деякі принципи, які допомагають. А поки нехайu=x іdv=cosx dx.

Як правило, корисно скласти невелику таблицю цих значень, як це робиться нижче. Зараз ми знаємо лишеu іdv як показано зліва на малюнку6.2.1; праворуч ми заповнюємо решту того, що нам потрібно. Якщоu=x, тоdu=dx. Так якdv=cosx dx,v є антипохідним відcosx. Вибираємоv=sinx.

альт

Малюнок6.2.1: Налаштування інтеграції по частинам.

Тепер замініть все це у формулу Інтеграція частинами, даючи

$\ int х\ cos х\, дх = х\ гріх х -\ int\ sin х\, дх.\]

Потім ми можемоsinx інтегруватися, щоб отриматиcosx+C і загалом наша відповідь

$\ int х\ cos х\ dx = х\ гріх х +\ cos х + C\]

Зверніть увагу, як антидериватив містить продукт,xsinx. Цей продукт - це те, що робить інтеграцію частинами необхідною.

Наведений вище приклад демонструє, як взагалі працює інтеграція по частинам. Ми намагаємося ідентифікуватиu іdv в інтегралі нам дано, і ключовим є те, що ми зазвичай хочемо вибрати,u іdv так щоdu це простіше, ніжu іv, сподіваюся, не надто складніше, ніжdv. Це означатиме, що інтеграл на правій стороні формули Інтеграція частинамиvdu буде простіше інтегрувати, ніж оригінальний інтегралudv.

У наведеному вище прикладі ми вибралиu=x іdv=cosxdx. Тодіdu=dx було простіше,v=sinx ніжu і не складнішеdv. Тому замість інтеграціїxcosxdx ми могли б інтегруватиsinxdx, що ми вміли робити.

Корисна мнемоніка для допомоги у визначенніu - «LIATE», де

L=Logarithmic,I=InverseTrig.,A=Algebraic(polynomials),

T=Trigonometric,andE=Exponential.

Якщо integrand містить як логарифмічний, так і алгебраїчний термін, загалом дозволяючиu бути логарифмічний термін працює найкраще, як вказує L, що йде перед A в LIATE.

Розглянемо тепер ще один приклад.

Приклад6.2.2: Integrating using Integration by Parts

Оцінитиxexdx.

Рішення

Ціле число містить алгебраїчний термін A (x) і\ textbf {E} експоненційний термін (ex). Наша мнемоніка пропонує дозволитиu бути алгебраїчним терміном, тому ми вибираємоu=x іdv=exdx. Потімdu=dx іv=ex як зазначено в таблицях нижче.

альт

Малюнок6.2.2: Налаштування інтеграції по частинам.

Ми бачимоdu простішеu, ніж, поки немає змін у переході відdv доv. Це добре. Формула інтеграції по частинам дає

$\ int х е^х\, дх = х ^ х -\ int е^х\, дх.\]

Інтеграл праворуч простий; наша остаточна відповідь

$\ int xe^x\ dx = xe^x - е ^ х + С.\]

Зверніть увагу ще раз, як антипохідні містять термін продукту.

Приклад6.2.3: Integrating using Integration by Parts

Оцінитиx2cosxdx.

Рішення

Мнемоніка пропонує дозволитиu=x2 замість тригонометричної функції, отжеdv=cosxdx. Потімdu=2xdx іv=sinx як показано нижче.

альт

Малюнок6.2.3: Налаштування інтеграції по частинам.

Формула інтеграції по частинам дає

$\ int х ^ 2\ cos х\, дх = х ^ 2\ гріх х -\ int 2x\ гріх х\, дх.\]

На даний момент інтеграл праворуч дійсно простіший, ніж той, з якого ми почали, але щоб оцінити його, нам потрібно знову зробити інтеграцію частинами. Тут вибираємоu=2xdv=sinx і заповнюємо інші нижче.

альт

Малюнок6.2.4: Налаштування інтеграції по частинам.

Інтеграл весь шлях праворуч тепер те, що ми можемо оцінити. Він оцінює до2sinx. Потім, пройшовши і спрощуючи, будьте обережні, щоб тримати всі знаки прямо, наша відповідь
$$\ int x^2\ cos x\ dx = x^2\ sin x + 2x\ cos x - 2\ sin x + C\]

Приклад6.2.4: Integrating using Integration by Parts

Оцінитиexcosxdx.

Рішення

Це класична проблема. Наша мнемоніка пропонуєu дозволити тригонометричну функцію замість експоненціальної. У цьому конкретному прикладі можна дозволитиu бутиcosx абоex; щоб продемонструвати, що ми не повинні слідувати LIATE, ми вибираємоu=ex і, отже,dv=cosxdx. Потімdu=exdx іv=sinx як показано нижче.

альт

Малюнок6.2.5: Налаштування інтеграції по частинам.

Зверніть увагу, щоdu це не простішеu, ніж, йдучи проти нашого загального правила (але несіть з нами). Формула інтеграції по частинам дає

$\ int e^x\ cos х\ dx = е ^ х\ гріх х -\ int e^x\ гріх х\, дх.\]

Інтеграл праворуч не сильно відрізняється від того, з якого ми почали, тому здається, що ми нікуди не дісталися. Давайте продовжимо працювати і застосовувати інтеграцію частинами до нового інтегралу, використовуючиu=ex іdv=sinxdx. Це призводить нас до наступного:

альт

Малюнок6.2.6: Налаштування інтеграції по частинам.

Формула інтеграції по частинам дає:

excosxdx=exsinx(excosxexcosxdx)=exsinx+excosxexcosx dx.

Здається, ми повернулися прямо там, де ми почали, як правий бік міститьexcosxdx. Але це насправді хороша річ.

Додайтеexcosx dx в обидві сторони. Це дає

\ [\ begin {align*} 2\ int e^x\ cos x\ dx & = e ^ x\ sin x + e^x\ cos x\ cos x\\ text {Тепер розділіть обидві сторони на 2:}
\ int e^x\ cos x\ cos x\ dx & =\ frac {1} {2}\ великий (e^x\ sin x + e^x\ cos x\ big). \ end {вирівнювати*}\]

Трохи спрощуючи і додаючи константу інтеграції, наша відповідь таким чином

$\ int e^x\ cos х\ dx =\ frac12e^x\ ліворуч (\ sin x +\ cos х\ праворуч) +C.\]

Приклад6.2.5: Integrating using Integration by Parts: antiderivative of lnx

Оцінитиlnxdx.

Рішення

Можна було помітити, що у нас є правила інтеграції звичних тригонометричних функцій іex, але ми поки не дали правила інтеграціїlnx. Це тому, що неlnx може бути легко інтегрований з будь-яким із правил, які ми вивчили до цього моменту. Але ми можемо знайти його антипохідне за допомогою розумного застосування Інтеграція частинами. Набірu=lnx іdv=dx. Це хороший, підлий трюк, щоб навчитися, оскільки це може допомогти в інших ситуаціях. Це визначаєdu=(1/x)dx іv=x, як показано нижче.

альт

Малюнок6.2.7: Налаштування інтеграції по частинам.

Поклавши це все разом у формулу Інтеграція частинами, все працює дуже красиво:

$\ int\ ln х\, дх = х\ ln х -\ int х\,\ frac1x\, дх.\]

Новий інтеграл спрощує1dx, який приблизно так само просто, як речі отримати. Його невід'ємною частиною єx+C і наша відповідь

$\ int\ ln х\ дх = х\ ln {х} - х + С\]

Приклад6.2.6: Integrating using Int. by Parts: antiderivative of arctanx

Оцінитиarctanxdx.

Рішення

Той самий підлий трюк, який ми використовували вище, працює тут. Нехайu=arctanx іdv=dx. Потімdu=1/(1+x2)dx іv=x. Формула інтеграції по частинам дає

arctanxdx=xarctanxx1+x2dx.

Інтеграл справа може бути вирішений шляхом підміни. Взявшиu=1+x2, отримуємоdu=2xdx. Інтеграл тоді стає

arctanxdx=xarctanx121udu.

Інтеграл на право оцінює доln|u|+C, який стаєln(1+x2)+C. Тому відповідь така

arctanx dx=xarctanxln(1+x2)+C.

Заміна перед інтеграцією

При прийомі похідних було прийнято використовувати кілька правил (наприклад, використання як коефіцієнтів, так і правил ланцюга). Тоді не дивно, що деякі інтеграли найкраще оцінюються, поєднуючи методи інтеграції. Зокрема, тут ми проілюструємо створення «незвичайної» заміни спочатку перед використанням Integration by Parts.

Приклад6.2.7: Integration by Parts after substitution

Оцінитиcos(lnx) dx.

Рішення

Integrand містить склад функцій, що змушує нас думати, що заміщення було б корисним. Відпускаючиu=lnx, у нас єdu=1/x dx. Це здається проблематичним, оскільки ми не маємо1/x в цілісності. Але врахуйте:

du=1x dxxdu=dx.

Так якu=lnx, ми можемо використовувати зворотні функції і зробити висновок про цеx=eu. Тому ми маємо це

dx=xdu=eu du.

Таким чином, ми можемоlnx замінити наu іdx зeu du. Таким чином, ми перепишемо наш інтеграл як

cos(lnx) dx=eucosu du.

Ми оцінили цей інтеграл у прикладі6.2.4. Використовуючи результат там, ми маємо:

cos(lnx) dx=eucosu du=12eu(sinu+cosu)+C=12elnx(sin(lnx)+cos(lnx))+C=12x(sin(lnx)+cos(lnx))+C.

Певні інтеграли та інтеграція по частинам

Поки ми зосередилися лише на оцінці невизначеного інтегралу. Звичайно, ми можемо використовувати Інтеграцію частинами для оцінки певних інтегралів, а також6.2.1 теореми. Ми робимо це в наступному прикладі.

Приклад6.2.8: Definite integration using Integration by Parts

Оцінити21x2lnxdx.

Рішення

Наша мнемоніка пропонує дозволитиu=lnx, отжеdv=x2dx.

Потім отримуємоdu=(1/x)dx іv=x3/3 як показано нижче.

альт

Малюнок6.2.8: Налаштування інтеграції по частинам.

Формула інтеграції по частинам потім дає

21x2lnxdx=x33lnx|2121x331xdx=x33lnx|2121x23dx=x33lnx|21x39|21=(x33lnxx39)|21=(83ln289)(13ln119)=83ln2791.07.

Загалом, Інтеграція частинами корисна для інтеграції певних продуктів функцій, таких якxexdx абоx3sinxdx. Він також корисний для інтегралів із логарифмами та оберненими тригонометричними функціями.

Як зазначалося раніше, інтеграція, як правило, складніше, ніж деривація. Ми розробляємо інструменти для обробки великого масиву інтегралів, і досвід підкаже нам, коли один інструмент бажаний/необхідний перед іншим. Наприклад, розглянемо три аналогічні на вигляд інтеграли

$\ int xe ^ x\, x,\ qquad\ int х e^ {x^2}\, dx\ qquad\ текст {і}\ qquad\ int xe^ {x^3}\, х.\]

Хоча перший легко обчислюється за допомогою інтеграції частинами, до другого найкраще підходити із заміною. Збираючи речі на крок далі, третій інтеграл не має відповіді з точки зору елементарних функцій, тому жоден із методів, які ми вивчаємо в обчисленні, не дасть нам точної відповіді.

Інтеграція частинами є дуже корисним методом, поступаючись лише заміщенню. У наступних розділах цієї глави ми продовжуємо вивчати інші методи інтеграції. Наступний розділ присвячений обробці інтегралів, що містять тригонометричні функції.

Автори та атрибуція

  • Was this article helpful?