6.2: Інтеграція частинами
Ось простий інтеграл, який ми ще не можемо оцінити:
$\ int х\ cos х\, дх.\]
Це проста справа, щоб взяти похідну від integrand, використовуючи Правило продукту, але немає правила продукту для інтегралів. Однак у цьому розділі представлено Інтеграція частинами, метод інтеграції, який базується на Правилі продукту для похідних. Це дасть нам можливість оцінити цей інтеграл.
Правило продукту говорить, що якщоu іv є функціямиx, то(uv)′=u′v+uv′. Для простоти ми написалиu дляu(x) іv дляv(x). Припустимо, ми інтегруємо обидві сторони щодоx. Це дає
$\ int (ув) '\, дх =\ int (u'v+uv')\, дх.\]
За фундаментальною теоремою обчислення ліва сторона інтегрується вuv. Права сторона може бути розбита на два інтеграли, і у нас є
$ $ ув =\ int у'в\, ДХ +\ int ув'\, дх.\]
Рішення для другого інтеграла ми маємо
$\ int ув'\, дх = ув -\ int у'в\, дх.\]
Використовуючи диференціальні позначення, ми можемо записатиdu=u′(x)dxdv=v′(x)dx і вираз вище можна записати наступним чином:
$\ int u\, dv = ув -\ int v\, ду.\]
Це формула Інтеграція по частинам. Для довідкових цілей ми констатуємо це в теоремі.
Теорема6.2.1: Integration by Parts
vДозволятиu і бути диференційовні функціїx на інтервалі,I що міститьa іb. Тоді
∫u dv=uv−∫v du,
та інтеграція частинами
∫x=bx=au dv=uv|ba−∫x=bx=av du.
Спробуємо приклад, щоб зрозуміти нашу нову техніку.
Приклад6.2.1: Integrating using Integration by Parts
Оцінити∫xcosx dx.
Рішення
Ключем до інтеграції частинами є ідентифікація частини інтегралу як "u" і частина як "dv. Регулярна практика допоможе зробити хороші ідентифікації, а пізніше ми представимо деякі принципи, які допомагають. А поки нехайu=x іdv=cosx dx.
Як правило, корисно скласти невелику таблицю цих значень, як це робиться нижче. Зараз ми знаємо лишеu іdv як показано зліва на малюнку6.2.1; праворуч ми заповнюємо решту того, що нам потрібно. Якщоu=x, тоdu=dx. Так якdv=cosx dx,v є антипохідним відcosx. Вибираємоv=sinx.
Малюнок6.2.1: Налаштування інтеграції по частинам.
Тепер замініть все це у формулу Інтеграція частинами, даючи$\ int х\ cos х\, дх = х\ гріх х -\ int\ sin х\, дх.\]
Потім ми можемоsinx інтегруватися, щоб отримати−cosx+C і загалом наша відповідь
$\ int х\ cos х\ dx = х\ гріх х +\ cos х + C\]
Зверніть увагу, як антидериватив містить продукт,xsinx. Цей продукт - це те, що робить інтеграцію частинами необхідною.
Наведений вище приклад демонструє, як взагалі працює інтеграція по частинам. Ми намагаємося ідентифікуватиu іdv в інтегралі нам дано, і ключовим є те, що ми зазвичай хочемо вибрати,u іdv так щоdu це простіше, ніжu іv, сподіваюся, не надто складніше, ніжdv. Це означатиме, що інтеграл на правій стороні формули Інтеграція частинами∫vdu буде простіше інтегрувати, ніж оригінальний інтеграл∫udv.
У наведеному вище прикладі ми вибралиu=x іdv=cosxdx. Тодіdu=dx було простіше,v=sinx ніжu і не складнішеdv. Тому замість інтеграціїxcosxdx ми могли б інтегруватиsinxdx, що ми вміли робити.
Корисна мнемоніка для допомоги у визначенніu - «LIATE», де
L=Logarithmic,I=InverseTrig.,A=Algebraic(polynomials),
T=Trigonometric,andE=Exponential.
Якщо integrand містить як логарифмічний, так і алгебраїчний термін, загалом дозволяючиu бути логарифмічний термін працює найкраще, як вказує L, що йде перед A в LIATE.
Розглянемо тепер ще один приклад.
Приклад6.2.2: Integrating using Integration by Parts
Оцінити∫xexdx.
Рішення
Ціле число містить алгебраїчний термін A (x) і\ textbf {E} експоненційний термін (ex). Наша мнемоніка пропонує дозволитиu бути алгебраїчним терміном, тому ми вибираємоu=x іdv=exdx. Потімdu=dx іv=ex як зазначено в таблицях нижче.
Малюнок6.2.2: Налаштування інтеграції по частинам.
Ми бачимоdu простішеu, ніж, поки немає змін у переході відdv доv. Це добре. Формула інтеграції по частинам дає
$\ int х е^х\, дх = х ^ х -\ int е^х\, дх.\]
Інтеграл праворуч простий; наша остаточна відповідь
$\ int xe^x\ dx = xe^x - е ^ х + С.\]
Зверніть увагу ще раз, як антипохідні містять термін продукту.
Приклад6.2.3: Integrating using Integration by Parts
Оцінити∫x2cosxdx.
Рішення
Мнемоніка пропонує дозволитиu=x2 замість тригонометричної функції, отжеdv=cosxdx. Потімdu=2xdx іv=sinx як показано нижче.
Малюнок6.2.3: Налаштування інтеграції по частинам.
Формула інтеграції по частинам дає
$\ int х ^ 2\ cos х\, дх = х ^ 2\ гріх х -\ int 2x\ гріх х\, дх.\]
На даний момент інтеграл праворуч дійсно простіший, ніж той, з якого ми почали, але щоб оцінити його, нам потрібно знову зробити інтеграцію частинами. Тут вибираємоu=2xdv=sinx і заповнюємо інші нижче.
Малюнок6.2.4: Налаштування інтеграції по частинам.
Інтеграл весь шлях праворуч тепер те, що ми можемо оцінити. Він оцінює до−2sinx. Потім, пройшовши і спрощуючи, будьте обережні, щоб тримати всі знаки прямо, наша відповідь
$$\ int x^2\ cos x\ dx = x^2\ sin x + 2x\ cos x - 2\ sin x + C\]
Приклад6.2.4: Integrating using Integration by Parts
Оцінити∫excosxdx.
Рішення
Це класична проблема. Наша мнемоніка пропонуєu дозволити тригонометричну функцію замість експоненціальної. У цьому конкретному прикладі можна дозволитиu бутиcosx абоex; щоб продемонструвати, що ми не повинні слідувати LIATE, ми вибираємоu=ex і, отже,dv=cosxdx. Потімdu=exdx іv=sinx як показано нижче.
Малюнок6.2.5: Налаштування інтеграції по частинам.
Зверніть увагу, щоdu це не простішеu, ніж, йдучи проти нашого загального правила (але несіть з нами). Формула інтеграції по частинам дає
$\ int e^x\ cos х\ dx = е ^ х\ гріх х -\ int e^x\ гріх х\, дх.\]
Інтеграл праворуч не сильно відрізняється від того, з якого ми почали, тому здається, що ми нікуди не дісталися. Давайте продовжимо працювати і застосовувати інтеграцію частинами до нового інтегралу, використовуючиu=ex іdv=sinxdx. Це призводить нас до наступного:
Малюнок6.2.6: Налаштування інтеграції по частинам.
Формула інтеграції по частинам дає:
∫excosxdx=exsinx−(−excosx−∫−excosxdx)=exsinx+excosx−∫excosx dx.
Здається, ми повернулися прямо там, де ми почали, як правий бік містить∫excosxdx. Але це насправді хороша річ.
Додайте∫excosx dx в обидві сторони. Це дає
\ [\ begin {align*} 2\ int e^x\ cos x\ dx & = e ^ x\ sin x + e^x\ cos x\ cos x\\ text {Тепер розділіть обидві сторони на 2:}
\ int e^x\ cos x\ cos x\ dx & =\ frac {1} {2}\ великий (e^x\ sin x + e^x\ cos x\ big). \ end {вирівнювати*}\]
Трохи спрощуючи і додаючи константу інтеграції, наша відповідь таким чином
$\ int e^x\ cos х\ dx =\ frac12e^x\ ліворуч (\ sin x +\ cos х\ праворуч) +C.\]
Приклад6.2.5: Integrating using Integration by Parts: antiderivative of lnx
Оцінити∫lnxdx.
Рішення
Можна було помітити, що у нас є правила інтеграції звичних тригонометричних функцій іex, але ми поки не дали правила інтеграціїlnx. Це тому, що неlnx може бути легко інтегрований з будь-яким із правил, які ми вивчили до цього моменту. Але ми можемо знайти його антипохідне за допомогою розумного застосування Інтеграція частинами. Набірu=lnx іdv=dx. Це хороший, підлий трюк, щоб навчитися, оскільки це може допомогти в інших ситуаціях. Це визначаєdu=(1/x)dx іv=x, як показано нижче.
Малюнок6.2.7: Налаштування інтеграції по частинам.
Поклавши це все разом у формулу Інтеграція частинами, все працює дуже красиво:
$\ int\ ln х\, дх = х\ ln х -\ int х\,\ frac1x\, дх.\]
Новий інтеграл спрощує∫1dx, який приблизно так само просто, як речі отримати. Його невід'ємною частиною єx+C і наша відповідь
$\ int\ ln х\ дх = х\ ln {х} - х + С\]
Приклад6.2.6: Integrating using Int. by Parts: antiderivative of arctanx
Оцінити∫arctanxdx.
Рішення
Той самий підлий трюк, який ми використовували вище, працює тут. Нехайu=arctanx іdv=dx. Потімdu=1/(1+x2)dx іv=x. Формула інтеграції по частинам дає
∫arctanxdx=xarctanx−∫x1+x2dx.
Інтеграл справа може бути вирішений шляхом підміни. Взявшиu=1+x2, отримуємоdu=2xdx. Інтеграл тоді стає
∫arctanxdx=xarctanx−12∫1udu.
Інтеграл на право оцінює доln|u|+C, який стаєln(1+x2)+C. Тому відповідь така
∫arctanx dx=xarctanx−ln(1+x2)+C.
Заміна перед інтеграцією
При прийомі похідних було прийнято використовувати кілька правил (наприклад, використання як коефіцієнтів, так і правил ланцюга). Тоді не дивно, що деякі інтеграли найкраще оцінюються, поєднуючи методи інтеграції. Зокрема, тут ми проілюструємо створення «незвичайної» заміни спочатку перед використанням Integration by Parts.
Приклад6.2.7: Integration by Parts after substitution
Оцінити∫cos(lnx) dx.
Рішення
Integrand містить склад функцій, що змушує нас думати, що заміщення було б корисним. Відпускаючиu=lnx, у нас єdu=1/x dx. Це здається проблематичним, оскільки ми не маємо1/x в цілісності. Але врахуйте:
du=1x dx⇒x⋅du=dx.
Так якu=lnx, ми можемо використовувати зворотні функції і зробити висновок про цеx=eu. Тому ми маємо це
dx=x⋅du=eu du.
Таким чином, ми можемоlnx замінити наu іdx зeu du. Таким чином, ми перепишемо наш інтеграл як
∫cos(lnx) dx=∫eucosu du.
Ми оцінили цей інтеграл у прикладі6.2.4. Використовуючи результат там, ми маємо:
∫cos(lnx) dx=∫eucosu du=12eu(sinu+cosu)+C=12elnx(sin(lnx)+cos(lnx))+C=12x(sin(lnx)+cos(lnx))+C.
Певні інтеграли та інтеграція по частинам
Поки ми зосередилися лише на оцінці невизначеного інтегралу. Звичайно, ми можемо використовувати Інтеграцію частинами для оцінки певних інтегралів, а також6.2.1 теореми. Ми робимо це в наступному прикладі.
Приклад6.2.8: Definite integration using Integration by Parts
Оцінити∫21x2lnxdx.
Рішення
Наша мнемоніка пропонує дозволитиu=lnx, отжеdv=x2dx.
Потім отримуємоdu=(1/x)dx іv=x3/3 як показано нижче.
Малюнок6.2.8: Налаштування інтеграції по частинам.
Формула інтеграції по частинам потім дає
∫21x2lnxdx=x33lnx|21−∫21x331xdx=x33lnx|21−∫21x23dx=x33lnx|21−x39|21=(x33lnx−x39)|21=(83ln2−89)−(13ln1−19)=83ln2−79≈1.07.
Загалом, Інтеграція частинами корисна для інтеграції певних продуктів функцій, таких як∫xexdx або∫x3sinxdx. Він також корисний для інтегралів із логарифмами та оберненими тригонометричними функціями.
Як зазначалося раніше, інтеграція, як правило, складніше, ніж деривація. Ми розробляємо інструменти для обробки великого масиву інтегралів, і досвід підкаже нам, коли один інструмент бажаний/необхідний перед іншим. Наприклад, розглянемо три аналогічні на вигляд інтеграли
$\ int xe ^ x\, x,\ qquad\ int х e^ {x^2}\, dx\ qquad\ текст {і}\ qquad\ int xe^ {x^3}\, х.\]
Хоча перший легко обчислюється за допомогою інтеграції частинами, до другого найкраще підходити із заміною. Збираючи речі на крок далі, третій інтеграл не має відповіді з точки зору елементарних функцій, тому жоден із методів, які ми вивчаємо в обчисленні, не дасть нам точної відповіді.
Інтеграція частинами є дуже корисним методом, поступаючись лише заміщенню. У наступних розділах цієї глави ми продовжуємо вивчати інші методи інтеграції. Наступний розділ присвячений обробці інтегралів, що містять тригонометричні функції.