4: Лінійні та поверхневі інтеграли
- Page ID
- 60272
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Лінійний інтеграл - це інтеграл, де функція, яку потрібно інтегрувати, оцінюється вздовж кривої, а поверхневий інтеграл - узагальнення множинних інтегралів для інтеграції над поверхнями. Його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтеграла. За даними поверхні можна інтегрувати над її скалярними полями (тобто функціями, які повертають скаляри як значення) та векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення). Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, особливо з теоріями класичного електромагнетизму.
- 4.1: Лінійні інтеграли
- У цьому розділі ми побачимо, як визначити інтеграл функції (або реальної, або векторної) двох змінних над загальним шляхом (тобто кривою) в\(\mathbb{R}^2\). Це визначення буде мотивовано фізичним поняттям про працю. Почнемо з реальних функцій двох змінних.
- 4.2: Властивості лінійних інтегралів
- З попереднього розділу відомо, що для лінійних інтегралів дійсних функцій (скалярних полів) зворотне напрямок, в якому взято інтеграл вздовж кривої, не змінює значення лінійного інтеграла.
- 4.3: Теорема Гріна
- Тепер ми побачимо спосіб оцінки лінійного інтеграла гладкого векторного поля навколо простої замкнутої кривої. \(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}\)Векторне поле є гладким, якщо його компонент\(Q(x, y)\) функціонує\(P(x, y)\) і є гладким. Ми будемо використовувати теорему Гріна (іноді її називають теоремою Гріна на площині), щоб зв'язати лінійний інтеграл навколо замкнутої кривої з подвійним інтегралом над областю всередині кривої:
- 4.4: Поверхневі інтеграли та теорема про розбіжність
- Зараз ми дізнаємося, як виконувати інтеграцію над поверхнею\(\mathbb{R}^3\), наприклад, сферою або параболоїдом. Нагадаємо з розділу 1.8, як ми ідентифікували точки\((x, y, z)\) на кривій\(C\) в\(\mathbb{R}^3\)\(x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b\), параметризовані, з кінцевими точками вектора положення.
- 4.5: Теорема Стокса
- Поки єдиними типами лінійних інтегралів, які ми обговорювали, є ті, що вздовж кривих в\(\mathbb{R}^ 2\). Але визначення та властивості, які були розглянуті в розділах 4.1 і 4.2 можуть бути легко розширені, щоб включити функції трьох змінних, так що тепер ми можемо обговорити лінійні інтеграли вздовж кривих в\(\mathbb{R}^ 3\).
- 4.6: Градієнт, розбіжність, завиток та лапласиан
- У цьому заключному розділі ми встановимо деякі зв'язки між градієнтом, розбіжністю та завитком, а також введемо нову величину під назвою Лапласіан. Потім ми покажемо, як записати ці величини в циліндричних і сферичних координатах.
- 4.E: Лінійні та поверхневі інтеграли (вправи)
- Проблеми і вибір варіантів вирішення глави.
Мініатюра: Загальний потік через поверхню можна знайти шляхом додавання для кожного патча. У межі, коли плями стають нескінченно малими, це поверхневий інтеграл. (CC0; Четверно через Вікіпедію)