3.E: Кілька інтегралів (вправи)
- Page ID
- 60216
3.1: Подвійні інтеграли
A
Для вправ 1-4 знайдіть обсяг під поверхнею\(z = f (x, y)\) над прямокутником\(R\).
3.1.1. \(f (x, y) = 4x y,\, R = [0,1]×[0,1] \)
3.1.2. \(f (x, y) = e^{ x+y} ,\, R = [0,1]×[−1,1] \)
3.1.3. \(f (x, y) = x^ 3 + y^ 2 ,\, R = [0,1]×[0,1] \)
3.1.4. \(f (x, y) = x^ 4 + x y+ y^ 3 ,\, R = [1,2]×[0,2]\)
Для вправ 5-12 оцініть даний подвійний інтеграл.
3.1.5. \(\int_0^1 \int_1^2 (1− y)x^ 2 \,dx \,d y\)
3.1.6. \(\int_0^1 \int_0^2 x(x+ y)\,dx \,d y\)
3.1.7. \(\int_0^2 \int_0^1 (x+2)\,dx \,d y\)
3.1.8. \(\int_{−1}^2 \int_{−1}^1 x(x y+\sin x)\,dx\, d y\)
3.1.9. \(\int_0^{\pi /2} \int_0^1 x y\cos (x^ 2 y)\,dx\, d y\)
3.1.10. \(\int_0^{\pi} \int_0^{π/2} \sin x \cos (y−π) \,dx\, d y\)
3.1.11. \(\int_0^2 \int_1^4 x y \,dx\, d y\)
3.1.12. \(\int_{-1}^1 \int_{-1}^2 1\,dx\, d y\)
3.1.13. Нехай\(M\) буде постійною. Покажіть, що\(\int_c^d \int_a^b M\, dx \,d y = M(d − c)(b − a).\)
3.2: Подвійні інтеграли над загальною областю
A
Для вправ 1-6 оцініть заданий подвійний інтеграл.
3.2.1. \(\int_0^1 \int_{\sqrt{ x}}^1 24x^ 2 y \,d y\, dx\)
3.2.2. \(\int_0^π \int_0^y \sin x \,dx\, d y\)
3.2.3. \(\int_1^2 \int_0^{\ln x} 4x \,d y\, dx\)
3.2.4. \(\int_0^2 \int_0^{2y} e^ {y^ 2} \,dx \,d y\)
3.2.5. \(\int_0^{π/2} \int_0^y \cos x \sin y \,dx \,d y\)
3.2.6. \(\int_0^{∞} \int_0^{∞} x ye^{−(x^ 2+y^ 2 )}\, dx \,d y\)
3.2.7. \(\int_0^2 \int_0^y 1\,dx \,d y\)
3.2.8. \(\int_0^1 \int_0^{x^ 2} 2\,d y\, dx\)
3.2.9. Знайдіть\(V\) об'єм твердого тіла, обмеженого трьома координатними площинами та площиною\(x+ y+ z = 1\).
3.2.10. Знайдіть\(V\) об'єм твердого тіла, обмеженого трьома координатними площинами та площиною\(3x+2y+5z = 6\).
Б
3.2.11. Поясніть, чому подвійний інтеграл\(\iint\limits_R 1\,d A\) дає площу області\(R\). Для простоти можна припустити, що\(R\) це область типу, показаного на малюнку 3.2.1 (а).
C
3.2.12. Доведіть, що обсяг тетраедра з взаємно перпендикулярними суміжними сторонами довжин\(a,\, b, \text{ and }c\), як на малюнку 3.2.6, є\(\frac{abc}{ 6}\). (Підказка: Мімічний приклад 3.5, і нагадаємо з розділу 1.5, як три неколінеарні точки визначають площину. )
Малюнок 3.2.6
3.2.13. Покажіть, як Вправа 12 може бути використана для вирішення вправи 10.
3.3: Потрійні інтеграли
A
Для вправ 1-8 оцініть даний потрійний інтеграл.
3.3.1. \(\int_0^3 \int_0^2 \int_0^1 x yz \,dx\, d y\, dz\)
3.3.2. \(\int_0^1 \int_0^x \int_0^y x yz \,dz\, d y\, dx\)
3.3.3. \(\int_0^π \int_0^x \int_0^{x y} x^ 2 \sin z \,dz\, d y\, dx\)
3.3.4. \(\int_0^1 \int_0^z \int_0^y ze^{ y^ 2} \,dx\, d y\, dz\)
3.3.5. \(\int_1^e \int_0^y \int_0^{1/y} x^ 2 z \,dx \,dz \,d y\)
3.3.6. \(\int_1^2 \int_0^{y^ 2} \int_0^{z^ 2} yz \,dx \,dz \,d y\)
3.3.7. \(\int_1^2 \int_2^4 \int_0^3 1\,dx \,d y\, dz\)
3.3.8. \(\int_0^1 \int_0^{1−x} \int_0^{1−x−y} 1\,dz\, d y\, dx\)
3.3.9. Нехай\(M\) буде постійною. Покажіть, що\(\int_{z_1}^{z_2} \int_{y_1}^{y_2} \int_{x_1}^{x_2} M\, dx\, d y\, dz = M(z_2 − z_1)(y_2 − y_1)(x_2 − x_1)\).
Б
3.3.10. Знайдіть об'єм\(V\) твердого тіла,\(S\) обмеженого трьома координатними площинами, обмеженим вище\(x+ y+ z = 2\) площиною і обмежений нижче площиною\(z = x+ y\).
C
3.3.11. Покажіть, що\(\int_a^b \int_a^z \int_a^y f (x)\,dx \,d y \,dz = \int_a^b \frac{(b−x)^ 2}{ 2} f (x)\,dx\). (Підказка: Подумайте, як зміна порядку інтеграції в потрійному інтегралі змінює межі інтеграції.)
3.4: Чисельне наближення кратних інтегралів
C
3.4.1. Напишіть програму, яка використовує метод Монте-Карло для наближення подвійного інтеграла\(\iint\limits_R e^{ x y}\, d A\), де\(R = [0,1]×[0,1]\). Показувати вивід програми для\(N = 10,\, 100,\, 1000,\, 10000,\, 100000 \text{ and }1000000\) випадкових точок.
3.4.2. Напишіть програму, яка використовує метод Монте-Карло для наближення потрійного інтеграла\ iiint\ limits_s e^ {x yz}\, dV\), де\(S = [0,1] × [0,1] × [0,1]\). Показувати вивід програми для\(N = 10,\, 100,\, 1000,\, 10000,\, 100000 \text{ and }1000000\) випадкових точок.
3.4.3. Повторіть вправу 1 з областю\(R = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ x^ 2 }\).
3.4.4. Повторіть вправу 2 з твердим тілом\(S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1, \,0 ≤ z ≤ 1− x− y}\).
3.4.5. Скористайтеся методом Монте-Карло, щоб наблизити об'єм сфери радіусом 1.
3.4.6. Використовуйте метод Монте-Карло для наближення обсягу еліпсоїда\(\frac{x^ 2}{ 9} + \frac{y^ 2}{ 4} + \frac{z^ 2}{ 1} = 1\).
3.5: Зміна змінних в декількох інтегралах
A
3.5.1. Знайдіть обсяг\(V\) всередині параболоїда\(z = x^ 2 + y^ 2 \text{ for }0 ≤ z ≤ 4\).
3.5.2. Знайдіть обсяг\(V\) всередині конуса\(z = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}\) для\(0 ≤ z ≤ 3\).
Б
3.5.3. Знайдіть обсяг\(V\) твердого тіла всередині обох\(x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 4\) і\(x^ 2 + y^ 2 = 1\).
3.5.4. Знайдіть обсяг\(V\) всередині як сфери, так\(x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1\) і конуса\(z = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}\).
3.5.5. Доведіть рівняння (3.25).
3.5.6. Доведіть рівняння (3.26).
3.5.7. Оцініть\(\iiint\limits_R \sin \left ( \frac{x+y}{ 2} \right ) \cos \left ( \frac{x−y}{ 2} \right ) \,d A\), де\(R\) знаходиться трикутник з вершинами\((0,0),\, (2,0) \text{ and }(1,1)\). (Підказка: Використовуйте зміну змінних\(u = (x+ y)/2,\, v = (x− y)/2.\))
3.5.8. Знайти об'єм твердого тіла, обмеженого\(z = x^ 2 + y^ 2 \text{ and }z^ 2 = 4(x^ 2 + y^ 2 )\).
3.5.9. Знайдіть обсяг всередині еліптичного циліндра\(\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} = 1 \text{ for } 0 ≤ z ≤ 2\).
C
3.5.10. Покажіть, що обсяг всередині еліпсоїда\(\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} + \frac{z^ 2}{ c^ 2} = 1 \text{ is }\frac{4πabc}{ 3}\). (Підказка: Використовуйте зміну змінних\(x = au,\, y = bv,\, z = cw\), а потім розглянемо приклад 3.12. )
3.5.11. Показати, що функція Beta, визначена
\[B(x, y) = \int_0^1 t^{ x−1} (1− t)^{ y−1} dt ,\text{ for }x > 0,\, y > 0,\]
задовольняє відношення\(B(y, x) = B(x, y) \text{ for }x > 0,\, y > 0.\)
3.5.12. Використовуючи підстановку\(t = u/(u +1)\), показати, що функція Beta може бути записана як
\[B(x, y) = \int_0^∞ \frac{u^{ x−1}}{ (u +1)^{x+y}}\, du ,\text{ for }x > 0,\, y > 0.\]
3.6: Застосування: Центр мас
A
Для Вправ 1-5 знайдіть центр маси області\(R\) з заданою функцією щільності\(δ(x, y)\).
3.6.1. \(R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2,\, 0 ≤ y ≤ 4 },\, δ(x, y) = 2y\)
3.6.2. \(R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ x 2 },\, δ(x, y) = x+ y \)
3.6.3. \(R = {(x, y) : y ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 ≤ a^ 2 },\, δ(x, y) = 1\)
3.6.4. \(R = {(x, y) : y ≥ 0,\, x ≥ 0,\, 1 ≤ x^ 2 + y^ 2 ≤ 4 },\, δ(x, y) = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2}\)
3.6.5. \(R = {(x, y) : y ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 ≤ 1 },\, δ(x, y) = y\)
Б
Для вправ 6-10 знайдіть центр маси твердого тіла\(S\) з заданою функцією щільності\(δ(x, y, z)\).
3.6.6. \(S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1,\, 0 ≤ z ≤ 1 },\, δ(x, y, z) = x yz\)
3.6.7. \(S = {(x, y, z) : z ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 ≤ a^ 2 },\, δ(x, y, z) = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2\)
3.6.8. \(S = {(x, y, z) : x ≥ 0,\, y ≥ 0,\, z ≥ 0,\, x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 ≤ a^ 2 },\, δ(x, y, z) = 1\)
3.6.9. \(S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1,\, 0 ≤ z ≤ 1 },\, δ(x, y, z) = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2\)
3.6.10. \(S = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1,\, 0 ≤ y ≤ 1,\, 0 ≤ z ≤ 1− x− y},\, δ(x, y, z) = 1\)
3.7: Застосування: ймовірність та очікуване значення
Б
3.7.1. Оцініть інтеграл,\(\int_{−\infty}^{\infty} e^{ −x^ 2}\, dx\) використовуючи все, що ви дізналися до цих пір.
3.7.2. Для\(σ > 0 \text{ and }µ > 0\), оцініть\(\int_{\infty}^{−\infty} \frac{1}{ σ \sqrt{ 2π}} e^{ −(x−µ)^ 2 /2σ^ 2} dx\).
3.7.3. Показати це\(EY = \frac{n}{ n+1}\) в прикладі 3.18
C
3.7.4. Напишіть комп'ютерну програму (мовою за вашим вибором), яка перевіряє результати в прикладі 3.18 для випадку\(n = 3\) шляхом взяття великої кількості зразків.
3.7.5. Повторіть вправу 4 для випадку, коли\(n = 4\).
3.7.6. Для неперервних випадкових величин\(X, Y \text{ with joint p.d.f. }f (x, y)\) визначимо другі моменти\(E(X^ 2 ) \text{ and }E(Y^ 2 )\) за
\[E(X^ 2 ) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x^ 2 f (x, y)\,dx\, d y \text{ and }E(Y^ 2 ) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y^ 2 f (x, y)\,dx \,d y ,\]
і дисперсії Вар\((X)\) і Вар\((Y)\) по
\[\text{Var}(X) = E(X^ 2 )−(EX)^ 2 \text{ and Var}(Y) = E(Y^ 2 )−(EY)^ 2 .\]
Знайдіть Var\((X)\) і Var\((Y)\) для\(X\) і\(Y\) як у прикладі 3.18.
3.7.7. Продовжуючи вправу 6, кореляція\(ρ \text{ between }X \text{ and }Y\) визначається як
\[ρ = \frac{E(XY)−(EX)(EY)}{ \sqrt{ \text{Var}(X)\text{Var}(Y)}} ,\]
де\(E(XY) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x y \,f (x, y)\,dx\, d y\). Знайти\(ρ\)\(X \text{ and }Y\) як у прикладі 3.18.
(Примітка: Величина\(E(XY)−(EX)(EY)\) називається коваріацією\(X\) і\(Y\).)
3.7.8. У прикладі 3.17 відповідь зміниться, якщо інтервал\((0,100)\) використовується замість\((0,1)\)? Поясніть.