4.E: Лінійні та поверхневі інтеграли (вправи)

4.1: Лінійні інтеграли

A

Для вправ 1-4 обчислити\(\int_C f (x, y)\,ds\) для заданої функції\(f (x, y)\) та кривої\(C\).

4.1.1. \(f (x, y) = x y;\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ π/2\)

4.1.2. \(f (x, y) = \frac{x}{ x^ 2} +1 ;\quad C : x = t, y = 0, 0 ≤ t ≤ 1\)

4.1.3. \(f (x, y) = 2x+ y;\quad C:\text{ polygonal path from }(0,0) \text{ to }(3,0)\text{ to }(3,2)\)

4.1.4. \(f (x, y) = x + y^2 ;\quad C: \text{ path from }(2,0)\text{ counterclockwise along the circle }x^ 2 + y^ 2 = 4 \text{ to the point }(−2,0)\text{ and then back to }(2,0)\text{ along the }x\text{-axis}\)

4.1.5. Використовуйте лінійний інтеграл, щоб знайти площу бічної поверхні частини циліндра\(x^ 2 + y^ 2 = 4\) під площиною\(x+2y+ z = 6\) і над\(x y\) -площиною.

Для вправ 6-11 обчислити\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r}\) для заданого векторного поля\(\textbf{f}(x, y)\) та кривої\(C\).

4.1.6. \(\textbf{f}(x, y) = \textbf{i}−\textbf{j};\quad C : x = 3t, y = 2t, 0 ≤ t ≤ 1\)

4.1.7. \(\textbf{f}(x, y) = y\textbf{i}− x\textbf{j};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)

4.1.8. \(\textbf{f}(x, y) = x\textbf{i}+ y\textbf{j};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)

4.1.9. \(\textbf{f}(x, y) = (x^ 2 − y)\textbf{i}+(x− y^ 2 )\textbf{j};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)

4.1.10. \(\textbf{f}(x, y) = x y^2 \textbf{i}+ x y^3 \textbf{j};\quad C :\text{ the polygonal path from }(0,0)\text{ to }(1,0)\text{ to }(0,1)\text{ to }(0,0)\)

4.1.11. \(\textbf{f}(x, y) = (x^ 2 + y^ 2 )\textbf{i};\quad C : x = 2+\cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π\)

Б

4.1.12. Переконайтеся, що значення лінійного інтеграла в прикладі 4.1 не змінюється при використанні параметризації кола,\(C\) наведеного у формулах Рівняння (4.8).

4.1.13. Покажіть, що якщо\(\textbf{f} ⊥ \textbf{r} ′ (t)\) в кожній точці\(\textbf{r}(t)\) уздовж плавної кривої\(C\), то\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r} = 0\).

4.1.14. Покажіть, що якщо\(\textbf{f}\) точки в тому ж напрямку, що і\(\textbf{r} ′ (t)\) в кожній точці\(\textbf{r}(t)\) вздовж гладкої кривої\(C\), то\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r} = \int_C \norm{ \textbf{f}}\,ds\).

c

4.1.15. Доведіть, що\(\int_C f (x, y)\,ds = \int_{−C} f (x, y)\,ds\). (Підказка: Використовуйте формули Рівняння (4.9).)

4.1.16. \(C\)Дозволяти бути плавна крива з довжиною дуги\(L\), і припустимо, що\(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i}+Q(x, y)\textbf{j}\) це векторне поле таке, що\(\norm{\textbf{f}(x, y)} ≤ M\) для всіх\((x, y) \text{ on }C\). Покажіть, що\(\left | \int_C \textbf{f}· d\textbf{r} \right | ≤ ML\). (Підказка: Нагадаємо, що\(\left | \int_a^b g(x)\,dx \right | ≤ \int_a^b | g(x) |\,dx\) для інтегралів Рімана. )

4.1.17. Довести, що інтеграл Рімана\(\int_a^b f (x)\,dx\) є окремим випадком лінійного інтеграла.

4.2: Властивості лінійних інтегралів

A

4.2.1. Оцініть\(\oint_C (x^ 2 + y^ 2 )\,dx+2x y\, d y\) для\(C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.\)

4.2.2. Оцініть\(\int_C (x^2 + y^ 2 )\,dx+2x y\, d y\) для\(C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ π\)

4.2.3. Чи є потенціал\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = y\textbf{i}− x\textbf{j}\)? Якщо так, знайдіть його.

4.2.4. Чи є потенціал\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = x\textbf{i}− y\textbf{j}\)? Якщо так, знайдіть його.

4.2.5. Чи є потенціал\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = x y^2 \textbf{i}+ x^ 3 y\textbf{j}\)? Якщо так, знайдіть його.

Б

4.2.6. Дозволяти\(\textbf{f}(x, y) \text{ and }\textbf{g}(x, y)\) бути векторні поля, нехай\(a \text{ and }b\) бути константи, і нехай\(C\) крива в\(\mathbb{R}^ 2\). Покажіть, що

\[\int_C (a\textbf{f}± b\textbf{g})· d\textbf{r} = a \int_C \textbf{f}· d\textbf{r} ± b \int_C \textbf{g}· d\textbf{r} .\]

4.2.7. \(C\)Дозволяти крива, довжина дуги якої\(L\). Покажіть, що\(\int_C 1\,ds = L\).

4.2.8. \(f (x, y) \text{ and }g(x, y)\)Дозволяти безперервно диференційовні дійсні функції в області\(R\). Покажіть, що

\[\oint_C f ∇g · d\textbf{r} = −\oint_C g∇f · d\textbf{r}\]

для будь-якої замкнутої кривої\(C\) в\(R\). (Підказка: Використовуйте вправу 21 у розділі 2.4. )

4.2.9. Нехай\(\textbf{f}(x, y) = \frac{−y}{ x^ 2+y^ 2} \textbf{i}+ \frac{x}{ x^ 2+y^ 2} \textbf{j}\) для всіх\((x, y) \neq (0,0)\), і\(C : x = \cos t, y = \sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.\)

(а) Покажіть, що\(\textbf{f} = ∇F,\text{ for }F(x, y) = \tan^{−1} (y/x)\).

(б) Покажіть, що\(\oint_C \textbf{f}· d\textbf{r} = 2π\). Чи суперечить це Слідство 4.6? Поясніть.

C

4.2.10. \(g(x) \text{ and }h(y)\)Дозволяти диференційовні функції, і нехай\(\textbf{f}(x, y) = h(y)\textbf{i}+ g(x)\textbf{j}\). Чи може f мати потенціал\(F(x, y)\)? Якщо так, знайдіть його. Ви можете припустити, що\(F\) було б гладко. (Підказка: Розглянемо змішані часткові похідні\(F\).)

4.3: Теорема Гріна

A

Для вправ 1-4 використовуйте теорему Гріна для оцінки заданої прямої інтегральної навколо кривої\(C\), пройденої проти годинникової стрілки.

4.3.1. \(\oint_C (x^ 2 − y^ 2 )\,dx+2x y \,d y; C\text{ is the boundary of }R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 2x^ 2 ≤ y ≤ 2x}\)

4.3.2. \(\oint_C x^ 2 y \,dx+2x y \,d y; C \text{ is the boundary of }R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x^ 2 ≤ y ≤ x}\)

4.3.3. \(\oint_C 2y\, dx−3x\, d y; C \text{ is the circle }x^ 2 + y^ 2 = 1\)

4.3.4. \(\oint_C (e^{ x^ 2} + y^ 2 )\,dx + (e^{ y^ 2} + x^ 2 )\,d y; C \text{ is the boundary of the triangle with vertices }(0,0), (4,0) \text{ and }(0,4)\)

4.3.5. Чи є потенціал\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = (y^ 2 +3x^ 2 )\textbf{i}+2x y\textbf{j}\)? Якщо так, знайдіть його.

4.3.6. Чи є потенціал\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = (x^ 3 \cos (x y) + 2x\sin (x y))\textbf{i} + x^ 2 y\cos (x y)\textbf{j}\)? Якщо так, знайдіть його.

4.3.7. Чи є потенціал\(F(x, y) \text{ for }\textbf{f}(x, y) = (8x y+3)\textbf{i}+4(x^ 2 + y)\textbf{j}\)? Якщо так, знайдіть його.

4.3.8. Покажіть, що для будь-яких констант\(a, b \text{ and any closed simple curve }C, \oint_C a\, dx+ b \,d y = 0\).

Б

4.3.9. Для векторного поля f, як у прикладі 4.8\(\oint_C \textbf{f}· d\textbf{r} = 0\), показати безпосередньо, що, де\(C\) межа кільцевого\(R = {(x, y) : 1/4 ≤ x^ 2 + y^ 2 ≤ 1}\) кільця пройдена так,\(R\) що завжди зліва.

4.3.10. Оцініть\(\oint_C e^ x \sin y \,dx+(y^ 3 + e^ x \cos y)\,d y\), де\(C\) знаходиться межа прямокутника з вершинами\((1,−1), (1,1), (−1,1) \text{ and }(−1,−1)\), пройденої проти годинникової стрілки.

C

4.3.11. Для області,\(R\) обмеженої простою замкнутою кривою\(C\), показуйте,\(A \text{ of }R\) що площа

\[A = −\oint_C y\, dx = \oint_C x \,d y = \frac{1}{ 2}\oint_C x \,d y− y \,dx ,\]

де\(C\) проходить так,\(R\) що завжди зліва. (Підказка: Використовуйте теорему Гріна і той факт, що\(A = \iint\limits_R 1\,d A.\))

4.4: Поверхневі інтеграли та теорема про розбіжність

A

Для вправ 1-4 використовуйте теорему розбіжності для оцінки\(\iint_Σ \textbf{f}· d\textbf{σ}\) поверхневого інтеграла заданого векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z)\) над поверхнею\(Σ\).

4.4.1. \(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i}+2y\textbf{j}+3z\textbf{k}, Σ : x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 9\)

4.4.2. \(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k}, Σ :\text{ boundary of the solid cube }S = {(x, y, z) : 0 ≤ x, y, z ≤ 1}\)

4.4.3. \(\textbf{f}(x, y, z) = x^ 3 \textbf{i}+ y^ 3 \textbf{j}+ z^ 3\textbf{k}, Σ : x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1\)

4.4.4. \(\textbf{f}(x, y, z) = 2\textbf{i}+3\textbf{j}+5\textbf{k}, Σ : x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = 1\)

Б

4.4.5. Показати, що потік будь-якого постійного векторного поля через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю.

4.4.6. Оцініть поверхневий інтеграл з вправи 2, не використовуючи теорему розбіжності, тобто використовуючи лише визначення 4.3, як у прикладі 4.10. Зауважте, що для кожної з шести граней куба буде різний зовнішній блок нормального вектора.

4.4.7. Оцініть поверхневий інтеграл\(\iint_Σ \textbf{f}· d\textbf{σ}\), де\(\textbf{f}(x, y, z) = x^ 2 \textbf{i}+ x y\textbf{j}+ z\textbf{k}\text{ and }Σ\) знаходиться частина площини\(6x + 3y + 2z = 6 \text{ with }x ≥ 0, y ≥ 0, \text{ and }z ≥ 0\), при цьому зовнішня одиниця нормалі n спрямована в позитивному\(z\) напрямку.

4.4.8. Використовуйте інтеграл поверхні, щоб показати, що площа поверхні сфери радіуса\(r\) дорівнює\(4πr^2\). (Підказка: Використовуйте сферичні координати для параметризації сфери. )

4.4.9. Використовуйте інтеграл поверхні, щоб показати, що площа поверхні правого кругового конуса радіуса\(R\) і висоти\(h\) дорівнює\(πR \sqrt{ h^ 2 + R^2}\). (Підказка: Використовуйте параметризацію\(x = r \cos θ, y = r \sin θ, z = \frac{h}{ R} r, \text{ for }0 ≤ r ≤ R \text{ and }0 ≤ θ ≤ 2π.\))

4.4.10. Еліпсоїд\(\frac{x^ 2}{ a^ 2} + \frac{y^ 2}{ b^ 2} + \frac{z^ 2}{ c^ 2} = 1\) можна параметризувати за допомогою еліпсоїдальних координат

\[x = a\sin φ \cos θ ,\, y = b\sin φ \sin θ , \,z = c \cos φ ,\text{ for } 0 ≤ θ ≤ 2π \text{ and }0 ≤ φ ≤ π.\]

Показати, що площа\(S\) поверхні еліпсоїда дорівнює

\[S = \int_0^π \int_0^2π \sin φ \sqrt{ a^ 2 b^ 2 \cos^2 φ+ c^ 2(a^ 2 \sin^2 θ + b^ 2 \cos^2 θ)\sin^2 φ}\, dθ\, dφ .\]

(Примітка: Вищевказаний подвійний інтеграл не може бути оцінений елементарними засобами. Для конкретних значень\(a, b \text{ and }c\) його можна оцінити за допомогою числових методів. Альтернативою є вираження площі поверхні через еліптичні інтеграли.)

C

4.4.11. Використовуйте Definition 4.3, щоб довести, що площа поверхні\(S\) над областю\(R\) в\(\mathbb{R}^ 2\) поверхні\(z = f (x, y)\) задається формулою

\[S = \iint\limits_R \sqrt{ 1+ \left ( \frac{∂f}{ ∂x} \right )^2 + \left ( \frac{ ∂f}{ ∂y} \right )^2} \,d A .\]

(Підказка: Подумайте про параметризацію поверхні. )

4.5: Теорема Стокса

A

Для вправ 1-3 обчислити\(\int_C f (x, y, z)\,ds\) для заданої функції\(f (x, y, z)\) та кривої\(C\).

4.5.1. \(f (x, y, z) = z; \quad C : x = \cos t, y = \sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π\)

4.5.2. \(f (x, y, z) = \frac{x}{ y} + y+2yz;\quad C : x = t^ 2 , y = t, z = 1, 1 ≤ t ≤ 2\)

4.5.3. \(f (x, y, z) = z^ 2 ;\quad C : x = t\sin t, y = t \cos t, z = \frac{2 \sqrt{ 2}}{ 3} t^{ 3/2}, 0 ≤ t ≤ 1\)

Для вправ 4-9 обчислити\(\int_C \textbf{f}· d\textbf{r}\) для заданого векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z) \text{ and curve }C\).

4.5.4. \(\textbf{f}(x, y, z) = \textbf{i}−\textbf{j}+\textbf{k};\quad C : x = 3t, y = 2t, z = t, 0 ≤ t ≤ 1\)

4.5.5. \(\textbf{f}(x, y, z) = y\textbf{i}− x\textbf{j}+ z\textbf{k};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π\)

4.5.6. \(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k};\quad C : x = \cos t, y = \sin t, z = 2, 0 ≤ t ≤ 2π\)

4.5.7. \(\textbf{f}(x, y, z) = (y−2z)\textbf{i}+ x y\textbf{j}+(2xz + y)\textbf{k};\quad C : x = t, y = 2t, z = t^ 2 −1, 0 ≤ t ≤ 1\)

4.5.8. \(\textbf{f}(x, y, z) = yz \textbf{i}+ xz \textbf{j}+ x y\textbf{k};\quad C : \text{ the polygonal path from }(0,0,0) \text{ to }(1,0,0)\text{ to }(1,2,0)\)

4.5.9. \(\textbf{f}(x, y, z) = x y\textbf{i}+(z − x)\textbf{j}+2yz\textbf{k};\quad C :\text{ the polygonal path from }(0,0,0) \text{ to }(1,0,0) \text{ to }(1,2,0) \text{ to }(1,2,−2)\)

Для Вправ 10-13 вкажіть, чи\(\textbf{f}(x, y, z)\) є векторне поле потенціал в\(\mathbb{R}^ 3\) (вам не потрібно знаходити сам потенціал).

4.5.10. \(\textbf{f}(x, y, z) = y\textbf{i}− x\textbf{j}+ z\textbf{k}\)

4.5.11. \(\textbf{f}(x, y, z) = a\textbf{i}+ b\textbf{j}+ c\textbf{k} (a, b, c \text{ constant})\)

4.5.12. \(\textbf{f}(x, y, z) = (x+ y)\textbf{i}+ x\textbf{j}+ z^ 2\textbf{k}\)

4.5.13. \(\textbf{f}(x, y, z) = x y\textbf{i}−(x− yz^2 )\textbf{j}+ y^ 2 z\textbf{k}\)

Б

Для вправ 14-15 перевірте теорему Стокса для заданого векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z)\) та поверхні\(Σ\).

4.5.14. \(\textbf{f}(x, y, z) = 2y\textbf{i}− x\textbf{j}+ z\textbf{k};\quad Σ : x ^2 + y^ 2 + z^ 2 = 1, z ≥ 0\)

4.5.15. \(\textbf{f}(x, y, z) = x y\textbf{i}+ xz \textbf{j}+ yz\textbf{k};\quad Σ : z = x^ 2 + y^ 2 , z ≤ 1\)

4.5.16. Побудуйте смужку Мебіуса з аркуша паперу, потім проведіть лінію вниз по її центру (як пунктирну лінію на малюнку 4.5.3 (b)). Розріжте смужку Мебіуса уздовж цієї центральної лінії повністю навколо смужки. Скільки поверхонь це призводить? Як би ви їх описали? Чи орієнтуються вони?

4.5.17. Використовуйте Gnuplot (див. Додаток C) для побудови смуги Мебіуса, параметризованої як:

\[\textbf{r}(u,v) = \cos u(1+ v\cos \frac{u}{ 2} )\textbf{i}+\sin u(1+ v\cos \frac{u}{ 2} )\textbf{j}+ v\sin \frac{u}{ 2} \textbf{k} ,\, 0 ≤ u ≤ 2π , -\frac{1}{ 2} ≤ v ≤ \frac{1}{ 2}\]

C

4.5.18. \(Σ\)Дозволяти бути замкнутою поверхнею і\(\textbf{f}(x, y, z)\) гладким векторним полем. Покажіть, що\(\iint\limits_Σ (\text{curl } \textbf{f})· \textbf{n}dσ = 0\). (Підказка: Розділити\(Σ\) навпіл.)

4.5.19. Покажіть, що теорема Гріна - це особливий випадок теореми Стокса.

4.6: Градієнт, розбіжність, завиток та лапласиан

A

Для Вправ 1-6 знайдіть лапласіан функції\(f (x, y, z)\) в декартових координатах.

4.6.1. \(f (x, y, z) = x+ y+ z \)

4.6.2. \(f (x, y, z) = x^ 5\)

4.6.3. \(f (x, y, z) = (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 )^{ 3/2}\)

4.6.4. \(f (x, y, z) = e^{ x+y+z}\)

4.6.5. \(f (x, y, z) = x^ 3 + y^ 3 + z^ 3\)

4.6.6. \(f (x, y, z) = e^{ −x^ 2−y^ 2−z^ 2}\)

4.6.7. Знайдіть лапласіана функції у вправі 3 у сферичних координатах.

4.6.8. Знайдіть лапласіана функції у вправі 6 у сферичних координатах.

4.6.9. \(f (x, y, z) = \frac{z}{ x^ 2 + y^ 2}\)Впускаємо декартові координати. Знайти\(∇f\) в циліндричних координатах.

4.6.10. Для\(\textbf{f}(r,θ, z) = r\textbf{e}_r + z \sin θ \textbf{e}_θ + rz\textbf{e}_z\) в циліндричних координатах знайдіть div f і curl f.

4.6.11. Для\(\textbf{f}(ρ,θ,φ) = \textbf{e}_ρ +ρ \cos θ \textbf{e}_θ +ρ \textbf{e}_φ\) в сферичних координатах знайдіть div f і curl f.

Б

Для вправ 12-23 довести задану формулу (\(r = \norm{\textbf{r}}\)це довжина поля вектора положення\(\textbf{r}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k}\)).

4.6.12. \(∇(1/r) = −\textbf{r}/r^ 3\)

4.6.13. \(∆(1/r) = 0\)

4.6.14. \(∇· (\textbf{r}/r^ 3 ) = 0\)

4.6.15. \(∇(\ln r) = \textbf{r}/r^ 2\)

4.6.16. дів\((\textbf{F}+\textbf{G}) = \text{div }\textbf{F} + \text{div }\textbf{G}\)

4.6.17. завиток\((\textbf{F}+\textbf{G}) = \text{curl }\textbf{F} + \text{curl }\textbf{G}\)

4.6.18. дів\((f \textbf{F}) = f \text{div }\textbf{F} + \textbf{F}· ∇f\)

4.6.19. дів\((\textbf{F}× \textbf{G}) = \textbf{G}· \text{curl }\textbf{F} − \textbf{F}· \text{curl }\textbf{G}\)

4.6.20. дів\((∇f × ∇g) = 0\)

4.6.21. завиток\((f \textbf{F}) = f \text{curl }\textbf{F} + (∇f )× \textbf{F}\)

4.6.22. локон (локон\(\textbf{F}\)) =\(∇(\text{div }\textbf{F}) − ∆\textbf{F}\)

4.6.23. \(∆(f g) = f ∆ g + g∆ f + 2(∇f · ∇g)\)

C

4.6.24. Доведіть теорему 4.17.

4.6.25. Виведіть формулу градієнта в циліндричних координатах:\(∇F = \frac{∂F}{ ∂r} \textbf{e}_r + \frac{1}{ r} \frac{∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ + \frac{∂F}{ ∂z} \textbf{e}_z\)

4.6.26. Використовуйте\(\textbf{f} = u∇v\) в теоремі дивергенції, щоб довести:

(a) Перша ідентичність Гріна:\(\iiint\limits_S (u∆v + (∇u)· (∇v))\,dV = \iint\limits_Σ (u∇v)· dσ\)

(b) Друга ідентичність Гріна:\(\iiint\limits_S (u∆v − v∆u)\,dV = \iint\limits_Σ (u∇v − v∇u)· dσ\)

4.6.27. Припустимо, що\(∆u = 0\) (тобто\(u\) є гармонійним) закінчився\(\mathbb{R}^ 3\). Визначте нормальну\(\frac{∂u}{ ∂n}\) похідну\(u\) над замкнутою поверхнею\(Σ\) з зовнішнім одиничним вектором нормалі n by\(\frac{∂u}{ ∂n} = D_n u = \textbf{n}· ∇u\). Покажіть, що\(\iint\limits_Σ \frac{∂u}{ ∂n}\, dσ = 0\). (Підказка: Використовуйте другу особу Гріна.)

Автори та атрибуція

• Template:ContribCorral