Search

1.1: Кути
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/01%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0/1.01%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8
У елементарній геометрії кути завжди вважаються позитивними і не більше $360^\circ$ . Ви також дізналися, що сума кутів у трикутнику дорівнює $180^◦$ , і що рівнобедрений трикутник - це трикутник з д...У елементарній геометрії кути завжди вважаються позитивними і не більше $360^\circ$ . Ви також дізналися, що сума кутів у трикутнику дорівнює $180^◦$ , і що рівнобедрений трикутник - це трикутник з двома сторонами однакової довжини. Нагадаємо, що в прямокутному трикутнику один з кутів - прямий кут. Таким чином, у прямокутному трикутнику один з кутів є, $90^◦$ а два інших кути є гострими кутами, сума яких дорівнює $90^◦$ (тобто інші два кути є доповнюючими кутами).
1.3: Програми та рішення правильних трикутників
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/01%3A_%D0%9A%D1%83%D1%82%D0%B8_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0/1.03%3A_%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D1%80%D1%96%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D1%96%D0%B2
Протягом свого раннього розвитку тригонометрія часто використовувалася як засіб непрямого вимірювання, наприклад, визначення великих відстаней або довжин за допомогою вимірювань кутів і малих відомих ...Протягом свого раннього розвитку тригонометрія часто використовувалася як засіб непрямого вимірювання, наприклад, визначення великих відстаней або довжин за допомогою вимірювань кутів і малих відомих відстаней. Сьогодні тригонометрія широко використовується у фізиці, астрономії, техніці, навігації, геодезії, різних областях математики та інших дисциплін. У цьому розділі ми побачимо деякі способи застосування тригонометрії. Ваш калькулятор повинен бути в режимі ступеня для цих прикладів.
2.1: Закон Сінеса
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/02%3A_%D0%97%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B8/2.01%3A_%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%A1%D1%96%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B0
Закон Синеса стверджує, що сторони трикутника пропорційні синусам їх протилежних кутів.
6: Методи інтеграції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/06%3A_%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4%D0%B8_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97
4.3: Теорема Гріна
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/04%3A_%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%85%D0%BD%D0%B5%D0%B2%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8/4.03%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%93%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%B0
Тепер ми побачимо спосіб оцінки лінійного інтеграла гладкого векторного поля навколо простої замкнутої кривої. $\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}$ Векторне поле є гладким, якщо...Тепер ми побачимо спосіб оцінки лінійного інтеграла гладкого векторного поля навколо простої замкнутої кривої. $\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}$ Векторне поле є гладким, якщо його компонент $Q(x, y)$ функціонує $P(x, y)$ і є гладким. Ми будемо використовувати теорему Гріна (іноді її називають теоремою Гріна на площині), щоб зв'язати лінійний інтеграл навколо замкнутої кривої з подвійним інтегралом над областю всередині кривої:
2.1: Зворотні функції
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/02%3A_%D0%9F%D0%BE%D1%85%D1%96%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9/2.01%3A_%D0%97%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%96_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%97
Рішення: Перепишіть $y = f(x) = x^3$ як $x = f(y) = y^3$ , щоб його обернена функція $y = f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}$ мала похідну \[\begin{aligned} \dydx ~&=~ \frac{1}{\dxdy} ~=~ \frac{1}{3y^2} \quad\t...Рішення: Перепишіть $y = f(x) = x^3$ як $x = f(y) = y^3$ , щоб його обернена функція $y = f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}$ мала похідну $\begin{aligned} \dydx ~&=~ \frac{1}{\dxdy} ~=~ \frac{1}{3y^2} \quad\text{, which is in terms of $y$, so putting it in terms of $x$ yields}\ \ [6pt] &=~\ frac {1} {3\ left (\ sqrt [3] {x}\ праворуч) ^2} ~=~\ frac {1} {3 x^ {2/3}}\ end {вирівняний}$ який узгоджується з похідною, отриманою шляхом $y = \sqrt[3]{x}$ безпосередньої диференціації.
9.5: Серія Тейлора
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/09%3A_%D0%9D%D0%B5%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%97/9.05%3A_%D0%A1%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0
Рішення: Похідні $f(x)=\sin\,x$ повторюють кожні чотири похідні: \[f(x) ~=~ \sin\,x \quad,\quad f'(x) ~=~ \cos\,x \quad,\quad f''(x) ~=~ -\sin\,x \quad,\quad f'''(x) ~=~ -\cos\,x \quad,\quad f^{(4)}(...Рішення: Похідні $f(x)=\sin\,x$ повторюють кожні чотири похідні: $f(x) ~=~ \sin\,x \quad,\quad f'(x) ~=~ \cos\,x \quad,\quad f''(x) ~=~ -\sin\,x \quad,\quad f'''(x) ~=~ -\cos\,x \quad,\quad f^{(4)}(x) ~=~ \sin\,x$ Так при $x=0$ : $f(0) ~=~ 0 \quad,\quad f'(x) ~=~ 1 \quad,\quad f''(x) ~=~ 0 \quad,\quad f'''(x) ~=~ -1 \quad,\quad f^{(4)}(x) ~=~ 0$ Так для того $n\ge 0$ , \[f^{(n)}(0) ~=~ \begin{cases} ~0 & \text{if $~n$ is even,}\\ ~1 & \text{if $~n=1,5,9,\ldots$,}\\~-1 & \text{if $~n=3,7,11,\…
8.1: Площа між кривими
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/08%3A_%D0%97%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B2/8.01%3A_%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B0_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%BC%D0%B8
Таким чином, площа $A$ області повинна бути розділена на два інтеграли: \[\begin{aligned} A ~&=~ \int_0^{\pi/3}~\abs{\sin\,x \;-\; \cos\,x}~\dx\\ &=~ \int_0^{\pi/4} ~(\cos\,x \;-\; \sin\,x)~\dx ~+~ \...Таким чином, площа $A$ області повинна бути розділена на два інтеграли: \[\begin{aligned} A ~&=~ \int_0^{\pi/3}~\abs{\sin\,x \;-\; \cos\,x}~\dx\\ &=~ \int_0^{\pi/4} ~(\cos\,x \;-\; \sin\,x)~\dx ~+~ \int_{\pi/4}^{\pi/3} ~(\sin\,x \;-\; \cos\,x)~\dx\\ &=~ \left(\sin\,x \;+\; \cos\,x~\Biggr|_0^{\pi/4}\right) ~+~ \left(-\cos\,x \;-\; \sin\,x~\Biggr|_{\pi/4}^{\pi/3}\right)\ \ [4pt] &=~\ ліворуч (\ frac {1} {\ sqrt {2}} +\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ праворуч) ~-~ (0 - 1) ~+~\ ліворуч (-\ frac {\ sqrt {3…
7.6: Параметричні рівняння
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B5_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(Corral)/07%3A_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D1%96_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D1%96/7.06%3A_%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D1%80%D1%96%D0%B2%D0%BD%D1%8F%D0%BD%D0%BD%D1%8F
\[\begin{aligned} x ~&=~ a\,\theta ~+~ a\,\cos\,t ~=~ a\,\left(\theta ~+~ \cos\,\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right)\right) ~=~ a\,(\theta ~-~ \sin\,\theta)\\ y ~&=~ a ~+~ a\,\sin\,t ~=~ a\,\left(1 ~... $\begin{aligned} x ~&=~ a\,\theta ~+~ a\,\cos\,t ~=~ a\,\left(\theta ~+~ \cos\,\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right)\right) ~=~ a\,(\theta ~-~ \sin\,\theta)\\ y ~&=~ a ~+~ a\,\sin\,t ~=~ a\,\left(1 ~+~ \sin\,\left(\tfrac{3\pi}{2} - \theta\right)\right) ~=~ a\,(1 ~-~ \cos\,\theta)\end{aligned}$ Таким чином $C: x=a\,(\theta \,-\, \sin\,\theta)$ $y=a\,(1 \,-\, \cos\,\theta)$ ,, $-\infty < \theta < \infty$ відбувається параметризація циклоїди $C$ .
6.E: Додаткові теми (вправи)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/06%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8/6.0E%3A_%D0%94%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_(%D0%B2%D0%BF%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8)
Це домашні вправи для супроводу Коррала «Елементарна тригонометрія» TextMap. Це текст з елементарної тригонометрії, призначений для учнів, які закінчили курси з алгебри та геометрії середньої школи. Х...Це домашні вправи для супроводу Коррала «Елементарна тригонометрія» TextMap. Це текст з елементарної тригонометрії, призначений для учнів, які закінчили курси з алгебри та геометрії середньої школи. Хоча призначений для студентів коледжів, він також може бути використаний у середніх школах. Традиційні теми висвітлюються, але застосовується більш геометричний підхід, ніж зазвичай. Також обговорюються деякі чисельні методи (наприклад, секантний метод розв'язання тригонометричних рівнянь).
3.3: Двокутні та напівкутові формули
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%94%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%83_%D1%96_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%97/%D0%9A%D0%BD%D0%B8%D0%B3%D0%B0%3A_%D0%95%D0%BB%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%80%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B3%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F_(Corral)/03%3A_%D0%86%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%96/3.03%3A_%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BD%D1%96_%D1%82%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D0%BF%D1%96%D0%B2%D0%BA%D1%83%D1%82%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B8
Особливим випадком формул додавання є те, що два додаються кути рівні, в результаті чого формули подвійного кута.