4.3: Теорема Гріна
- Page ID
- 60283
Тепер ми побачимо спосіб оцінки лінійного інтеграла гладкого векторного поля навколо простої замкнутої кривої. \(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}\)Векторне поле є гладким, якщо його компонент\(Q(x, y)\) функціонує\(P(x, y)\) і є гладким. Ми будемо використовувати теорему Гріна (іноді її називають теоремою Гріна на площині), щоб зв'язати лінійний інтеграл навколо замкнутої кривої з подвійним інтегралом над областю всередині кривої:
Теорема 4.7: Теорема Гріна
\(R\)Дозволяти область, в\(\mathbb{R}^2\) якій межа проста замкнута крива\(C\), яка є кусково гладкою. \(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i}+Q(x, y)\textbf{j}\)Дозволяти гладке векторне поле, визначене на обох\(R\) і\(C\). Тоді
\[\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_R \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} - \dfrac{∂P}{ ∂y} \right )\,dA, \label{Eq4.21}\]
де\(C\) проходить так, що завжди\(R\) знаходиться з лівого боку\(C\).
Доказ: Доведемо теорему у випадку для простої області\(R\), тобто там, де гранична крива\(C\) може бути записана\(C = C_1 \cup C_2\) двома різними способами:
\[\begin{align} C_1 &= \text{ the curve }y = y_1(x)\text{ from the point }X_1 \text{ to the point }X_2 \label{Eq4.22} \\[4pt] C_2 &=\text{ the curve }y = y_2(x) \text{ from the point }X_2 \text{ to the point } X_1 , \label{Eq4.23} \\[4pt] \end{align}\]
де\(X_1\) і\(X_2\) є точками,\(C\) розташованими далі ліворуч і праворуч відповідно; і
\[\begin{align} C_1 &= \text{ the curve }x = x_1(y)\text{ from the point }Y_2 \text{ to the point } Y_1 \label{Eq4.24} \\[4pt] C_2 &= \text{ the curve } x = x_2(y)\text{ from the point } Y_1 \text{ to the point }Y_2,\label{Eq4.25} \\[4pt] \end{align}\]
де\(Y_1\) і\(Y_2\) знаходяться найнижча і найвища бали відповідно на\(C\). Див. Малюнок 4.3.1.
Інтегруйте\(P(x, y)\) навколо,\(C\) використовуючи представлення,\(C = C_1 \cup C_2\) задане рівнянням\ ref {Eq4.23} та рівнянням\ ref {Eq4.24}.
Оскільки\(y = y_1(x) \text{ along }C_1\) (як\(x\) йде від\(a \text{ to }b)\) і\(y = y_2(x) \text{ along }C_2\) (як\(x\) йде від\(b \text{ to }a)\), як ми бачимо з малюнка 4.3.1, то у нас є
\[\nonumber \begin{align} \oint_C P(x, y)\,dx&=\int_{C_1}P(x, y)\,dx+\int_{C_2}P(x, y)\,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_a^b P(x, y_1(x))\,dx+\int_b^a P(x, y_2(x))\,dx \\[4pt] \nonumber &=\int_a^b P(x, y_1(x))\,dx - \int_a^b P(x, y_2(x))\,dx \\[4pt] \nonumber &=-\int_a^b (P(x, y_2(x)) - P(x, y_1(x)))\, dx \\[4pt] \nonumber &=-\int_a^b \left ( P(x, y) \Big |_{y=y_1(x)}^{y=y_2(x)} \right )\,dx \\[4pt] \nonumber &=-\int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \dfrac{∂P(x, y)}{ ∂y}\,dy\,dx \text{ (by the Fundamental Theorem of Calculus)} \\[4pt] &=-\iint\limits_R \dfrac{∂P}{ ∂y}\,dA. \\[4pt] \label{Eq4.26} \end{align}\]
Так само інтегруйте\(Q(x, y)\) навколо\(C\) використання представлення,\(C = C_1 \cup C_2\) заданого Equation\ ref {Eq4.25} і Equation\ ref {Eq4.26}. Оскільки\(x = x_1(y) \text{ along }C_1\) (як\(y\) йде від\(d\) до\(c\)) і\(x = x_2(y) \text{ along }C_2\) (як\(y\) йде від\(c\) до\(d\)), як ми бачимо з малюнка 4.3.1, то у нас є
\[\nonumber \begin{align} \oint_C Q(x, y)\,dy&=\int_{C_1}Q(x, y)\,dy+\int_{C_2}Q(x, y)\,dy \\[4pt] \nonumber &=\int_d^c Q(x_1(y), y)\,dy+\int_c^d Q(x_2(y), y)\,dy \\[4pt] \nonumber &=-\int_c^d Q(x_1(y), y)\,dy + \int_c^d Q(x_2(y), y)\,dy \\[4pt] \nonumber &=\int_c^d (Q(x_2(y), y) - Q(x_1(y), y))\, dy \\[4pt] \nonumber &=\int_c^d \left ( Q(x, y) \Big |_{x=x_1(y)}^{x=x_2(y)} \right )\,dy \\[4pt] \nonumber &=\int_c^d \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} \dfrac{∂Q(x, y)}{ ∂x}\,dx\,dy \text{ (by the Fundamental Theorem of Calculus)} \\[4pt] \nonumber &=\iint\limits_R \dfrac{∂Q}{ ∂x}\,dA,\text{ and so} \\[4pt] \end{align}\]
\[\nonumber \begin{align} \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} &= \oint_C P(x, y)\,dx + \oint_C Q(x, y)\,d y \\[4pt] \nonumber &= -\iint_R \dfrac{∂P}{ ∂y}\,dA + \iint_R \dfrac{∂Q}{∂x}\,dA \\[4pt] \nonumber &= \iint_R \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x}-\dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \,dA. \\[4pt] \end{align}\]
\(\tag{\(\textbf{QED}\)}\)
Хоча ми довели теорему Гріна лише для простої області\(R\), теорему можна довести і для більш загальних регіонів (скажімо, об'єднання простих регіонів).
Приклад 4.7
Оцініть\(\oint_C (x^2 + y^2 )\,dx+2x y\, d y\), де\(C\) знаходиться межа (пройдена проти годинникової стрілки) області\(R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 2x^2 ≤ y ≤ 2x}\).
\(R\)затінена область на малюнку 4.3.2. За теоремою Гріна, бо\(P(x, y) = x^2 + y^2 \text{ and }Q(x, y) = 2x y\), ми маємо
\[\nonumber \begin{align} \oint_C (x^2+y^2)\,dx+2x y \,d y &=\iint_R \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x}-\dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \, dA \\[4pt] \nonumber &=\iint_R (2y−2y)\,d A = \iint_R 0\,dA = 0. \\[4pt] \end{align}\]
Ми насправді вже знали, що відповідь нульова. Нагадаємо з Прикладу 4.5 в розділі 4.2, що\(\textbf{f}(x, y) = (x^2 + y^2 )\textbf{i}+2x y\textbf{j}\) векторне поле має потенційну функцію\(F(x, y) = \dfrac{1}{3} x^3 + x y^2\), і так\(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = 0\) по Слідство 4.6.
Приклад 4.8
Нехай\(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i}+Q(x, y)\textbf{j}\), де
\[\nonumber P(x, y) =\dfrac{-y}{x^2+y^2} \text{ and }Q(x, y) =\dfrac{x}{x^2+y^2},\]
і нехай\(R = {(x, y) : 0 < x^2 + y^2 ≤ 1}\). Для граничної кривої\(C : x^2 + y^2 = 1\), пройденої проти годинникової стрілки, це було показано у вправі 9 (b) Розділу 4.2, що\(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = 2π\). Але
\[\nonumber \dfrac{∂Q }{∂x} = \dfrac{y^2+x^2}{(x^2+y^2)^2} = \dfrac{∂P }{∂y} \Rightarrow \iint\limits_R \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} - \dfrac{ ∂P}{ ∂y} \right )\,dA= \iint\limits_R 0\,dA = 0\]
Це, здавалося б, суперечить теоремі Гріна. Однак зверніть увагу, що\(R\) це не весь регіон, що\(C\)\((0,0)\) охоплюється, так як точка не міститься в\(R\). Тобто\(R\) має «дірку» у походження, тому теорема Гріна не застосовується.
Якщо ми модифікуємо область,\(R\) щоб бути кільцевим кільцем\(R = {(x, y) : 1/4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 1}\) (див. Рис. 4.3.3), і візьмемо «межу»\(C \text{ of }R \text{ to be }C = C_1 \cup C_2\), де\(C_1\) одиничне коло,\(x^2 + y^2 = 1\) пройдене проти годинникової стрілки і\(C_2\) коло,\(x^2 + y^2 = 1/4\) пройдене за годинниковою стрілкою, то це можна показати (див. Вправа 8) що
\[\nonumber \oint_C \textbf{f} \cdot d\textbf{r} = 0 \]
Ми б ще мали\(\iint\limits_R \left ( \dfrac{∂Q}{∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y } \right )\,d A = 0\), так що для цього у\(R\) нас було б
\[\nonumber \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_R \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} - \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \, dA,\]
що показує, що теорема Гріна стосується кільцевої області\(R\).
Виявляється, теорема Гріна може бути розширена на множення пов'язаних областей, тобто таких областей, як кільцеве кільце в прикладі 4.8, які мають одну або кілька областей, вирізаних з внутрішньої частини, на відміну від дискретних точок, які вирізаються. Для таких регіонів «зовнішня» межа і «внутрішні» кордони проходять так,\(R\) що завжди з лівого боку.
Інтуїтивна ідея того, чому теорема Гріна стосується багатозв'язних областей, показана на малюнку 4.3.4 вище. Ідея полягає в тому, щоб вирізати «щілини» між межами багаторазово пов'язаної області\(R\) так, щоб\(R\) розділити на субрегіони, які не мають ніяких «дірок». Наприклад, на малюнку 4.3.4 (а) область\(R\) - це об'єднання регіонів\(R_1 \text{ and }R_2\), які розділені прорізами, позначеними пунктирними лініями. Ці прорізи є частиною кордону обох\(R_1 \text{ and }R_2\), і ми пройдемо потім у спосіб, вказаний стрілками. Зверніть увагу, що уздовж кожної щілини межа\(R_1\) проходить у зворотному напрямку, як і у\(R_2\), що означає, що лінійні інтеграли\ textbf {f} уздовж цих щілин скасовують один одного. Оскільки\(R_1 \text{ and }R_2\) не мають отворів в них, то теорема Гріна тримається в кожному субрегіоні, так що
\[\nonumber \oint_{bdy\,of\,R_1}\textbf{f} \cdot d\textbf{r} = \iint\limits_{R_1}\left (\dfrac{ ∂Q }{∂x} - \dfrac{∂P }{∂y} \right )\,dA \text{ and }\oint_{bdy\,of\,R_2}\textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits{R_2} \left ( \dfrac{∂Q }{∂x} - \dfrac{∂P}{ ∂y} \right )\,dA.\]
Але так як лінійні інтеграли вздовж щілин скасувати, у нас є
\[\nonumber \oint_{C_1 \cup C_2} \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \oint_{bdy\,of\,R_1} \textbf{f} \cdot d\textbf{r} +\oint_{bdy\,of\,R_2}\textbf{f}\cdot d\textbf{r},\]
і так
\[\nonumber \oint_{C_1 \cup C_2} \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_{R_1} \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \,dA + \iint\limits_{R_2} \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \,dA = \iint\limits_R \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} - \dfrac{∂P }{∂y} \right ) \,dA,\]
що показує, що теорема Гріна тримається в регіоні\(R\). Аналогічний аргумент показує, що теорема тримається в області з двома отворами, показаними на малюнку 4.3.4 (b).
З слідства 4.6 ми знаємо, що коли гладке векторне поле\(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i}+Q(x, y)\textbf{j}\) на області\(R\) (межа якої є кусково-гладкою, простою замкнутою кривою\(C\)) має потенціал в\(R\), то\(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = 0\). І якщо потенціал\(F(x, y)\) є гладким\(R\), то\(\dfrac{∂F}{ ∂x} = P \text{ and }\dfrac{∂F}{ ∂y} = Q\), і тому ми знаємо, що
\[\nonumber \dfrac{∂^2F }{∂y∂x} = \dfrac{∂^2F}{ ∂x∂y} \Rightarrow \dfrac{∂P}{ ∂y} = \dfrac{∂Q }{∂x}\text{ in }R\]
І навпаки, якщо\(\dfrac{∂P}{ ∂y} = \dfrac{∂Q}{ ∂x}\) в\(R\) то
\[\nonumber \oint_C \textbf{f} \cdot d\textbf{r} = \iint\limits_R \left ( \dfrac{∂Q }{∂x}-\dfrac{∂P }{∂y} \right ) \,dA \iint\limits_R 0\,dA = 0 \]
Для просто пов'язаної області\(R\) (тобто області без отворів) можна показати наступне:
Наступні твердження еквівалентні для просто пов'язаного регіону\(R\) в\(\mathbb{R}^2\):
- \(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i}+Q(x, y)\textbf{j} \)має плавний потенціал\(F(x, y)\) в\(R\)
- \(\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r}\)не залежить від шляху для будь-якої кривої\(C\) в\(R\)
- \(\oint_C \textbf{f} \cdot d\textbf{r} = 0\)для кожної простої замкнутої кривої\(C\) в\(R\)
- \(\dfrac{ ∂P}{ ∂y} = \dfrac{∂Q }{∂x} \)в\(R\) (в даному випадку диференціальна форма\(P dx+Q d y\) точна)