4.1: Лінійні інтеграли
- Page ID
- 60309
У обчисленні з однією змінною ви дізналися, як інтегрувати реальну функцію\(f (x)\) протягом інтервалу\([a,b]\) в\(\mathbb{R}^1\). Цей інтеграл (зазвичай називають інтегралом Рімана) може розглядатися як інтеграл над шляхом в\(\mathbb{R}^1\), так як інтервал (або колекція інтервалів) дійсно єдиний вид «шлях» в\(\mathbb{R}^1\). Ви також можете згадати, що якщо\(f (x)\) представлена сила, прикладена вздовж\(x\) осі -до об'єкта\(x\) в положенні в\([a,b]\), то робота,\(W\) виконана при переміщенні цього об'єкта з положення,\(x = a \text{ to }x = b\) була визначена як інтеграл:
\[W=\int_a^b f (x)dx\]
У цьому розділі ми побачимо, як визначити інтеграл функції (або реальної, або векторної) двох змінних над загальним шляхом (тобто кривою) в\(\mathbb{R}^2\). Це визначення буде мотивовано фізичним поняттям про працю. Почнемо з реальних функцій двох змінних.
У фізиці інтуїтивне уявлення про роботу полягає в тому, що
\[\text{Work = Force × Distance}\]
Припустимо, що ми хочемо знайти загальний\(W\) обсяг роботи, виконаної при переміщенні об'єкта вздовж кривої\(C\) в\(\mathbb{R}^2\) з плавною параметризацією\(x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b\), з силою,\(f (x, y)\) яка змінюється в залежності від положення\((x, y)\) об'єкта і застосовується у напрямку руху вздовж \(C\)(Див. Малюнок\(\PageIndex{1}\) нижче).
Ми поки будемо вважати, що функція\(f (x, y)\) є безперервною і реальною, тому розглядаємо тільки величину сили. Розділіть інтервал\([a,b]\) наступним чином:
\[a = t_0 < t_1 < t_2 < ··· < t_{n−1} < t_n = b ,\text{ for some integer }n ≥ 2\]
Як ми бачимо з малюнка\(\PageIndex{1}\), за типовим\([t_i ,t_{i+1}]\) підінтервалом відстань,\(∆s_i\) пройдена по кривій\(\sqrt{∆x_i^2 +∆y_i^2}\), приблизно, за теоремою Піфагора. Таким чином, якщо підінтервал досить малий, то робота, виконана при переміщенні об'єкта уздовж цього шматка кривої, приблизно
\[\text{Force × Distance} \approx f (x_{i∗}, y_{i∗}) \sqrt{ ∆x_i^2 +∆y_i^2}\label{Eq4.1}\]
де\((x_{i∗}, y_{i∗}) = (x(t_{i∗}), y(t_{i∗}))\) для деяких\(t_{i∗} \text{ in }[t_i ,t_{i+1}]\), і так
\[W \approx \sum_{i=0}^{n-1} f (x_{i∗}, y_{i∗}) \sqrt{ ∆x_i^2 +∆y_i^2}\label{Eq4.2}\]
приблизно загальний обсяг виконаної роботи по всій кривій. Але так як
\[\sqrt{ ∆x_i^2 +∆y_i^2} = \sqrt{\left ( \dfrac{∆x_i}{∆t_i} \right )^2 +\left ( \dfrac{∆y_i}{∆t_i}\right )^2}∆t_i\]
де\(∆t_i = t_{i+1} − t_i\), то
\[W \approx \sum_{i=0}^{n-1}f (x_{i∗}, y_{i∗})\sqrt{\left ( \dfrac{∆x_i}{∆t_i} \right )^2 + \left ( \dfrac{∆y_i}{∆t_i} \right )^2}∆t_i \label{Eq4.3}\]
Беручи межу цієї суми, оскільки довжина найбільшого підінтервалу переходить до 0, сума за всіма підінтервалами стає інтегралом від\(t = a \text{ to }t = b\),\(∆x_i ∆t_i \text{ and }∆y_i ∆t_i\) стає\(x ′ (t) \text{ and }y ′ (t)\), відповідно, і\(f (x_{i∗}, y_{i∗})\) стає\(f (x(t), y(t))\), так що
\[W=\int_a^b f (x(t), y(t)) \sqrt{x ′ (t)^2 + y ′ (t)^2}\,dt \label{Eq4.4}\]
Інтеграл у правій частині вищевказаного рівняння дає нам уявлення про те, як визначити для будь-якої дійсної функції\(f (x, y)\) інтеграл\(f (x, y)\) вздовж кривої\(C\), званий лінійним інтегралом:
Визначення\(\PageIndex{1}\): Line Integral of a scalar Field
Для дійснозначної функції\(f (x, y)\) та кривої\(C\) в\(\mathbb{R}^2\), параметризованої\(x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b\), лінійний інтеграл\(f (x, y)\) уздовж по\(C\) довжині дуги\(s\) дорівнює
\[\int_C f (x, y)\,ds = \int_a^b f (x(t), y(t))\sqrt{x ′ (t)^2 + y ′ (t)^2}\,dt \label{Eq4.5}\]
Символ\(ds\) є диференціалом функції довжини дуги
\[s = s(t) = \int_a^t \sqrt{x ′ (u)^2 + y ′ (u)^2}\,du \label{Eq4.6}\]
яку ви можете розпізнати з розділу 1.9 як довжину кривої\(C\) за інтервалом\([a,t]\), для всіх\(t\) в\([a,b]\). Тобто,
\[ds = s ′ (t)\,dt = \sqrt{x ′ (t)^2 + y ′ (t)^2}\,dt, \label{Eq4.7}\]
за фундаментальною теоремою обчислення.
Для загальної дійсної функції\(f (x, y)\), що\(\int_C f (x, y)\,ds\) представляє лінійний інтеграл? Попереднє обговорення\(ds\) дає нам підказку. Ви можете думати про диференціали як нескінченно малі довжини. Отже, якщо ви думаєте про висоту паркану вздовж\(C\), то\(f (x, y)\,ds\) може розглядатися як приблизно площа ділянки цього паркану над деякою нескінченно маленькою ділянкою кривої, і, таким чином, інтеграл лінії\(\int_C f (x, y)\,ds\) є загальною площею цього паркану (див. Рис.\(f (x, y)\) \(\PageIndex{2}\)).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Використовуйте лінійний інтеграл, щоб показати, що площа бічної поверхні\(A\) правого кругового циліндра радіусом\(r\) і висотою\(h\) дорівнює\(2\pi rh\).
Рішення
Ми будемо використовувати правильний круговий циліндр з базовим колом,\(C\) заданої висотою\(x^2 + y^2 = r^2\) і з висотою\(h\) в позитивному\(z\) напрямку (див. Рис.\(\PageIndex{3}\)). Параметризуйте\(C\) наступним чином:
\[x = x(t) = r \cos t , y = y(t) = r \sin t , 0 ≤ t ≤ 2π\]
\[\nonumber \begin{align} A&=\int_C f (x, y)\,ds = \int_a^b f (x(t), y(t))\sqrt{x ′ (t)^2 + y ′ (t)^2}\,dt \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} h \sqrt{(−r \sin t)^2 +(r \cos t)^2}\,dt \\[4pt] \nonumber &=h\int_0^{2\pi} r \sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}\,dt \\[4pt] \nonumber &=rh\int_0^{2\pi} 1\,dt = 2\pi rh \\[4pt] \end{align}\]
\(0 \text{ to }4\pi\)Зауважте в прикладі,\(\PageIndex{1}\) що якби ми пройшли коло\(C\) двічі, тобто нехай t змінюється від того, ми б отримали площу\(4\pi rh\), тобто вдвічі більше бажаної площі, хоча сама крива все ще однакова (а саме коло радіуса\(r\)). Також зверніть увагу, що ми пройшли коло в напрямку проти годинникової стрілки. Якщо ми пішли за годинниковою стрілкою, скориставшись параметризацією
\[x = x(t) = r \cos (2π− t) , y = y(t) = r \sin (2π− t) , 0 ≤ t ≤ 2π ,\label{Eq4.8}\]
то легко перевірити (Вправа 12), що значення лінійного інтеграла незмінне.
Загалом, можна показати (Вправа 15), що зворотний напрямок, в якому проходить крива,\(C\) залишає\(\int_C f (x, y)\,ds\) незмінним, для будь-якого\(f (x, y)\). Якщо крива\(C\) має параметризацію,\(x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b,\) то позначте\(−C\) тією\(C\) ж кривою, що і пройдена в протилежному напрямку. Потім\(−C\) параметризується
\[x = x(a+ b − t) , y = y(a+ b − t) , a ≤ t ≤ b ,\label{Eq4.9}\]
і ми маємо
\[\int_C f (x, y)\,ds =\int_{-C}f (x, y)\,ds .\label{Eq4.10}\]
Зверніть увагу, що наше визначення лінійного інтеграла було відносно параметра довжини дуги\(s\). Ми також можемо визначити
\[\int_C f (x, y)\,dx=\int_a^b f (x(t), y(t)) x ′ (t)\,dt\label{Eq4.11}\]
як лінійний інтеграл\(f (x, y)\)\(C\) поряд по відношенню до\(x\), і
\[\int_C f (x, y)\,d y=\int_a^b f (x(t), y(t)) y ′ (t)\,dt \label{Eq4.12}\]
як лінійний інтеграл\(f (x, y)\)\(C\) поряд по відношенню до\(y\).
При виведенні формули для лінійного інтеграла ми використовували уявлення про роботу як силу, помножену на відстань. Однак ми знаємо, що сила насправді є вектором. Тому було б корисно розробити векторну форму для лінійного інтеграла. Для цього припустимо, що у нас є функція,\(f(x, y)\) визначена\(\mathbb{R}^2\) на
\[\nonumber \textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}\]
для деяких безперервних реальних функцій\(P(x, y)\) і\(Q(x, y) \text{ on }\mathbb{R}^2\). Така функція\(f\) називається векторним полем на\(\mathbb{R}^2\). Він визначається в точках в\(\mathbb{R}^2\), а його значення є векторами в\(\mathbb{R}^2\). Для кривої\(C\) з плавною параметризації\(x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b\), нехай
\[\nonumber \textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i} + y(t)\textbf{j}\]
бути вектором положення для точки\((x(t), y(t))\) на\(C\). Тоді\(\textbf{r}'(t) = x'(t)\textbf{i} + y'(t)\textbf{j}\) і так
\[\nonumber \begin{align} \int_C P(x, y)\,dx+ \int_C Q(x, y)\,d y &=\int_a^b P(x(t), y(t)) x ′ (t)\,dt+\int_a^b Q(x(t), y(t)) y ′ (t)\,dt \\[4pt] \nonumber &=\int_a^b (P(x(t), y(t)) x ′ (t)+Q(x(t), y(t)) y ′ (t))\,dt \\[4pt] \nonumber &=\int_a^b \textbf{f}(x(t), y(t))\cdot \textbf{r} ′ (t)dt \\[4pt] \end{align}\]
за визначенням\(f(x, y)\). Зверніть увагу, що функція\(f(x(t), y(t))\cdot r ′ (t)\) є реальною функцією на\([a,b]\), тому останній інтеграл праворуч виглядає дещо схожим на наше попереднє визначення лінійного інтеграла. Це призводить нас до наступного визначення:
Визначення\(\PageIndex{2}\): Line Integral of a vector Field
Для векторного поля\(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} +Q(x, y)\textbf{j}\) і кривої\(C\) з плавною параметризацією\(x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b\) лінійний інтеграл f вздовж\(C\) дорівнює
\[\begin{align} \int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} &= \int_C P(x, y)\,dx+\int_C Q(x, y)\,d y \label{Eq4.13} \\[4pt] &=\int_a^b \textbf{f}(x(t), y(t))\cdot \textbf{r} ′ (t)\,dt \label{Eq4.14} \\[4pt] \end{align}\]
де\(\textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}\) - вектор положення для точок на\(C\).
Використовуємо позначення\(d\textbf{r} = \textbf{r} ′ (t)\,dt = dx\textbf{i}+ d y\textbf{j}\) для позначення диференціала векторно-значної функції r. Лінійний інтеграл у Definition часто\(\PageIndex{2}\) називають лінійним інтегралом векторного поля, щоб відрізнити його від лінійного інтеграла в Definition,\(\PageIndex{1}\) який називається лінійним інтегралом скалярного поля. Для зручності ми будемо часто писати
\[\nonumber \int_C P(x, y)\,dx +\int_C Q(x, y)\,d y =\int_C P(x, y)\,dx+Q(x, y)\,d y ,\]
де розуміється, що лінійний інтеграл уздовж\(C\) застосовується до обох\(P \text{ and }Q\). Величина\(P(x, y)\,dx +Q(x, y)\,d y\) відома як диференціальна форма. Для дійсної функції\(F(x, y)\) диференціал\(F\) дорівнює
\[dF = \dfrac{∂F}{∂x}\,dx+ \dfrac{∂F}{∂y}\, d y.\]
Диференціальна форма\(P(x, y)\,dx+Q(x, y)\,d y\) називається точною, якщо вона дорівнює\(dF\) для якоїсь функції\(F(x, y)\).
Нагадаємо, що якщо точки на кривій\(C\) мають вектор положення\(\textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}\), то\(\textbf{r} ′ (t)\) є дотичним вектором до\(C\) точки\((x(t), y(t))\) в бік збільшення\(t\) (яку ми називаємо напрямком\(C\)). Так як\(C\) є плавна крива, то\(\textbf{r} ′ (t) \neq \textbf{0} \text{ on }[a,b]\) і значить
\[\nonumber \textbf{T}(t) = \dfrac{\textbf{r}'(t)}{\left \lVert \textbf{r}'(t) \right \rVert} \]
є одиничним дотичним вектором до\(C\) at\((x(t), y(t))\). Збираючи визначення\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\) разом отримуємо наступну теорему:
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Для векторного поля\(\textbf{f}(x, y) = P(x, y)\textbf{i} + Q(x, y)\textbf{j}\) та кривої\(C\) з плавною параметризацією\(x = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ b\) та вектором положення\(\textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}\),
\[\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \int_C \textbf{f}\cdot \textbf{T}\,ds,\label{Eq4.15}\]
де\(\textbf{T}(t) = \dfrac{\textbf{r} ′ (t)}{ \left \lVert \textbf{r} ′ (t)\right \rVert }\) - одиничний дотичний вектор до\(C\) at\((x(t), y(t))\).
Якщо векторне поле\( \textbf{f}(x, y)\) представляє силу, що рухає об'єкт по кривій\(C\), то робота,\(W\) виконана цією силою
\[W = \int_C \textbf{f}\cdot \textbf{T} \, ds = \int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} \label{Eq4.16}\]