4.6: Градієнт, розбіжність, завиток та лапласиан

У цьому заключному розділі ми встановимо деякі зв'язки між градієнтом, розбіжністю та завитком, а також введемо нову величину під назвою Лапласіан. Потім ми покажемо, як записати ці величини в циліндричних і сферичних координатах.

Градієнт

Для дійснозначної функції\(f (x, y, z)\) на\(\mathbb{R}^ 3\) градієнт\(∇f (x, y, z)\) є векторно-значною функцією on\(\mathbb{R}^ 3\), тобто її значенням в точці\((x, y, z)\) є вектор

\[\nonumber ∇f (x, y, z) = \left ( \dfrac{∂f}{ ∂x} , \dfrac{∂f}{ ∂y} , \dfrac{∂f}{ ∂z} \right ) = \dfrac{∂f}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂f}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂f}{ ∂z}\textbf{k} \]

в\(\mathbb{R}^ 3\), де кожна з часткових похідних оцінюється в точці\((x, y, z)\). Таким чином, ви можете думати про символ\(∇\) як «застосовується» до реальної функції\(f\) для створення вектора\(∇f\).

Виходить, що розбіжність і завиток також можуть бути виражені в плані символу\(∇\). Це робиться шляхом мислення\(∇\) як вектора в\(\mathbb{R}^ 3\), а саме

\[∇ = \dfrac{∂}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂}{ ∂z}\textbf{k} .\label{Eq4.51}\]

Тут символи\(\dfrac{∂}{ ∂x} ,\, \dfrac{∂}{∂y} \text{ and }\dfrac{∂}{ ∂z}\) слід розглядати як «оператори часткових похідних», які будуть «застосовані» до реальної функції, скажімо\(f (x, y, z)\), для отримання часткових похідних\(\dfrac{∂f}{ ∂x} ,\, \dfrac{ ∂f}{ ∂y}\text{ and }\dfrac{∂f}{ ∂z}\). Наприклад,\(\dfrac{∂}{ ∂x}\) «застосовано» до\(f (x, y, z) \text{ produces }\dfrac{∂f}{ ∂x}\).

Чи\(∇\) справді вектор? Власне кажучи, немає, так як\(\dfrac{∂}{ ∂x} ,\, \dfrac{∂}{ ∂y} \text{ and }\dfrac{∂}{ ∂z}\) не актуальні цифри. Але це допомагає думати\(∇\) як про вектор, особливо з розбіжністю і завивкою, як ми незабаром побачимо. Процес «застосування»\(\dfrac{∂}{ ∂x} ,\, \dfrac{∂}{ ∂y} ,\, \dfrac{∂}{ ∂z}\) до дійснозначної функції зазвичай\(f (x, y, z)\) розглядається як множення величин:

\[\nonumber \left ( \dfrac{∂}{ ∂x} \right ) (f ) = \dfrac{∂f}{ ∂x},\, \left ( \dfrac{∂}{ ∂y} \right ) (f ) = \dfrac{∂f}{ ∂y} ,\, \left ( \dfrac{∂}{ ∂z} \right ) (f ) = \dfrac{∂f}{ ∂z}\]

З цієї причини його часто\(∇\) називають «оператором del», так як він «оперує» функціями.

Дивергенція

Наприклад, часто зручно писати дивергенцію div f as\(∇ \cdot \textbf{f}\), так як для векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z) = f_1(x, y, z)\textbf{i}+ f_2(x, y, z)\textbf{j}+ f_3(x, y, z)\textbf{k}\) точковий добуток f с\(∇\) (розглядається як вектор) має сенс:

\[\nonumber \begin{align} ∇·\textbf{f} &= \left ( \dfrac{∂}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂}{ ∂z}\textbf{k} \right ) · (f_1(x, y, z)\textbf{i} + f_2(x, y, z)\textbf{j} + f_3(x, y, z)\textbf{k}) \\[4pt] \nonumber &= \left ( \dfrac{∂}{ ∂x} \right ) (f_1) + \left ( \dfrac{∂}{ ∂y} \right ) (f_2) + \left ( \dfrac{∂}{ ∂z} \right ) (f_3) \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{∂f_1}{ ∂x} + \dfrac{∂f_2}{ ∂y} + \dfrac{∂f_3}{ ∂z} \\[4pt] \nonumber &= \text{div }\textbf{f} \\[4pt] \end{align}\]

Ми також можемо записати curl f\(∇\) термінами, а саме як\(∇ × \textbf{f}\), оскільки для векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\textbf{i}+Q(x, y, z)\textbf{j}+ R(x, y, z)\textbf{k}\) ми маємо:

\[\nonumber \begin{align} ∇ × \textbf{f} &= \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\[4pt] \dfrac{∂}{ ∂x} & \dfrac{∂}{ ∂y} & \dfrac{∂}{ ∂z} \\[4pt] \nonumber P(x, y, z) & Q(x, y, z) & R(x, y, z) \\[4pt] \end{vmatrix} \\[4pt] \nonumber &=\left ( \dfrac{∂R}{ ∂y} − \dfrac{∂Q}{ ∂z}\right )\textbf{i} − \left ( \dfrac{∂R}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂z} \right )\textbf{j} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right )\textbf{k} \\[4pt] \nonumber &= \left ( \dfrac{∂R}{ ∂y} − \dfrac{∂Q}{ ∂z}\right )\textbf{i} + \left (\dfrac{∂P}{ ∂z}-\dfrac{∂R}{ ∂x} \right )\textbf{j} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right )\textbf{k} \\[4pt] \nonumber &=\text{curl }\textbf{f} \\[4pt] \end{align}\]

Для дійсної функції\(f (x, y, z)\) градієнт\(∇f (x, y, z) = \dfrac{∂f}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂f}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂f}{ ∂z}\textbf{k}\) є векторним полем, тому ми можемо взяти його розбіжність:

\[\nonumber \begin{align} \text{div }∇f &= ∇· ∇f \\[4pt] \nonumber &=\left ( \dfrac{∂}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂}{ ∂z}\textbf{k} \right ) · \left ( \dfrac{∂f}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂f}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂f}{ ∂z}\textbf{k} \right ) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{∂}{ ∂x} \left ( \dfrac{∂f}{ ∂x} \right ) + \dfrac{∂}{ ∂y} \left ( \dfrac{∂f}{ ∂y} \right ) + \dfrac{∂}{ ∂z} \left ( \dfrac{∂f}{ ∂z} \right ) \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{∂^2 f}{ ∂x^ 2} + \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y^ 2} + \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂z^ 2} \\[4pt] \end{align}\]

Зауважимо, що це реальна функція, якій ми дамо спеціальну назву:

Визначення 4.7: Лапласіан

Для дійснозначної функції\(f (x, y, z)\) лапласиан\(f\), що позначається\(∆f\), задається

\[∆f (x, y, z) = ∇· ∇f = \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂x^ 2} + \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y^ 2} + \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂z^ 2} .\label{Eq4.52}\]

Часто позначення\(∇^2 f\) використовують для лапласа замість того, щоб\(∆f\), використовуючи умовність\(∇^ 2 = ∇· ∇\).

Приклад 4.17

\(\textbf{r}(x, y, z) = x\textbf{i}+y\textbf{j}+z\textbf{k}\)Дозволяти поле вектора положення на\(\mathbb{R}^ 3\). Тоді\(\lVert \textbf{r}(x, y, z)\rVert ^2 = \textbf{r} · \textbf{r} = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2\) є реально-значною функцією. Знайти

1. градієнт\(\lVert \textbf{r} \rVert ^2\)
2. розбіжність\(\textbf{r}\)
3. локон\(\textbf{r}\)
4. Лапласиан\(\lVert \textbf{r} \rVert ^2\)

Рішення:

(а)\(∇ \rVert \textbf{r}\rVert ^2 = 2x\textbf{i}+2y\textbf{j}+2z\textbf{k} = 2\textbf{r}\)

(б)\(∇· \textbf{r} = \dfrac{∂}{ ∂x} (x)+ \dfrac{∂}{ ∂y} (y)+ \dfrac{∂}{ ∂z} (z) = 1+1+1 = 3\)

(c)

\[\nonumber ∇ × \textbf{r} = \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\[4pt] \dfrac{∂}{ ∂x} & \dfrac{∂}{ ∂y} & \dfrac{∂}{ ∂z} \\[4pt] x & y & z \\[4pt] \end{vmatrix} = (0−0)\textbf{i} − (0−0)\textbf{j} + (0−0)\textbf{k} = \textbf{0} \]

(г)\(∆ \lVert \textbf{r} \rVert ^2 = \dfrac{∂^ 2}{ ∂x^ 2} (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 )+ \dfrac{∂^ 2}{ ∂y^ 2} (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 )+ \dfrac{∂^ 2}{ ∂z^ 2} (x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 ) = 2+2+2 = 6\)

Зауважте, що ми могли б обчислити\(∆\lVert \textbf{r} \rVert ^2\) іншим способом, використовуючи\(∇\) позначення разом з частинами (a) та (b):

\[\nonumber ∆\lVert \textbf{r} \rVert ^2 = ∇· ∇ \lVert \textbf{r} \rVert ^2 = ∇· 2\textbf{r} = 2∇· \textbf{r} = 2(3) = 6\]

Зверніть увагу, що в прикладі 4.17, якщо ми візьмемо завиток градієнта\(\lVert \textbf{r} \rVert ^2\) ми отримаємо

\[\nonumber ∇ × (∇ \rVert \textbf{r}\rVert ^2 ) = ∇ × 2\textbf{r} = 2∇ × \textbf{r} = 2\textbf{0} = \textbf{0} .\]

Наступна теорема показує, що це буде так взагалі:

Теорема 4.15.

Для будь-якої гладкої реальної функції\(f (x, y, z), ∇ × (∇f ) = \textbf{0}\).

Доказ

Ми бачимо по плавності f що

\[\begin{align} ∇ × (∇f ) &= \begin{vmatrix} \textbf{i} & \textbf{j} & \textbf{k} \\[4pt] \dfrac{∂}{ ∂x} & \dfrac{∂}{ ∂y} & \dfrac{∂}{ ∂z} \\[4pt] \dfrac{∂f}{ ∂x} & \dfrac{∂f}{ ∂y} & \dfrac{∂f}{ ∂z} \\[4pt] \end{vmatrix} \\[4pt] &= \left ( \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y∂z} − \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂z∂y} \right )\textbf{i} − \left ( \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂x∂z} − \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂z∂x} \right )\textbf{j} + \left ( \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂x∂y} − \dfrac{∂^ 2 f}{ ∂y∂x} \right )\textbf{k} = \textbf{0} ,\\[4pt] \end{align}\]

так як змішані часткові похідні в кожному компоненті рівні.

\(\square\)

Слідство 4.16

Якщо векторне поле\(f(x, y, z)\) має потенціал, то завийте\(\textbf{f} = \textbf{0}\).

Інший спосіб констатації Теореми 4.15 полягає в тому, що градієнти є ірротаційними. Крім того, зверніть увагу, що в прикладі 4.17, якщо взяти розбіжність завитка r ми тривіально отримуємо

\[∇· (∇ × \textbf{r}) = ∇· \textbf{0} = 0 .\]

Наступна теорема показує, що це буде так взагалі:

Теорема 4.17.

Для будь-якого плавного векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z), ∇· (∇ × \textbf{f}) = 0.\)

Доказ є простим і залишається як вправа для читача.

Слідство 4.18

Потік завитка гладкого векторного поля\(f(x, y, z)\) через будь-яку замкнуту поверхню дорівнює нулю.

Доказ:\(Σ\) Дозволяти бути замкнутою поверхнею, яка межує з твердим тілом\(S\). Потік\(∇ × \textbf{f}\)\(Σ\) наскрізного

\[\begin{align} \iint\limits_Σ (∇ × \textbf{f})· dσ &= \iiint\limits_S ∇· (∇ × \textbf{f})\, dV \text{ (by the Divergence Theorem)} \\[4pt] &= \iiint\limits_S 0\, dV \text{ (by Theorem 4.17)} \\[4pt] &= 0 \\[4pt] \end{align}\]

\(\tag{\(\textbf{QED}\)}\)

Існує ще один метод доведення теореми 4.15, який може бути корисним, і часто використовується у фізиці. А саме, якщо поверхня інтегральна\(\iint\limits_Σ f (x, y, z)\,dσ = 0\) для всіх поверхонь\(Σ\) в якомусь твердому регіоні (як правило, всі\(\mathbb{R}^ 3\)), то ми повинні мати\(f (x, y, z) = 0\) по всій цій області. Доказ не тривіальний, і фізики зазвичай не намагаються це довести. Але результат вірний, і також може бути застосований до подвійних і потрійних інтегралів.

Наприклад, щоб довести теорему 4.15, припустимо, що\(f (x, y, z)\) є гладкою дійсною функцією на\(\mathbb{R}^ 3\). \(C\)Дозволяти бути простою замкнутою кривою в\(\mathbb{R}^ 3\) і нехай\(Σ\) буде будь-яка поверхня закриття для\(C\) (\(Σ\)тобто орієнтується і її межа\(C\)). Оскільки\(∇f\) є векторним полем, то

\[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ (∇ × (∇f ))· \textbf{n}\,dσ &= \oint_C ∇f · d\textbf{r} \text{ by Stokes’ Theorem, so} \\[4pt] \nonumber &= 0 \text{ by Corollary 4.13.} \\[4pt] \end{align}\]

Так як вибір\(Σ\) був довільним, то ми повинні мати\((∇×(∇f ))·\textbf{n} = 0\) всюди\(\mathbb{R}^ 3\), де n - будь-який одиничний вектор. Використовуючи i, j і k замість п, ми бачимо, що ми повинні мати\(∇ × (∇f ) = \textbf{0}\) в\(\mathbb{R}^ 3\), який завершує доказ.

Приклад 4.18

Система електричних зарядів має щільність заряду\(ρ(x, y, z)\) і виробляє електростатичне поле\(\textbf{E}(x, y, z)\)\((x, y, z)\) в точках простору. Закон Гаусса стверджує, що

\[\nonumber \iint\limits_Σ \textbf{E}· dσ = 4π \iiint\limits_S ρ \,dV\]

для будь-якої замкнутої поверхні,\(Σ\) яка охоплює заряди,\(S\) будучи твердою областю, закритою\(Σ\). Покажіть, що\(∇· \textbf{E} = 4πρ\). Це одне з рівнянь Максвелла.

Рішення

За теоремою дивергенції ми маємо

\[\nonumber \begin{align} \iiint\limits_S ∇· \textbf{E} dV &= \iint\limits_Σ \textbf{E}· dσ \\[4pt] \nonumber &= 4π \iiint\limits_S ρ \,dV \text{ by Gauss’ Law, so combining the integrals gives} \\[4pt] \nonumber \iiint\limits_S (∇· \textbf{E}−4πρ) \,dV &= 0 \text{ , so} \\[4pt] \nonumber ∇· \textbf{E}−4πρ &= 0 \text{ since }Σ \text{ and hence } S \text{ was arbitrary, so} \\[4pt] \nonumber ∇· \textbf{E} &= 4πρ. \\[4pt] \end{align}\]

Часто (особливо у фізиці) зручно використовувати інші системи координат при роботі з такими величинами, як градієнт, розбіжність, завиток і лапласіан. Ми представимо формули для них в циліндричних і сферичних координатах.

Нагадаємо з розділу 1.7, що точка\((x, y, z)\) може бути представлена в циліндричних\((r,θ, z), \text{ where }x = r \cos θ , y = r \sin θ, z = z.\) координатах У кожній точці\((r,θ, z), \text{ let }\textbf{e}_r, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_z \text{ be unit vectors in the direction of increasing }r, θ, z,\) відповідно (див. Рис. Потім\(\textbf{e}_r, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_z\) сформуйте ортонормальний набір векторів. Зверніть увагу, за правилом правого боку, що\(\textbf{e}_z × \textbf{e}_r = \textbf{e}_θ.\)

Малюнок 4.6.1 Ортонормальні вектори\(\textbf{e}_r,\, \textbf{e}_θ,\, \textbf{e}_z\) в циліндричних координатах (зліва) і сферичних координатах (праворуч).

Аналогічно точка\((x, y, z)\) може бути представлена в сферичних координатах\((ρ,θ,φ)\), де\(x = ρ \sin φ \cos θ, y = ρ \sin φ \sin θ, z = ρ \cos φ.\) У кожній точці\((ρ,θ,φ)\), нехай\(\textbf{e}_ρ, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_φ\) будуть одиничні вектори в напрямку збільшення\(ρ, θ, φ\) відповідно (див. Рис. Тоді\(\textbf{e}_ρ, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_φ\) вектори ортонормальні. За правилом правого боку ми це бачимо\(\textbf{e}_θ × \textbf{e}_ρ = \textbf{e}_φ\).

Тепер ми можемо узагальнити вирази для градієнта, розбіжності, завитка та лапласа в декартових, циліндричних та сферичних координатах у наступних таблицях:

Декартова

\((x, y, z)\): Скалярна функція\(F\); Векторне поле\(\textbf{f} = f_1 \textbf{i}+ f_2 \textbf{j}+ f_3\textbf{k}\)

• градієнт:\(∇F = \dfrac{∂F}{ ∂x}\textbf{i} + \dfrac{∂F}{ ∂y}\textbf{j} + \dfrac{∂F}{ ∂z}\textbf{k}\)
• розбіжність:\(∇·\textbf{f} = \dfrac{∂f_1}{ ∂x} + \dfrac{∂f_2}{ ∂y} + \dfrac{∂f_3}{ ∂z}\)
• локон:\(∇ × \textbf{f} = \left ( \dfrac{∂f_3}{ ∂y} − \dfrac{∂f_2}{ ∂z} \right ) \textbf{i} + \left ( \dfrac{∂f_1}{ ∂z} − \dfrac{∂f_3}{ ∂x} \right ) \textbf{j} + \left ( \dfrac{∂f_2}{ ∂x} − \dfrac{∂f_1}{ ∂y} \right )\textbf{k}\)
• Лаплакіан:\(∆F = \dfrac{∂^ 2F}{ ∂x^ 2} + \dfrac{∂^ 2F}{ ∂y^ 2} + \dfrac{∂^ 2F}{ ∂z^ 2}\)

Циліндрична

\((r,θ, z)\): Скалярна функція\(F\); Векторне поле\(\textbf{f} = f_r \textbf{e}_r + f_θ \textbf{e}_θ + f_z \textbf{e}_z\)

• градієнт:\(∇F = \dfrac{∂F}{ ∂r} \textbf{e}_r + \dfrac{1}{ r}\dfrac{ ∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ + \dfrac{∂F}{ ∂z} \textbf{e}_z\)
• розбіжність:\(∇·\textbf{f} = \dfrac{1}{ r}\dfrac{ ∂}{ ∂r} (r f_r) + \dfrac{1}{ r} \dfrac{∂f_θ}{ ∂θ} + \dfrac{∂f_z}{ ∂z}\)
• локон:\(∇ × \textbf{f} = \left ( \dfrac{1}{ r} \dfrac{∂f_z}{ ∂θ} − \dfrac{∂f_θ}{ ∂z} \right ) \textbf{e}_r + \left ( \dfrac{∂f_r}{ ∂z} − \dfrac{∂f_z}{ ∂r} \right ) \textbf{e}_θ + \dfrac{1}{ r} \left ( \dfrac{∂}{ ∂r} (r f_θ)− \dfrac{∂f_r}{ ∂θ}\right ) \textbf{e}_z\)
• Лаплакіан:\(∆F = \dfrac{1}{ r}\dfrac{ ∂}{ ∂r} \left ( r \dfrac{∂F}{ ∂r} \right ) + \dfrac{1}{ r^2} \dfrac{∂^ 2F}{ ∂θ^2} + \dfrac{∂^ 2F}{ ∂z^ 2}\)

Сферичні

\((ρ,θ,φ)\): Скалярна функція\(F\); Векторне поле\(\textbf{f} = f_ρ \textbf{e}_ρ + f_θ \textbf{e}_θ + f_φ \textbf{e}_φ\)

• градієнт:\(∇F = \dfrac{∂F}{ ∂ρ} \textbf{e}_ρ + \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \dfrac{∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ + \dfrac{1}{ ρ}\dfrac{ ∂F}{ ∂φ} \textbf{e}_φ\)
• розбіжність:\(∇·\textbf{f} = \dfrac{1}{ ρ^ 2} \dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ^ 2 f_ρ) + \dfrac{1}{ ρ} \sin φ \dfrac{∂f_θ}{ ∂θ} + \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \dfrac{∂}{ ∂φ} (\sin φ f_θ)\)
• локон:\(∇ × \textbf{f} = \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \left ( \dfrac{∂}{ ∂φ} (\sin φ f_θ)− \dfrac{∂f_φ}{ ∂θ} \right ) \textbf{e}_ρ + \dfrac{1}{ ρ} \left ( \dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ f_φ)− \dfrac{∂f_ρ}{ ∂φ} \right ) \textbf{e}_θ + \left ( \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \dfrac{∂f_ρ}{ ∂θ} − \dfrac{1}{ ρ} \dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ f_θ) \right ) \textbf{e}_φ\)
• Лаплакіан:\(∆F = \dfrac{1}{ ρ^ 2} \dfrac{∂}{ ∂ρ} \left ( ρ^ 2 \dfrac{∂F}{ ∂ρ} \right ) + \dfrac{1}{ ρ^ 2 \sin^2 φ} \dfrac{∂^ 2F}{ ∂θ^2} + \dfrac{1}{ ρ^ 2 \sin φ} \dfrac{∂}{ ∂φ} \left ( \sin φ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) \)

Виведення вищезазначених формул для циліндричних і сферичних координат є простим, але надзвичайно виснажливим. Основна ідея полягає в тому, щоб взяти декартовий еквівалент кількості, про яку йде мова, і замінити в цю формулу, використовуючи відповідне перетворення координат. Як приклад виведемо формулу градієнта в сферичних координатах.

Мета: Показати, що градієнт дійсної функції\(F(ρ,θ,φ)\) в сферичних координатах:

\[\nonumber ∇F = \dfrac{∂F}{ ∂ρ} \textbf{e}_ρ + \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \dfrac{∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ +\dfrac{1}{ ρ}\dfrac{ ∂F}{ ∂φ}\textbf{e}_φ\]

Ідея: У формулі\(∇F(x, y, z) = \dfrac{∂F}{ ∂x}\textbf{i}+ \dfrac{∂F}{ ∂y}\textbf{j}+ \dfrac{∂F}{ ∂z}\textbf{k}\) декартового градієнта покладіть декартові базисні вектори i, j, k через сферичні координатні базисні вектори\(\textbf{e}_ρ, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_φ\) та функції\(ρ, θ \text{ and }φ\). Потім ставлять часткові\(\dfrac{∂F}{ ∂x} , \dfrac{∂F}{ ∂y} , \dfrac{∂F}{ ∂z}\) похідні з точки зору\(\dfrac{∂F}{ ∂ρ} , \dfrac{∂F}{ ∂θ} , \dfrac{∂F}{ ∂φ}\) і функцій\(ρ, θ \text{ and }φ\).

Крок 1: Отримати формули для з\(\textbf{e}_ρ, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_φ\) точки зору i, j, k.

З малюнка 4.6.2 ми бачимо, що\(\textbf{e}_ρ\) одиничний вектор у\(ρ\) напрямку в загальній точці\((ρ,θ,φ)\)\(\textbf{e}_ρ = \dfrac{\textbf{r}}{ \lVert \textbf{r} \rVert } , \text{ where }\textbf{r} = x\textbf{i} + y\textbf{j} + z\textbf{k}\) є вектором положення точки в декартових координатах. Таким чином,

\[\nonumber \textbf{e}_ρ = \dfrac{\textbf{r}}{ \lVert \textbf{r} \rVert} = \dfrac{x\textbf{i}+ y\textbf{j}+ z\textbf{k}}{ \sqrt{ x^ 2 + y^ 2 + z^ 2}} ,\]

таким чином\(x = ρ \sin φ \cos θ, y = ρ \sin φ \sin θ, z = ρ \cos φ, \text{ and }ρ = \sqrt{ x^ 2 + y^ 2 + z^ 2}\), використовуючи, отримуємо:

\[\nonumber \fbox{\(\textbf{e}_ρ = \sin φ \cos θ\textbf{i} + \sin φ \sin θ \textbf{j} + \cos φ\textbf{k}\)}\]

Тепер, оскільки кут\(θ\) вимірюється в\(x y\) -площині, то\(\textbf{e}_θ \text{ in the }θ\) напрямок вектора одиниці має бути паралельно\(x y\) -площині. Тобто,\(\textbf{e}_θ \text{ is of the form }a\textbf{i} + b\textbf{j} + 0\textbf{k}\). Щоб розібратися, які\(a \text{ and }b\) бувають, зверніть увагу, що з\(\textbf{e}_θ \perp \textbf{e}_ρ\), то зокрема\(\textbf{e}_θ \perp \textbf{e}_ρ\) коли\(\textbf{e}_ρ \text{ is in the }x y\) -площині. Що відбувається при куті\(φ \text{ is }π/2\). \(φ = π/2\)Вкладаючи в формулу для\(\textbf{e}_ρ \text{ gives }\textbf{e}_ρ = \cos θ \textbf{i}+\sin θ \textbf{j}+0\textbf{k}\), і ми бачимо, що вектор перпендикулярно що є\(−\sin θ \textbf{i}+\cos θ \textbf{j}+0\textbf{k}\). Оскільки цей вектор також є одиничним вектором і вказує в (позитивному)\(θ\) напрямку, він повинен бути\(\textbf{e}_θ\):

\[\nonumber \fbox{\(\textbf{e}_θ = −\sin θ \textbf{i} + \cos θ \textbf{j} + 0\textbf{k}\)}\]

Нарешті, оскільки\(\textbf{e}_φ = \textbf{e}_θ × \textbf{e}_ρ,\) ми отримуємо:

\[\nonumber \fbox{\(\textbf{e}_φ = \cos φ \cos θ \textbf{i} + \cos φ \sin θ \textbf{j} − \sin φ\textbf{k}\)}\]

Крок 2: Використовуйте три формули з кроку 1, щоб вирішити для i, j, k з точки зору\(\textbf{e}_ρ, \textbf{e}_θ, \textbf{e}_φ\).

Це зводиться до вирішення системи з трьох рівнянь у трьох невідомих. Існує багато способів зробити це, але ми зробимо це, об'єднавши формули для\(\textbf{e}_ρ \text{ and }\textbf{e}_φ \text{ to eliminate }k\), що дасть нам рівняння, що включає лише i та j. Це, з формулою для\(\textbf{e}_θ\), потім залишить нас з системою двох рівнянь у двох невідомих (i та j), які ми будемо використовувати для вирішення спочатку для j, потім для i. Нарешті, ми вирішимо для k.

По-перше, зверніть увагу, що

\[\nonumber \sin φ \textbf{e}_ρ + \cos φ \textbf{e}_φ = \cos θ \textbf{i} + \sin θ \textbf{j}\]

щоб

\[\nonumber \sin θ (\sin φ \textbf{e}_ρ + \cos φ \textbf{e}_φ) + \cos θ \textbf{e}_θ = (\sin^2 θ +\cos^2 θ)\textbf{j} = \textbf{j} ,\]

і так:

\[\nonumber \fbox{\(\textbf{j} = \sin φ \sin θ \textbf{e}_ρ + \cos θ \textbf{e}_θ + \cos φ \sin θ \textbf{e}_φ\)}\]

Так само ми бачимо, що

\[\nonumber \cos θ (\sin φ \textbf{e}_ρ + \cos φ \textbf{e}_φ) − \sin θ \textbf{e}_θ = (\cos^2 θ +\sin^2 θ)\textbf{i} = \textbf{i} ,\]

і так:

\[\nonumber \fbox{\(\textbf{i} = \sin φ \cos θ \textbf{e}_ρ − \sin θ \textbf{e}_θ + \cos φ \cos θ \textbf{e}_φ\)}\]

Нарешті, ми бачимо, що:

\[\nonumber \fbox{\(\textbf{k} = \cos φ \textbf{e}_ρ − \sin φ \textbf{e}_φ\)}\]

Крок 3: Отримайте формули для\(\dfrac{∂F}{ ∂ρ} , \dfrac{∂F}{ ∂θ} , \dfrac{∂F}{ ∂φ} \text{ in terms of }\dfrac{∂F}{ ∂x} , \dfrac{∂F}{ ∂y} , \dfrac{∂F}{ ∂z}\).

За правилом ланцюга ми маємо

\[\nonumber \begin{align} \dfrac{∂F}{ ∂ρ} &= \dfrac{∂F}{ ∂x} \dfrac{∂x}{ ∂ρ} + \dfrac{∂F}{ ∂y}\dfrac{ ∂y}{ ∂ρ} + \dfrac{∂F}{ ∂z} \dfrac{∂z}{ ∂ρ}, \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂F}{ ∂θ} &= \dfrac{∂F}{ ∂x} \dfrac{∂x}{ ∂θ} + \dfrac{∂F}{ ∂y} \dfrac{∂y}{ ∂θ} + \dfrac{∂F}{ ∂z} \dfrac{∂z}{ ∂θ}, \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂F}{ ∂φ} &= \dfrac{∂F}{ ∂x} \dfrac{∂x}{ ∂φ} + \dfrac{∂F}{ ∂y} \dfrac{∂y}{ ∂φ} + \dfrac{∂F}{ ∂z} \dfrac{∂z}{ ∂φ} ,\\[4pt] \end{align}\]

який дає:

\[\fbox{\(\nonumber \begin{align} \dfrac{∂F}{ ∂ρ} &= \sin φ \cos θ\dfrac{∂F}{ ∂x} + \sin φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂y} + \cos φ \dfrac{∂F}{ ∂z} \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂F}{ ∂θ} &= −ρ \sin φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂x} + ρ \sin φ \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂y} \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂F}{ ∂φ} &= ρ \cos φ \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂x} + ρ \cos φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂y} − ρ \sin φ \dfrac{∂F}{ ∂z} \\[4pt] \end{align}\)}\]

Крок 4: Використовуйте три формули з кроку 3, щоб вирішити для з\(\dfrac{∂F}{ ∂x} , \dfrac{∂F}{ ∂y} , \dfrac{∂F}{ ∂z}\) точки зору\(\dfrac{∂F}{ ∂ρ} , \dfrac{∂F}{ ∂θ} , \dfrac{∂F}{ ∂φ} \).

Знову ж таки, це передбачає рішення системи з трьох рівнянь у трьох невідомих. Використовуючи аналогічний процес ліквідації, як на кроці 2, отримуємо:

\[\fbox{\(\nonumber \begin{align}\dfrac{∂F}{ ∂x} &= \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \left ( ρ \sin^2 φ \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂ρ} − \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂θ} + \sin φ \cos φ \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂F}{ ∂y} &= \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \left ( ρ \sin^2 φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂ρ} + \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂θ} + \sin φ \cos φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂F}{ ∂z} &= \dfrac{1}{ρ} \left ( ρ \cos φ \dfrac{∂F}{ ∂ρ} − \sin φ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) \\[4pt] \end{align}\)}\]

Крок 5: Замініть формули для i, j, k з кроку 2 та формули для\(\dfrac{∂F}{ ∂x} , \dfrac{∂F}{ ∂y} , \dfrac{∂F}{ ∂z}\) кроку 4 у декартову градієнтну формулу\(∇F(x, y, z) = \dfrac{∂F}{ ∂x} \textbf{i}+ \dfrac{∂F}{ ∂y} \textbf{j}+ \dfrac{∂F}{ ∂z} \textbf{k}\).

Робити цей останній крок, мабуть, найнудніший, оскільки він передбачає спрощення\(3×3+3×3+ 2×2 = 22\) термінів! А саме,

\[\nonumber \begin{align} ∇F &= \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \left ( ρ \sin^2 φ \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂ρ} −\sin θ \dfrac{∂F}{ ∂θ} +\sin φ \cos φ \cos θ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) (\sin φ \cos θ \textbf{e}_ρ −\sin θ \textbf{e}_θ +\cos φ \cos θ \textbf{e}_φ) \\[4pt] \nonumber &+\dfrac{1}{ ρ \sin φ} \left ( ρ \sin^2 φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂ρ} +\cos θ \dfrac{∂F}{ ∂θ} +\sin φ \cos φ \sin θ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) (\sin φ \sin θ \textbf{e}_ρ +\cos θ \textbf{e}_θ +\cos φ \sin θ \textbf{e}_φ)\\[4pt] \nonumber &+\dfrac{1}{ ρ} \left ( ρ \cos φ \dfrac{∂F}{ ∂ρ} −\sin φ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) (\cos φ \textbf{e}_ρ −\sin φ \textbf{e}_φ) ,\\[4pt] \end{align}\]

який ми бачимо, має 8 термінів за участю\(\textbf{e}_ρ\), 6 термінів за участю\(\textbf{e}_θ\) та 8 термінів за участю\(\textbf{e}_φ\). Але алгебра нехитра і дає бажаний результат:

\[∇F = \dfrac{∂F}{ ∂ρ} \textbf{e}_ρ + \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \dfrac{∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ + \dfrac{1}{ ρ} \dfrac{∂F}{ ∂φ} \textbf{e}_φ \quad \checkmark \]

Приклад 4.19

У прикладі 4.17 ми показали, що\(∇\lVert \textbf{r} \rVert ^2 = 2\textbf{r} \text{ and }∆\lVert \textbf{r} \rVert ^2 = 6, \text{ where }\textbf{r}(x, y, z) = x\textbf{i} + y\textbf{j} + z\textbf{k}\) в декартових координатах. Переконайтеся, що ми отримуємо однакові відповіді, якщо переходимо на сферичні координати.

Рішення

Так як\(\lVert \textbf{r} \rVert ^2 = x^ 2 + y^ 2 + z^ 2 = ρ^ 2 \text{ in spherical coordinates, let }F(ρ,θ,φ) = ρ^ 2 \) (так що\(F(ρ,θ,φ) = \lVert \textbf{r} \rVert ^2\)). Градієнт\(F\) у сферичних координатах дорівнює

\[\nonumber \begin{align} ∇F &= \dfrac{∂F}{ ∂ρ} \textbf{e}_ρ + \dfrac{1}{ ρ \sin φ} \dfrac{∂F}{ ∂θ} \textbf{e}_θ + \dfrac{1}{ ρ} \dfrac{∂F}{ ∂φ} \textbf{e}_φ \\[4pt] \nonumber &=2ρ \textbf{e}_ρ + \dfrac{1}{ ρ \sin φ} (0)\textbf{e}_θ + \dfrac{1}{ ρ} (0)\textbf{e}_φ \\[4pt] \nonumber &= 2ρ \textbf{e}_ρ = 2ρ \dfrac{\textbf{r}}{ \lVert \textbf{r} \rVert} , \text{ as we showed earlier, so}\\[4pt] \nonumber &= 2ρ \dfrac{\textbf{r}}{ ρ} = 2\textbf{r} , \text{ as expected. And the Laplacian is} \\[4pt] \nonumber ∆F &= \dfrac{1}{ ρ^ 2} \dfrac{∂}{ ∂ρ} \left ( ρ^2 \dfrac{∂F}{ ∂ρ} \right ) + \dfrac{1}{ ρ^ 2 \sin^2 φ} \dfrac{∂^2F}{ ∂θ^2} + \dfrac{1}{ ρ^ 2 \sin φ} \dfrac{∂}{ ∂φ} \left ( \sin φ \dfrac{∂F}{ ∂φ}\right ) \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{1}{ ρ^ 2} \dfrac{∂}{ ∂ρ} (ρ^ 2 2ρ) + \dfrac{1}{ ρ^ 2 \sin φ} (0) + \dfrac{1}{ ρ^ 2 \sin φ} \dfrac{∂}{ ∂φ} \left ( \sin φ(0)\right ) \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{1}{ ρ^ 2} \dfrac{∂}{ ∂ρ} (2ρ^ 3 ) + 0 + 0 \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{1}{ ρ^ 2} (6ρ^ 2 ) = 6 , \text{ as expected.} \\[4pt] \end{align}\]

Дописувачі та атрибуція

• Template:ContribCorral