4.5: Теорема Стокса
- Page ID
- 60321
Поки єдиними типами лінійних інтегралів, які ми обговорювали, є ті, що вздовж кривих в\(\mathbb{R}^ 2\). Але визначення та властивості, які були розглянуті в розділах 4.1 і 4.2 можуть бути легко розширені, щоб включити функції трьох змінних, так що тепер ми можемо обговорити лінійні інтеграли вздовж кривих в\(\mathbb{R}^ 3\).
Визначення\(\PageIndex{1}\): Line Integrals
Для дійснозначної функції\(f (x, y, z)\) та кривої\(C\) в\(\mathbb{R}^ 3\), параметризованої\(x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b\), прямолінійний інтеграл відносно довжини дуги\(s\) дорівнює\(f (x, y, z) \textbf{ along }C\)
\[\int_C f (x, y, z)\,ds = \int_a^b f (x(t), y(t), z(t))\sqrt{x ′ (t)^2 + y ′ (t)^2 + z ′ (t)^2}\,dt.\label{Eq4.34}\]
Лінійний інтеграл\(f (x, y, z)\)\(C\) поряд по відношенню до\(x\) є
\[\int_C f (x, y, z)\,dx =\int_a^b f (x(t), y(t), z(t)) x ′ (t)\,dt.\label{Eq4.35}\]
Лінійний інтеграл\(f (x, y, z)\)\(C\) поряд по відношенню до\(y\) є
\[\int_C f (x, y, z)\,d y =\int_a^b f (x(t), y(t), z(t)) y ′ (t)\,dt .\label{Eq4.36}\]
Лінійний інтеграл\(f (x, y, z)\)\(C\) поряд по відношенню до\(z\) є
\[\int_C f (x, y, z)\,dz =\int_a^b f (x(t), y(t), z(t)) z ′ (t)\,dt .\label{Eq4.37}\]
Аналогічно двозмінному випадку, якщо\(f (x, y, z) ≥ 0\) тоді лінійний інтеграл\(\int_C f (x, y, z)\,ds\) можна розглядати як загальну площу «паркану» висоти в кожній\(f (x, y, z)\) точці вздовж кривої\(C\) в\(\mathbb{R}^ 3\).
Векторні поля в\(\mathbb{R}^ 3\) визначаються аналогічно тим, що в\(\mathbb{R}^ 2\), що дозволяє визначити лінійний інтеграл векторного поля вздовж кривої в\(\mathbb{R}^ 3\).
Визначення\(\PageIndex{2}\)
Для векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\textbf{i}+Q(x, y, z)\textbf{j}+R(x, y, z)\textbf{k}\) та кривої\(C\) в\(\mathbb{R}^ 3\) з плавною параметризацією\(x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b\) лінійний інтеграл\(f\) уздовж\(C\) дорівнює
\[\begin{align} \int_C \textbf{f} \cdot d\textbf{r} &=\int_C P(x, y, z)\,dx +\int_C Q(x, y, z)\,d y + \int_C R(x, y, z)\,dz \label{Eq4.38} \\[4pt] &=\int_a^b \textbf{f}(x(t), y(t), z(t))\cdot \textbf{r} ′ (t)dt ,\label{Eq4.39} \\[4pt] \end{align}\]
де\(\textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}+ z(t)\textbf{k}\) - вектор положення для точок на\(C\).
Подібно до випадку з двома змінними, якщо\(\textbf{f}(x, y, z)\) представляє силу, прикладену до об'єкта в точці,\((x, y, z)\) то лінійний інтеграл\(\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r}\) представляє роботу, виконану цією силою при переміщенні об'єкта вздовж кривої\(C\) в\(\mathbb{R}^ 3\).
Деякі з найважливіших результатів,\(\mathbb{R}^ 3\) які нам знадобляться для лінійних інтегралів, наведені нижче без доказів (докази схожі на їх двозмінні еквіваленти).
Теорема\(\PageIndex{1}\)
Для векторного поля\(\textbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\textbf{i} +Q(x, y, z)\textbf{j} + R(x, y, z)\textbf{k}\) та кривої\(C\) з плавною параметризацією\(x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b\) та вектором положення\(\textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}+ z(t)\textbf{k}\),
\[\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \int_C \textbf{f}\cdot \textbf{T}\,ds,\label{Eq4.40}\]
де\(\textbf{T}(t) = \dfrac{\textbf{r} ′ (t)}{ \lVert \textbf{r} ′ (t) \rVert }\) - одиничний дотичний вектор до\(C\) at\((x(t), y(t), z(t))\).
Теорема\(\PageIndex{2}\): Chain Rule
Якщо\(w = f (x, y, z)\) є безперервно диференційовною функцією\(x, y, \text{ and }z, \text{ and }x = x(t), y = y(t) \text{ and }z = z(t)\) диференційованих функцій\(t, \text{ then }w\) є диференційованою функцією\(t\), і
\[\dfrac{dw}{ dt} = \dfrac{∂w}{ ∂x}\dfrac{ dx}{ dt} + \dfrac{∂w}{ ∂y}\dfrac{ d y}{ dt} + \dfrac{∂w }{∂z}\dfrac{ dz}{ dt}.\label{Eq4.41}\]
Крім того, якщо\(x = x(t_1 ,t_2), y = y(t_1 ,t_2) \text{ and }z = z(t_1 ,t_2)\) постійно диференційовані функції\((t_1 ,t_2)\), то
\[\dfrac{∂w}{ ∂t_1} = \dfrac{∂w}{ ∂x}\dfrac{ ∂x}{ ∂t_1} + \dfrac{∂w}{ ∂y}\dfrac{ ∂y}{ ∂t_1} +\dfrac{∂w}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂t_1} \label{Eq4.42}\]
і
\[\dfrac{∂w}{ ∂t_2} = \dfrac{∂w}{ ∂x}\dfrac{ ∂x}{ ∂t_2} + \dfrac{∂w}{ ∂y}\dfrac{ ∂y}{ ∂t_2} +\dfrac{∂w}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂t_2} \label{Eq4.43}\]
Теорема\(\PageIndex{3}\): Potential
\(\textbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\textbf{i} + Q(x, y, z)\textbf{j} + R(x, y, z)\textbf{k}\)Дозволяти векторне поле в деякому твердому тілі\(S\), з\(P, Q \text{ and }R\) безперервно диференційовні функції на\(S\). \(C\)Дозволяти бути плавна крива в\(S\) параметризованому по\(x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b\). Припустимо, що існує реальна функція\(F(x, y, z)\) така, що\(∇F = \textbf{f} \text{ on }S\). Тоді
\[\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = F(B) − F(A) ,\label{Eq4.44}\]
де\(A = (x(a), y(a), z(a)) \text{ and }B = (x(b), y(b), z(b))\) знаходяться кінцеві точки\(C\).
Слідство
Якщо векторне поле \(\ textbf {f}\) має потенціал у твердому тілі\(S\), то\(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = 0\) для будь-якої замкнутої кривої\(C\) в\(S\) (тобто\(\oint_C ∇F\cdot d\textbf{r} = 0\) для будь-якої дійсної функції\(F(x, y, z))\).
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Дозволяти\(f (x, y, z) = z\) і\(C\) нехай крива в\(\mathbb{R}^ 3\) параметризованому
\[\nonumber x = t\sin t ,\quad y = t \cos t ,\quad z = t ,\quad 0 ≤ t ≤ 8π .\]
Оцініть\(\int_C f (x, y, z)\,ds\). (Примітка:\(C\) називається конічна спіраль. Див. Малюнок 4.5.1).
Рішення
З тих пір\(x ′ (t) = \sin t+ t \cos t, y ′ (t) = \cos t− t\sin t, \text{ and }z ′ (t) = 1\), у нас є
\[\nonumber \begin{align}x ′ (t)^ 2 + y ′ (t)^ 2 + z ′ (t)^ 2 &= (\sin^2 t+2t\sin t \cos t+ t^ 2 \cos^2 t)+(\cos^2 t−2t\sin t \cos t+ t^ 2 \sin^2 t)+1 \\[4pt] \nonumber &=t^ 2 (\sin^2 t+\cos^2 t)+\sin^2 t+\cos^2 t+1 \\[4pt] \nonumber &=t^2 +2, \\[4pt] \end{align}\]
так як\(f (x(t), y(t), z(t)) = z(t) = t\) уздовж кривої\(C\), то
\[\nonumber \begin{align} \int_C f (x, y, z)\,ds &= \int_0^{8\pi} f (x(t), y(t), z(t))\sqrt{x ′ (t)^ 2 + y ′ (t)^ 2 + z ′ (t)^ 2}\,dt \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{8\pi} t\sqrt{t^2+2}\,dt \\[4pt] \nonumber &= \left ( \dfrac{1}{3} (t^ 2 +2)^{3/2} \right ) \Big |_0^{8\pi} = \dfrac{1}{3} \left ( (64π^ 2 +2)^{3/2} −2 \sqrt{ 2} \right ). \\[4pt] \end{align}\]
Приклад\(\PageIndex{2}\)
\(\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i} + y\textbf{j}+ 2z\textbf{k}\)Дозволяти векторне поле в\(\mathbb{R}^ 3\). Використовуючи ту саму криву\(C\) з Прикладу 4.12, оцініть\(\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r}\).
Рішення:
Легко побачити, що\(F(x, y, z) = \dfrac{x^ 2}{ 2} + \dfrac{y^ 2}{ 2} + z^ 2\) є потенціалом для\(\textbf{f}(x, y, z)\) (тобто\(∇F = \textbf{f})\).
Отже, за теоремою 4.12 ми знаємо, що
\[\nonumber \begin{align} \int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} &=F(B) − F(A) , \text{ where }A = (x(0), y(0), z(0)) \text{ and }B = (x(8π), y(8π), z(8π)),\text{ so} \\[4pt] \nonumber &=F(8π\sin 8π,8π\cos 8π,8π) − F(0\sin 0,0\cos 0,0) \\[4pt] \nonumber &=F(0,8π,8π) − F(0,0,0) \\[4pt] \nonumber &= 0+ \dfrac{(8π)^ 2}{ 2} +(8π)^ 2 −(0+0+0) = 96π^ 2 . \\[4pt] \end{align}\]
Зараз ми обговоримо узагальнення теореми Гріна\(\mathbb{R}^ 2\) на орієнтовані поверхні в\(\mathbb{R}^ 3\), яка називається теоремою Стокса. Поверхня\(Σ\) в\(\mathbb{R}^ 3\) орієнтується, якщо є неперервне векторне поле N в\(\mathbb{R}^ 3\) такому, що N є ненульовим і нормальним\(Σ\) (тобто перпендикулярно дотичній площині) у кожній точці\(Σ\). Ми говоримо, що таке N є нормальним векторним полем.
Наприклад, одинична сфера\(x^ 2+y^ 2+z^ 2 = 1\) орієнтована, так як безперервне\(\textbf{N}(x, y, z) = x\textbf{i}+ y\textbf{j}+z\textbf{k}\) векторне поле ненульове і нормальне до сфери в кожній точці. По суті,\(−\textbf{N}(x, y, z)\) це інше нормальне векторне поле (див. Рис. У цьому випадку ми бачимо, що\(\textbf{N}(x, y, z)\) це те, що ми назвали зовнішнім нормальним вектором, і\(−\textbf{N}(x, y, z)\) є внутрішнім нормальним вектором. Ці «назовні» і «всередину» нормальні векторні поля на сфері відповідають «зовнішній» і «внутрішній» стороні, відповідно, сфери. Тобто ми говоримо, що сфера - це двостороння поверхня. Грубо «двосторонній» означає «орієнтований». Іншими прикладами двосторонніх, а отже орієнтованих поверхонь є циліндри, параболоїди, еліпсоїди та площини.
Можливо, вам буде цікаво, яка поверхня не мала б двох сторін. Прикладом може служити смуга Мебіуса, яка будується, взявши тонкий прямокутник і з'єднавши його кінці на протилежних кутах, в результаті чого виходить «скручена» смуга (див. Рис.
Якщо ви уявляєте, що йдете по лінії вниз по центру смуги Мебіуса, як на малюнку 4.5.3 (b), то ви повертаєтеся туди ж, з якого ви починали, але догори ногами! Тобто ваша орієнтація змінилася, незважаючи на те, що ваш рух був безперервним вздовж цієї центральної лінії. Неофіційно, думаючи про свій вертикальний напрямок як нормальне векторне поле уздовж смуги, є розрив у вашій вихідній точці (і, власне, в кожній точці), оскільки ваш вертикальний напрямок приймає там два різних значення. Смуга Мебіуса має лише одну сторону, а отже, не орієнтується.
Для орієнтованої поверхні,\(Σ\) яка має граничну криву\(C\), виберіть одиничний нормальний вектор n таким чином, щоб якщо ви йшли разом\(C\) з головою, вказуючи у напрямку n, то поверхня буде зліва від вас. У цій ситуації ми говоримо, що n є позитивним одиничним нормальним вектором і що\(C\) пройдено n - позитивно. Тепер ми можемо констатувати теорему Стокса:
Теорема\(\PageIndex{4}\): Stoke's Theorem
\(Σ\)Дозволяти орієнтовану поверхню, в\(\mathbb{R}^ 3\) якій межа проста замкнута крива\(C\), і\(\textbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\textbf{i} +Q(x, y, z)\textbf{j} + R(x, y, z)\textbf{k}\) нехай гладке векторне поле, визначене на деякій підмножині\(\mathbb{R}^ 3\), що містить\(Σ\). Тоді
\[\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_Σ (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n}\,dσ , \label{Eq4.45}\]
де
\[\text{curl }\textbf{f} = \left ( \dfrac{∂R}{ ∂y}-\dfrac{∂Q}{ ∂z} \right ) \textbf{i} + \left ( \dfrac{∂P}{ ∂z} - \dfrac{∂R}{ ∂x} \right ) \textbf{j} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} -\dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \textbf{k},\label{Eq4.46}\]
n - додатна одиниця нормального вектора над\(Σ\), і\(C\) проходить n -позитивно.
Доказ: Оскільки загальний випадок виходить за рамки цього тексту, ми доведемо теорему лише для спеціального випадку, де граф\(z = z(x, y)\) для деякої гладкої дійсної функції,\(Σ\) що\(z(x, y), \text{ with }(x, y)\) змінюється над областю\(D\) в\(\mathbb{R}^ 2\).
Проектуючи\(Σ\) на\(x y\) -площину, ми бачимо, що замкнута крива\(C\) (гранична крива\(Σ\)) проектує на замкнуту криву,\(C_D\) яка є граничною кривою\(D\) (див. Рис. Припускаючи, що\(C\) має плавну параметризацію, його проекція\(C_D\) в\(x y\) -площині також має плавну параметризацію, скажімо
\[\nonumber C_D\, :\, x = x(t) , y = y(t) , a ≤ t ≤ b ,\]
і так\(C\) можна параметризувати (в\(\mathbb{R}^ 3\)) як
\[\nonumber C \,:\, x = x(t) ,\, y = y(t) ,\, z = z(x(t), y(t)) ,\, a ≤ t ≤ b ,\]
так як крива\(C\) є частиною поверхні\(z = z(x, y)\). Тепер, за правилом ланцюга (теорема 4.4 в розділі 4.2), бо\(z = z(x(t), y(t)) \text{ as a function of }t\), ми знаємо, що
\[\nonumber z ′ (t) = \dfrac{∂z}{ ∂x} x ′ (t) + \dfrac{∂z}{ ∂y} y ′ (t) ,\]
і так
\[\nonumber \begin{align} \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} &= \int_C P(x, y, z)\,dx+Q(x, y, z)\,d y+ R(x, y, z)\,dz \\[4pt] \nonumber &=\int_a^b \left ( P x′ (t)+Q y′ (t)+ R \left ( \dfrac{∂z}{ ∂x} x ′ (t)+ \dfrac{∂z}{ ∂y} y ′ (t) \right ) \right ) \,dt \\[4pt] \nonumber &=\int_a^b \left ( \left ( P + R \dfrac{∂z}{ ∂x} \right ) x ′ (t)+ \left ( Q + R \dfrac{∂z}{ ∂y} \right ) y ′ (t) \right ) \,dt \\[4pt] \nonumber &=\int_{C_D} \tilde P (x, y)\,dx+\tilde Q (x, y)\,d y , \\[4pt] \end{align}\]
де
\[\nonumber \begin{align} &\tilde P (x, y) = P(x, y, z(x, y)) + R(x, y, z(x, y)) \dfrac{∂z}{ ∂x} (x, y) ,\text{ and} \\[4pt] \nonumber &\tilde Q (x, y) = Q(x, y, z(x, y)) + R(x, y, z(x, y)) \dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y) \\[4pt] \end{align}\]
для\((x, y) \text{ in }D\). Таким чином, за теоремою Гріна, застосованої до області\(D\), ми маємо
\[\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_D \left ( \dfrac{∂\tilde Q}{ ∂x} − \dfrac{∂\tilde P}{ ∂y}\right ) \,dA.\label{Eq4.47}\]
Таким чином,
\[\nonumber \begin{align} \dfrac{∂\tilde Q}{ ∂x} &= \dfrac{∂}{ ∂x} \left ( Q(x, y, z(x, y))+ R(x, y, z(x, y)) \dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y) \right ),\text{ so by the Product Rule we get} \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{∂}{ ∂x} (Q(x, y, z(x, y)))+\left (\dfrac{∂}{ ∂x} R(x, y, z(x, y)) \right ) \dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y)+R(x, y, z(x, y)) \dfrac{∂}{ ∂x} \left ( \dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y) \right ) \\[4pt] \end{align}\]
Тепер, за рівнянням\ ref {Eq4.42} в теоремі 4.11, ми маємо
\[\nonumber \begin{align} \dfrac{∂}{ ∂x} (Q(x, y, z(x, y)))&= \dfrac{∂Q}{ ∂x}\dfrac{ ∂x}{ ∂x}+\dfrac{∂Q}{ ∂y}\dfrac{ ∂y}{ ∂x}+\dfrac{∂Q}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{∂Q}{ ∂x} \cdot 1 + \dfrac{∂Q}{ ∂y} \cdot 0 + \dfrac{∂Q}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} \\[4pt] \nonumber &= \dfrac{∂Q}{ ∂x} + \dfrac{∂Q}{∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} . \\[4pt] \end{align}\]
Аналогічно,
\[\nonumber \dfrac{∂}{ ∂x} (R(x, y, z(x, y))) = \dfrac{∂R}{ ∂x} + \dfrac{∂R}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} .\]
Таким чином,
\[\nonumber \begin{align}\dfrac{∂\tilde Q}{ ∂x} &=\dfrac{∂Q}{ ∂x} + \dfrac{∂Q}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} + \left ( \dfrac{∂R}{ ∂x} + \dfrac{∂R}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} \right ) \dfrac{∂z }{∂y}+R(x, y, z(x, y)) \dfrac{∂^2 z}{ ∂x∂y} \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{∂Q}{ ∂x} + \dfrac{∂Q}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} + \dfrac{∂R}{ ∂x}\dfrac{ ∂z}{ ∂y}+\dfrac{∂R}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂x}\dfrac{ ∂z}{ ∂y} + R \dfrac{∂^2 z}{ ∂x∂y} . \\[4pt] \end{align}\]
Аналогічним чином ми можемо розрахувати
\[\nonumber \dfrac{∂\tilde P}{ ∂y} = \dfrac{∂P}{ ∂y} + \dfrac{∂P}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂y} + \dfrac{∂R}{ ∂y}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} + \dfrac{∂R}{ ∂z}\dfrac{ ∂z}{ ∂y}\dfrac{ ∂z}{ ∂x} +R\dfrac{∂^2 z}{ ∂y∂x} .\]
Отже, віднімання дає
\[\dfrac{∂\tilde Q}{ ∂x} - \dfrac{∂\tilde P}{ ∂y} = \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂z} − \dfrac{∂R}{ ∂y} \right ) \dfrac{∂z}{ ∂x} + \left ( \dfrac{∂R}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂z} \right ) \dfrac{∂z}{ ∂y} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \label{Eq4.48}\]
так як\(\dfrac{∂^2 z}{ ∂x∂y} = \dfrac{∂^2 z}{ ∂y∂x}\) по гладкості\(z = z(x, y)\). Отже, за рівнянням\ ref {Eq4.47},
\[\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint_D \left ( - \left (\dfrac{∂R}{ ∂y} − \dfrac{∂Q}{ ∂z} \right ) \dfrac{∂z}{ ∂x} - \left ( \dfrac{∂P}{ ∂z} − \dfrac{∂R}{ ∂x} \right ) \dfrac{∂z}{ ∂y} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \right ) \,dA \label{Eq4.49}\]
після факторингу −1 з термінів у перших двох добутках у Рівнянні\ ref {Eq4.48}.
Тепер нагадаємо з розділу 2.3 (див. С.76), що вектор\(\textbf{N} = − \dfrac{∂z}{ ∂x}\textbf{ i}− \dfrac{∂z}{ ∂y}\textbf{j}+\textbf{k}\) є нормальним до дотичної площини до поверхні\(z = z(x, y)\) в кожній точці\(Σ\). Таким чином,
\[\nonumber \textbf{n} = \dfrac{\textbf{N}}{\lVert \textbf{N} \rVert } = \dfrac{− \dfrac{∂z}{ ∂x}\textbf{ i}− \dfrac{∂z}{ ∂y}\textbf{j}+\textbf{k}}{\sqrt{1+\left ( \dfrac{∂z}{ ∂x} \right ) ^2+\left ( \dfrac{∂z}{ ∂y} \right )^2}}\]
насправді є додатною одиницею нормального вектора до\(Σ\) (див. Рис. Значить, використовуючи параметризацію\(\textbf{r}(x, y) = x\textbf{i} + y\textbf{j} + z(x, y)\textbf{k},\text{ for }(x, y) \text{ in }D\), поверхні\(Σ\), ми маємо\(\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂x} = \textbf{i} + \dfrac{∂z}{ ∂x}\textbf{k}\) і\(\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂y} = \textbf{j}+ \dfrac{∂z}{ ∂y}\textbf{k}\), і так\(\lVert \dfrac{ ∂\textbf{r}}{ ∂x} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂y} \rVert = \sqrt{ 1+ \left ( \dfrac{∂z}{ ∂x} \right )^2 + \left ( \dfrac{∂z}{ ∂y} \right )^2}\). Таким чином, ми бачимо, що за допомогою рівняння\ ref {Eq4.46} для curl f, у нас є
\[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n} \,dσ &=\iint\limits_D (\text{curl }\textbf{f}) \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂x}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂y} \Big \rVert \, dA \\[4pt] \nonumber &=\iint\limits_D \left ( \left ( \dfrac{∂R}{ ∂y} − \dfrac{∂Q}{ ∂z} \right )\textbf{i} + \left ( \dfrac{∂P}{ ∂z} − \dfrac{∂R}{ ∂x} \right ) \textbf{j} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \textbf{k} \right ) \cdot \left ( -\dfrac{∂z}{ ∂x}\textbf{i}− \dfrac{∂z}{ ∂y}\textbf{j}+\textbf{k} \right ) \,dA \\[4pt] \nonumber &=\iint\limits_D \left ( - \left ( \dfrac{∂R}{ ∂y} − \dfrac{∂Q}{ ∂z} \right )\, \dfrac{∂z}{ ∂x} - \left ( \dfrac{∂P}{ ∂z} − \dfrac{∂R}{ ∂x} \right ) \, \dfrac{∂z}{ ∂y} + \left ( \dfrac{∂Q}{ ∂x} − \dfrac{∂P}{ ∂y} \right ) \right ) \, dA, \\[4pt] \end{align}\]
який, порівнюючи з рівнянням\ ref {Eq4.49}, доводить теорему.
\(\tag{\(\textbf{QED}\)}\)
Примітка: Умова в теоремі Стокса про те, що поверхня\(Σ\) має (безперервно змінюється) позитивний одиничний вектор нормальності n і граничну криву,\(C\) пройдену n -позитивно, може бути виражена більш точно так: якщо\(\textbf{r}(t)\) вектор положення для\(C\) і \(\textbf{T}(t) = \textbf{r} ′ (t)/ \rVert \textbf{r} ′ (t) \rVert\)є одиничним дотичним вектором до\(C\), то вектори T, n, T\(\times\) n утворюють правосторонню систему.
Також слід зазначити, що теорема Стокса тримається навіть тоді, коли гранична\(C\) крива кусково гладка.
Приклад\(\PageIndex{3}\)
Перевірте теорему Стокса,\(\textbf{f}(x, y, z) = z \textbf{i} + x\textbf{j} + y\textbf{k}\) коли\(Σ\) є параболоїдом\(z = x^ 2 + y^ 2\) такий, що\(z ≤ 1\) (див. Рис. 4.5.5).
Рішення:
Позитивна одиниця нормального вектора до поверхні\(z = z(x, y) = x^ 2 + y^ 2\) дорівнює
\[\nonumber \textbf{n} = \dfrac{−\dfrac{∂z}{ ∂x}\textbf{i}− \dfrac{∂z}{ ∂y}\textbf{j}+\textbf{k}}{\sqrt{1+ \left ( \dfrac{∂z}{ ∂x} \right )^2+\left ( \dfrac{∂z}{ ∂y} \right )^2}}= \dfrac{−2x\textbf{i}−2y\textbf{j}+\textbf{k}}{\sqrt{1+4x^2 +4y^2}},\]
і завиток f = (1−0) i + (1−0) j + (1−0) k = i + j + k, так
\[\nonumber (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n} = (−2x−2y+1)/\sqrt{1+4x^ 2 +4y^ 2} .\]
Так як\(Σ\) можна параметризувати як\(\textbf{r}(x, y) = x\textbf{i} + y\textbf{j} + (x^ 2 + y^ 2 )\textbf{k} \text{ for }(x, y) \text{ in the region }D = {(x, y) : x^ 2 + y^ 2 ≤ 1}\), то
\[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n}\,dσ &=\iint\limits_D (\text{curl }\textbf{f}) \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂x}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂y} \Big \rVert \, dA \\[4pt] \nonumber &= \iint\limits_D \dfrac{−2x−2y+1}{\sqrt{1+4x^ 2 +4y^ 2}}\sqrt{1+4x^ 2 +4y^ 2}\, d A \\[4pt] \nonumber &= \iint\limits_D (−2x−2y+1)\,d A, \text{ so switching to polar coordinates gives} \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \int_0^1 (−2r \cos θ −2r \sin θ +1)\,r \,dr\, dθ \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \int_0^1 (−2r^ 2 \cos θ −2r^ 2 \sin θ + r)\,dr\, dθ \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \left (− \dfrac{2r^ 3}{ 3} \cos θ − \dfrac{2r^ 3}{ 3} \sin θ + \dfrac{r^ 2}{ 2} \Big |_{r=0}^{r=1} \right ) \,dθ \\[4pt] \nonumber &= \int_0^{2\pi} \left ( − \dfrac{2}{ 3} \cos θ − \dfrac{2}{ 3} \sin θ + \dfrac{1}{ 2} \right ) \, dθ \\[4pt] \nonumber &= − \dfrac{2}{ 3} \sin θ +\dfrac{2}{ 3} \cos θ + \dfrac{1}{ 2} θ \Big |_0^{2\pi} = \pi . \\[4pt] \end{align}\]
Прикордонна крива\(C\) - це одинична окружність, що\(x^ 2 + y^ 2 = 1\) прокладається в площині\(z = 1\) (див. Рис\(x = \cos t, y = \sin t, z = 1 \text{ for }0 ≤ t ≤ 2π\). Так
\[\nonumber \begin{align} \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} &= \int_0^{2\pi} ((1)(−\sin t)+(\cos t)(\cos t)+(\sin t)(0))\,dt \\[4pt] \nonumber &= \int_0^{2\pi} \left ( −\sin t+ \dfrac{1+\cos 2t}{ 2} \right ) \,dt \quad \left ( \text{here we used } \cos^2 t = \dfrac{1+\cos 2t}{ 2} \right ) \\[4pt] \nonumber &= \cos t+ \dfrac{t}{ 2} + \dfrac{\sin 2t}{ 4}\Big |_0^{2\pi} = π . \\[4pt] \end{align}\]
Таким чином, ми бачимо\(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} =\iint\limits_Σ (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n}dσ\), що, як передбачала теорема Стокса.
Лінійний інтеграл у попередньому прикладі був набагато простішим для обчислення, ніж поверхневий інтеграл, але це не завжди буде так.
Приклад\(\PageIndex{4}\)
\(Σ\)Дозволяти еліптичний параболоїд\(z =\dfrac{x^ 2}{ 4} + \dfrac{y^ 2}{ 9} \text{ for }z ≤ 1\), і нехай\(C\) буде його гранична крива. Обчисліть\( \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r}\text{ for }\textbf{f}(x, y, z) = (9xz + 2y)\textbf{i} + (2x + y^ 2 )\textbf{j} + (−2y^ 2 + 2z)\textbf{k}\), де\(C\) проходить проти годинникової стрілки
Рішення
Поверхня подібна до тієї, що наведена в Прикладі\(\PageIndex{3}\), за винятком того, що тепер гранична крива\(C\) - це еліпс, що\(\dfrac{x^ 2}{ 4} + \dfrac{y^ 2}{ 9} = 1\) лежить у площині\(z = 1\). У цьому випадку використовувати теорему Стокса простіше, ніж безпосередньо обчислювати лінійний інтеграл. Як і в прикладі 4.14, в кожній точці\((x, y, z(x, y))\)\(z = z(x, y) = \dfrac{x^ 2}{ 4} + \dfrac{y^ 2}{ 9}\) на поверхні вектор
\[\nonumber \textbf{n} = \dfrac{-\dfrac{∂z}{ ∂x}\textbf{i}− \dfrac{∂z}{ ∂y}\textbf{j}+\textbf{k}}{\sqrt{1 + \left ( \dfrac{∂z}{ ∂x} \right )^2 + \left ( \dfrac{∂z}{ ∂y}\right )^2}}=\dfrac{− \dfrac{x}{ 2}\textbf{i}− \dfrac{2y}{ 9}\textbf{j}+\textbf{k}}{\sqrt{1+ \dfrac{x^ 2}{ 4} + \dfrac{4y^ 2}{ 9}}},\]
є позитивною одиницею нормального вектора до\(Σ\). І розрахунок завитка f дає
\[\nonumber \text{curl }\textbf{f} = (−4y−0)\textbf{i} + (9x−0)\textbf{j} + (2−2)\textbf{k} = −4y\textbf{i} + 9x\textbf{j} + 0\textbf{k} ,\]
тому
\[\nonumber (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n} = \dfrac{(−4y)(− \dfrac{x}{ 2} )+(9x)(− \dfrac{2y}{ 9} )+(0)(1)}{\sqrt{1+ \dfrac{x^ 2}{ 4} + \dfrac{4y^ 2}{ 9}}} = \dfrac{2x y−2x y+0}{\sqrt{1+ \dfrac{x^ 2}{ 4} + \dfrac{4y^ 2}{ 9}}} = 0,\]
і так за теоремою Стокса
\[\nonumber \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_Σ (\text{curl }\textbf{f})\cdot \textbf{n}\,dσ = \iint\limits_Σ 0\, dσ = 0.\]
У фізичних додатках для простої замкнутої\(C\) кривої\(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r}\) лінійний інтеграл часто називають циркуляцією f навколо\(C\). Наприклад, якщо Е представляє електростатичне поле за рахунок точкового заряду, то виходить той завиток\(\textbf{E}= \textbf{0}\), що означає, що циркуляція\(\oint_C \textbf{E}\cdot d\textbf{r} = 0\) по теоремі Стокса. Векторні поля, які мають нульовий завиток, часто називають ірротаційними полями.
Насправді термін curl був створений шотландським фізиком 19 століття Джеймсом Клерком Максвеллом в його дослідженні електромагнетизму, де він широко використовується. У фізиці локон трактується як міра щільності циркуляції. Це найкраще видно за допомогою іншого визначення curl f, яке еквівалентно визначенню, заданому Equation\ ref {Eq4.46}. А саме, для точки\((x, y, z) \text{ in }\mathbb{R}^ 3\),
\[\textbf{n}\cdot (\text{curl }\textbf{f}(x, y, z) = \lim\limits_{S \to 0} \dfrac{1}{S}\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r},\label{Eq4.50}\]
де\(S\) - площа поверхні поверхні,\(Σ\) що містить точку\((x, y, z)\) і з простою замкнутою граничною кривою\(C\) і додатним одиничним вектором нормалі n at\((x, y, z)\). У межі подумайте про криву, що\(C\) зменшується до точки\((x, y, z)\), що призводить до того\(Σ\), що поверхня, яку вона межує, мати меншу і меншу площу поверхні. Це відношення циркуляції до площі поверхні в межі - це те, що робить завиток грубою мірою щільності циркуляції (тобто циркуляції на одиницю площі).
Уявлення про те, як завиток векторного поля пов'язаний з обертанням, показано на малюнку 4.5.6. Припустимо, у нас є векторне поле,\(\textbf{f}(x, y, z)\) яке завжди паралельно\(x y\) -площині в кожній точці,\((x, y, z)\) і що вектори ростуть більше, чим далі точка\((x, y, z)\) знаходиться від\(y\) -осі. Наприклад,\(\textbf{f}(x, y, z) = (1+ x^ 2 )\textbf{j}\). Подумайте про векторне поле як про потік води, і уявіть, що скидають два колеса з веслами в цей потік води, як на малюнку 4.5.6. Оскільки потік сильніший (тобто величина f більша), коли ви віддаляєтеся від\(y\) -осі, то таке колесо оберталося б проти годинникової стрілки, якби його скинули праворуч від\(y\) осі, і воно оберталося б за годинниковою стрілкою, якби воно було опущено ліворуч від\(y\) -осі. В обох випадках завиток був би ненульовим (завиток\(\textbf{f}(x, y, z) = 2x\textbf{k}\) у нашому прикладі) і підкорявся правилу правої руки, тобто скручування\(\textbf{f}(x, y, z)\) точок у напрямку великого пальця, коли ви крутите праву руку у напрямку обертання колеса. Таким чином, завиток вказує назовні (в позитивному\(z\) напрямку) if\(x > 0\) і вказує всередину (в негативному\(z\) -напрямку) if\(x < 0\). Зверніть увагу, що якби всі вектори мали однаковий напрямок і однакову величину, то колеса не оберталися б і, отже, не було б завитків (саме тому такі поля називаються ірротаційними, що означає відсутність обертання).
Нарешті, за теоремою Стокса, ми знаємо, що якщо\(C\) проста замкнута крива в деякій твердій області\(S\) в\(\mathbb{R}^ 3\) і якщо\(\textbf{f}(x, y, z)\) є гладким векторним полем таким, що завиток\(\textbf{f} = 0 \text{ in }S\), то
\[\nonumber \oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = \iint\limits_Σ (\text{curl }\textbf{f}\cdot \textbf{n}\,dσ = \iint\limits_Σ \textbf{0}\cdot \textbf{n}\, dσ = \iint\limits_Σ 0\,dσ = 0,\]
де\(Σ\) - будь-яка орієнтована поверхня, всередині\(S\) якої межа знаходиться\(C\) (таку поверхню іноді називають покриває поверхнею для\(C\)). Так подібно до двозмінного випадку ми маємо тривимірний варіант результату з розділу 4.3, для твердих областей, в\(\mathbb{R}^ 3\) яких просто з'єднані (тобто області, що не мають отворів):
Наступні твердження еквівалентні для просто пов'язаної твердої області\(S\) в\(\mathbb{R}^ 3\):
- \(\textbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z)\textbf{i}+Q(x, y, z)\textbf{j}+ R(x, y, z)\textbf{k}\)має плавний потенціал\(F(x, y, z) \text{ in }S\)
- \(\int_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r}\)не залежить від шляху для будь-якої кривої\(C\) в\(S\)
- \(\oint_C \textbf{f}\cdot d\textbf{r} = 0\)для кожної простої замкнутої кривої\(C\) в\(S\)
- \(\dfrac{∂R}{ ∂y} = \dfrac{∂Q}{ ∂z} , \dfrac{∂P}{ ∂z} = \dfrac{∂R}{ ∂x} , \text{ and }\dfrac{∂Q}{ ∂x} = \dfrac{∂P}{ ∂y}\)в\(S\) (тобто завиток\(\textbf{f} = \textbf{0} \text{ in }S\))
Частина (d) також є способом сказати, що диференціальна форма\(P \,dx+Q \,d y+ R\, dz\) є точною.
Приклад\(\PageIndex{5}\)
Визначте, чи\(\textbf{f}(x, y, z) = x yz \textbf{i}+xz \textbf{j}+x y\textbf{k}\) векторне поле має потенціал в\(\mathbb{R}^ 3\).
Рішення
Так як просто\(\mathbb{R}^ 3\) підключається, нам просто потрібно перевірити, чи curl f = 0\(\mathbb{R}^ 3\) всюди, тобто
\[\nonumber \dfrac{∂R}{ ∂y} = \dfrac{∂Q}{ ∂z} ,\quad \dfrac{∂P}{ ∂z} = \dfrac{∂R}{ ∂x} ,\quad \text{and }\dfrac{∂Q}{ ∂x} = \dfrac{∂P}{ ∂y} \]
всюди\(\mathbb{R}^ 3\), де\(P(x, y, z) = x yz, Q(x, y, z) = xz, \text{ and }R(x, y, z) = x y\). Але ми бачимо, що
\[\nonumber \dfrac{∂P}{ ∂z} = x y ,\, \dfrac{∂R}{ ∂x} = y \quad \Rightarrow \quad \dfrac{∂P}{ ∂z} \neq \dfrac{∂R}{ ∂x} \text{ for some }(x, y, z) \text{ in }\mathbb{R}^ 3 .\]
Таким чином,\(f(x, y, z)\) не має потенціалу в\(\mathbb{R}^ 3\).