4.4: Поверхневі інтеграли та теорема про розбіжність

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60308

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У розділі 4.1 ми навчилися інтегрувати вздовж кривої. Зараз ми дізнаємося, як виконувати інтеграцію над поверхнею$\mathbb{R}^3$, наприклад, сферою або параболоїдом. Нагадаємо з розділу 1.8, як ми ідентифікували точки$(x, y, z)$ на кривій$C$ в$\mathbb{R}^3$, параметризовані$x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b$, з кінцевими точками вектора положення

\[\nonumber \textbf{r}(t)= x(t)\textbf{i}+ y(t)\textbf{j}+ z(t)\textbf{k} \text{ for }t \text{ in }[a,b].\]

Ідея параметризації кривої полягає в тому, що вона «перетворює» підмножину$\mathbb{R}^ 1$ (зазвичай інтервал$[a,b]$) на криву в$\mathbb{R}^ 2$ або$\mathbb{R}^ 3$ (Рисунок$\PageIndex{1}$).

альт — Малюнок$\PageIndex{1}$: Параметризація кривої$C$ в$\mathbb{R}^ 3$

Подібно до того, як ми використовували параметризацію кривої для визначення інтеграла прямої вздовж кривої, ми будемо використовувати параметризацію поверхні для визначення поверхневого інтеграла. Ми будемо використовувати дві змінні$u \text{ and }v$, для параметризації поверхні$Σ$ в$\mathbb{R}^ 3$: в деякій області$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), \text{ for }(u,v)$$R$ в$\mathbb{R}^ 2$ (Рис.$\PageIndex{1}$).

При цьому вектор положення точки на поверхні$Σ$ задається векторно-значною функцією

\[\nonumber \textbf{r}(u,v) = x(u,v)\textbf{i} + y(u,v)\textbf{j} + z(u,v)\textbf{k} \text{ for }(u,v) \text{ in }R.\]

Оскільки$\textbf{r}(u,v)$ є функцією двох змінних, визначте часткові$(u,v) \text{ in }R$ похідні$\dfrac{∂r}{ ∂u} \text{ and }\dfrac{∂r }{∂v}$ для

\[\nonumber \begin{align}&\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u }(u,v)=\dfrac{∂x }{∂u} (u,v)\textbf{i}+\dfrac{∂y}{ ∂u} (u,v)\textbf{j}+\dfrac{∂z }{∂u} (u,v)\textbf{k},\text{ and} \\[4pt] \nonumber & \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v }(u,v) = \dfrac{∂x }{∂v} (u,v)\textbf{i}+\dfrac{∂y}{ ∂v} (u,v)\textbf{j}+\dfrac{∂z }{∂v} (u,v)\textbf{k} \\[4pt] \end{align}\]

Параметризація$Σ$ може розглядатися як «перетворення» області в$\mathbb{R}^2$ (в$uv$ -площині) у 2-вимірну поверхню в$\mathbb{R}^3$. Таку параметризацію поверхні іноді називають латкою, виходячи з ідеї «латання» області$R$ на$Σ$ сітчастий спосіб, показаний на малюнку$\PageIndex{2}$.

Насправді, ці сітки в$R$ привести нас до того, як ми будемо визначити поверхневий інтеграл над$Σ$. Уздовж вертикальних ліній сітки в$R$, змінна$u$ є постійною. Таким чином, ці лінії отримати відображені криві на$Σ$, і змінна$u$ є постійною вздовж вектора положення$\textbf{r}(u,v)$. Таким чином, дотичним вектором до цих кривих в точці$(u,v)$ є$\dfrac{∂r}{ ∂v}$. Аналогічно, горизонтальні лінії сітки в$R$ відображаються з кривими, на$Σ$ яких є дотичні вектори$\dfrac{∂r}{ ∂u}$.

Тепер візьміть точку$(u,v)$ в$R$ якості, скажімо, нижнього лівого кута одного з прямокутних ділянок сітки в$R$, як показано на малюнку$\PageIndex{2}$. Припустимо, що цей прямокутник має невелику ширину і висоту$∆u \text{ and }∆v$ відповідно. Кутові точки цього прямокутника є$(u,v), (u + ∆u,v), (u +∆u,v +∆v)$ і$(u,v +∆v)$. Таким чином, площа цього прямокутника є$A = ∆u∆v$. Тоді цей прямокутник відображатиметься параметризацією на деяку ділянку поверхні,$Σ$ яка, для досить$∆u \text{ and }∆v$ малого, матиме площу поверхні (називайте її$dσ$), яка дуже близька до площі паралелограма, яка має сусідні сторони$\textbf{r}(u+∆u,v)−\textbf{r}(u,v)$ (відповідає відрізку лінії). з$(u,v) \text{ to }(u + ∆u,v) \text{ in }R$) і$\textbf{r}(u,v + ∆v) − \textbf{r}(u,v)$ (відповідає відрізку лінії від$(u,v) \text{ to }(u,v + ∆v) \text{ in }R$). Але, поєднуючи наше звичайне поняття часткової похідної (визначення 2.3 у розділі 2.2) з поняттям похідної векторно-значної функції (визначення 1.12 у розділі 1.8), застосованої до функції двох змінних, ми маємо

\[\nonumber \begin{align} &\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \approx \dfrac{\textbf{r}(u +∆u,v)−\textbf{r}(u,v)}{∆u},\text{ and } \\[4pt] \nonumber &\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \approx \dfrac{\textbf{r}(u,v+∆v)−\textbf{r}(u,v)}{∆v}, \\[4pt] \end{align}\]

і тому площа поверхні елемента$dσ$ приблизно

\[\nonumber \lVert (\textbf{r}(u +∆u,v)−\textbf{r}(u,v))\times (\textbf{r}(u,v+∆v)−\textbf{r}(u,v)) \rVert \approx \Big \lVert (∆u \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} )\times (∆v \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} ) \Big \rVert = \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}} {∂v} \Big \rVert \,∆u\,∆v\]

за теоремою 1.13 в розділі 1.4. Таким чином, загальна площа поверхні приблизно$S \text{ of }Σ$ дорівнює сумі всіх величин$\lVert \dfrac{ ∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \rVert \,∆u\,∆v$, підсумованих по прямокутникам в$R$. Беручи межу цієї суми, оскільки діагональ найбільшого прямокутника переходить до 0, дає

\[S = \iint\limits_R \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}} {∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}} {∂v} \Big \rVert \,du \,dv.\label{Eq4.26}\]

Ми запишемо подвійний інтеграл праворуч, використовуючи спеціальні позначення

\[\iint\limits_Σ dσ = \iint\limits_R \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}} {∂v} \Big \rVert \,du \,dv .\label{Eq4.27}\]

Це особливий випадок цілісної поверхні над поверхнею$Σ$, де елемент площі поверхні$dσ$ можна розглядати як$1dσ$. Замінивши 1 загальною реальною функцією$\mathbb{R}^ 3$,$f (x, y, z)$ визначеною в, ми маємо наступне:

Визначення: Поверхневий інтеграл

$Σ$Дозволяти бути поверхні в$\mathbb{R}^ 3$ параметризованому$x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), \text{ for }(u,v)$ в деякому регіоні$R$ в$\mathbb{R}^ 2$. $\textbf{r}(u,v) = x(u,v)\textbf{i} + y(u,v)\textbf{j} + z(u,v)\textbf{k}$Дозволяти бути вектор позиції для будь-якої точки на$Σ$, і нехай$f (x, y, z)$ бути реальної функції, визначеної на деякій підмножині$\mathbb{R}^ 3$, що містить$Σ$. Поверхневий$f (x, y, z) \text{ over }Σ$ інтеграл

\[\iint\limits_Σ f (x, y, z)\,dσ = \iint\limits_R f (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert \,du \,dv.\label{Eq4.28}\]

Зокрема, площа$S$ поверхні$Σ$

\[S = \iint\limits_Σ 1\,dσ .\label{Eq4.29}\]

Приклад 4.9

Тор$T$ - це поверхня, отримана обертанням кола радіуса$a$ в$yz$ -площині навколо$z$ -осі, де центр кола знаходиться на відстані$b$ від$z$ -осі$(0 < a < b)$, як на малюнку$\PageIndex{3}$. Знайти площу поверхні$T$.

Рішення

Для будь-якої точки на колі відрізок лінії від центру кола до цієї точки робить кут$u$ з$y$ віссю -в позитивному$y$ напрямку (Рисунок$\PageIndex{3}$ (а)). І коли коло обертається навколо$z$ -осі, відрізок лінії від початку до центру цього кола змітає кут$v$ з позитивною$x$ -віссю (Рисунок$\PageIndex{3}$ (b)). Таким чином, тор можна параметризувати як:

\[\nonumber x = (b + a\cos u)\cos v ,\quad y = (b + a\cos u)\sin v ,\quad z = a\sin u,\quad 0 ≤ u ≤ 2π ,\quad 0 ≤ v ≤ 2π\]

Отже, для вектора положення

\[\nonumber \begin{align} \textbf{r}(u,v) &= x(u,v)\textbf{i} + y(u,v)\textbf{j} + z(u,v)\textbf{k} \\[4pt] \nonumber &= (b + a\cos u)\cos v\textbf{i} + (b + a\cos u)\sin v\textbf{j} + a\sin u\textbf{k} \\[4pt] \end{align}\]

ми бачимо, що

\[\nonumber \begin{align}\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} &=−a\sin u \cos v\textbf{i} − a\sin u \sin v\textbf{j} + a\cos u\textbf{k} \\[4pt] \nonumber \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} &= −(b + a\cos u)\sin v\textbf{i} + (b + a\cos u)\cos v\textbf{j} + 0\textbf{k} , \\[4pt] \end{align}\]

і тому обчислення крос-продукту дає

\[\nonumber \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} = −a(b + a\cos u)\cos v \cos u\textbf{i} − a(b + a\cos u)\sin v \cos u\textbf{j} − a(b + a\cos u)\sin u\textbf{k} ,\]

який має величину

\[\nonumber \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert = a(b + a\cos u) .\]

Таким чином, площа поверхні$T$ становить

\[\nonumber \begin{align} S&= \iint\limits_Σ 1\,dσ \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \int_0^{2\pi} \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert \,du\, dv \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} a(b + a\cos u)\,du \,dv \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} \left (abu + a^2 \sin u \Big |_{u=0}^{u=2\pi} \right ) \,dv \\[4pt] \nonumber &=\int_0^{2\pi} 2πab\, dv \\[4pt] \nonumber &=4π ^2 ab \\[4pt] \end{align}\]

Оскільки$\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\text{ and }\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}$ є дотичними до поверхні$Σ$ (тобто лежать в дотичній площині до$Σ$ кожної точки на$Σ$), то їх поперечний твір$\dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u}\times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}$ перпендикулярно дотичній площині до поверхні в кожній точці$Σ$. Таким чином,

\[\nonumber \iint\limits_Σ f (x, y, z)\,dσ = \iint\limits_R f (x(u,v), y(u,v), z(u,v))\lVert \textbf{n} \rVert \,dσ ,\]

де$\textbf{n} = \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}$. Ми говоримо, що n є нормальним вектором до$Σ$.

Нагадаємо, що нормальні вектори на площину можуть вказувати в двох протилежних напрямках. Під зовнішнім одиничним нормальним вектором до поверхні$Σ$ ми будемо мати на увазі одиничний вектор, який є нормальним$Σ$ і вказує від «верхньої» (або «зовнішньої» частини) поверхні. Це туманне визначення, але зображення на малюнку$\PageIndex{4}$ дає краще уявлення про те, як виглядають зовнішні нормальні вектори, у випадку сфери. З огляду на цю ідею, ми робимо наступне визначення поверхневого інтеграла тривимірного векторного поля над поверхнею:

Визначення: поверхневий інтеграл f over$Σ$

$Σ$Дозволяти бути поверхнею в$\mathbb{R}^ 3$ і нехай$\textbf{f}(x, y, z) = f_1(x, y, z)\textbf{i}+ f_2(x, y, z)\textbf{j}+ f_3(x, y, z)\textbf{k}$ векторне поле, визначене на деякій підмножині$\mathbb{R}^ 3$, що містить$Σ$. Поверхневий інтеграл f$Σ$ over

\[\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} = \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot \textbf{n}\,dσ,\label{Eq4.30}\]

де, в будь-якій точці на$Σ$, n - зовнішній одиничний нормальний вектор до$Σ$.

Зверніть увагу, що у наведеному вище визначенні, що точковий добуток всередині інтеграла праворуч є реальною функцією, і, отже, ми можемо використовувати визначення 4.3 для оцінки інтеграла.

Приклад$\PageIndex{1}$

Оцініть поверхневий інтеграл$\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}$, де$\textbf{f}(x, y, z) = yz\textbf{i}+xz\textbf{j}+x y\textbf{k}\text{ and }Σ$ знаходиться частина площини$x+ y+z = 1 \text{ with }x ≥ 0, y ≥ 0, \text{ and }z ≥ 0$, при цьому зовнішня одиниця нормалі n спрямована в позитивному$z$ напрямку (рис.$\PageIndex{5}$).

Рішення:

Оскільки вектор v$= (1,1,1)$ нормаль до площини$x+ y+ z = 1$ (чому?) , Потім ділення v на його довжину дає зовнішній одиничний нормальний вектор n$= \left ( \dfrac{ 1 }{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{ \sqrt{ 3}}\right ) $. Тепер нам потрібно параметризувати$Σ$. Як ми бачимо на малюнку$\PageIndex{5}$, проекція$Σ$ на$x y$ площину дає трикутну область$R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x}$. Таким чином, використовуючи$(u,v)$ замість того$(x, y)$, ми бачимо, що

\[\nonumber x = u, y = v, z = 1−(u + v),\text{ for }0 ≤ u ≤ 1,0 ≤ v ≤ 1− u\]

це параметризація$Σ$ над$R$ (з моменту$z = 1−(x+ y)$$Σ$). Так далі$Σ$,

\[\nonumber \begin{align} \textbf{f}\cdot \textbf{n} &=(yz, xz, x y)\cdot \left ( \dfrac{ 1 }{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{\sqrt{ 3}} , \dfrac{1}{ \sqrt{ 3}} \right ) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(yz + xz + x y) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}((x+ y)z + x y) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}((u + v)(1−(u + v))+ uv) \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{1}{\sqrt{3}}((u + v)−(u + v)^2 + uv) \\[4pt] \end{align}\]

для$(u,v)$ в$R$, і для$\textbf{r}(u,v) = x(u,v)\textbf{i}+ y(u,v)\textbf{j}+ z(u,v)\textbf{k} = u\textbf{i}+ v\textbf{j}+(1−(u + v))\textbf{k}$ нас є

\[\nonumber \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v}=(1,0,−1)\times (0,1,−1) = (1,1,1)\, \Rightarrow \, \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert = \sqrt{3}.\]

Таким чином, інтеграція над$R$ використанням вертикальних зрізів (наприклад, як зазначено пунктирною лінією на малюнку$\PageIndex{5}$) дає

\[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} &= \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot \textbf{n}\,dσ \\[4pt] \nonumber &=\iint\limits_R (\textbf{f}(x(u,v), y(u,v), z(u,v))\cdot \textbf{n}) \Big \lVert \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂u} \times \dfrac{∂\textbf{r}}{ ∂v} \Big \rVert \,dv\, du \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \int_0^{1-u} \dfrac{1}{\sqrt{3}}((u + v)−(u + v)^2 + uv) \sqrt{ 3}\,dv\, du \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( \dfrac{(u + v)^2}{ 2}-\dfrac{(u + v)^3}{ 3}+\dfrac{uv^2}{ 2} \Big |_{v=0}^{v=1-u} \right )\,du \\[4pt] \nonumber &=\int_0^1 \left ( \dfrac{1}{6}+\dfrac{u}{2} -\dfrac{3u^2}{2}+\dfrac{5u^3}{6} \right )\,du \\[4pt] \nonumber &=\dfrac{u}{6} +\dfrac{u^2}{4}-\dfrac{u^3}{2}+\dfrac{5u^4}{24} \Big |_0^1 =\dfrac{1}{8} \\[4pt] \end{align}\]

Обчислення поверхневих інтегралів часто може бути нудним, особливо коли формула для зовнішнього одиничного нормального вектора в кожній точці$Σ$ змінюється. Наступна теорема забезпечує більш легкий шлях у випадку, коли$Σ$ є замкнутою поверхнею, тобто коли$Σ$ охоплює обмежене тверде тіло в$\mathbb{R}^ 3$. Наприклад, сфери, куби, еліпсоїди - це замкнуті поверхні, а площини і параболоїди - ні.

Теорема про розбіжність

$Σ$Дозволяти бути замкнута поверхня, в$\mathbb{R}^ 3$ якій межує твердого тіла$S$, і$\textbf{f}(x, y, z) = f_1(x, y, z)\textbf{i}+ f_2(x, y, z)\textbf{j}+ f_3(x, y, z)\textbf{k}$ нехай векторне поле, визначене на деякій підмножині$\mathbb{R}^ 3$, що містить$Σ$. Тоді

\[\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} = \iiint\limits_S \text{div}\,\textbf{f}\,dV,\label{Eq4.31}\]

де

\[\text{div}\,\textbf{f} = \dfrac{∂f_1}{ ∂x}+\dfrac{∂f_2}{ ∂y}+\dfrac{∂f_3}{ ∂z}\label{Eq4.32}\]

називається розбіжність f.

Доказ теореми дивергенції дуже схожий на доказ теореми Гріна, тобто вперше доведено для простого випадку, коли тверде$S$ тіло обмежене вище однією поверхнею, обмежене нижче іншою поверхнею, і обмежене збоку однією або декількома поверхнями. Потім доказ може бути розширений на більш загальні тверді речовини.

Приклад$\PageIndex{2}$

Оцініть$\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}$, де$\textbf{f}(x, y, z) = x\textbf{i} + y\textbf{j} + z\textbf{k}\text{ and }Σ$ знаходиться одиниця сфери$x^2 + y^2 + z^2 = 1$.

Рішення:

Ми бачимо, що div f = 1+1+1 = 3, так

\[\nonumber \begin{align} \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}&=\iiint\limits_S \text{ div }\textbf{f}\,dV = \iiint\limits_S 3\,dV \\[4pt] \nonumber &=3\iiint\limits_S 1\,dV = 3\text{ vol}(S) = 3\cdot \dfrac{4π(1)^3}{3} = 4\pi. \\[4pt] \end{align}\]

У фізичних додатках$\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ}$ поверхневий інтеграл часто називають потоком f через поверхню$Σ$. Наприклад, якщо f представляє поле швидкості рідини, то потік - це чиста кількість рідини, що протікає через поверхню$Σ$ за одиницю часу. Позитивний потік означає, що існує чистий потік з поверхні (тобто у напрямку зовнішнього одиничного вектора нормалі n), тоді як негативний потік вказує на чистий потік всередину (у напрямку − n).

Термін дивергенція походить від тлумачення div f як міри того, наскільки векторне поле «розходиться» від точки. Це найкраще видно за допомогою іншого визначення div f, яке еквівалентно визначенню, заданому Equation\ ref {Eq4.32}. А саме, для точки$(x, y, z)$ в$\mathbb{R}^ 3$,

\[\text{div }\textbf{f}(x, y, z) =\lim\limits_{V \to 0} \dfrac{1}{V} \iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ},\label{Eq4.33}\]

де$V$ - обсяг, укладений замкнутою поверхнею$Σ$ навколо точки$(x, y, z)$. У межі$V → 0$ означає, що ми беремо менші і менші замкнуті поверхні навколо$(x, y, z)$, а це означає, що обсяги, які вони вкладають, збираються до нуля. Можна показати, що ця межа не залежить від форм цих поверхонь. Зверніть увагу, що межа приймається відношення потоку через поверхню до обсягу, укладеного цією поверхнею, що дає грубу міру потоку, «залишаючи» точку, як ми вже згадували. Векторні поля, які мають нульову розбіжність, часто називають соленоїдальними полями.

Наступна теорема є простим наслідком рівняння\ ref {Eq4.33}.

Теорема

Якщо потік векторного поля f дорівнює нулю через кожну замкнуту поверхню, що містить задану точку, то div f = 0 в цій точці.

Доказ: За рівнянням\ ref {Eq4.33}, у заданій точці$(x, y, z)$ ми маємо

\[\nonumber \begin{align}\text{div }\textbf{f}(x, y, z) &= \lim\limits_{V \to 0} \dfrac{1}{V}\iint\limits_Σ \textbf{f}\cdot d\textbf{σ} \text{ for closed surfaces }Σ\text{ containing }(x, y, z),\text{ so} \\[4pt] \nonumber &=\lim\limits_{V \to 0}\dfrac{1}{V}(0) \text{ by our assumption that the flux through each }Σ\text{ is zero, so} \\[4pt] \nonumber &=\lim\limits_{V \to 0} 0 \\[4pt] \nonumber &=0 \\[4pt] \end{align}\]

$\tag{\(\textbf{QED}$}\)

Наостанок відзначимо, що іноді позначення

$альт$

використовується для позначення поверхневих інтегралів скалярного та векторного полів відповідно над замкнутими поверхнями. Особливо в текстах фізики, це частіше бачити$\oint\limits_Σ$ замість цього.

Дописувачі та атрибуція

Template:ContribCorral