1: Криві
Зараз ми вивчимо векторні функції однієї реальної змінної. Тобто ми будемо вивчати функції, які присвоюють кожному дійсному числуt (як правило, в деякому інтервалі) вектор 1⇀r(t). Наприклад
⇀r(t)=(x(t),y(t),z(t))
може бути положення частинки в той часt. Якt змінюється,⇀r(t) змітає криву.
Хоча в деяких додатках дійсноt буде «час», його не обов'язково бути. Це може бути просто параметр, який використовується для позначення різних точок на кривій, яка⇀r(t) змітає. Потім ми говоримо, що⇀r(t) забезпечує параметризацію кривої.
Хоча ми часто будемо використовуватиt як параметр у⇀r(t), параметризованій кривій, немає необхідності його називатиt. Іноді природно використовувати іншу назву для параметра. Наприклад, розглянемо колоx2+y2=a2. Природно використовувати кут наθ ескізі нижче, щоб позначити точку(acosθ,asinθ) на колі.
Тобто,
⇀r(θ)=(acosθ,asinθ)0≤θ<2π
це параметризація колаx2+y2=a2. Просто дивлячись на фігуру вище, зрозуміло, що, якθ біжить від0 до2π,⇀r(θ) простежує повне коло.
Однак будьте обережні, що лише знання того, що⇀r(t) лежить на вказаній кривій, не гарантує, що, якt змінюється,⇀r(t) охоплює всю криву. Наприклад, якt проходить по всій реальній лінії,2πarctan(t) проходить через інтервал(−1,1). Для всіхt,
⇀r(t)=(x(t),y(t))=a(2πarctan(t),√1−4π2arctan2(t))
чітко визначена і підпорядковуєтьсяx(t)2+y(t)2=a2. Але це⇀r(t) не охоплює все коло, томуy(t) що завжди позитивно.
Ми можемо налаштувати параметризацію Приклад 1.0.1, щоб отримати параметризацію окружності радіусаa, яка зосереджена на(h,k). Один із способів зробити це - перемалювати ескіз Прикладу 1.0.1 з колом перекладено так, що його центр знаходиться на(h,k).
Ми бачимо з ескізу, що
⇀r(θ)=(h+acosθ,k+asinθ)0≤θ<2π
це параметризація кола(x−h)2+(y−k)2=a2.
Другий спосіб придумати цю параметризацію - спостерігати, що ми можемоcos2t+sin2t=1 перетворити ідентичність трига в(x−h)2+(y−k)2=a2 рівняння кола за допомогою
- множення ідентичності трига наa2 отримання,(acost)2+(asint)2=a2 а потім
- налаштування\boldsymbol{\ a\cos t=x-h\} і asint=y−k , яке перетворюється(acost)2+(asint)2=a2 в(x−h)2+(y−k)2=a2.
Ми можемо побудувати параметризації кривихx2a2+y2b2=1 іx2/3+y2/3=a2/3 з ідентичності трига,cos2t+sin2t=1, як ми це робили в другій частині останнього прикладу.
- Налаштування\boldsymbol{\ \cos t=\frac{x}{a}\} і\boldsymbol{\ \sin t=\frac{y}{b}\} перетворюєтьсяcos2t+sin2t=1 вx2a2+y2b2=1.
- Налаштування\boldsymbol{\ \cos t= \big(\frac{x}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\} і\boldsymbol{\ \sin t=\big(\frac{y}{a}\big)^{\frac{1}{3}}\} перетворюєтьсяcos2t+sin2t=1 вx2/3a2/3+y2/3a2/3=1.
Так
⇀r(t)=(acost,bsint)0≤t<2π⇀r(t)=(acos3t,asin3t)0≤t<2π
дати параметризаціїx2a2+y2b2=1 іx2/3+y2/3=a2/3, відповідно. Щоб побачити, що бігt від0 до2π біжить⇀r(t) один раз навколо кривої, подивіться на малюнки нижче.
Криваx2/3+y2/3=a2/3 називається астроїдом. З його рівняння ми очікуємо, що його ескіз буде виглядати як деформоване коло. Але це, ймовірно, не так очевидно, що він буде мати загострені біти правої руки фігури. Ми не будемо тут пояснювати, чому вони виникають. Астроїд вивчений досить докладно в прикладі 1.1.9. Зокрема, там ретельно розробляється вищевказаний ескіз.
Дуже простий метод, який часто може створювати параметризації для кривої, - це використанняx абоy як параметр. Тому що ми можемо вирішитиey=1+x2 дляy як функцію,x, а саме,y=ln(1+x2), ми можемо використовуватиx як параметр, просто встановившиt=x. Це дає параметризацію.
⇀r(t)=(t,ln(1+t2))−∞<t<∞
Це також досить часто, що можна використовуватиx абоy для параметризації частини, але всі, кривої. Простим прикладом є колоx2+y2=a2. Для кожного−a<x<a, є дві точки на колі з таким значеннямx. Отже, не можнаx використовувати для параметризації всього кола. Аналогічно, для кожної−a<y<a, є дві точки на колі з таким значеннямy. Отже, не можнаy використовувати для параметризації всього кола. З іншого боку
⇀r(t)=(t,√a2−t2)−a<t<a⇀r(t)=(t,−√a2−t2)−a<t<a
забезпечити параметризації верхньої половини та нижньої половини, відповідно, кола, використовуючиx як параметр, і
⇀r(t)=(√a2−t2,t)−a<t<a⇀r(t)=(−√a2−t2,t)−a<t<a
забезпечити параметризації правої половини і лівої половини, відповідно, кола, використовуючиy як параметр.
У цьому прикладі ми скасуємо параметризацію⇀r(t)=(cost,7−t) і знайдемо декартове рівняння кривої, про яку йде мова. Ми можемо переписати параметризацію як
x=costy=7−t
Зауважте, що ми можемо усунути параметр,t просто використовуючи друге рівняння для вирішенняt як функцію Аy. саме:t=7−y. Підстановка цього в перше рівняння дає нам декартове рівняння.
x=cos(7−y)
Криві часто виникають у вигляді перетину двох поверхонь. Наприклад, перетин еліпсоїдаx2+y22+z23=1 з параболоїдомz=x2+2y2 - це синя крива на малюнку нижче.
Одним із способів параметризації таких кривих є вибір однієї з трьох координат вx,y,z якості параметра та вирішення двох заданих рівнянь для решти двох координат, як функції параметра. Ось два приклади.
Безліч всіх(x,y,z) підкоряються
x3−e3y=0x2−ey+z=0
являє собою криву. Ми можемо вибрати, щоб використовуватиy як параметр і думати
x3=e3yx2+z=ey
як система двох рівнянь для двох невідомихx іz,y розглядається як задана константа, а не як невідома. Тепер ми можемо вирішити перше рівняння,x, щоб замінити результат у друге рівняння, і нарешті вирішити дляz.
x3=e3y⟹x=eyx2+z=ey⟹e2y+z=ey⟹z=ey−e2y
Так
⇀r(y)=(ey,y,ey−e2y)
є параметризацією для заданої кривої.
Попередній приклад був сфальсифікований так, що його було легко вирішити дляx іz як функції. Наy. практиці це не завжди легко, а то й можливо. Більш реалістичний приклад - сукупність всіх(x,y,z) підкоряються
x2+y22+z23=1x2+2y2=z
яка є синьою кривою на малюнку вище. Підставляючиx2=z−2y2 (з другого рівняння) в перше рівняння дає
−32y2+z+z23=1
або, доповнюючи квадрат,
−32y2+13(z+32)2=74
Якщо, наприклад, нас цікавлять точки(x,y,z) на кривій зy≥0, цим можна вирішити, щоб датиy як функціюz.
y=√29(z+32)2−1412
Потімx2=z−2y2 також даєx як функціюz. Ifx≥0,
x=√z−49(z+32)2+146=√43−49z2−13z
Інші ознакиx іy можна отримати, використовуючи відповідні квадратні корені. У цьому прикладі(x,y,z) знаходиться на кривій, тобто задовольняє два вихідних рівняння, якщо і тільки тоді, коли всі також(±x,±y,z) знаходяться на кривій.
- Ми будемо використовувати жирні літери, як⇀r, для позначення векторів. При написанні від руки зрозуміліше використовувати стрілки, як→r, замість цього.
- 1.1: Похідні, швидкість тощо
- Це текст обчислення, однією з наших основних операцій є диференціація. Зараз нас цікавлять параметризації⇀r(t). Дуже легко і природно розширити наше визначення похідної⇀r(t) наступним чином.
- 1.2: Репараметризація
- Існує незмінно багато способів параметризації заданої кривої. Вид тривіально, завжди можна замінитиt на, наприклад,3u. Але є і більш істотні способи перепараметризації кривих.
- 1.3: Кривизна
- Поки що, коли ми хотіли наблизити складну криву простою кривою біля якоїсь точки, ми намалювали дотичну лінію до кривої в точці. Це досить сире. Зокрема, дотичні лінії прямі - вони не криві. Ми отримаємо набагато краще уявлення про те, як виглядає складна крива, якщо ми наблизимо її локально дуже простою «кривою», а не прямою лінією.
- 1.4: Криві в трьох вимірах
- Поки що ми розробили формули для кривизни, вектора дотичної одиниці тощо у точці⇀r(t) на кривій, яка лежить уxy -площині. Тепер ми поширюємо нашу дискусію на криві в\bbbr3.
- 1.5: Збірник кривої формули
- Нижче⇀r(t)=(x(t),y(t),z(t)) наведено параметризацію деякої кривої.
- 1.6: Інтеграція вздовж кривої
- Припустимо,C що у нас є крива, якаC параметризується як⇀r(t) зa≤t≤b. Припустимо далі, що насправді шматок дроту і що щільність (тобто маса на одиницю довжини) дроту в точці⇀r єρ(⇀r). Як ми з'ясуємо масуC? Звичайно ми використовуйте стандартну стратегію «Розподіл і володарюй».
- 1.7: ковзання по кривій
- Ми будемо досліджувати рух частинки маси, щоm ковзає по плавній кривій без тертя, яка лежить у вертикальній площині. Ми розглянемо три сценарії розвитку подій:
- 1.8: Додатково - Полярні координати
- Поки що ми завжди писали вектори в двох вимірах з точки зору базисних векторів^ıı і^ȷȷ. Це не завжди зручно.
- 1.9: Необов'язково - Центральні сили
- Одним з великих тріумфів ньютонівської механіки стало пояснення законів Кеплера, в якому говорилося
- 1.10: Додатково - Планетарний рух
- Тепер повернемося до твердження, зробленого в §1.9 про центральні сили, що якщо⇀r(t) підкоряється зворотному закону Ньютона
- 1.11: Необов'язково - Астроїд
- Уявіть собі кулю радіуса, щоa/4 кочується по внутрішній частині кола радіусаa. Крива,P промальована точкою, намальованою на внутрішньому колі (це синя крива на малюнках нижче) називається астроїдом. Ми знайдемо його рівняння.
- 1.12: Додатково - параметризація кіл
- Зараз ми обговоримо просту стратегію параметризації кіл у трьох вимірах, починаючи з кола вxy -площині, яка має радіусρ і зосереджена на початку. Це легко параметризувати: