1.4: Криві в трьох вимірах

Поки що ми розробили формули для кривизни, вектора дотичної одиниці тощо у точці\(\vecs{r} (t)\) на кривій, яка лежить у\(xy\) -площині. Тепер ми поширюємо нашу дискусію на криві в\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Fix any\(t\text{.}\) For\(t'\) дуже близько до\(t\text{,}\)\(\vecs{r} (t')\text{,}\) волі, шляхом розширення Тейлора до другого порядку, бути дуже близьким до\(\vecs{r} (t) + \vecs{r} '(t)\,(t'-t) +\frac{1}{2}\vecs{r} '(t)\,(t'-t)^2\text{,}\) так, що\(\vecs{r} (t')\) майже лежить в площині через\(\vecs{r} (t)\) що визначається двома векторами \(\vecs{r} '(t)\)І\(\vecs{r} '(t)\text{.}\) таким чином, якщо ми обмежимо нашу увагу дуже маленькою частиною кривої біля точки\(\vecs{r} (t)\text{,}\) інтересу крива буде, до дуже хорошого наближення лежати в якійсь площині. Таким чином, ми все ще можемо визначити, наприклад, оскулюючий коло до кривої в\(\vecs{r} (t)\) бути коло в цій площині, яка підходить кривої найкраще поблизу\(\vecs{r} (t)\text{.}\) І у нас все ще є формули ¹

\[ \begin{align*} \vecs{v} &=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}=\dfrac{ds}{dt}\,\hat{\textbf{T}} \\ \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{ds} &= \kappa\hat{\textbf{N}}\\ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} &= \kappa\dfrac{ds}{dt}\hat{\textbf{N}}\\ \textbf{a}&=\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\\ \vecs{v} \times\textbf{a} &= \kappa \Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} \end{align*} \]

Єдина відмінність ² полягає в тому, що\(\vecs{v} , \textbf{a}, \hat{\textbf{T}} \) і тепер\(\hat{\textbf{N}}\) є трьома компонентними векторами, а не двома компонентними векторами.

Якщо нам пощастить, і наша крива виявляється повністю лежати в одній площині, вектори\(\hat{\textbf{T}}(s)\) і взаємно\(\hat{\textbf{N}}(s)\) перпендикулярні одиничні вектори, які лежать в одній площині, так що їх поперечний добуток\(\hat{\textbf{B}}(s) =\hat{\textbf{T}} (s)\times\hat{\textbf{N}}(s)\) є одиничним вектором, який перпендикулярний площині. За безперервністю\(\hat{\textbf{B}}(s)\) повинен бути постійним вектором, тобто бути незалежним від\(s\text{.}\)

Якщо, з іншого боку, не\(\hat{\textbf{B}}(s)\) є постійною, то наша крива не лежить в одній площині, і ми можемо використовувати похідну

\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} &=\dfrac{d}{ds}\big(\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}}\big) =\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\times\hat{\textbf{N}} +\hat{\textbf{T}} \times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\\ &=\hat{\textbf{T}}\times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\qquad \Big( \text{since } \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} \text{ is parallel to } \hat{\textbf{N}} \Big) \end{align*}\]

як міра

• про те, як погано крива не може лежати в площині,
• тобто наскільки площина, яка найкраще підходить до кривої поблизу\(\vecs{r} (s)\) поворотів у міру\(s\) збільшення,

Поперечний твір в\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}=\hat{\textbf{T}} \times \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}\) має на увазі,\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\) що перпендикулярно\(\hat{\textbf{T}}\text{.}\) Крім того,\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\) повинен бути перпендикулярним\(\hat{\textbf{B}}\) тому, що

\[ |\hat{\textbf{B}}|=1 \implies 1=\hat{\textbf{B}}\cdot\hat{\textbf{B}} \implies 0 = \dfrac{d}{ds}\left[\hat{\textbf{B}}\cdot\hat{\textbf{B}}\right] = 2 \hat{\textbf{B}}\cdot\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} \nonumber \]

Так\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)\) повинно бути паралельно\(\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\)

Визначення 1.4.1

1. Бінормальний вектор при\(\vecs{r} (s)\) є\(\hat{\textbf{B}}(s) = \hat{\textbf{T}} (s)\times \hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\) Нормальний вектор іноді\(\hat{\textbf{N}}(s)\) називають одиничним головним вектором нормальної, щоб відрізнити його від бінормального вектора.
2. Визначаємо кручення\(\tau(s)\) по

   \[ \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s) = -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s) \nonumber \]

   Негативний знак включається так, що\(\tau(s) \gt 0\) вказує на «правша скручування». Там буде пояснення того, що це означає в прикладі 1.4.4 нижче.
3. Окуляційна площина в\(\vecs{r} (s)\) (площина, яка найкраще підходить кривій\(\vecs{r} (s)\)) - це площина через\(\vecs{r} (s)\)\(\hat{\textbf{B}}(s)\text{.}\) нормальний вектор Рівняння площини

   \[ \hat{\textbf{B}}(s)\cdot\big\{(x,y,z)-\vecs{r} (s)\big\}=0 \nonumber \]

Для кожного\(s\text{,}\)\(\hat{\textbf{T}} (s)\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}(s)\) і\(\hat{\textbf{B}}(s)\) відносяться взаємно перпендикулярні одиниці векторів. Вони утворюють ортонормальну основу для так\(\mathbb{R}^3\text{,}\) само, як\(\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\) і\(\hat{\mathbf{k}}\) утворюють ортонормальну основу для\(\mathbb{R}^3\text{.}\) Крім того, обидва\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\) і\((\hat{\pmb{\imath}}\,,\,\hat{\pmb{\jmath}}\,,\,\hat{\mathbf{k}})\) є «правші трійки» ³, що означає, що\(\hat{\textbf{B}}(s) = \hat{\textbf{T}} (s)\times\hat{\textbf{N}}(s)\) і\(\hat{\mathbf{k}}=\hat{\pmb{\imath}}\times\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\)

Ми вже обчислили\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}\text{.}\),\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{ds}\) і тепер це проста справа для обчислення

\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} &= \dfrac{d}{ds}\big(\hat{\textbf{B}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s)\big)\\ &= -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s) +\hat{\textbf{B}}(s)\times\big(\kappa(s)\hat{\textbf{N}}(s)\big)\\ &=\tau(s)\hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\hat{\textbf{T}}(s) \end{align*}\]

Щоб побачити, що\(\hat{\textbf{N}}(s)\times\hat{\textbf{T}}(s)=-\hat{\textbf{B}}(s)\) і\(\hat{\textbf{B}}(s)\times\hat{\textbf{N}}(s)=-\hat{\textbf{T}}(s)\text{,}\) просто подивіться на праву руку фігуру вище.

Тепер припустимо, що у нас є крива, яка параметризується,\(t\) а не\(s\text{.}\) Як ми знаходимо кручення\(\tau\text{?}\) Найбільш очевидним методом є

• нагадаємо, що\(\vecs{v} \times\textbf{a} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{B}}\) і те\(\hat{\textbf{B}}(t)\) є одиничним вектором. Так

  \[ \hat{\textbf{B}}(t) = \frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|} \nonumber \]

• Знайшовши,\(\textbf{B}(t)\) ми можемо диференціювати його та використовувати,\(\dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s) = -\tau(s)\hat{\textbf{N}}(s)\) а також правило ланцюга, яке потрібно дати

  \[ \dfrac{d\textbf{B}}{dt} = \dfrac{d\textbf{B}}{ds}\dfrac{ds}{dt} = -\tau\dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{B}} \nonumber \]

  з якого ми можемо прочитати за\(\tau\text{,}\) умови, що ми знаємо\(\dfrac{ds}{dt}\) і\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\)

Існує ще один, часто більш ефективний, метод пошуку крутіння\(\tau\), який використовує

\[\begin{align*} \dfrac{d\textbf{a}}{dt} &= \dfrac{d}{dt}\Big(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\Big)\\ &= \frac{\mathrm{d}^{3}s}{\mathrm{d}t^{3}}\,\hat{\textbf{T}} +\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\dfrac{ds}{dt}\,\kappa\hat{\textbf{N}} +\dfrac{d}{dt}\Big(\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\Big)\hat{\textbf{N}} +\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3 \big(\tau\hat{\textbf{B}}-\kappa\hat{\textbf{T}} \big) \end{align*}\]

Хоча це виглядає трохи складним, зверніть увагу, що, за лише одним винятком, а саме\(\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\tau(s)\hat{\textbf{B}}(s)\text{,}\) кожен термін на правій стороні знаходиться або в напрямку,\(\hat{\textbf{T}}\) або в напрямку,\(\hat{\textbf{N}}\) і так перпендикулярно\(\hat{\textbf{B}}\text{.}\) Отже, точковий з\(\vecs{v} \times\textbf{a} = \kappa \big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3\hat{\textbf{B}}\) дає

\[\begin{gather*} \big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} = \kappa^2 \Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^6\,\tau = |\vecs{v} \times\textbf{a}|^2\,\tau \end{gather*}\]

і, отже,

\[\begin{gather*} \tau = \frac{\big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} }{|\vecs{v} \times\textbf{a}|^2} \end{gather*}\]

Якщо відомі кривизна ⁴\(\kappa(s) \gt 0\) і кручення\(\tau(s)\), то система рівнянь ⁵

Рівняння 1.4.2. Формули Френе — Серре

\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\kappa(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\tau(s)\ \hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\ \hat{\textbf{T}} (s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)&=-\tau(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \end{align*}\]

лінійна система звичайних диференціальних рівнянь першого порядку

\[\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \left[ \begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \\ 0 &-\tau(s) & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix}\right] \end{align*}\]

для\(9\) компонентної векторної функції\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\text{.}\)

Будь-яка лінійна початкова задача першого порядку

\[ \dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) = M(s) \textbf{x}(s)\qquad \textbf{x}(0)=\textbf{x}_0 \nonumber \]

де\(\textbf{x}\) -\(n\) компонентний вектор і\(M(s)\)\(n\times n\) матриця з неперервними записами, має рівно одне рішення. Якщо\(n=1\text{,}\) так, що\(\textbf{x}(s)\) і\(M(s)\) є просто функціями, це легко помітити. Просто нехай\(\mathcal{M}(s)\) буде антипохідним від\(M(s)\) того, що підкоряється\(\mathcal{M}(0)=0\text{.}\) Тоді

\[\begin{align*} \dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) = M(s) \textbf{x}(s) &\iff e^{-\mathcal{M}(s)}\dfrac{d}{ds}\textbf{x}(s) - M(s) e^{-\mathcal{M}(s)} \textbf{x}(s)=0\\ &\iff \dfrac{d}{ds}\Big(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)\Big) = 0 \end{align*}\]

за правилом продукту. Так\(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)\) постійна незалежна від\(s\text{.}\) Зокрема\(e^{-\mathcal{M}(s)}\textbf{x}(s)=e^{-\mathcal{M}(0)}\textbf{x}(0)= \textbf{x}_0\) так що\(\textbf{x}(s) = \textbf{x}_0 e^{\mathcal{M}(s)}\text{.}\) Цей аргумент може бути узагальнений до будь-якого натурального числа\(n\text{.}\) Але це виходить за рамки цієї книги.

Оскільки формули Френе-Серре складають систему звичайних диференціальних рівнянь першого порядку для вектора,\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\) і оскільки будь-яка лінійна задача першого порядку на початкове значення має рівно один розв'язок,

• векторна функція\((\hat{\textbf{T}}(s)\,,\,\hat{\textbf{N}}(s)\,,\,\hat{\textbf{B}}(s))\) визначається функціями\(\kappa(s)\) і\(\tau(s)\) (якщо припустити, що вони неперервні) разом з початковою умовою\((\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\text{.}\)
• Крім того, як тільки ви знаєте\(\vecs{r} (s)\),\(\hat{\textbf{T}}(s)\text{,}\) то визначається\(\vecs{r} (0)\) і\(\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)=\hat{\textbf{T}}(s)\text{.}\)
• Так будь-яка плавна\(\vecs{r} (s)\) крива повністю визначається\(\vecs{r} (0)\text{,}\)\((\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\text{,}\)\(\kappa(s)\) і\(\tau(s)\text{.}\)
• Тобто, аж до перекладів (ви можете переміщатися між будь-якими двома можливими варіантами перекладу) та обертаннями (ви можете переміщатися між будь-якими двома можливими варіантами обертання) крива повністю визначається кривизною\(\kappa(s) \gt 0\) та крученням.\(\tau(s)\text{.}\) Цей результат називається»\(\vecs{r} (0)\)\((\hat{\textbf{T}}(0)\,,\,\hat{\textbf{N}}(0)\,,\,\hat{\textbf{B}}(0))\) Фундаментальна теорема просторових кривих».

Теорема 1.4.3. Фундаментальна теорема космічних кривих

Нехай\(\kappa(s) \gt 0\) і\(\tau(s)\) бути безперервним. Потім, аж до перекладів і обертань, існує унікальна крива з кривизною\(\kappa(s)\) і крученням\(\tau(s)\text{.}\)

Приклад 1.4.4. Пряма кругова спіраль

Права кругова спіраль - це крива

\[\begin{gather*} \vecs{r} (t)= a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + bt\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

з\(a,b \gt 0\) як на малюнку зліва внизу.

Ось чому його називають правою спіраллю, а не лівою спіраллю. Якщо спіраль - це різьба болта, який ви вкручуєте в гайку, і ви повертаєте болт у напрямку (закручених) пальців правої руки (як на малюнку ⁶ справа вгорі), то вона рухається у напрямку великого пальця (як у довгої прямої стрілки фігури праворуч) вище).

Для визначення кривизни і кручення цієї кривої обчислюємо

\[\begin{align*} \vecs{v} (t)&= -a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} + b\,\hat{\mathbf{k}}\\ \textbf{a}(t)&= -a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \dfrac{d\textbf{a}}{dt}(t)&= a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

Від\(\vecs{v} (t)\) зачитуємо

\[\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}&=\sqrt{a^2+b^2}\\ \hat{\textbf{T}}(t)&= -\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

Від\(\textbf{a}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^2\hat{\textbf{N}} =\kappa(a^2+b^2)\hat{\textbf{N}}\text{,}\) ми зачитали, що

\[\begin{gather*} \kappa(t)=\frac{a}{a^2+b^2}\qquad \hat{\textbf{N}}(t) = -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}-\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Від

\[\begin{align*} \vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t) &= \det\left[ \begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}}\\ -a\sin t & a\cos t & b\\ -a\cos t &-a\sin t & 0\end{matrix} \right] = ab\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -ab\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +a^2\,\hat{\mathbf{k}}\\ |\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|^2 &=a^2b^2+a^4 = a^2(a^2+b^2) \end{align*}\]

ми зачитуємо

\[\begin{align*} \hat{\textbf{B}}(t) &= \frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|} = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

і

\[\begin{align*} \tau(t) & = \frac{\big(\vecs{v} \times\textbf{a}\big)\cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt} }{|\vecs{v} \times\textbf{a}|^2} =\frac{a^2b}{a^2(a^2+b^2)} =\frac{b}{a^2+b^2} \end{align*}\]

Зверніть увагу, що для праворуч спіралі,\(\tau \gt 0\text{.}\) Нарешті центр кривизни

\[\begin{align*} \vecs{r} (t) +\frac{1}{\kappa(t)}\hat{\textbf{N}}(t) &=\Big(a-\frac{a^2+b^2}{a}\Big)\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\Big(a-\frac{a^2+b^2}{a}\Big)\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +bt\,\hat{\mathbf{k}}\\ &=-\frac{b^2}{a}\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\frac{b^2}{a}\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +bt\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

яка є ще однією спіраллю. На малюнку нижче червона крива є вихідною спіраллю, а синя крива - спіраль, промальована центром кривизни.

Вправи

Етап 1

1

На ескізі нижче тривимірної кривої та її оскулюючого кола в точці, мітка\(\hat{\textbf{T}}\) і\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\)\(\hat{\textbf{B}}\) буде вказувати з паперу на читача, або в папір подалі від читача?

2

У формулі

\[ \dfrac{ds}{dt}(t)=|\vecs{v} (t)|=|\vecs{r} '(t)| \nonumber \]

чи\(s\) означає швидкість, або для довжини дуги?

3

Яка крива (або криві) нижче має позитивне кручення, які мають негативне кручення, а які мають нульове кручення? Стрілки вказують напрямок збільшення\(t\text{.}\)

4

Розглянемо криву, параметризовану довжиною дуги\(s\text{.}\)

1. Показати, що якщо крива має кривизну\(\kappa(s)=0\) для всіх,\(s\text{,}\) то крива є прямою лінією.
2. Показати, що якщо крива має кривизну\(\kappa(s) \gt 0\) і кручення\(\tau(s)=0\) для всіх,\(s\text{,}\) то крива лежить в площині.
3. Покажіть, що якщо крива має\(\kappa(s)=\kappa_0\text{,}\) кривизну строго позитивну константу, а кручення\(\tau(s)=0\) для всіх,\(s\text{,}\) то крива - це коло.

5 ✳

Поверхня\(z=x^2+y^2\) розрізається площиною.\(x=y\text{.}\) Отримана крива орієнтується від\((0,0,0)\) до\((1,1,2)\text{.}\)

1. Намалюйте криву від\((0,0,0)\) до\((1,1,2)\text{.}\)
2. Ескіз\(\hat{\textbf{T}} \text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}\) і\(\hat{\textbf{B}}\) на\(\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\text{.}\)
3. Знайдіть кручення на\(\big(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}\big)\text{.}\)

Етап 2

6 ✳

\(C\)Дозволяти крива простору

\[\begin{gather*} \vecs{r} (t) = \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\pmb{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\pmb{\jmath}} +2t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

1. Знайти\(\vecs{r} '\text{,}\)\(\vecs{r} ''\) і викривлення\(C\text{.}\)
2. Знайти довжину кривої між\(\vecs{r} (0)\) і\(\vecs{r} (1)\text{.}\)

7

Знайдіть кручення\(\vecs{r} (t)=(t,t^2,t^3)\) в точці\((2,4,8)\text{.}\)

8

Знайти одиничний тангенс, одиничний нормальний і бінормальний вектори і кривизну і кручення кривої

\[ \vecs{r} (t)=t\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \frac{t^3}{3}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

9

Для деякої константи\(c\text{,}\) визначте,\(\vecs{r} (t)=(t^3,t,e^{ct})\text{.}\) Для якого значення (s)\(c\) є\(\tau(5)=0\text{?}\) Для кожного з цих значень\(c\text{,}\) знайдіть рівняння для площини, що містить оскулюючий коло до кривої на\(t=5\text{.}\)

10 ✳

1. Розглянемо параметризовану криву простору

   \[ \vecs{r} (t) = \big(t^2 , t, t^3\big) \nonumber \]

   Знайдіть рівняння для площини, що проходить через\((1,1,1)\) нормальний вектор,\(\vecs{r} \) дотичною до цієї точки.
2. Знайти кривизну кривої від (a) як функції параметра\(t\text{.}\)

11 ✳

\(C\)Дозволяти оскулюючий коло до спіралі\(\vecs{r} (t) =\big(\cos t\,,\,\sin t\,,\,t\big)\) в точці, де\(t=\pi/6\text{.}\) знайти:

1. радіус кривизни\(C\)
2. центр\(C\)
3. одиниця, нормаль до площини\(C\)

12 ✳

1. Розглянемо параметризовану криву простору

   \[ \vecs{r} (t) = (\cos(t), \sin(t), t^2) \nonumber \]

   Знайти параметричну форму для дотичної прямої в точці, що відповідає\(t = \pi\text{.}\)
2. Знайти тангенціальну\(a_T(t)\) складову прискорення, як функцію параметризованої кривої простору\(t\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\text{.}\)

13 ✳

Припустимо, за параметром часу\(t\) частка рухається по шляху\(\vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t )\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t )\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}\text{,}\)\(1 \le t \lt \infty\text{.}\)

1. Знайти швидкість частинки в часі\(t\text{.}\)
2. Знайти тангенціальну складову прискорення в часі\(t\text{.}\)
3. Знайти нормальну складову прискорення в часі\(t\text{.}\)
4. Знайти кривизну шляху в часі\(t\text{.}\)

14 ✳

Припустімо, що параболоїд\(z = x^2 + y^2\) і\(2x + z = 8\) площина\(C\text{.}\)\(C\) перетинається в кривій, проходить проти годинникової стрілки, якщо дивитися з позитивної\(z\) осі.

1. Параметризувати криву\(C\text{.}\)
2. Знайти одиничний дотичний вектор\(\hat{\textbf{T}}\text{,}\), головний вектор\(\hat{\textbf{N}}\text{,}\) нормалі, бінормальний вектор\(\hat{\textbf{B}}\) і кривизну -\(\kappa\) все в точці.\((2, 0, 4)\text{.}\)

15 ✳

Розглянемо криву,\(C\) задану

\[ \vecs{r} (t) = \frac{1}{3} t^3\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{1}{\sqrt{2}} t^2\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}},\qquad -\infty \lt t \lt \infty. \nonumber \]

1. Знайти тангенс одиниці\(\hat{\textbf{T}} (t)\) виміру як функцію\(t\text{.}\)
2. Знайти кривизну\(\kappa(t)\) як функцію\(t\text{.}\)
3. Визначте основний вектор\(\hat{\textbf{N}}\) нормалі в точці\(\big(\frac{8}{3} , 2\sqrt{2}, 2\big)\text{.}\)

16 ✳

Припустимо, крива\(C\) - це перетин циліндра\(x^2 +y^2 = 1\) з площиною\(x+y+z = 1\text{.}\)

1. Знайти параметризацію\(C\text{.}\)
2. Визначаємо кривизну\(C\text{.}\)
3. Знайдіть точки, в яких кривизна максимальна, і визначте значення кривизни в цих точках.

17 ✳

Нехай

\[\begin{gather*} \vecs{r} (t) = t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + 2t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \ln t\,\hat{\mathbf{k}} \end{gather*}\]

Обчислити тангенс одиниці і одиниці нормальних векторів\(\hat{\textbf{T}}(t)\) і\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\) Обчислити кривизну\(\kappa(t)\text{.}\) Спростити, коли це можливо!

18 ✳

1. Знайти довжину кривої\(\vecs{r} (t)=\big(1,\frac{t^2}{2},\frac{t^3}{3}\big)\) для\(0\le t\le 1\text{.}\)
2. Знайти основну одиницю нормального вектора\(\hat{\textbf{N}}\) до\(\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}}\) at\(t =\pi/4\text{.}\)
3. Знайти кривизну\(\vecs{r} (t) = \cos(t)\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin(t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}}\) at\(t = \pi/4\text{.}\)

19 ✳

Частинка рухається вздовж кривої з вектором положення, заданим

\[ \vecs{r} (t) = \big(t + 2\,,\, 1 - t\,,\, t^2 /2\big) \nonumber \]

для\(-\infty \lt t \lt \infty\text{.}\)

1. Знайти швидкість як функцію\(t\text{.}\)
2. Знайти швидкість як функцію\(t\text{.}\)
3. Знайти прискорення як функцію\(t\text{.}\)
4. Знайти кривизну як функцію\(t\text{.}\)
5. Нагадаємо, що розкладання прискорення на тангенціальну і нормальну складові задається формулою

   \[ \vecs{r} ''(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}(t) + \kappa(t)\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}(t) \nonumber \]

   Використовуйте цю формулу та ваші відповіді на попередні частини цього питання, щоб знайти\(\hat{\textbf{N}}(t)\text{,}\) основну одиницю нормального вектора, як функцію\(t\text{.}\)
6. Знайти рівняння для оскулюлюючої площини (площини, яка найкраще відповідає кривій) у точці, що відповідає\(t = 0\text{.}\)
7. Знайти центр оскулюючого кола в точці, що відповідає\(t = 0\text{.}\)

20 ✳

Розглянемо криву,\(C\) задану

\[ \vecs{r} (t) =\frac{t^3}{3}\,\hat{\pmb{\imath}} + \frac{t^2}{\sqrt{2}}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t\,\hat{\mathbf{k}} \qquad -\infty \lt t \lt \infty \nonumber \]

1. Знайти тангенс одиниці\(\hat{\textbf{T}}(t)\) виміру як функцію\(t\text{.}\)
2. Знайти кривизну\(\kappa(t)\) як функцію\(t\text{.}\)
3. Оцініть\(\kappa(t)\) на\(t = 0\text{.}\)
4. Визначте основний вектор нормалі\(\hat{\textbf{N}}(t)\) при\(t = 0\text{.}\)
5. Обчислити бінормальний вектор\(\hat{\textbf{B}}(t)\) при\(t = 0\text{.}\)

21 ✳

Крива в\(\mathbb{R} ^3\) задається\(\vecs{r} (t) = (t^2\,,\, t\,,\, t^3)\text{.}\)

1. Знайти параметричні рівняння дотичної лінії до кривої в точці\((1, -1, -1)\text{.}\)
2. Знайти рівняння для оскулюлюючої площини кривої в точці\((1, 1, 1)\text{.}\)

22 ✳

Крива в\(\mathbb{R}^3\) задається

\[ \vecs{r} (t) = (\sin t - t \cos t)\,\hat{\pmb{\imath}} + (\cos t + t \sin t)\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2\,\hat{\mathbf{k}}, \qquad 0 \le t \lt \infty \nonumber \]

1. Знайти довжину кривої\(\vecs{r} (t)\) від\(\vecs{r} (0) = (0, 1, 0)\) до\(\vecs{r} (\pi) = (\pi, -1, \pi^2)\text{.}\)
2. Знайти кривизну кривої за часом\(t \gt 0\text{.}\)

23 ✳

У той час\(t=0\text{,}\) NASA запускає ракету, яка слідує за траєкторією, щоб її положення в будь-який час\(t\) було

\[ x=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ y=\frac{4\sqrt{2}}{3}t^{3/2},\ z=t(2-t) \nonumber \]

1. Припускаючи, що політ закінчується, коли\(z=0\text{,}\) дізнаєтеся, як далеко проїжджає ракета.
2. Знайдіть тангенс одиниці та одиницю, нормальну до траєкторії у найвищій точці.
3. Також обчислити кривизну траєкторії в найвищій її точці.

24 ✳

Розглянемо частинку, що рухається в просторі вздовж шляху, параметризованого

\[ x=\cos^3t,\ y=\sin ^3t,\ z=2\sin^2 t \nonumber \]

1. Обчисліть довжину дуги цього шляху для\(0\le t\le \pi/2\text{.}\)
2. Знайти вектори\(\hat{\textbf{T}}\text{,}\)\(\hat{\textbf{N}}\text{,}\)\(\hat{\textbf{B}}\) для частинки при\(t=\pi/6\text{.}\)

25

Припустимо, що крива\(C\) - це перетин циліндра\(x^2 +y^2 = 1\) з поверхнею\(z =x^2 - y^2\text{.}\)

1. Знайти параметризацію\(C\text{.}\)
2. Визначаємо кривизну\(C\) в точці\(\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}\)
3. Знайдіть оскулюючу площину до\(C\) точки\(\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}\) Загалом, оскулююча площина до кривої\(\vecs{r} (t)\) в точці\(\vecs{r} (t_0)\) - це площина, яка найкраще підходить кривій в\(\vecs{r} (t_0)\text{.}\) Вона проходить\(\vecs{r} (t_0)\) і має нормальний вектор\(\hat{\textbf{B}}(t_0)\text{.}\)
4. Знайти радіус і центр оскулюючого кола\(C\) в точці\(\big(1/\sqrt{2}\,,1/\sqrt{2}\,,\,0\big)\text{.}\)

Етап 3

26 ✳

Під впливом силового поля\(\vecs{F} \text{,}\) частинка масою 2 кг рухається з постійною швидкістю 3 м/с по шляху, заданому у вигляді перетину площини\(z = x\) і параболічного циліндра\(z = y^2\text{,}\) у напрямку збільшення\(y\text{.}\) Find в\(\vecs{F} \) точці\((1, 1, 1)\text{.}\) (Length is вимірюється в м по трьох координатних осях.)

27 ✳

Розглянемо криву\(C\) в 3 вимірах, задану

\[ \vecs{r} (t) = 2t\hat{\pmb{\imath}} + t^2\hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3} t^2\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

для\(t \in\mathbb{R} \text{.}\)

1. Обчислити одиничний тангенс вектора\(\vecs{T} (t)\text{.}\)
2. Обчислити одиничний нормальний вектор\(\hat{\textbf{N}}(t)\text{.}\)
3. Показати, що бінормальний вектор\(\hat{\textbf{B}}\) цієї кривої не залежить\(t\) і є одним з наступних векторів:

   \[ \text{(1)}\ \left[\begin{matrix} 1/2 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 0 \end{matrix}\right]\qquad \text{(2)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ \sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(3)}\ \left[\begin{matrix} 0 \\ -\sqrt{3}/2 \\ 1/2 \end{matrix}\right]\qquad \text{(4)}\ \left[\begin{matrix} 0\\ -1/2 \\ \sqrt{3}/2 \end{matrix}\right]\qquad \nonumber \]

   Це означає, що\(C\) це плоска крива.
4. Відповідно до вашого вибору вектора (1), (2), (3) або (4), дайте рівняння площини, що містить\(C\text{.}\)
5. Обчислити\(\kappa(t)\) кривизну кривої.
6. Чи є точка (и), де кривизна максимальна? Якщо так, вкажіть координати точки (ів). Якщо ні, виправдайте свою відповідь.
7. Чи є точки, де кривизна мінімальна? Якщо так, вкажіть координати точки (ів). Якщо ні, виправдайте свою відповідь.
8. Нехай

   \[ \textbf{u} := 2\,\hat{\pmb{\imath}},\quad \vecs{v} := \hat{\pmb{\jmath}} + \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\quad \textbf{w} := -\sqrt{3}\,\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

   1. Експрес\(\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\)\(\hat{\mathbf{k}}\) з точки зору\(\textbf{u}\text{,}\)\(\vecs{v} \text{,}\)\(\textbf{w}\text{.}\)
   2. Використовуючи (i), пишіть\(\vecs{r} (t)\) у формі

      \[ a(t)\textbf{u} + b(t)\vecs{v} + c(t)\textbf{w} \nonumber \]

      де\(a(t)\text{,}\)\(b(t)\) і\(c(t)\) є функції, які ви повинні визначити. Ви повинні виявити, що одна з цих функцій дорівнює нулю.
   3. Намалюйте криву, задану\(\big(a(t), b(t)\big)\) в\(xy\) -площині.
   4. Чи відповідає креслення частинам (f) і (g)? Поясніть.

28 ✳

Нагадаємо, що якщо\(\hat{\textbf{T}}\) є одиничним дотичним вектором до орієнтованої кривої з параметром довжини дуги,\(s\text{,}\) то кривизна\(\kappa\) і принцип нормального вектора\(\hat{\textbf{N}}\) визначаються рівнянням.

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa\,\hat{\textbf{N}}\nonumber \]

Більш того, торсіон\(\tau\) і бінормальний вектор\(\hat{\textbf{B}}\) визначаються рівняннями

\[ \hat{\textbf{B}} = \hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}},\qquad \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds} = -\tau\,\hat{\textbf{N}}\nonumber \]

Покажіть, що

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds} = -\kappa\,\hat{\textbf{T}}+ \tau\,\hat{\textbf{B}} \nonumber \]

29 ✳

Лижник спускається на пагорб\(z =\sqrt{4-x^2-y^2}\) по стежці з параметризацією

\[ x=\sin(2\theta),\qquad y=1-\cos(2\theta),\qquad z=2\cos\theta,\qquad 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} \nonumber \]

Нехай\(P\) позначимо точку на стежці, де\(x = 1\text{.}\)

1. Знайти вектори\(\hat{\textbf{T}},\hat{\textbf{N}},\hat{\textbf{B}}\) і кривизну\(\kappa\) лижної траси в точці\(P\text{.}\)
2. Прискорення лижника на\(P\) це\(\textbf{a}= (-2, 3, -2\sqrt{2})\text{.}\) Знайти, на\(P\text{,}\)
   1. швидкість зміни швидкості лижника і
   2. швидкість лижника (вектор).

30 ✳

Частка рухається так, що її вектор положення задається\(\vecs{r} (t) = \big(\cos t\,,\, \sin t\,,\, c \sin t\big)\text{,}\) де\(t \gt 0\) і\(c\) є постійною.

1. Знайдіть швидкість\(\vecs{v} (t)\) і\(\textbf{a}(t)\) прискорення частинки.
2. Знайти швидкість\(v(t)=|\vecs{v} (t)|\) частинки.
3. Знайдіть тангенціальну складову прискорення частинки.
4. Покажіть, що траєкторія цієї частинки лежить в площині.

31 ✳

Гоночна траса між двома пагорбами описується параметричної кривою

\[ \vecs{r} (\theta) = \Big(4 \cos\theta\,,\, 2\sin\theta\,,\, \frac{1}{4}\cos(2\theta)\Big),\qquad 0 \le \theta \le 2\pi \nonumber \]

1. Обчислити кривизну доріжки в точці\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}\)
2. Обчисліть радіус кола, який найкраще наближає вигин у точці\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\) (тобто радіус оскулюючого кола в цій точці).
3. Автомобіль їде вниз по трасі, так що його положення в той час\(t\) задається\(\vecs{r} (t^2)\text{.}\) (Зверніть увагу на зв'язок між\(t\) і\(\theta\) є\(\theta = t^2\)). Обчислити наступні величини.
   1. Швидкість в точці\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}\)
   2. Прискорення в точці\(\big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.}\)
   3. Величина нормальної складової прискорення в точці

      \[ \big(-4, 0, \frac{1}{4}\big)\text{.} \nonumber \]

1. Аргументи в доказі теореми 1.3.3, які ми використовували для перевірки цих формул, працюють в будь-якій площині, а не тільки на\(xy\) -площині. Просто вибрати\(\hat{\pmb{\imath}}\) і\(\hat{\pmb{\jmath}}\) бути будь-якими двома взаємно перпендикулярними одиничними векторами в площині.
2. Однак це може бути суттєвою різницею.
3. Ми будемо дотримуватися «правші трійки», щоб було легше отримати різні знаки правильно.
4. Як і в двох вимірах, якщо\(\kappa(s)=0\text{,}\) потім\(\hat{\textbf{N}}(s)\) не визначено. Це має навіть більше сенсу в трьох вимірах, ніж у двох вимірах: якщо крива є прямою, перпендикулярних їй нескінченно багато одиничних векторів і немає можливості розрізнити їх.
5. Рівняння названі на честь двох французьких математиків, які самостійно їх відкрили: Жана Фредеріка Френе (1816—1900, син виробника перук) у своїй дисертації 1847 року (насправді він дав лише два з трьох рівнянь) та Джозефа Альфреда Серре (1819—1885) у 1851 році.
6. Ця цифра є варіантом цієї картини.