1.2: Репараметризація

Існує незмінно багато способів параметризації заданої кривої. Вид тривіально, завжди можна замінити$t$ на, наприклад,$3u\text{.}$ Але є і більш істотні способи перепараметризації кривих. Часто платить, щоб адаптувати параметризацію, яка використовується до програми, що цікавить. Наприклад, у наступних кількох розділах ми побачимо, що багато формул кривих значно спрощують, коли довжина дуги використовується як параметр.

Приклад 1.2.1

Ось три різних параметризації півкола$x^2+y^2=r^2\text{,}$$y\ge 0\text{.}$

• Перший використовує полярний кут$\theta$ як параметр. Ми вже бачили в прикладі 1.0.1 параметризацію

  

  $$\begin{align*} &\vecs{r} _1(\theta) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)\\ &0\le \theta\le \pi \end{align*}$$

• Другий використовує в$x$ якості параметра. Просто рішення$x^2+y^2=r^2\text{,}$$y\ge 0$ для$y$ як функція$x\text{,}$ дає$y(x) = \sqrt{r^2-x^2}$ і так дає параметризацію

  

  $$\begin{align*} &\vecs{r} _2(x) = \big(x\,,\,\sqrt{r^2-x^2}\,\big)\\ &-r\le x\le r \end{align*}$$

• Третій використовує довжину дуги від$(r,0)$ як параметр. Ми бачили, в прикладі 1.1.6, що довжина дуги від$(r,0)$ до просто$s=r\theta\text{.}$ Так$\vecs{r} _1(\theta)$ що точка на півколі, що дуга довжина$s$ далеко від$(r,0)$ є

  

  $$\begin{align*} &\vecs{r} _3(s) = \vecs{r} _1\Big(\frac{s}{r}\Big)\\ &= \Big(r\cos\frac{s}{r}\,,\,r\sin\frac{s}{r}\Big)\\ &0\le s\le \pi r \end{align*}$$

Побачимо, що для деяких цілей зручно використовувати параметризацію по довжині дуги. Ось приклад месьє, в якому ми перепараметризуємо криву таким чином, щоб використовувати довжину дуги як параметр.

Приклад 1.2.2

Ми бачили в прикладі 1.1.9, що, як$t$ працює від$0$ до$\frac{\pi}{2}\text{,}$$\vecs{r} (t) = a \cos^3 t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\sin^3t\,\hat{\pmb{\jmath}}$ проходить від$(a,0)$ до$(0,a)$ уздовж астроїда$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}$ Припустимо, що ми хочемо, щоб нова параметризація$\textbf{R}(s)$ вибрана так, що, як$s$ проходить від$0$ до якогось відповідного значення,$\textbf{R}(s)$ проходить від$(a,0)$ до$(0,a)$ разом$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}$ з$s$ довжиною дуги від$(a,0)$ до$\textbf{R}(s)$ уздовж$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}$

Ми бачили, в прикладі 1.1.9, що, для$0\le t\le \frac{\pi}{2}\text{,}$$\dfrac{ds}{dt}=\frac{3a}{2}\sin(2t)$ так що довжина дуги$\vecs{r} (t)$ від$(a,0)=\vecs{r} (0)$ до

$$s(t) = \int_0^t\frac{3a}{2}\sin(2t')\,\text{d}t' =\frac{3a}{4}\big[1-\cos(2t)\big] \nonumber$$

який працює від$0\text{,}$ at$t=0\text{,}$ до$\frac{3a}{2}\text{,}$ at$t=\frac{\pi}{2}\text{.}$ Це відносно чисто, і ми можемо$s(t)$ інвертувати, щоб знайти$t$ як функцію$T(s)\text{,}$ значення,$t$ що відповідає будь-якому заданому$0\le s\le\frac{3a}{2}$ визначається$s\text{.}$

$$s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big]\qquad \iff\qquad T(s)=\frac{1}{2}\arccos\Big(1-\frac{4s}{3a}\Big) \nonumber$$

і

$$\textbf{R}(s) = \vecs{r} \big(T(s)\big) = a\cos^3\big(T(s)\big)\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 \big(T(s)\big)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$$

Ми можемо спростити$\cos^3\big(T(s)\big)$ і просто$\sin^3\big(T(s)\big)$ використовуючи trig ідентичності для$s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big]$ перетворення$\cos\big(2T(s)\big)$ в в і$\cos\big(T(s)\big)$ '$\sin\big(T(s)\big)$s.

$$\begin{align*} s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big] &=\frac{3a}{4}\big[1-\big(2\cos^2\big(T(s)-1\big)\big]\\ &\iff \cos^2\big(T(s)\big)=1-\frac{2s}{3a}\\ s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big] &=\frac{3a}{4}\big[1-\big(1-2\sin^2\big(T(s)\big)\big]\\ &\iff \sin^2\big(T(s)\big)=\frac{2s}{3a} \end{align*}$$

Отже, бажана параметризація

$$\textbf{R}(s) = a\left[1-\frac{2s}{3a}\right]^{3/2}\hat{\pmb{\imath}} + a\left[\frac{2s}{3a}\right]^{3/2}\hat{\pmb{\jmath}} \qquad 0\le s \le \frac{3a}{2} \nonumber$$

який надзвичайно простий.

Вправи

Етап 1

1

$\vecs{r} (s)$Крива параметризується з точки зору довжини дуги. Що таке$\displaystyle\int_1^t |\vecs{r} '(s)|\,\text{d}s$ коли$t \ge 1\text{?}$

2

Функція

$$\vecs{r} (s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\pmb{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\pmb{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}} \nonumber$$

параметризується з точки зору довжини дуги, починаючи з точки$P\text{.}$ Що$P\text{?}$

3

$\textbf{R}=\textbf{a}(t)$Крива репараметризується з точки зору довжини дуги як$\textbf{R}=\textbf{b}(s)=\textbf{a}(t(s))\text{.}$ з наступних варіантів, яка найкраще описує зв'язок між векторами$\textbf{a}'(t_0)$ і$\textbf{b}'(s_0)\text{,}$ де$t(s_0)=t_0\text{?}$

Ви можете припустити$\textbf{a}'(t)$ і$\textbf{b}'(s)$ існувати і є ненульовими для всіх$t,s\ge0\text{.}$

1. вони паралельні і вказують в одному напрямку
2. вони паралельні і точкові в протилежні сторони
3. вони перпендикулярні
4. вони мають однакову величину
5. вони рівні

Етап 2

4 ✳

1. Нехай

   $$\vecs{r} (t) = (2 \sin^3 t , 2\cos^3 t, 3 \sin t \cos t) \nonumber$$

   Знайти одиничний дотичний вектор до цієї параметризованої кривої при$t = \pi/3\text{,}$ вказівці у напрямку збільшення$t\text{.}$
2. Перепараметризувати векторну функцію$\vecs{r} (t)$ з (a) щодо довжини дуги, виміряної від точки$t = 0$ у напрямку збільшення$t\text{.}$

5 ✳

Ця задача про логарифмічну спіраль в площині

$$\vecs{r} (t) = e^t (\cos t, \sin t),\qquad t \in \mathbb{R} \nonumber$$

1. Знайдіть довжину дуги шматка цієї спіралі, яка міститься в одиничному колі.
2. Перепараметризувати логарифмічну спіраль щодо довжини дуги, виміряної від$t = -\infty\text{.}$

Етап 3

6

Визначте

$$\vecs{r} (t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}}, \arctan t\right) \nonumber$$

for$0 \le t\text{.}$ Перепараметризуйте функцію за допомогою$z=\arctan t\text{,}$ та опишіть криву, яку вона визначає. Яка геометрична інтерпретація нового параметра$z\text{?}$

7

Перепараметризувати функцію$\vecs{r} (t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)$ через довжину дуги від$t=-1\text{.}$