1.2: Репараметризація
- Page ID
- 60861
Існує незмінно багато способів параметризації заданої кривої. Вид тривіально, завжди можна замінити\(t\) на, наприклад,\(3u\text{.}\) Але є і більш істотні способи перепараметризації кривих. Часто платить, щоб адаптувати параметризацію, яка використовується до програми, що цікавить. Наприклад, у наступних кількох розділах ми побачимо, що багато формул кривих значно спрощують, коли довжина дуги використовується як параметр.
Ось три різних параметризації півкола\(x^2+y^2=r^2\text{,}\)\(y\ge 0\text{.}\)
- Перший використовує полярний кут\(\theta\) як параметр. Ми вже бачили в прикладі 1.0.1 параметризацію
\[\begin{align*} &\vecs{r} _1(\theta) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)\\ &0\le \theta\le \pi \end{align*}\]
- Другий використовує в\(x\) якості параметра. Просто рішення\(x^2+y^2=r^2\text{,}\)\(y\ge 0\) для\(y\) як функція\(x\text{,}\) дає\(y(x) = \sqrt{r^2-x^2}\) і так дає параметризацію
\[\begin{align*} &\vecs{r} _2(x) = \big(x\,,\,\sqrt{r^2-x^2}\,\big)\\ &-r\le x\le r \end{align*}\]
- Третій використовує довжину дуги від\((r,0)\) як параметр. Ми бачили, в прикладі 1.1.6, що довжина дуги від\((r,0)\) до просто\(s=r\theta\text{.}\) Так\(\vecs{r} _1(\theta)\) що точка на півколі, що дуга довжина\(s\) далеко від\((r,0)\) є
\[\begin{align*} &\vecs{r} _3(s) = \vecs{r} _1\Big(\frac{s}{r}\Big)\\ &= \Big(r\cos\frac{s}{r}\,,\,r\sin\frac{s}{r}\Big)\\ &0\le s\le \pi r \end{align*}\]
Побачимо, що для деяких цілей зручно використовувати параметризацію по довжині дуги. Ось приклад месьє, в якому ми перепараметризуємо криву таким чином, щоб використовувати довжину дуги як параметр.
Ми бачили в прикладі 1.1.9, що, як\(t\) працює від\(0\) до\(\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\vecs{r} (t) = a \cos^3 t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\sin^3t\,\hat{\pmb{\jmath}}\) проходить від\((a,0)\) до\((0,a)\) уздовж астроїда\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\) Припустимо, що ми хочемо, щоб нова параметризація\(\textbf{R}(s)\) вибрана так, що, як\(s\) проходить від\(0\) до якогось відповідного значення,\(\textbf{R}(s)\) проходить від\((a,0)\) до\((0,a)\) разом\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{,}\) з\(s\) довжиною дуги від\((a,0)\) до\(\textbf{R}(s)\) уздовж\(x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\text{.}\)
Ми бачили, в прикладі 1.1.9, що, для\(0\le t\le \frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\dfrac{ds}{dt}=\frac{3a}{2}\sin(2t)\) так що довжина дуги\(\vecs{r} (t)\) від\((a,0)=\vecs{r} (0)\) до
\[ s(t) = \int_0^t\frac{3a}{2}\sin(2t')\,\text{d}t' =\frac{3a}{4}\big[1-\cos(2t)\big] \nonumber \]
який працює від\(0\text{,}\) at\(t=0\text{,}\) до\(\frac{3a}{2}\text{,}\) at\(t=\frac{\pi}{2}\text{.}\) Це відносно чисто, і ми можемо\(s(t)\) інвертувати, щоб знайти\(t\) як функцію\(T(s)\text{,}\) значення,\(t\) що відповідає будь-якому заданому\(0\le s\le\frac{3a}{2}\) визначається\(s\text{.}\)
\[ s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big]\qquad \iff\qquad T(s)=\frac{1}{2}\arccos\Big(1-\frac{4s}{3a}\Big) \nonumber \]
і
\[ \textbf{R}(s) = \vecs{r} \big(T(s)\big) = a\cos^3\big(T(s)\big)\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 \big(T(s)\big)\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
Ми можемо спростити\(\cos^3\big(T(s)\big)\) і просто\(\sin^3\big(T(s)\big)\) використовуючи trig ідентичності для\(s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big]\) перетворення\(\cos\big(2T(s)\big)\) в в і\(\cos\big(T(s)\big)\) '\(\sin\big(T(s)\big)\)s.
\[\begin{align*} s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big] &=\frac{3a}{4}\big[1-\big(2\cos^2\big(T(s)-1\big)\big]\\ &\iff \cos^2\big(T(s)\big)=1-\frac{2s}{3a}\\ s=\frac{3a}{4}\big[1-\cos\big(2T(s)\big)\big] &=\frac{3a}{4}\big[1-\big(1-2\sin^2\big(T(s)\big)\big]\\ &\iff \sin^2\big(T(s)\big)=\frac{2s}{3a} \end{align*}\]
Отже, бажана параметризація
\[ \textbf{R}(s) = a\left[1-\frac{2s}{3a}\right]^{3/2}\hat{\pmb{\imath}} + a\left[\frac{2s}{3a}\right]^{3/2}\hat{\pmb{\jmath}} \qquad 0\le s \le \frac{3a}{2} \nonumber \]
який надзвичайно простий.
Вправи
Етап 1
\(\vecs{r} (s)\)Крива параметризується з точки зору довжини дуги. Що таке\(\displaystyle\int_1^t |\vecs{r} '(s)|\,\text{d}s\) коли\(t \ge 1\text{?}\)
Функція
\[ \vecs{r} (s)=\sin\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\pmb{\imath}}+\cos\left(\frac{s+1}{2}\right)\hat{\pmb{\jmath}}+\frac{\sqrt3}{2}(s+1)\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
параметризується з точки зору довжини дуги, починаючи з точки\(P\text{.}\) Що\(P\text{?}\)
\(\textbf{R}=\textbf{a}(t)\)Крива репараметризується з точки зору довжини дуги як\(\textbf{R}=\textbf{b}(s)=\textbf{a}(t(s))\text{.}\) з наступних варіантів, яка найкраще описує зв'язок між векторами\(\textbf{a}'(t_0)\) і\(\textbf{b}'(s_0)\text{,}\) де\(t(s_0)=t_0\text{?}\)
Ви можете припустити\(\textbf{a}'(t)\) і\(\textbf{b}'(s)\) існувати і є ненульовими для всіх\(t,s\ge0\text{.}\)
- вони паралельні і вказують в одному напрямку
- вони паралельні і точкові в протилежні сторони
- вони перпендикулярні
- вони мають однакову величину
- вони рівні
Етап 2
- Нехай
\[ \vecs{r} (t) = (2 \sin^3 t , 2\cos^3 t, 3 \sin t \cos t) \nonumber \]
Знайти одиничний дотичний вектор до цієї параметризованої кривої при\(t = \pi/3\text{,}\) вказівці у напрямку збільшення\(t\text{.}\) - Перепараметризувати векторну функцію\(\vecs{r} (t)\) з (a) щодо довжини дуги, виміряної від точки\(t = 0\) у напрямку збільшення\(t\text{.}\)
Ця задача про логарифмічну спіраль в площині
\[ \vecs{r} (t) = e^t (\cos t, \sin t),\qquad t \in \mathbb{R} \nonumber \]
- Знайдіть довжину дуги шматка цієї спіралі, яка міститься в одиничному колі.
- Перепараметризувати логарифмічну спіраль щодо довжини дуги, виміряної від\(t = -\infty\text{.}\)
Етап 3
Визначте
\[ \vecs{r} (t)=\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}, \frac{\arctan t}{\sqrt{1+t^{-2}}}, \arctan t\right) \nonumber \]
for\(0 \le t\text{.}\) Перепараметризуйте функцію за допомогою\(z=\arctan t\text{,}\) та опишіть криву, яку вона визначає. Яка геометрична інтерпретація нового параметра\(z\text{?}\)
Перепараметризувати функцію\(\vecs{r} (t)=(\tfrac12 t^2 , \tfrac13 t^3)\) через довжину дуги від\(t=-1\text{.}\)