1.8: Додатково - Полярні координати

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60873

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Поки що ми завжди писали вектори в двох вимірах з точки зору базисних векторів$\hat{\pmb{\imath}}$ і$\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}$ Це не завжди зручно. Наприклад, при роботі в полярних координатах часто зручно використовувати базисні вектори,$\hat{\textbf{r}} (\theta)\text{,}$$\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)$ які залежать від значення поточної полярної координати$\theta$ — хоча зазвичай просто пише$\hat{\textbf{r}} \text{,}$$\hat{\boldsymbol{\theta}}\text{,}$ придушення залежності$\theta$ від позначення. Коли один знаходиться в точці з полярними координатами,$(r,\theta)\text{,}$ ці базисні вектори визначаються

Рівняння 1.8.1

\[\begin{align*} \hat{\textbf{r}} (\theta) &= \cos\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin\theta\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta) &= -\sin\theta\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos\theta\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

$polar.svg$

Відзначимо, що дана основа має два дуже приємних властивості.

$|\hat{\textbf{r}}(\theta)| = |\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)| = 1\text{,}$$\hat{\textbf{r}}(\theta) \perp \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)$(Ортонормальність)
$\dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)= \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)\text{,}$$\dfrac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{d\theta}(\theta) = -\hat{\textbf{r}}(\theta)$

$\dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)$Тобто деяка скалярна кратна$\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)$ випливає саме з того, що$|\hat{\textbf{r}}(\theta)| = 1\text{.}$

\[\begin{align*} |\hat{\textbf{r}}(\theta)| = 1 &\implies \hat{\textbf{r}} (\theta)\cdot\hat{\textbf{r}} (\theta)=1\\ &\implies \hat{\textbf{r}}(\theta)\cdot \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta) =\frac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\big( \hat{\textbf{r}} (\theta)\cdot\hat{\textbf{r}}(\theta)\big) =0\\ &\implies \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)\perp \hat{\textbf{r}} (\theta) \implies \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}(\theta)\parallel \hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta) \end{align*}\]

Аналогічно,$\dfrac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{d\theta}(\theta)$ тобто якийсь скалярний кратний$\hat{\textbf{r}}(\theta)$ випливає тільки з того, що$|\hat{\boldsymbol{\theta}}(\theta)| = 1\text{.}$

Лемма 1.8.2

Якщо ми параметризуємо криву, давши її полярні координати ¹,$\big(r(t)\,,\,\theta(t)\big)\text{,}$ то

вектор положення точки на час$t$ дорівнює
\[\begin{gather*} \vecs{r} (t) = r(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) \end{gather*}\]
і вектор швидкості точки в часі$t$ дорівнює
\[\begin{gather*} \vecs{v} (t) = \dfrac{dr}{dt}(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) + r(t)\ \dfrac{d\theta}{dt}(t)\ \hat{\boldsymbol{\theta}}\big(\theta(t)\big) \end{gather*}\]
а вектор прискорення точки в часі$t$ дорівнює
\[\begin{align*} \textbf{a}(t) &= \left[\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}(t)\!-\!r(t)\Big(\dfrac{d\theta}{dt}(t)\Big)^2\right] \hat{\textbf{r}}{r} \big(\theta(t)\big)\\ &\hskip1in +\left[r(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta }{\mathrm{d}t^{2}}(t) \!+\! 2 \dfrac{dr}{dt}(t)\dfrac{d\theta}{dt}(t)\right] \hat{\boldsymbol{\theta}}\big(\theta(t)\big) \end{align*}\]

Стандартно придушувати аргументи$t$ і$\theta(t)$ і писати, наприклад,

\[ \vecs{v} = \dfrac{dr}{dt}\ \hat{\textbf{r}} + r\ \dfrac{d\theta}{dt}\ \hat{\boldsymbol{\theta}} \nonumber \]

Але важливо пам'ятати, що аргументи дійсно є.

Доказ

Вектор від початку до точки, полярні координати якої$(r,\theta)$ є$\vecs{r} = r\,\hat{\textbf{r}} (\theta)\text{.}$ Отже, якщо ми параметризуємо криву, даючи полярні координати в часі$t\text{,}$

\[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= r(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big)\\ \vecs{v} (t) &= \dfrac{dr}{dt}(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) + r(t)\ \dfrac{d\hat{\textbf{r}} }{d\theta}\big(\theta(t)\big)\ \dfrac{d\theta}{dt}(t) \notag\\ &= \dfrac{dr}{dt}(t)\ \hat{\textbf{r}} \big(\theta(t)\big) + r(t)\ \dfrac{d\theta}{dt}(t)\ \hat{\boldsymbol{\theta}}\big(\theta(t)\big)\\ \textbf{a}(t) & = \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}\ \hat{\textbf{r}} + \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\hat{\textbf{r}}}{d\theta}\ \dfrac{d\theta}{dt} + \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt}\ \hat{\boldsymbol{\theta}} + r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta }{\mathrm{d}t^{2}}\ \hat{\boldsymbol{\theta}} + r\ \Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2\ \dfrac{d\hat{\boldsymbol{\theta}}}{d\theta}\\ &=\Big[\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-r\ \Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2\Big] \hat{\textbf{r}} +\Big[r\ \frac{\mathrm{d}^{2}\theta }{\mathrm{d}t^{2}} + 2 \dfrac{dr}{dt}\ \dfrac{d\theta}{dt}\Big]\hat{\boldsymbol{\theta}} \end{align*}\]

Приклад 1.8.3

Як приклад, розглянемо кульку, яка ковзає на стрижні без тертя, який має один кінець, закріплений на початку і який обертається навколо початку з постійним$\Omega\,$ рад/сек.

$beadRod.svg$

Оскільки стрижень без тертя, він не здатний прикладати до борта будь-яку силу, паралельну стрижню. Так за законом Ньютона,$m\textbf{a}=\vecs{F} \text{,}$ радіальна ² складова прискорення частинки дорівнює рівно нулю. Отже, якщо полярні координати бісеру в той час$t$,$\big(r(t),\theta(t)\big)\text{,}$ то, по Lemma 1.8.2.c,

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-r\ \Big(\dfrac{d\theta}{dt}\Big)^2 = 0 \nonumber \]

Як стрижень обертається зі швидкістю$\Omega\,$ рад/сек,$\dfrac{d\theta}{dt}=\Omega$ і

\[ \frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-\Omega^2\ r = 0 \nonumber \]

Загальний розв'язок цього постійного коефіцієнта звичайного диференціального рівняння другого порядку дорівнює ³.

\[ r(t) = A e^{\Omega\,t} + B e^{-\Omega\,t} \nonumber \]

де$A$ і$B$ є довільними константами, які визначаються початковими умовами. Просто як приклад, якщо$r(0)= 1$ і$r'(0)= 0\text{,}$ то$A+B=1$ і$A\Omega-B\Omega=0\text{,}$ так, що$A=B=\frac{1}{2}$ і

\[ r(t) = \frac{1}{2}\big(e^{\Omega\,t}+e^{-\Omega\,t}\big)\qquad \nonumber \]

Якщо, знову ж таки, наприклад,$\theta(0) = 0\text{,}$ то$\theta(t) = \Omega t$ і кулька слідує за полярною координатною кривою

\[ r(\theta) = \frac{1}{2}\big(e^{\theta}+e^{-\theta}\big) \nonumber \]

Зауважте, що$r(\theta)$ це$1$ коли$\theta=0\text{,}$$\theta$ збільшується зі збільшенням, і прагне,$\infty$ як$\theta\rightarrow+\infty\text{.}$ крива є спіраллю.

$beadCurve.svg$

Приклад 1.8.4. Конічні перетину в полярних координатах

У цьому прикладі виведено рівняння загального конічного перерізу в полярних координатах. Конічний перетин - це перетин площини з конусом. Це проілюстровано на малюнках нижче.

$conePlaneCircle.svg$ $conePlaneEllipse.svg$ $conePlaneParabola.svg$ $conePlaneHyperbola.svg$

Для наших поточних цілей зручно використовувати еквівалентне ⁴ (і часто використовуване) визначення того, що конічний переріз - це множина точок$P$ у$xy$ -площині

чия відстань від нерухомої точки$F$ (називається фокусом конічного конуса)
є постійним кратним$\varepsilon \ge 0$ (називається ексцентриситетом конічного конуса)
відстані від$P$ до фіксованої лінії$L$ (називається директриса конічного конуса).

Виберіть систему координат, у якій фокус$F$ конічного конуса є початком, а директриса$L$ -$x=p$ для деяких$p \gt 0\text{.}$

$conic.svg$

Якщо$P$ має полярні координати,$(r,\theta)\text{,}$ то$P$ має$x$$r\cos\theta\text{.}$ -координата Точка$Q$$L$ на лінії на малюнку вище має$x$ -coordinate$p\text{.}$ Отже відстань від$P$ до$L\text{,}$ якої також відстань від$P$ до $Q\text{,}$Це$p-r\cos\theta\text{.}$ Відстань від$P$ до$F$ є$r\text{.}$ Ми вимагаємо, щоб відстань від$P$ до$F$$\varepsilon $ разів перевищувала відстань від$P$ до$L\text{.}$ Так

\[ r=\varepsilon \big(p-r\cos\theta\big) \iff r=\frac{\varepsilon p}{1+\varepsilon \cos\theta} \nonumber \]

Чисельник$\varepsilon p$ зазвичай перейменовується на$\ell$ надання рівняння

\[ r=\frac{\ell}{1+\varepsilon \cos\theta} \nonumber \]

Приклад 1.8.5. Конічні перерізи в полярних координатах, знову

Тепер ми візьмемо рівняння$r=\frac{\ell}{1+\varepsilon \cos\theta}$ для конічного перерізу в полярних координатах, з останнього прикладу, і перетворимо його на більш звичні декартові координати. Просто за визначенням полярних координат

\[\begin{align*} r\big(1+\varepsilon \cos\theta\big)=\ell &\iff r = \ell -\varepsilon x\\ &\iff x^2+y^2 = \ell^2-2\varepsilon \ell x+\varepsilon ^2 x^2\\ &\iff (1-\varepsilon ^2) x^2 + 2\varepsilon \ell x + y^2 = \ell^2 \tag{C} \end{align*}\]

Тепер розглянемо окремо чотири різних випадки, в залежності від величини$\varepsilon \ge 0\text{.}$

Якщо$\varepsilon =0\text{,}$ (С) зменшується до

\[ x^2+y^2 = \ell^2 \nonumber \]

$Конічне коло (1). svg$

що, звичайно, коло радіуса$\ell\text{.}$
Якщо$0 \lt \varepsilon \lt 1\text{,}$ заповнення квадрата в (C) дає
\[ (1-\varepsilon ^2)\Big(x+\frac{\varepsilon \ell}{1-\varepsilon^2}\Big)^2 + y^2 = \ell^2 + \frac{\varepsilon ^2\ell^2}{1-\varepsilon ^2} = \frac{\ell^2}{1-\varepsilon ^2} \nonumber \]

що еквівалентно

\[ \frac{\big(x+\frac{\varepsilon \ell}{1-\varepsilon ^2}\big)^2} { \frac{\ell^2}{(1-\varepsilon ^2)^2}} +\frac{y^2}{\frac{\ell^2}{1-\varepsilon ^2}} =1 \nonumber \]

$conicEllipse.svg$

і, звичайно, еліпс з напівосновною віссю$r_M=\frac{\ell}{1-\varepsilon ^2}$ і напівмалої віссю$r_m=\frac{\ell}{\sqrt{1-\varepsilon ^2}}\text{.}$
Якщо$\varepsilon =1\text{,}$ (С) зменшується до

\[ y^2 = \ell^2-2\ell x \nonumber \]

$conicParabola.svg$

що, звичайно, парабола.
Якщо$\varepsilon\gt 1\text{,}$ ж обчислення, що і у$0 \lt \varepsilon \lt 1$ випадку дає

\[ \frac{\big(x-\frac{\varepsilon \ell}{\varepsilon^2-1}\big)^2} { \frac{\ell^2}{(\varepsilon ^2-1)^2}} -\frac{y^2}{\frac{\ell^2}{\varepsilon ^2-1}} =1 \nonumber \]

$conicHyperbola.svg$

і, звичайно, гіпербола.

Вправи

Етап 1

1

Розглянемо пункти

\[\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}\]

Для кожного$1\le i\le 5\text{,}$

ескіз, в$xy$ -площині, точка$(x_i,y_i)$ і
знайти полярні координати$r_i$ і$\theta_i\text{,}$ з$0\le\theta_i \lt 2\pi\text{,}$ для точки$(x_i,y_i)\text{.}$

2

Знайти всі пари$(r,\theta)$ такі, що
\[ (-2,0) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
Знайти всі пари$(r,\theta)$ такі, що
\[ (1,1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]
Знайти всі пари$(r,\theta)$ такі, що
\[ (-1,-1) = \big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big) \nonumber \]

3

Розглянемо пункти

\[\begin{align*} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1)\\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{align*}\]

Також визначте, для кожного кута$\theta\text{,}$ вектори

\[\begin{gather*} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\pmb{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\pmb{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\pmb{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

Визначте, для кожного кута$\theta\text{,}$ довжини векторів$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ і кут між векторами$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ і$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)\text{.}$ Обчислити$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ (перегляд$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ і$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ як вектори в трьох вимірах з нульовими$\hat{\mathbf{k}}$ складовими).
Для кожного$1\le i\le 5\text{,}$ ескізу, в$xy$ -площині, точка$(x_i,y_i)$ і вектори$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ і$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)\text{.}$ У вашому ескізі векторів, помістіть хвости векторів$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ і$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ на$(x_i,y_i)\text{.}$

4 ✳

Зіставте наступні рівняння з відповідними картинками. Декартові координати є$(x, y)$ і полярні координати$(r, \theta)\text{.}$

\[\begin{alignat*}{5} &\text{(a)}\quad& r&=2+\sin(4\theta) \qquad\qquad & &\text{(b)}\quad& r&=1+2\sin(4\theta)\\ &\text{(c)}\quad& r&=1\qquad\qquad & &\text{(d)}& r&=2\cos(\theta),\ -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\\ &\text{(e)}& r&=e^{\theta/10}+e^{-\theta/10}\qquad\qquad & &\text{(f)}& r&=\theta & \end{alignat*}\]

Етап 2

5

Нагадаємо, що точка з полярними координатами$r$ і$\theta$ має$x=r\cos\theta$ і$y=r\sin\theta\text{.}$$r=f(\theta)$ Нехай рівняння площини кривої в полярних координатах. Знайти кривизну цієї кривої в загальній точці$\theta\text{.}$

6

Знайти викривлення кардіоїда$r=a(1-\cos\theta)\text{.}$

Як завжди,$r$ це відстань від початку до точки і$\theta$ кут між$x$ -віссю і вектором від початку до точки. Символи$r\text{,}$$\theta$ є стандартними математичними символами для полярних координат. Додаток А.7 дає ще один набір символів, який зазвичай використовується у фізичних науках та техніці.
$\hat{\boldsymbol{\theta}}$Компонент прискорення якраз говорить нам, скільки нормальної сили шток прикладає до намистини, щоб утримати його на стрижні.
Огляд методики, що використовується для пошуку цього рішення, наведено в Додатку А.9. У будь-якому випадку, легко перевірити, що$r(t)=A e^{\Omega\,t} + B e^{-\Omega\,t}$ дійсно підкоряється$\frac{\mathrm{d}^{2}r}{\mathrm{d}t^{2}}-\Omega^2\ r = 0\text{.}$
Це поза межами нашої сфери, щоб довести цю еквівалентність.