1.6: Інтеграція вздовж кривої

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60852

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Припустимо,$\mathcal{C}$ що у нас є крива, яка$\mathcal{C}$ параметризується як$\vecs{r} (t)$ з$a\le t\le b\text{.}$ Припустимо далі, що насправді шматок дроту і що щільність (тобто маса на одиницю довжини) дроту в точці$\vecs{r} $ є$\rho(\vecs{r} )\text{.}$ Як ми з'ясуємо масу$\mathcal{C}\text{?}$ Звичайно ми використовуйте стандартну стратегію «Розподіл і володарюй». Підбираємо натуральне число$n$ і

ділимо інтервал$a\le t\le b$ на$n$ рівні підінтервали, кожен з довжини$\Delta t=\frac{b-a}{n}\text{.}$$t_\ell = a + \ell\Delta t$ позначаємо правим кінцем числа інтервалу$\ell\text{.}$
Потім наближаємо довжину частини кривої між$\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)$$\big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|$ і$\vecs{r} \big(t_\ell\big)$ по і масу частини кривої між$\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)$ і$\vecs{r} \big(t_\ell\big)$ по$\rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big|\text{.}$
$parCurveL.svg$
Це дає нам, як приблизну$\mathcal{C}$ масу для
\[ \sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \big|\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)\big| =\sum_{\ell=1}^n \rho\big(\vecs{r} (t_\ell)\big) \bigg|\frac{\vecs{r} \big(t_\ell\big)-\vecs{r} \big(t_{\ell-1}\big)} {t_\ell-t_{\ell-1}}\bigg|\Delta t \nonumber \]

Потім ми приймаємо межу як$n\rightarrow\infty\text{.}$ Припускаючи ¹, яка$\vecs{r} (t)$ постійно диференційована, і$\rho(\vecs{r} )$ це безперервно, ми отримуємо

\[ \text{Mass of } \mathcal{C} = \int_a^b \rho\big(\vecs{r} (t)\big) \left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\right|\,\text{d}t \nonumber \]

який ми приймаємо як визначення.

Визначення 1.6.1

Для параметризованої кривої$\big(x(t),y(t), z(t)\big)\text{,}$$a\le t\le b\text{,}$ в$\mathbb{R}^3$ що ми викликаємо$\mathcal{C}\text{,}$ і для функції$f(x,y,z)\text{,}$ визначаємо
\[ \int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s =\int_a^b f\big(x(t), y(t) , z(t) \big)\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\ \text{d}t \nonumber \]
У цьому позначенні індекс$\mathcal{C}$ визначає криву і$\text{d}s$ позначає довжину дуги.
Для кривої$y=f(x)\text{,}$$a\le x\le b\text{,}$ в$\mathbb{R}^2$ що ми викликаємо$C\text{,}$ і для функції$g(x,y)\text{,}$ ми визначаємо
\[ \int_C g(x,y)\,\text{d}s =\int_a^b g\big(x, f(x) \big)\sqrt{1+f'(x)^2}\ \text{d}x \nonumber \]

Приклад 1.6.2

Припустимо, що у нас спіральна дріт ²

\[ \vecs{r} (t) = \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) =\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\qquad 0\le t\le 2\pi \nonumber \]

і що цей дріт має постійну масову щільність$\rho\text{.}$ Давайте знайдемо центр маси дроту. Нагадаємо, що центр маси$\big(\bar x,\bar y,\bar z)$ з, наприклад,$\bar x$ є середньозваженим

\[ \bar x = \frac{\int x\rho \text{d}s}{\int \rho\text{d}s} = \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} \qquad\text{(since $\rho$ is constant)} \nonumber \]

$x$над дротом. Аналогічно$\bar y = \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s}$ і$\bar z = \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} \text{.}$ Для заданої кривої

\[\begin{align*} \big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big) &=\big(a\cos t\,,\,a\sin t\,,\, bt\big)\\ \big(x'(t)\,,\,y'(t)\,,\,z'(t)\big) &=\big(-a\sin t\,,\,a\cos t\,,\, b\big)\\ \dfrac{ds}{dt}(t) &=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\\ &=\sqrt{a^2\sin^2t+a^2\cos^2t+b^2}\\ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{align*}\]

так що

\[\begin{align*} \bar x &= \frac{\int x \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} x(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\cos(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar y &= \frac{\int y \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} y(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} a\sin(t) \,\text{d}t}{2\pi} =0\\ \bar z &= \frac{\int z \text{d}s}{\int \text{d}s} = \frac{\int_0^{2\pi} z(t) \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} {\int_0^{2\pi} \sqrt{a^2+b^2}\,\text{d}t} = \frac{\int_0^{2\pi} bt \,\text{d}t}{2\pi} =\frac{b}{2\pi}\Big[\frac{t^2}{2}\Big]_0^{2\pi} =b\pi \end{align*}\]

Таким чином, центр маси знаходиться прямо на осі спіралі, на півдорозі вгору, що має сенс.

Вправи

Етап 1

1

Дайте рівняння довжини дуги кривої$C$ як прямолінійного інтеграла.

2

Показати, що інтеграл$\int_\mathcal{C} f(x,y)\,ds$ вздовж кривої,$\mathcal{C}$ заданої в полярних координатах$r=r(\theta)\text{,}$$\theta_1\le \theta\le\theta_2\text{,}$, є
\[ \int_{\theta_1}^{\theta_2}f\big(r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta\big) \sqrt{r(\theta)^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}(\theta)\right)^2}\, \text{d}\theta \nonumber \]
Обчислити довжину дуги$r=1+\cos\theta,\ 0\le \theta\le 2\pi\text{.}$ Ви можете скористатися формулою
\[ 1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2} \nonumber \]
для спрощення обчислень.

Етап 2

3

Обчисліть$C$,$\int_C \left(\frac{xy}{z}\right)\text{d}s\text{,}$ де знаходиться крива$\left( \frac23t^3 , \sqrt{3}t^2 , 3t \right)$ від$t=1$ до$t=2\text{.}$

4

Обруч радіуса$r$ простежує криву$x^2+y^2=1\text{,}$, де$x$ і$y$ вимірюються в метрах. У точці$(x,y)\text{,}$ його щільність становить$x^2$ кг на метр. Яка маса обруча?

5

Обчислити$C$,$\int_C (xy+z) \text{d}s$ де пряма лінія від$(1,2,3)$ до$(2,4,5)\text{.}$

6

Оцініть інтеграл шляху$\int_\mathcal{C} f(x,y,z)\,\text{d}s$ для

$f(x,y,z)=x\cos z\text{,}$$\mathcal{C}:\vecs{r} (t)=t\hat{\pmb{\imath}}+t^2\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}$$0\le t\le 1\text{.}$
$f(x,y,z)=\frac{x+y}{y+z}\text{,}$$\mathcal{C}:\vecs{r} (t)= \big(t,\frac{2}{3}t^{3/2},t\big)\text{,}$$1\le t\le 2\text{.}$

7

Оцініть$\int_C \sin x\,\text{d}s\text{,}$,$C$ де крива$(\textrm{arcsec}(t), \ln t)\text{,}$$1 \le t \le \sqrt{2}\text{.}$

8. ✳

Частинка маси$m = 1$ має положення$\vecs{r} (0) = \hat{\pmb{\jmath}}$ і швидкість$\vecs{v} _0 = \hat{\pmb{\imath}} + \hat{\mathbf{k}}$ в той час$t = 0\text{.}$ Частинка рухається під силою

\[ \vecs{F} (t) = \hat{\pmb{\jmath}} - \sin t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

де$t$ позначає час.

Знайти$\vecs{r} (t)$ положення частинки як функція$t\text{.}$
Знайти положення$\vecs{r} (t_1)$ частинки, коли вона вперше перетинає площину$x = \pi/2$ в$t_1\text{.}$
Визначте роботу, виконану$\vecs{F} $ при переміщенні частинки з$\vecs{r} (0)$ в$\vecs{r} (t_1)\text{.}$

Етап 3

9. ✳

Оцінити лінійний інтеграл$\vecs{F} (x,y) = xy^2 \,\hat{\pmb{\imath}} + ye^x \,\hat{\pmb{\jmath}}$,$\int_C \vecs{F} \cdot\hat{\textbf{n}}\,\text{d}s$ де,$C$ -$R\text{:}$$0 \le x \le 3\text{,}$$-1 \le y \le 1\text{,}$ межа прямокутника і$\hat{\textbf{n}}$ є одиничним вектором, нормальним для$C\text{,}$ вказівки на зовнішню сторону прямокутника.

10. ✳

$\mathcal{C}$Дозволяти крива, задана

\[ \vecs{r} (t)=t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}+t^2\,\hat{\mathbf{k}},\qquad 0\le t\le \pi \nonumber \]

Знайти дотичну одиницю$\hat{\textbf{T}}$ до$\mathcal{C}$ точки$(-\pi,0,\pi^2)\text{.}$
Обчислити лінійний інтеграл
\[ \int_\mathcal{C} \sqrt{x^2+y^2}\ \text{d}s \nonumber \]
Знайти рівняння гладкої поверхні в$3$ -просторі, що містить криву$\mathcal{C}\text{.}$
Намалюйте криву$\mathcal{C}\text{.}$

11

Дріт простежує шлях,$C$ описаний кривою.$(t+\frac12t^2 , t-\frac12t^2 , \frac{4}{3}\,t^{3/2})\text{,}$$0 \leq t \leq 4\text{.}$ Його щільність у точці$(x,y,z)$ -$\rho(x,y,z)={\left( \frac{x+y}{2}\right)}\text{.}$ Знайти центр маси.

Ми могли б дещо розслабити ці умови, натомість припускаючи, що$\vecs{r} '(t)$ і$\rho(t)$ обмежені і є безперервними, за винятком кінцевої кількості точок. (не$\vecs{r} '(t)$ потрібно взагалі існувати в цих точках.)
Наприклад, ваш улюблений соленоїд або пружинний або стрункий.