1.1: Похідні, швидкість тощо
- Page ID
- 60859
Це текст обчислення, однією з наших основних операцій є диференціація. Зараз нас цікавлять параметризації\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Дуже легко і природно розширити наше визначення похідної\(\vecs{r} (t)\) наступним чином.
Визначено похідну\(\vecs{r} (t)\) векторно-значної функції як
\[ \vecs{r} '(t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)}{h} \nonumber \]
коли ліміт існує. Зокрема, якщо\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\text{,}\) тоді
\[ \vecs{r} '(t)=\big(x'(t)\,,\,y'(t)\,,\,z'(t)\big) \nonumber \]
Тобто диференціювати векторну цінну функцію\(t\text{,}\) просто диференціювати кожну її складову.
І звичайно диференціація взаємодіє з арифметичними операціями, як додавання, очевидним чином. Потрібно лише трохи більше думки, щоб побачити, що диференціація взаємодіє досить добре з точковими та перехресними продуктами теж. Ось кілька прикладів.
Нехай
\[\begin{align*} \textbf{a}(t)&= t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \textbf{b}(t)&= e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \gamma(t)&= t^2\\ s(t)&= \sin t \end{align*}\]
Ми збираємося обчислити деякі похідні. Щоб було легше стежити за тим, що відбувається, ми використаємо певний колір. Коли ми застосовуємо правило продукту
\[ \dfrac{d}{dt}\big[f(t)\,g(t)\big] ={\color{blue}{f'(t)}}\,g(t) + f(t)\,{\color{blue}{g'(t)}} \nonumber \]
ми будемо використовувати синій, щоб виділити фактори\(f'(t)\) і\(g'(t)\text{.}\) тут ми йдемо.
\[\begin{align*} \gamma(t)\,\textbf{b}(t) & = t^2e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + t^2 e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^2 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
дає
\[\begin{align*} \dfrac{d}{dt}\big[\gamma(t)\textbf{b}(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big]\hat{\pmb{\imath}} +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^2{\color{blue}{e^{-3t}}}\big]\hat{\pmb{\jmath}} +\big[{\color{blue}{2t}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^2{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\hat{\mathbf{k}}\\ &={\color{blue}{2t}}\big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\} + t^2{\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} -3 e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} -5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\gamma'(t)}}\textbf{b}(t)+\gamma(t){\color{blue}{\textbf{b}'(t)}} \end{align*}\]
і
\[\begin{align*} \textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}(t) & = t^2e^{-t} + t^4 e^{-3t} + t^6 e^{-5t} \end{align*}\]
дає
\[\begin{align*} \dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}(t)\big] &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}}\big] +\big[{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}{\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}}\big] +\big[{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}{\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &=\big[{\color{blue}{2t}} e^{-t}+{\color{blue}{4t^3}} e^{-3t}+{\color{blue}{6t^5}} e^{-5t}\big] +\big[{\color{blue}{-}}t^2{\color{blue}{e^{-t}}} {\color{blue}{-3}}t^4{\color{blue}{e^{-3t}}} {\color{blue}{-5}}t^6{\color{blue}{e^{-5t}}}\big]\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\hat{\pmb{\imath}}+4t^3\,\hat{\pmb{\jmath}}+6t^5\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\cdot \big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\cdot {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}-3e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}}-5e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\textbf{a}'(t)}}\cdot\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\cdot{\color{blue}{\textbf{b}'(t)}} \end{align*}\]
і
\[\begin{align*} \textbf{a}(t)\times\textbf{b}(t) &=\det\left[\begin{matrix}\hat{\pmb{\imath}}& \hat{\pmb{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}}\\ t^2 & t^4 & t^6\\ e^{-t} & e^{-3t} & e^{-5t}\end{matrix}\right]\\ &=\hat{\pmb{\imath}}\big(t^4 e^{-5t}-t^6 e^{-3t}) -\hat{\pmb{\jmath}}(t^2 e^{-5t}- t^6 e^{-t}) +\hat{\mathbf{k}}(t^2 e^{-3t}-t^4 e^{-t}) \end{align*}\]
дає
\[\begin{align*} &\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\times\textbf{b}(t)\big]\\ &=\ \hat{\pmb{\imath}}\big(\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-5t}\ \ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-3t}) \ -\ \hat{\pmb{\jmath}}(\ {\color{blue}{2t}} e^{-5t}\ -\ {\color{blue}{6t^5}} e^{-t}) +\hat{\mathbf{k}}(\ {\color{blue}{2t}} e^{-3t}\ -\ {\color{blue}{4t^3}} e^{-t}) \\&\hskip0.1in +\hat{\pmb{\imath}}\big({\color{blue}{-5}}t^4 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+3}}t^6 {\color{blue}{e^{-3t}}}) -\hat{\pmb{\jmath}}({\color{blue}{-5}}t^2 {\color{blue}{e^{-5t}}}{\color{blue}{+}} t^6 {\color{blue}{e^{-t}}}) +\hat{\mathbf{k}}({\color{blue}{-3}}t^2 {\color{blue}{e^{-3t}}}{\color{blue}{+}}t^4 {\color{blue}{e^{-t}}})\\ &={\color{blue}{\big\{2t\,\hat{\pmb{\imath}}+4t^3\,\hat{\pmb{\jmath}}+6t^5\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\times \big\{e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\\&\hskip0.5in +\big\{t^2\,\hat{\pmb{\imath}} + t^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + t^6\,\hat{\mathbf{k}}\big\}\times {\color{blue}{\big\{-e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}-3e^{-3t}\,\hat{\pmb{\jmath}}-5e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big\}}}\\ &={\color{blue}{\textbf{a}'(t)}}\times\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\times{\color{blue}{\textbf{b}'(t)}} \end{align*}\]
і
\[\begin{align*} \textbf{a}\big(s(t)\big) &=(\sin t)^2\,\hat{\pmb{\imath}} +(\sin t)^4\,\hat{\pmb{\jmath}} + (\sin t)^6\,\hat{\mathbf{k}}\\ \implies \dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}\big(s(t)\big)\big] &=2(\sin t)\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +4(\sin t)^3\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 6(\sin t)^5\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &=\big\{2(\sin t)\,\hat{\pmb{\imath}} +4(\sin t)^3\hat{\pmb{\jmath}} + 6(\sin t)^5\hat{\mathbf{k}}\big\}\cos t \\ &=\textbf{a}'\big(s(t)\big)\,s'(t) \end{align*}\]
Звичайно, ці приклади поширюються на загальні (диференційовані)\(\textbf{a}(t)\text{,}\)\(\textbf{b}(t)\text{,}\)\(\gamma(t)\)\(s(t)\) і дають нам (більшість) наступну теорему.
Нехай
- \(\textbf{a}(t),\textbf{b}(t)\)бути векторним значенням диференційовних функцій\(t\in\mathbb{R}\), які приймають значення в\(\mathbb{R}^n\) і
- \(\alpha,\beta \in \mathbb{R}\)бути константами і
- \(\gamma(t)\)і\(s(t)\) бути реальними цінними диференційованими функціями\(t\in\mathbb{R}\)
Тоді
\[\begin{alignat*}{3} &\text{(a)}\quad &&\dfrac{d}{dt}\big[\alpha\,\textbf{a}(t)+\beta\,\textbf{b}(t)\big] =\alpha\,\textbf{a}'(t)+\beta\,\textbf{b}'(t) &&\text{(linear combination)}\\ &\text{(b)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\gamma(t)\textbf{b}(t)\big] =\gamma'(t)\textbf{b}(t)+\gamma(t)\textbf{b}'(t) &&\text{(multiplication by scalar function)}\\ &\text{(c)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}(t)\big] =\textbf{a}'(t)\cdot\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\cdot\textbf{b}'(t) &&\text{(dot product)}\\ &\text{(d)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}(t)\times\textbf{b}(t)\big] =\textbf{a}'(t)\times\textbf{b}(t)+\textbf{a}(t)\times\textbf{b}'(t) \ \ &&\text{(cross product)}\\ &\text{(e)} &&\dfrac{d}{dt}\big[\textbf{a}\big(s(t)\big)\big] =\textbf{a}'\big(s(t)\big)\,s'(t) &&\text{(composition)} \end{alignat*}\]
Давайте подумаємо про геометричне значення\(\vecs{r} '(t)\text{.}\) Зокрема, давайте подумаємо про співвідношення між\(\vecs{r} '(t)\) і відстанями по кривій. Похідна\(\vecs{r} '(t)\) є межею\(\frac{\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)}{h}\) як\(h\rightarrow 0\text{.}\) чисельник,\(\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)\text{,}\) є вектор з головою в\(\vecs{r} (t+h)\) і хвостом на\(\vecs{r} (t)\text{.}\)
Коли\(h\) дуже малий цей вектор
- має по суті той самий напрямок, що і вектор дотичної до кривої в\(\vecs{r} (t)\) і
- має довжину, по суті, довжину частини кривої між\(\vecs{r} (t)\) і\(\vecs{r} (t+h)\text{.}\)
Беручи межу як\(h\rightarrow 0\) врожайність, яка
- \(\vecs{r} '(t)\)є дотичним вектором до кривої в\(\vecs{r} (t)\) цих точках у напрямку збільшення\(t\) і
- \(s(t)\)якщо довжина частини кривої між\(\vecs{r} (0)\) і\(\vecs{r} (t)\text{,}\) потім\(\dfrac{ds}{dt}(t)=\big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\big|\text{.}\)
Про це варто заявити формально.
\(\vecs{r} (t)\)Дозволяти параметризованої кривої.
- Позначити\(\hat{\textbf{T}}\left ( t \right )\) одиничним дотичним вектором до кривої при\(\vecs{r} (t)\) вказівці в напрямку збільшення\(t\text{.}\) Якщо,\(\vecs{r} '(t)\ne 0\) то
\[ \hat{\textbf{T}}\left ( t \right ) = \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber \]
- Позначити\(s(t)\) по довжині частини кривої між\(\vecs{r} (0)\) і\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Потім
\[\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}(t)&=\Big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\Big|\\ s(T)-s(T_0)&= \int_{T_0}^T \left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\right|\,\text{d}t \end{align*}\]
- Зокрема, якщо параметром трапляється довжина дуги, тобто якщо\(t=s\text{,}\) так, що\(\dfrac{ds}{ds}=1\text{,}\) то
\[ \left|\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)\right|=1\qquad \hat{\textbf{T}}\left ( s \right ) = \vecs{r} '(s) \nonumber \]
Як додаток, ми маємо
Якщо\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\) положення частинки в часі,\(t\text{,}\) то
і відстань пройдена між часом\(T_0\) і\(T\) є
\ почати {вирівнювати*} s (T) -s (T_0) &=\ int_ {T_0} ^T\ Big|\ dfrac {d\ vecs {r}} {dt} (t)\ Big|\,\ текст {d} t =\ int_ {T_0} ^T\ sqrt {(x '(t) ^2+y' (t) ^2+y '(t) ^2+y' (t) ^2+y '(t) ^2+y' (t) ^2+y z' (t) ^2}\,\ текст {d} t\ end {align*}Зауважте, що швидкість\(\vecs{v} (t) = \vecs{r} '(t)\) є векторною величиною, тоді як швидкість\(\dfrac{ds}{dt}(t)=|\vecs{r} '(t)|\) - скалярна величина.
Взагалі обчислити довжини дуги може бути досить складно. Отже, як простий приклад розминки, ми обчислимо окружність кола\(x^2+y^2=a^2\text{.}\) Ми також знайдемо одиницю дотичної до кола в будь-якій точці кола. Ми будемо використовувати параметризацію
\[ \vecs{r} (\theta) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big)\qquad 0\le \theta\le 2\pi \nonumber \]
Приклад 1.0.1. Використання Lemma 1.1.4, але з параметром,\(t\) перейменованим на\(\theta\)
\[\begin{align*} \vecs{r} '(\theta) &= a\big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big)\\ \hat{\textbf{T}}\left ( \theta \right ) &= \frac{\vecs{r} '(\theta)}{|\vecs{r} '(\theta)|} = \big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big)\\ \dfrac{ds}{d\theta}(\theta)&=\big|\vecs{r} '(\theta)\big| = a\\ s(\Theta)-s(0)&= \int_{0}^\Theta \big|\vecs{r} '(\theta)\big|\,\text{d}\theta =a\Theta \end{align*}\]
Як 1\(s(\Theta)\) - довжина дуги частини кола з\(0\le\theta\le\Theta\text{,}\) окружністю всього кола дорівнює
\[ s(2\pi) = 2\pi a \nonumber \]
що заспокоює, оскільки ця формула відома 2 тисячі років.
Формула\(s(\Theta)-s(0)=a\Theta\) також має сенс — частина кола з\(0\le\theta\le\Theta\) є\(\frac{\Theta}{2\pi}\) часткою цілого кола, і тому повинна мати довжину\(\frac{\Theta}{2\pi}\times 2\pi a\text{.}\) Також зверніть увагу, що
\[ \vecs{r} (\theta)\cdot\hat{\textbf{T}}\left ( \theta \right ) = \big(a\cos\theta\,,\,a\sin\theta\big) \cdot \big(-\sin\theta\,,\cos\theta\big) =0 \nonumber \]
так що дотична до кола в будь-якій точці перпендикулярна вектору радіуса кола в цій точці. Це ще один геометричний факт, який відомий 3 тисячі років.
Розглянемо криву
\[ \vecs{r} (t) = 6\sin(2t)\hat{\pmb{\imath}} + 6\cos(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5t\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
де стандартні базисні вектори\(\hat{\pmb{\imath}} = (1,0,0)\text{,}\)\(\hat{\pmb{\jmath}}=(0,1,0)\) і\(\hat{\mathbf{k}} =(0,0,1)\text{.}\) ми спочатку намалюємо його, спостерігаючи, що
- \(x(t)=6\sin(2t)\)і\(y(t) =6\cos(2t)\) підкорятися\(x(t)^2+y(t)^2 = 36 \sin^2(2t) + 36\cos^2(2t) = 36\text{.}\) Так що всі точки кривої лежать на циліндрі\(x^2+y^2=36\) і
- у міру\(t\) збільшення\(\big(x(t),y(t)\big)\) біжить за годинниковою стрілкою по колу\(x^2+y^2=36\) і при цьому\(z(t) = 5t\) просто лінійно збільшується.
Наша крива - спіраль
Ми позначили три точки кривої на наведеному вище ескізі. Перший має\(t=0\) і є\(0\hat{\pmb{\imath}}+6\hat{\pmb{\jmath}}+0\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Другий має\(t=\frac{\pi}{2}\) і є,\(0\hat{\pmb{\imath}}-6\hat{\pmb{\jmath}}+\frac{5\pi}{2}\hat{\mathbf{k}}\text{,}\) а третій має\(t=\pi\) і є\(0\hat{\pmb{\imath}}+6\hat{\pmb{\jmath}}+5\pi\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) Ми тепер будемо використовувати Lemma 1.1.4, щоб знайти одиницю дотичної\(\hat{\textbf{T}}\left ( t \right )\) до кривої,\(\vecs{r} (t)\) а також довжину дуги частини кривої між\(t=0\) і\(t=\pi\text{.}\)
\[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= 6\sin(2t)\hat{\pmb{\imath}} + 6\cos(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5t\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} '(t) &= 12\cos(2t)\hat{\pmb{\imath}} -12\sin(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +5\hat{\mathbf{k}}\\ \dfrac{ds}{dt}(t)&=\big|\vecs{r} '(t)\big| =\sqrt{12^2\cos^2(2t) +12^2\sin^2(2t)+5^2} = \sqrt{12^2+5^2}\\ &= 13\\ \hat{\textbf{T}}\left ( t \right ) &= \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t))|} = \frac{12}{13}\cos(2t)\hat{\pmb{\imath}} -\frac{12}{13}\sin(2t)\hat{\pmb{\jmath}} +\frac{5}{13}\hat{\mathbf{k}}\\ s(\pi)-s(0)&= \int_{0}^\pi \big|\vecs{r} '(t)\big|\,\text{d}t =13\pi \end{align*}\]
Уявіть, що в той час\(t\text{,}\) частка знаходиться в
\[ \vecs{r} (t) = \left[h+a\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\right]\hat{\pmb{\imath}} +\left[k+a\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\right]\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
Оскільки\(|\vecs{r} (t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}| = a\text{,}\) частинка біжить по колу радіуса,\(a\) зосередженого на\((h,k)\text{.}\) Коли\(t\) збільшується\(T\text{,}\) на аргумент,\(2\pi\frac{t}{T}\text{,}\) з\(\cos\left(2\pi\tfrac{t}{T}\right)\) і\(\sin\left(2\pi\tfrac{t}{T}\right)\) збільшується точно,\(2\pi\) і частинка проходить рівно один раз по колу. Зокрема, він проходить відстань\(2\pi a\text{.}\) Тому рухається зі швидкістю\(\frac{2\pi a}{T}\text{.}\) Згідно з Леммою 1.1.5, він має
\[\begin{align*} \text{velocity } =\vecs{r} '(t) &=-\frac{2\pi a}{T}\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\imath}} +\frac{2\pi a}{T}\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\jmath}}\\ \text{speed} = \dfrac{ds}{dt}(t)&=|\vecs{r} '(t)|=\frac{2\pi a}{T}\\ \text{acceleration} =\vecs{r} ''(t) &=-\frac{4\pi^2 a}{T^2}\cos\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\imath}} -\frac{4\pi^2 a}{T^2}\sin\left(2\pi\frac{t}{T}\right)\hat{\pmb{\jmath}} \\ &= - \frac{4\pi^2}{T^2}\big[\vecs{r} (t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] \end{align*}\]
Ось деякі спостереження.
- Швидкість\(\vecs{r} '(t)\) має точковий добуток нуль\(\vecs{r} (t) -h\,\hat{\pmb{\imath}}-k\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\), з яким є радіусним вектором від центру кола до частинки. Таким чином, швидкість перпендикулярна вектору радіуса, і, отже, паралельна дотичному вектору кола при\(\vecs{r} (t)\text{.}\)
- Швидкість, дана Lemma 1.1.5 - це саме швидкість, яку ми знайшли вище, безпосередньо перед тим, як ми почали застосовувати Lemma 1.1.5.
- \(\vecs{r} ''(t)\)Точки прискорення в напрямку, протилежному вектору радіуса.
У цьому прикладі знаходимо периметр астроїда 4
\[ x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3} \nonumber \]
Геометрична побудова цієї кривої, а також виведення її рівняння наведено в необов'язковому розділі 1.11 пізніше. Почнемо з пошуку зручної параметризації.
- Для цього зверніть увагу, що\(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}\) виглядає дещо схоже на рівняння кола\(x^2+y^2=a^2\text{.}\)
- Стандартна параметризація кола, а саме\(x=a\cos t\text{,}\)\(y=a \sin t\) працює через елементарну ідентичність трига\(\cos^2t+\sin^2t=1\text{.}\)
- Якщо ми зможемо організувати, що\(x(t)^{2/3} = a^{2/3}\cos^2 t\) і\(y(t)^{2/3}=a^{2/3}\sin^2 t\text{,}\) тоді той же елементарний триг ідентичність дасть за\(x(t)^{2/3}+y(t)^{2/3} = a^{2/3}\text{,}\) бажанням.
- Але, звичайно, це легко організувати: просто вирішуйте\(x(t)^{2/3} = a^{2/3}\cos^2 t\) для\(x(t)\text{,}\) саме\(x(t) = a\cos^3t\text{,}\) і вирішуйте\(y(t)\text{,}\) саме\(y(t)^{2/3}=a^{2/3}\sin^2 t\) для\(y(t)=a\sin^3 t\text{.}\)
Наша параметризація
\[ \vecs{r} (t) = a\cos^3t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]
За Лемма 1.1.4
\[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= a\cos^3t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \vecs{r} '(t) &= -3a\sin t\cos^2t\,\hat{\pmb{\imath}} + 3a\sin^2 t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \dfrac{ds}{dt}(t)&=\big|\vecs{r} '(t)\big| = \sqrt{9a^2\sin^2t\cos^4t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}\\ & = 3a \sqrt{\sin^2t\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)}\\ &=3a\big|\sin t\cos t\big|\\ \hat{\textbf{T}}\left ( t \right ) &= \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t))|} = \frac{\sin t\cos t}{|\sin t\cos t|}\ \big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\\ &= \mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) \end{align*}\]
Тут\(\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\) означає «знак\(\sin t\cos t\)», тобто\(+1\) коли\(\sin t\cos t \gt 0\) і\(-1\) коли\(\sin t\cos t \lt 0\text{.}\) Так
\[\begin{align*} &\hat{\textbf{T}}\left ( t \right )\\ &=\left.\begin{cases}1&\text{if } \sin t \gt 0,\ \cos t \gt 0 \text{ or } \sin t \lt 0,\ \cos t \lt 0\\ -1&\text{if } \sin t \gt 0,\ \cos t \lt 0 \text{ or } \sin t \lt 0,\ \cos t \gt 0 \end{cases}\right\}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big)\\ &=\left.\begin{cases}1&\text{if } 0 \lt t \lt \frac{\pi}{2} \text{ or } \pi \lt t \lt \frac{3\pi}{2}\\ -1&\text{if } \frac{\pi}{2} \lt t \lt \pi \text{ or } \frac{3\pi}{2} \lt t \lt 2\pi \end{cases}\right\}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) \end{align*}\]
Перш ніж ми перейдемо до ескізу астроїда і обчислення його периметра, ми можемо зробити кілька спостережень, які спростять наше життя.
- Ознаки обох складових\(\vecs{r} (t)\) однакові з ознаками компонентів\(\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{;}\) і ознаки обох складових\(\vecs{r} '(t)\) однакові з ознаками складових.\(-\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} +\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Отже, астроїд виглядає дещо як коло в тому
- коли\(0\le t\le \frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) лежить в першому квадранті і рухається вгору і вліво у міру\(t\) збільшення і
- коли\(\frac{\pi}{2}\le t\le \pi\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) лежить у другому квадранті і рухається вниз і вліво у міру\(t\) збільшення і
- коли\(\pi\le t\le \frac{3\pi}{2}\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) лежить в третьому квадранті і рухається вниз і вправо у міру\(t\) збільшення і
- коли\(\frac{3\pi}{2}\le t\le 2\pi\text{,}\)\(\vecs{r} (t)\) лежить в четвертому квадранті і рухається вгору і вправо у міру\(t\) збільшення і
- \(\vecs{r} (2\pi)=\vecs{r} (0)\)так що астроїд - це замкнута крива, яка об'їжджає походження рівно один раз, як\(t\) проходить від\(0\) до\(2\pi\text{.}\)
- Щось дивне відбувається при тих значеннях,\(t\) де\(\sin t\cos t\) змінюється знак 5, тобто при\(t=0\text{,}\)\(\frac{\pi}{2}\text{,}\)\(\pi\text{,}\)\(\frac{3\pi}{2}\text{,}\) і т.д. а саме\(\hat T(t)\) сальто. Якщо бути точним
\[\begin{align*} \lim_{t\rightarrow 0-}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow 0-} \mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow 0-} \big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =\hat{\pmb{\imath}} \\ \lim_{t\rightarrow 0+}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow 0+}\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow 0+}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =-\hat{\pmb{\imath}} \end{align*}\]
і
\[\begin{align*} \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow \pi/2-}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =\hat{\pmb{\jmath}} \\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\hat T(t) &= \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\mathrm{sgn}\!\big(\!\sin t\cos t\big)\ \lim_{t\rightarrow \pi/2+}\big(-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big) =-\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]
і так далі. Це сигналізує про повороти в кривій на\(t=0\text{,}\) тобто в\(\vecs{r} (0) = a\hat{\pmb{\imath}}\text{,}\) і при\(t=\frac{\pi}{2}\text{,}\) тобто в\(\vecs{r} (\frac{\pi}{2}) = a\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) і так далі. Таким чином, в той час як астроїд виглядає дещо як коло, він має\(\pm a\hat{\pmb{\imath}}\) розрізи на і\(\pm a\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}\) Ось ескіз.
.svg)
- Астроїд інваріантний під відображеннями в\(x\) -осі і в\(y\) -осі. \(x^{2/3}+y^{2/3} = a^{2/3}\)Тобто інваріантний під\(x\rightarrow -x\) а також під\(y\rightarrow -y\text{.}\) Так щоб знайти весь периметр, досить знайти довжину дуги частини астроида в першому квадранті, а потім помножити на\(4\text{.}\)
\[\begin{align*} \text{perimeter} &=4\int_0^{\pi/2}\dfrac{ds}{dt}\ \text{d}t = 4\int_0^{\pi/2}3a\sin t\cos t\ \text{d}t\\ & = 6a\int_0^{\pi/2}\sin(2t)\ \text{d}t =6a\Big[-\frac{\cos(2t)}{2}\Big]_0^{\pi/2}\\ &=6a \end{align*}\]
В останньому прикладі ми виявили, що астроїд мав поглиблення в тих точках,\(\vecs{r} (t)\) де швидкість\(\vecs{r} '(t)\) зникла. У цьому прикладі ми трохи далі розглянемо, що може статися, коли\(\vecs{r} '(t)=\vecs{0}\text{.}\)
Припустимо, що ви вийшли на прогулянку і що ваша позиція в той час\(t\) є\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Якщо в якийсь час у вас ненульова швидкість, вам дуже важко змінити напрямок руху перерви 6. З іншого боку, коли\(\vecs{r} '(t)=0\text{,}\) ви зовсім не рухаєтеся і вам легко повернути і піти в будь-якому напрямку, який ви виберете. Ви можете повністю повернути напрямок, або зробити різкий поворот ліворуч, або взагалі не змінювати напрямок. Ось приклади всіх цих. Всі вони мають\(\vecs{r} '(t)=0\text{.}\) Вони начерчені нижче.
\[\begin{alignat*}{4} \vecs{r} _1(t) &= (t^5, t^2) & \vecs{r} _1'(t)&= (5t^4, 2t)\\ \vecs{r} _2(t) &= \left.\begin{cases} (t^2, 0) & \text{if } t\ge 0 \\ (0 , t^2) & \text{if } t\le 0 \end{cases}\right\}\qquad & \vecs{r} _2'(t)&= \left.\begin{cases} (2t, 0) & \text{if } t\ge 0 \\ (0 , 2t) & \text{if } t\le 0 \end{cases} \right\}\\ \vecs{r} _3(t) &= (t^3, 0) & \vecs{r} _3'(t) &= (3t^2, 0) \end{alignat*}\]
Ми знайдемо довжину дуги
\[ \vecs{r} (t) = t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}\qquad 0\le t\le\sqrt{2} \nonumber \]
Ми спочатку намалюємо його, спостерігаючи, що
- \(x(t)=t\cos t \text{,}\)\(y(t) =t\sin t \)і\(z(t)=t\) підкорятися\(x(t)^2+y(t)^2 = t^2 = z(t)^2\text{.}\) Так що всі точки кривої лежать на конусі\(x^2+y^2=z^2\) і
- як\(t\) збільшується,\(\big(x(t),y(t)\big)\) біжить проти годинникової стрілки навколо «кола», радіус якого збільшується лінійно з\(t\) і в той же час\(z(t)\) також лінійно збільшується.
Наша крива - «штопор»
За Лемма 1.1.4
\[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} +t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \vecs{r} '(t) &= [\cos t -t\sin t ]\hat{\pmb{\imath}} +[\sin t+t\cos t]\hat{\pmb{\jmath}} + \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]
щоб
\[\begin{align*} &\dfrac{ds}{dt}(t)=\big|\vecs{r} '(t)\big|\\ &= \sqrt{\big(\cos^2t\!-\!2 t\sin t\cos t\!+\!t^2\sin^2 t\big) \!+\!\big(\sin^2t\!+\!2 t\sin t\cos t \!+\!t^2\cos^2 t\big)\!+\!1}\\ &=\sqrt{2+t^2} \end{align*}\]
Наша мета, викладена на початку цього прикладу, полягала в тому, щоб обчислити
\[ s(\sqrt{2})-s(0)= \int_{0}^{\sqrt{2}} \big|\vecs{r} '(t)\big|\,\text{d}t = \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2+t^2}\,\text{d}t \nonumber \]
Щоб оцінити інтеграл, ми будемо використовувати три методи, які ви дізналися в першому курсі інтегрального обчислення. По-перше, мотивовано\(\sqrt{2+t^2}\text{,}\) ми будемо використовувати тригонометричну заміну
\[ t=\sqrt{2}\tan u\qquad \text{d}t =\sqrt{2}\sec^2 u\,\text{d}u\qquad 2+t^2=2\big[1+\tan^2u\big]=2\sec^2 u \nonumber \]
Коли\(t=0\text{,}\)\(u=0\) і коли\(t=\sqrt{2}\text{,}\)\(\tan u=1\) так, що\(u=\frac{\pi}{4}\) і
\[\begin{align*} s(\sqrt{2})-s(0)&= \int_{0}^{\pi/4} \sqrt{2\sec^2u}\,\sqrt{2}\sec^2 u\,\text{d}u = 2\int_{0}^{\pi/4} \sec^3 u\,\text{d}u \end{align*}\]
Можливо, ви оцінили цей інтеграл в перший рік. Існує кілька способів зробити це. Мабуть, найбільш прямий, але і найнудніший, метод полягає в тому, щоб переписати інтеграл як
\[ s(\sqrt{2})-s(0)= 2\int_{0}^{\pi/4} \frac{\cos u}{\cos^4 u}\,\text{d}u \nonumber \]
Ми визнаємо, що це тригонометричний інтеграл, який містить непарну потужність,\(\cos u\text{,}\) тому ми підставляємо\(w=\sin u\text{,}\)\(\text{d}w=\cos u\,\text{d}u\text{,}\)\(\cos^2 u= 1-w^2\text{.}\) Коли\(u=0\text{,}\)\(w=0\) і коли\(u=\frac{\pi}{4}\text{,}\)\(w=\frac{1}{\sqrt{2}}\) так, що
\[ s(\sqrt{2})-s(0)= 2\int_{0}^{1/\sqrt{2}} \frac{\text{d}w}{{(1-w^2)}^2} \nonumber \]
Ціле число тепер є раціональною функцією, тобто співвідношенням многочленів. Так ми застосовуємо часткові дроби.
\ почати {вирівнювати*}
s (\ sqrt {2}) -s (0)
&= 2\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}\ frac {\ mathrm {d} {w}} {[(1-w) (1+w)] ^2}\\
&=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1\ sqrt {2}}
\ Великий [\ frac {1} {1-w} +\ frac {1} {1+w}\ Великий] ^2\ mathrm {d} {w}\\
&=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}
\ Великий [\ frac {1} {(1-w) ^2} +\ розрив {2} {(1-w) (1+w)} +\ розрив {1} {(1+w) ^2}\ Великий]
\ mathrm {d} {w}\\
&=\ frac {1} {2}\ int_ {0} ^ {1/\ sqrt {2}
\ Великий [\ розрив {1} {(1-w) ^2} +\ розрив {1} {1-w} +\ розриву {1} {1+w}
+\ гідророзриву {1} {(1+w) ^2}\ Великий]\ mathrm {d} {w}\\
&= \ розрив {1} {2}
\ Великий [\ гідророзрив {1} {1-w} -\ ln|1-w|+\ ln|1+w|
-\ гідророзриву {1} {1+w}\ Великий] _ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}\\
&=\ розрив {1} {2}
\ Великий [\ frac {2w} {1-w} 2} +\ ln\ frac {1+w} {1-w}\ великий] _ {0} ^ {1/\ sqrt {2}}
=\ розрив {1} {2}
\ великий [2\ sqrt {2} +\ ln\ frac {\ sqrt {2} +1 } {\ sqrt {2} -1}\ Великий]\\
&\ приблизно 2.2956
\ кінець {вирівнювати*}
Ооооо!
Вправи
Етап 1
Питання 1.1.1.1 через 1.1.1.5 забезпечують практику параметризації кривої. Зручність з алгеброю та інтерпретація цих описів є важливими інгредієнтами ефективної роботи з параметризаціями.
Знайти задану параметризацію частини першого квадранта кола\(x^2+y^2=a^2\text{.}\)
- З точки зору\(y\) координат.
- За кутом між дотичною лінією і додатною\(x\) -віссю.
- У перерахунку на довжину дуги від\((0,a)\text{.}\)
Розглянемо наступну параметризовану за часом криву:
\[ \vecs{r} (t)=\left( \cos\left(\frac{\pi}{4}t\right), (t-5)^2\right) \nonumber \]
Перерахуйте три пункти\((-1/\sqrt{2},0)\text{,}\)\((1,25)\text{,}\) і\((0,25)\) в хронологічному порядку.
У яких точках на\(xy\) -площині крива\((\sin t, t^2)\) перетинається сама? Яка різниця\(t\) між першим перетином кривої через точку, і останнім?
Коло радіуса\(a\) котиться вздовж\(x\) -осі в позитивному напрямку, починаючи з його центру\((a,a)\text{.}\) в У цьому положенні ми відзначаємо найвищу точку на колі Коли коло\(P\text{.}\) рухається,\(P\) рухається разом з ним. \(\theta\)Дозволяти кут, на якому згорнулося коло — див. Схему нижче.
- Дайте положення центру кола як функцію\(\theta\text{.}\)
- Дайте позицію\(P\) як функцію\(\theta\text{.}\)
Крива\(C\) визначається як перетин гіперболоїда
\[ x^2-\frac{1}{4}y^2+3z^2=1 \nonumber \]
і літак
\[ x+y+z=0. \nonumber \]
Коли\(y\) дуже близький до 0, і\(z\) є негативним, знайдіть вираз, що дає з\(z\) точки зору\(y\text{.}\)
Частинка простежує криву в просторі, так що її положення в\(t\) той час
\[ \vecs{r} (t)=e^{-t}\,\hat{\pmb{\imath}}+\frac{1}{t}\,\hat{\pmb{\jmath}}+(t-1)^2(t-3)^2\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
для\(t \gt 0\text{.}\)
Нехай позитивна\(z\) вісь спрямована вертикально вгору, як зазвичай. Коли частинка рухається вгору, а коли рухається вниз? Чи рухається він швидше за часом\(t=1\) або в час?\(t=3\text{?}\)
Нижче наведено графік параметризованої функції\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Let\(s(t)\) - довжина дуги вздовж кривої від\(\vecs{r} (0)\) до\(\vecs{r} (t)\text{.}\)
Вкажіть на графіку\(s(t+h)-s(t)\) і Чи\(\vecs{r} (t+h)-\vecs{r} (t)\text{.}\) є величини скалярами або векторами?
Яка залежність між швидкістю та швидкістю у векторно-значній функції часу?
\(\vecs{r} (t)\)Дозволяти бути векторної функції. Нехай\(\vecs{r} '\text{,}\)\(\vecs{r} ''\), і\(\vecs{r} '''\) позначають\(\dfrac{\mathrm{d}\vecs{r} }{\mathrm{d}t}\text{,}\)\(\frac{\mathrm{d^2} \vecs{r} }{\mathrm{d}{t}^2}\) і\(\frac{\mathrm{d^3} \vecs{r} }{\mathrm{d}{t}^3}\text{,}\) відповідно. Експрес
\[ \dfrac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}\big[ (\vecs{r} \times \vecs{r} ')\cdot\vecs{r} '' \big] \nonumber \]
з точки зору\(\vecs{r} \text{,}\)\(\vecs{r} '\)\(\vecs{r} ''\), і\(\vecs{r} '''\text{.}\) Виберіть правильну відповідь.
- \(\displaystyle (\vecs{r} '\times\vecs{r} '' )\cdot\vecs{r} '''\)
- \(\displaystyle (\vecs{r} '\times\vecs{r} '' )\cdot\vecs{r} + (\vecs{r} \times\vecs{r} ' )\cdot\vecs{r} '''\)
- \(\displaystyle (\vecs{r} \times\vecs{r} ' )\cdot\vecs{r} '''\)
- \(\displaystyle 0\)
- Нічого з перерахованого вище.
Покажіть, що якщо вектори положення та швидкості рухомої частинки завжди перпендикулярні, то шлях частинки лежить на сфері.
Етап 2
Знайти швидкість частинки з заданою функцією положення
\[ \vecs{r} (t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\pmb{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\pmb{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Виберіть правильну відповідь:
- \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big)\)
- \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}}\)
- \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}}\)
- \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big)\)
- \(\displaystyle |\vecs{v} (t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)\)
Знайти швидкість, швидкість і прискорення в момент\(t\) частинки, положення якої
\[ \vecs{r} (t)= a \cos t\,\hat{\pmb{\imath}}+a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
Опишіть шлях частинки.
- Нехай
\[ \vecs{r} (t) = \left(t^2 , 3, \tfrac{1}{3} t^3 \right) \nonumber \]
Знайти одиничний дотичний вектор до цієї параметризованої кривої при\(t = 1\text{,}\) вказівці у напрямку збільшення\(t\text{.}\) - Знайти довжину дуги кривої від (a) між точками\((0, 3, 0)\) і\((1, 3, -\frac{1}{3})\text{.}\)
Використовуючи Lemma 1.1.4, знайдіть довжину дуги\(\vecs{r} (t)=\left(t,\sqrt{\frac{3}{2}}t^2,t^3\right)\) від\(t=0\) до\(t=1\text{.}\)
Знайти довжину параметричної кривої
\[ x=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt \nonumber \]
між\(t=0\) і\(t=T \gt 0\text{.}\)
Позиція частинки в часі\(t\) задається\(\vecs{r} (t)=(t+\sin t, \cos t)\) 7. Яка величина прискорення частинки в часі\(t\text{?}\)
Крива в\(\mathbb{R}^3\) задається векторним рівнянням\(\vecs{r} (t) = \left(2t \cos t, 2t \sin t,\frac{t^3}{3}\right)\)
- Знайти довжину кривої між\(t = 0\) і\(t = 2\text{.}\)
- Знайти параметричні рівняння дотичної лінії до кривої при\(t = \pi\text{.}\)
\(\vecs{r} (t) = \big(3 \cos t, 3 \sin t, 4t\big)\)Дозволяти вектор положення частинки як функція часу\(t \ge 0\text{.}\)
- Знайти швидкість частинки в залежності від часу\(t\text{.}\)
- Знайдіть довжину дуги її шляху між\(t = 1\) і\(t = 2\text{.}\)
Площина\(\ z=2x+3y\ \) перетинає циліндр\(\ x^2+y^2=9\ \) в еліпсі.
- Знайдіть параметризацію еліпса.
- Висловіть окружність цього еліпса як інтеграл. Не потрібно оцінювати інтеграл 8.
Розглянемо криву
\[ \vecs{r} (t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\pmb{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\pmb{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
- Обчислити довжину дуги кривої від\(t = 0\) до\(t = \frac{\pi}{2}\text{.}\)
- Обчислити довжину дуги кривої від\(t = 0\) до\(t = \pi\text{.}\)
Дозвольте\(\vecs{r} (t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big)\text{,}\)\(t\ge 0\text{.}\) обчислювати\(s(t\)), довжина дуги кривої в той час\(t\text{.}\)
Знайти довжину дуги кривої\(\vecs{r} (t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big)\) для\(0 \le a \le t \le b\text{,}\) і де\(m \gt 0\text{.}\) виражати результат у терміні\(m\text{,}\)\(a\text{,}\) і\(b\text{.}\)
\(C\)Дозволяти частина кривої перетину параболічного циліндра\(x = y^2\) і гіперболічного параболоїда\(3z = 2xy\) з\(y\ge 0\text{.}\)
- Напишіть векторне параметричне рівняння для\(C\) використання в\(x\) якості параметра.
- Знайти довжину частини\(C\) між початком і точкою\((9, 3, 18)\text{.}\)
- Частинка рухається уздовж\(C\) в тому напрямку, для\(x\) якого збільшується. Якщо частинка рухається з постійною швидкістю 9, знайдіть її вектор швидкості, коли вона знаходиться в точці\((1, 1, \frac{2}{3})\text{.}\)
- Знайти вектор прискорення частки (c), коли вона знаходиться в точці\((1, 1, \frac{2}{3})\text{.}\)
Якщо частинка має постійне\(m\text{,}\) положення маси\(\vecs{r} \text{,}\) і рухається зі швидкістю,\(\vecs{v} \text{,}\) то її кутовий момент\(\textbf{L}=m(\vecs{r} \times\vecs{v} )\text{.}\)
Для частинки з масою\(m=1\) і позицією функції\(\vecs{r} =(\sin t, \cos t, t)\text{,}\) знайти\(\left|\dfrac{d\textbf{L}}{dt} \right|\text{.}\)
Етап 3
Частка рухається по\(\mathcal{C}\) кривій перетину поверхонь\(z^2=12y\) і\(18x=yz\) в напрямку вгору. Коли частка знаходиться на\((1,3,6)\) своїй швидкості\(\vecs{v} \) і прискорення\(\textbf{a}\) задаються
\[ \vecs{v} =6\,\hat{\pmb{\imath}}+12\,\hat{\pmb{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}}\qquad \textbf{a} = 27\,\hat{\pmb{\imath}}+30\,\hat{\pmb{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]
- Напишіть векторне параметричне рівняння для\(\mathcal{C}\) використання в\(u=\frac{z}{6}\) якості параметра.
- Знайти довжину\(\mathcal{C}\) від\((0,0,0)\) до\((1,3,6)\text{.}\)
- Якщо\(u=u(t)\) є значенням параметра для позиції частинки в момент часу,\(t\text{,}\) знайдіть,\(\dfrac{du}{dt}\) коли частка знаходиться в\((1,3,6)\text{.}\)
- Знайти,\(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}t^{2}}\) коли частка знаходиться в\((1,3,6)\text{.}\)
Частинка маси\(m = 1\) має положення\(\vecs{r} _0 = \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\) і швидкість\(\vecs{v} _0 =\frac{\pi^2}{2}\,\hat{\pmb{\imath}}\) в той час\(0\text{.}\) Вона рухається під силою
\[ \vecs{F} (t) = -3t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} + 2e^{2t}\,\hat{\mathbf{k}}. \nonumber \]
- Визначаємо\(\vecs{r} (t)\) положення частинки в залежності від\(t\text{.}\)
- У який час за часом\(t = 0\) частка вперше перетинає площину\(x = 0\)?
- Яка швидкість частинки, коли вона перетинає площину\(x = 0\) в частині (b)?
\(C\)Дозволяти крива перетину поверхонь\(y=x^2\) і\(z=\frac{2}{3}x^3\text{.}\) частинка рухається разом\(C\) з постійною швидкістю така, що\(\dfrac{dx}{dt} \gt 0\text{.}\) частинка знаходиться\((0,0,0)\) в той час\(t=0\) і знаходиться в\((3,9,18)\) той час\(t=\frac{7}{2}\text{.}\)
- Знайти довжину частини\(C\) між\((0,0,0)\) і\((3,9,18)\text{.}\)
- Знайдіть постійну швидкість частинки.
- Знайти швидкість частинки, коли вона знаходиться на\(\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}\)
- Знайти прискорення частинки, коли вона знаходиться на\(\big(1,1,\frac{2}{3}\big)\text{.}\)
Камера, встановлена на стовпі, може обертатися по повному колу. Він відстежує об'єкт, положення якого в\(t\) секундах часу знаходиться в\(x(t)\) метрах на схід від полюса та\(y(t)\) метрах на північ від полюса.
Для того, щоб завжди вказувати безпосередньо на об'єкт, наскільки швидко камера повинна бути запрограмована на поворот в часі\(t\text{?}\) (Дайте свою відповідь в терміні\(x(t)\)\(y(t)\) та їх похідних, в одиницях рад/сек.)
Труба радіусом 3 слідує шляху кривої\(\vecs{r} (t)=(\frac{2\sqrt2}{3}t^{3/2} , \frac12t^2 , t+2)\text{,}\) для\(0 \le t \le 10\text{.}\)
Який обсяг всередині труби? Яка площа поверхні труби?
Дріт загальною довжиною 1000см формується в гнучку котушку, яка являє собою кругову спіраль. Якщо на кожен сантиметр висоти припадає 10 витків і радіус спіралі дорівнює 3 см, наскільки висока котушка?
Снаряд, що падає під впливом сили тяжіння і уповільнений повітряним опором, пропорційним його швидкості, має положення, що задовольняє
\[ \frac{\mathrm{d}^{2}\textbf{r}}{\mathrm{d}t^{2}}=-g\hat{\mathbf{k}}-\alpha\dfrac{d\vecs{r} }{dt} \nonumber \]
де\(\alpha\) позитивна константа. Якщо\(\vecs{r} =\vecs{r} _0\) і\(\dfrac{d\vecs{r} }{dt}=\vecs{v} _0\) вчасно\(t=0\text{,}\) знаходять\(\vecs{r} (t)\text{.}\)
- Ви можете здогадатися, що\(\Theta\) це велика грецька тета. Ти б мав рацію.
- Найдавніші відомі письмові наближення\(\pi\text{,}\) в Єгипті та Вавилоні датуються 1900—1600 роками до н.е. Перший записаний алгоритм суворої оцінки\(\pi\) був розроблений Архімедом приблизно в 250 році до н.е. Перше використання символу\(\pi\text{,}\) для співвідношення між окружністю кола і його діаметром, в друку було в 1706 році Вільямом Джонсом.
- Це пропозиція 18 у книзі 3 елементів Евкліда. Він був опублікований близько 300 р. До н.е.
- Астроїд не слід плутати з астероїдом, хоча обидва слова походять від грецького слова для зірки.
- Як пішохідний знак.
- Щоб ваша швидкість стрибнула безперервно, ваше прискорення має бути нескінченним, що вимагає нескінченної сили. Можливо, ви не виглядаєте таким здоровим згодом
- Частинка простежує циклоїд - див. Питання 1.1.1.4
- Невизначений інтеграл є одним із класів інтегралів, які називаються еліптичними інтегралами через їх зв'язки з дуговими довжинами еліпсів. Загалом еліптичні інтеграли не можуть бути виражені термінами елементарних функцій. Ви можете легко знайти обговорення еліптичних інтегралів за допомогою вашої улюбленої пошукової системи.