1.5: Збірник кривої формули

Нижче\(\vecs{r} (t)=\big(x(t)\,,\,y(t)\,,\,z(t)\big)\) наведено параметризацію деякої кривої. Вектори\(\hat{\textbf{T}}(t),\ \hat{\textbf{N}}(t),\ \) і\(\\hat{\textbf{B}}\ \) є одиничними дотичними, нормальними і бінормальними векторами, відповідно, в\(\vecs{r} (t)\text{.}\) дотичних векторах точок у напрямку руху (тобто напрямку збільшення\(t\)) і нормального вектора вказує на центр кривизни. Довжина дуги час від часу\(0\)\(t\) позначається\(s(t)\text{.}\)\(\ \hat{\textbf{B}}(t)=\hat{\textbf{T}} (t)\times \hat{\textbf{N}}\ \) Бінормальна перпендикулярна площині, яка найкраще відповідає кривій.\(\vecs{r} (t)\text{.}\) Деякі формули використовують параметризацію довжини дуги, яка позначається\(\vecs{r} (s)\text{.}\)

швидкість	\(\displaystyle \vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)=\dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t)\)
одиничний тангенс вектора	\(\hat{\textbf{T}}(t)=\frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|}\)(загальна параметризація) \(\hat{\textbf{T}}(s)=\dfrac{d\vecs{r} }{ds}(s)\)(параметризація довжини дуги)
прискорення	\(\displaystyle \textbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t) +\kappa(t)\big(\dfrac{ds}{dt}(t)\big)^2\hat{\textbf{N}}(t)\)
швидкість	\(\displaystyle \dfrac{ds}{dt}(t) = |\vecs{v} (t)| = \big|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\big|\)
довжина дуги	\(\displaystyle s(T) = \int_0^T\! \dfrac{ds}{dt}(t)\,\text{d}t = \int_0^T\! \sqrt{x'(t)^2\!+\!y'(t)^2\!+\!z'(t)^2}\,\text{d}t\)
кривизна	\(\kappa(t) = \big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)\big|/\dfrac{ds}{dt}(t) =\displaystyle{ \frac{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}{(\dfrac{ds}{dt}(t))^3} }\) \(\kappa(s) = \big|\dfrac{d\phi}{ds}(s)\big| = \big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)\big|\)
одиничний нормальний вектор	\(\displaystyle \hat{\textbf{N}}(t) = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)/\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}(t)\big| \qquad \hat{\textbf{N}}(s) = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)/\kappa(s)\)
радіус кривизни	\(\displaystyle \rho(t)=\frac{1}{\kappa(t)}\)
центр кривизни	\(\displaystyle \vecs{r} (t)+\rho(t)\hat{\textbf{N}}(t)\)
кручення	\(\displaystyle \displaystyle \tau(t)=\frac{\big(\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)\big) \cdot \dfrac{d\textbf{a}}{dt}(t)} {|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|^2}\)
бінормальний	\(\displaystyle \displaystyle \hat{\textbf{B}}(t)=\hat{\textbf{T}}(t)\times \hat{\textbf{N}}(t)=\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}\)

При параметризації довжини дуги (тобто якщо\(t=s\)) ми маємо\(\hat{\textbf{T}}(s)=\frac{d\vecs{r} }{ds}(s)\) і формули Френе-Серре

\[\begin{align*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\kappa(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{N}}}{ds}(s)&=\phantom{-}\tau(s)\ \hat{\textbf{B}}(s)-\kappa(s)\ \hat{\textbf{T}} (s)\cr \dfrac{d\hat{\textbf{B}}}{ds}(s)&=-\tau(s)\ \hat{\textbf{N}}(s)\cr \end{align*}\]

який у матричній формі

\[\begin{align*} \dfrac{d}{ds} \left[ \begin{matrix}\hat{\textbf{T}}(s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix} \right] =\left[\begin{matrix} 0 & \kappa(s) & 0 \\ -\kappa(s) & 0 &\tau(s) \\ 0 &-\tau(s) & 0 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix}\hat{\textbf{T}} (s) \\ \hat{\textbf{N}}(s)\\ \hat{\textbf{B}}(s)\end{matrix}\right] \end{align*}\]

Коли крива повністю лежить в\(xy\) -площині, кривизна задається

\[\begin{gather*} \kappa(t) =\frac{\big| \dfrac{dx}{dt}(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(t)-\dfrac{dy}{dt}(t)\ \frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \big|}{\Big[\big(\dfrac{dx}{dt}(t)\big)^2 +\big(\dfrac{dy}{dt}(t)\big)^2\Big]^{3/2}} \end{gather*}\]

Коли крива повністю лежить в\(xy\) -площині, а\(y\) -координата задається як функція,\(y(x)\text{,}\)\(x\) -координата, кривизна є

\[\begin{gather*} \kappa(x) =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(x)\big|} {\Big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} \end{gather*}\]

Зверніть увагу, що це випливає з попередньої формули, оскільки\(\dfrac{dx}{dx}=1\) і\(\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}x^{2}}=0\text{.}\)