1.7: ковзання по кривій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 60865

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми будемо досліджувати рух частинки маси, що$m$ ковзає по плавній кривій без тертя ¹, яка лежить у вертикальній площині. Ми розглянемо три сценарії розвитку подій:

По-перше, щоб налаштувати речі, ми розглянемо намистину, що ковзає на жорсткому дроті.
Тоді ми уявимо, що їдемо на лижах прямо під гору і запитаємо «Де на пагорбі ми можемо стати повітряними?».
Тоді ми уявимо, що ми катаємося на скейтборді в водопропускній трубі (великій трубі) і запитаємо «Коли це безпечно?».

Розсувні намистини

Спочатку розглянемо кульку маси,$m$ яка ковзає, без тертя, на жорсткій дроті. Згідно із законом руху Ньютона

\[ m\textbf{a} = \vecs{F} \nonumber \]

де$\vecs{F} $ - чиста сила, що прикладається до намистини. Намистина підпорядковується двом силам. The Гравітаційна сила є$-mg\hat{\pmb{\jmath}}\text{.}$ За визначенням відсутність тертя означає, що провід не застосовує жодної сили, яка знаходиться в напрямку дотичної до дроту. Але, оскільки він жорсткий, дріт ніколи не змінює форму і замість цього застосовує лише потрібну кількість сили, у напрямку, нормальному для дроту, що потрібно, щоб тримати кульку на дроті ², не згинаючи дріт. Назвіть це нормальною силою$W\hat{\textbf{N}}\text{.}$

$wireC.svg$

Отже, за законом Ньютона,

\[\begin{gather*} m\,\textbf{a}=-mg\,\hat{\pmb{\jmath}}+W\,\hat{\textbf{N}} \end{gather*}\]

Ми проаналізуємо це рівняння, розділивши його на тангенціальні та нормальні компоненти.

Щоб витягти тангенціальну складову закону Ньютона, розставимо крапки над ним,$\vecs{v} =|\vecs{v} |\hat{\textbf{T}} \text{.}$ оскільки$\hat{\textbf{T}} \cdot\hat{\textbf{N}}=0$ це вбиває всі нормальні компоненти.

\[\begin{align*} m\vecs{v} \cdot\dfrac{d\vecs{v} }{dt} &=-mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} +W\hat{\textbf{N}}\cdot\vecs{v} \\ \frac{1}{2}m\dfrac{d\ }{dt}(\vecs{v} \cdot\vecs{v} )&=-mg\dfrac{dy}{dt} \end{align*}\]

Тут ми використали

Теорема 1.1.3.c на лівій стороні і
що$\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\vecs{v} $ є лише$y$ складовою$\vecs{v} $ і
що$\hat{\textbf{N}}$ і$\vecs{v} =|\vecs{v} |\hat{\textbf{T}} $ перпендикулярні.

Переміщення всього в ліву частину рівняння дає

\[\begin{align*} \dfrac{d\ }{dt}\left(\frac{1}{2}m|\vecs{v} |^2+mgy\right)&=0 \end{align*}\]

і робимо висновок, що кількість

Рівняння 1.7.1. Збереження енергії

\[ E=\frac{1}{2}m|\vecs{v} |^2+mgy \nonumber \]

є постійним, незалежним від часу. Це, звичайно ж, принцип збереження енергії. Він визначає швидкість$|\vecs{v} |=\sqrt{\frac{2E}{m}-2gy}$ бісеру як функцію висоти$y$ (так і енергії,$E\text{,}$ яка визначається початковими умовами).

Щоб витягти нормальну складову закону Ньютона, розставимо її крапками$\hat{\textbf{N}}\text{:}$

\[ m\textbf{a}\cdot \hat{\textbf{N}}=-mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}}+W \nonumber \]

Так як

\[ \textbf{a}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}=\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\,\hat{\textbf{T}}+\kappa|\vecs{v} |^2\hat{\textbf{N}}\nonumber \]

і$\hat{\textbf{T}}$ і$\hat{\textbf{N}}$ перпендикулярні, це дає, після невеликої перестановки,

Рівняння 1.7.2. Нормальна сила

\[ W=m\kappa|\vecs{v} |^2+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} =2\kappa(E-mgy)+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \nonumber \]

Лижник

Різниця між намистиною на дроті та лижником на пагорбі полягає в тому, що, хоча пагорб здатний застосовувати висхідну нормальну силу (тобто вона може підштовхнути вас вгору, щоб утримати вас від падіння до центру Землі), вона не здатна застосувати нормальну силу вниз. Тобто пагорб не може спуститися на вас, щоб тримати вас на пагорбі. Тільки гравітація може тримати вас заземленим. Є дві основні можливості ³.

$wireD.svg$ $wireU.svg$

Якщо пагорб увігнутий вниз, як на малюнку зліва вгорі, то$\hat{\textbf{N}}$ точки вниз і височини допускається мати$W\le 0$ (що відповідає нормальній силі$W\hat{\textbf{N}}$ штовхає вгору). Якщо коли-небудь$W \gt 0\text{,}$ пагорб доведеться тягнути на вас, щоб тримати вас на пагорбі. Це не може, тому ви стаєте повітряно-крапельним. Так як$\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \lt 0\text{,}$ це відбувається всякий раз
\[\begin{align*} W \gt 0 &\iff m\kappa|\vecs{v} |^2+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \gt 0 \iff |\vecs{v} | \gt \sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}}|} \end{align*}\]
Якщо пагорб увігнутий вгору, як на малюнку праворуч вгорі, то$\hat{\textbf{N}}$ точки вгору і височини допускається мати$W\ge 0$ (що відповідає нормальній силі$W\hat{\textbf{N}}$ штовхає вгору). Так як у$\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \gt 0$ нас завжди$W=m\kappa|\vecs{v} |^2+mg\hat{\pmb{\jmath}}\cdot \hat{\textbf{N}} \gt 0\text{.}$ Ви ніколи не стаєте повітряно-крапельним шляхом. З іншого боку, коліна можуть скаржитися.

Скейт-бордер

Поки що рівняння 1.7.1 і 1.7.2 застосовуються до будь-якого жорсткого «дроту» без тертя. Тепер ми спеціалізуємося на особливому випадку скейтбордиста всередині кругової водопропускної труби радіусу$a\text{.}$ Давайте покладемо нижню частину кола на початку,$(0,0)\text{,}$ так що центр кола знаходиться в$(0,a)\text{.}$

$circleC2.svg$

У цьому випадку кривизна$\ \kappa=\frac{1}{a}\ $ і$\hat{\pmb{\jmath}}\cdot\hat{\textbf{N}}=\cos \phi=\frac{a-y}{a}$ так 1.7.1 і 1.7.2 спростити

\[\begin{align*} |\vecs{v} |&=\sqrt{\frac{2}{m}(E-mgy)}=\sqrt{2g\Big(\frac{E}{mg}-y\Big)}\\ W&=\frac{2}{a}(E-mgy)+\frac{mg}{a}(a-y) =\frac{3mg}{a}\Big(\frac{2}{3mg}E+\frac{a}{3}-y\Big) \end{align*}\]

Уявіть собі тепер, коли ви починаєте в нижній частині водопропускної труби, тобто$y=0\text{,}$ з енергією$E \gt 0\text{.}$ У міру просування часу$y$ збільшується і, отже,$|\vecs{v} |$ і$W$ обидва зменшуються, як, звичайно, повинні. Це триває до тих пір, поки не відбудеться одна з наступних трьох речей.

$|\vecs{v} |$хіти 0, в цьому випадку ви перестаєте підніматися і починаєте знижуватися. Швидкість$|\vecs{v} |$ дорівнює нулю, коли$y=y_S=\frac{E}{mg}\text{.}$ (індекс «$S$» означає «стоп».) Фізики кажуть, що коли ви досягнете,$y_S$ вся ваша кінетична енергія ($\frac{1}{2}m|\vecs{v} |^2$) була перетворена в потенційну енергію ($mgy$).
$W$потрапляє нуль. Коли ви отримуєте вище цього,$W$ стає негативним, і водопропускної труби доведеться тягнути на вас, щоб тримати ноги на водопропускній трубі. Оскільки водопропускна труба може тільки штовхнути на вас, ви стаєте повітряно-крапельним. Нормальна сила$W$ дорівнює нулю, коли$y=y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}\text{.}$ (індекс «$A$» розшифровується як «повітряно-десантний».)
$y$хіти$2a\text{.}$ Це вершина водопропускної труби. Ви спускаєтеся на іншу сторону.

Який випадок насправді відбувається визначається відносними розмірами$y_S,\ y_A$ і$2a\text{.}$

Порівнюючи,$y_S=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{1}{3}\frac{E}{mg}$ і$y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}\text{,}$ ми бачимо, що$y_S\le y_A\iff \frac{E}{mg}\le a \text{.}$
Порівнюючи,$y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}$ і$a=\frac{2}{3}a+\frac{a}{3}\text{,}$ ми бачимо, що$y_A\le a\iff \frac{E}{mg}\le a\text{.}$
Порівнюючи,$y_A=\frac{2}{3}\frac{E}{mg}+\frac{a}{3}$ і$2a=\frac{5}{3}a+\frac{a}{3}\text{,}$ ми бачимо, що$y_A\le 2a\iff \frac{E}{mg}\le \frac{5}{2}a\text{.}$

Отже, висновки такі:

Якщо$\ {\bf 0\le\frac{E}{mg}\le a}\ $ тоді$\ 0\le y_S\le y_A\le a\ \text{.}$ У цьому випадку ви просто коливаєтеся між висотами 0 і$y_S\le a$ в нижній половині водопропускної труби, як на малюнку зліва нижче.
Якщо$\ {\bf a\le\frac{E}{mg}\le \frac{5}{2}a}\ $ тоді$\ a\le y_A\le y_S,2a\ \text{.}$ в цьому випадку ви зробите його більш ніж на половину шляху до верху. Але ви стаєте повітряно-крапельним, на$y=y_A$ якому знаходиться десь між позначкою половини шляху$y=a$ і вершиною$y=2a\text{.}$ У цей момент наша модель виходить з ладу, тому що ви більше не контактуєте з водопропускною трубою. Ви просто вільно дотримуєтесь параболічної дуги, поки не вріжете назад у водопропускну трубу, як на малюнку в центрі нижче.
Якщо$\ {\bf \frac{5}{2}a \lt \frac{E}{mg}}\ $ тоді$\ 2a \lt y_A \lt y_S\ \text{.}$ в цьому випадку ви успішно пройдете весь шлях навколо водопропускної труби, зациклюючи петлю, як на малюнку праворуч внизу. Зверніть увагу, що, оскільки для$\frac{E}{mg} \gt \frac{5}{2}a \gt 2a\text{,}$ цього потрібно значно більше енергії, ніж потрібна для досягнення вершини, тобто для досягнення висоти$2a\text{.}$

$skateA.svg$ $skateB.svg$ $skateC.svg$

Вправи

Етап 1

Ви можете припустити, що прискорення через гравітацію дорівнює$g=9.8$ м/с.$^2\text{.}$ Ви також можете припустити, що описані системи функціонують так, як вони роблять у книзі: тому треки не тертя тощо, якщо не зазначено інше.

1

На малюнку нижче зображена намистина, що ковзає вниз дротом. Ескізні вектори, що представляють нормальну силу, яку дріт чинить на кульку, і силу тяжіння.

$image-75.svg$

Припустімо, що верхня частина сторінки «прямо вгору».

2

У визначенні$E=\frac12m|\vecs{v} |^2+mgy\text{,}$$\vecs{v} $ є похідною позиції щодо якої величини?

3

Намистина ковзає вниз дріт з формою, показаною нижче,$x \lt 0\text{.}$

$image-78.svg$

Дозвольте$W\hN$ бути нормальною силою, що чиниться дротом, коли кулька знаходиться в положенні$x\text{.}$ Примітка$W \gt 0\text{.}$ Є$\dfrac{dW}{dx}$ позитивним чи негативним?

4

Скейтбордист котиться на тертя, дуже високий параболічний пандус з поперечним перерізом описується з$y=x^2\text{.}$ урахуванням кордону маси$m$ з системною енергією,$E\text{,}$ яка найвища висота досягає фігурист? Як це порівнюється з круговим водопропускним каналом?

Етап 2

5

Скейтбордист масою 100 кг вільно котиться в безфрикційному круговому водопропускному отворі радіусом 5 м Якщо скейтбордист коливається між вертикальними висотами 0 і 3 м, яка енергія$E$ системи?

6

Скейтбордист котиться на тертя кругової водопропускної труби радіусом 5 м Якою має бути їх швидкість, коли вони знаходяться в нижній частині водопропускної труби ($y=0$) для них, щоб зробити це весь шлях навколо?

7

Куля масою 1 кг скочується по доріжці з формою$\vecs{r} (\theta)=(3 \cos \theta, 5\sin\theta, 4+4\cos\theta)$ для$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\text{.}$ координат вимірюються в метрах, а$z$ вісь вертикальна (тому сила, обумовлена гравітацією$-mg\hat{\mathbf{k}}\text{.}$)

Коли$\theta=\pi/4\text{,}$ частинка має миттєву швидкість$|\vecs{v} (t)|=5$ м/с Яка нормальна сила, яку надає трек в той час? Дайте свою відповідь у вигляді вектора.

8

Намистина масою$\frac{1}{9.8}$ кг ковзає вниз дротом у формі кривої$\vecs{r} (\theta)=(\sin \theta , \sin \theta - \theta)\text{,}$$\theta \ge 0\text{,}$ з координатами, виміряними в метрах. Намистина відламає дріт, коли дріт надасть силу 100 Н на намистину.

Якщо намистина відламує дріт,$\theta=\frac{13\pi}{3}\text{,}$ як швидко рухається намистина в цей момент?

9

Лижник ковзає з пагорба. Пагорб можна описати як$\vecs{r} (t)=(\ln t, 1-t)\text{,}$$1/e \le t \le e\text{,}$ з координатами, виміряними в кілометрах. Як швидко лижник повинен рухатися, щоб зловити повітря?

Етап 3

10

За параметризованою довжиною дуги дріт. Бортик$\vecs{r} (s)=(x(s),y(s))\text{.}$, оснащений реактивним пакетом, ковзає вниз по дроту. Реактивний пакет може надавати змінну силу в напрямку, дотичному до дроту,$U\hat{\textbf{T}}\text{.}$ припускаючи, що кулька ковзає з постійною швидкістю$\left|\dfrac{d\vecs{r} }{dt}\right|=c\left| \dfrac{d\vecs{r} }{ds}\right|=c\text{,}$ знайти спрощене рівняння для$U\text{,}$ підписаної величини сили, що чиниться струменевим пакетом.

Нехай прискорення за рахунок сили тяжіння буде$g\text{,}$ і нехай маса кульки з його реактивним пакетом буде$m\text{.}$ Дати$U$ як функцію$s\text{.}$

Зауваження: більшість намистин, які бачив цей автор, не мали реактивних пакетів. Однак при моделюванні системи тертя ⁴ тертя діє як сила, яка прямо протилежна напрямку руху - так само, як і наш реактивний пакет.

11

Снегомашина обережно спускається з гірки на низькій передачі. Його двигун забезпечує силу,$M\hat{\textbf{T}}$ паралельну напрямку руху. Двигун надає будь-яку силу, необхідну для того, щоб снігомашина рухалася з постійною швидкістю,$|\vecs{v} |\text{.}$ його протектори не ковзають.

Дайте формулу для$M$ в перерахунку на масу$m$ снігомашини, прискорення за рахунок сили тяжіння$g\text{,}$ і вектора дотичної$\hat{\textbf{T}}$ до пагорба.
Нехай$\hat{\textbf{T}}$ точка в напрямку спуску. Ви очікуєте$M$ бути позитивним або негативним, як снігомашина рухається вниз?
Знайдіть$M$ для гірки форму$y=1+\cos x$ (вимірюється в метрах) в точці$x=\frac{3\pi}{4}$ для снігомашини масою 200 кг.

12

Скейтбордист котиться вздовж водопропускної труби з еліптичним поперечним перерізом описано

\[ \vecs{r} (\theta)=(4\cos\theta,3(1+\sin\theta)), 0 \le \theta \le 2\pi, \nonumber \]

з координатами, виміряними в метрах.

Дайте висоту$y_S$ (в перерахунку на$m\text{,}$$g\text{,}$ і$E$), де швидкість фігуриста дорівнює нулю.
Напишіть рівняння,$y_A$ що стосується$E\text{,}$$m\text{,}$$g\text{,}$ і$y_A\text{,}$ де$y$ - значення, де фігурист стане повітряним, тобто де$W=0\text{.}$ (Ви не повинні вирішувати$y_A$ явно.)
Припустимо, у фігуриста швидкість 11 м/с на дні водопропускної труби. Що з наступного описує їхню подорож: вони роблять його навколо; вони котяться назад і вперед у нижній половині; або вони роблять його на стелю, то падають?

13

Безфрикційна доріжка для американських гірок має вигляд одного витка кругової спіралі з параметризацією$\ (a\cos\theta,a\sin\theta,b\theta).$. Автомобіль залишає точку, де$\ \theta=2\pi\ $ з нульовою швидкістю і рухається під силою тяжіння до точки, де$\ \theta=0\text{.}$ За законом руху Ньютона визначається положення$\vecs{r} (t)$ автомобіля в момент$t$ підкоряється

\[ m \vecs{r} ''(t) = \hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (t)\big) - mg\hat{\mathbf{k}} \nonumber \]

Ось маса автомобіля,$m$ є постійною,$g$ є сила,$-mg\hat{\mathbf{k}}$ обумовлена гравітацією і$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (t)\big)$ є сила, яку доріжка американських гірок прикладає до автомобіля, щоб утримати машину на трасі. Так як доріжка без тертя,$\hat{\textbf{N}}\big(\vecs{r} (t)\big)$ завжди перпендикулярна$\vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\text{.}$

Доведіть, що$E(t)=\frac{1}{2} m |\vecs{v} (t)|^2 +mg \vecs{r} (t)\cdot\hat{\mathbf{k}}$ це константа, незалежна від$t\text{.}$ (Це називається «збереження енергії».)
Доведіть, що швидкість$|\vecs{v} |$ в точці$\theta$ підкоряється$\ |\vecs{v} |^2=2gb(2\pi-\theta).$
Знайдіть час, необхідний для досягнення$\theta=0\text{.}$

Ми математики — нам подобаються ідеалізовані ситуації.
Ця сила потрібна для того, щоб кулька не пропускала або через дріт, або злітала з дроту.
Ми припускаємо, що ви йдете вниз і що кривизна$\kappa\gt 0\text{.}$
Фрикціонований? Фрикція? Фриктується?