1.3: Кривизна

Поки що, коли ми хотіли наблизити складну криву простою кривою біля якоїсь точки, ми намалювали дотичну лінію до кривої в точці. Це досить сире. Зокрема, дотичні лінії прямі - вони не криві. Ми отримаємо набагато краще уявлення про те, як виглядає складна крива, якщо ми наблизимо її локально дуже простою «кривою», а не прямою лінією. Напевно, найпростіша «крива крива» - це коло ¹ і саме це ми і будемо використовувати.

Визначення 1.3.1

1. Коло, яке найкраще наближає задану криву поблизу заданої точки, називається окружністю кривизни або оскуляційним колом ² у точці.
2. Радіус окружності кривизни називається радіусом кривизни в точці і нормально позначається$\rho\text{.}$
3. Кривизна в точці$\kappa=\frac{1}{\rho}\text{.}$
4. Центр окружності кривизни називається центром кривизни в точці.

Ці визначення проілюстровані на малюнку нижче. Він показує (частина) оскулюючий коло в$P\text{.}$ точці Точка$C$ є центром кривизни.

Зверніть увагу, що коли кривизна$\kappa$ велика, радіус кривизни$\rho$ невеликий і у нас дуже пишна крива. З іншого боку, коли$\kappa$ кривизна мала, радіус кривизни$\rho$ великий, а наша крива майже пряма. Зокрема, прямі мають кривизну рівно нулю.

Ми зараз визначимося з тим, як знайти коло кривизни, починаючи з з'ясування, яким повинен бути її радіус. Спочатку ми розглянемо криві ³, які лежать в$xy$ -площині, а потім перейти до кривих в 3d. Розглянемо чорну криву на малюнку нижче.

Ця фігура також містить (частину) червоного кола, яке дуже добре підходить до кривої між двома радіальними лініями, які є (дуже маленьким) кутом$\text{d}\theta$ один від одного. Отже, довжина$\text{d}s$ дуги частини чорної кривої між двома радіальними лініями повинна бути (по суті) такою ж, як довжина дуги кола між двома радіальними лініями,$\rho\,|\text{d}\theta|\text{,}$ де$\rho$ знаходиться радіус кола. (Ми ставимо абсолютні значення, щоб врахувати можливість, яка$\text{d}\theta$ може бути негативною.) Таким$\text{d}\theta$ чином$\text{d}s = \rho\,|\text{d}\theta|\text{.}$ Коли макроскопічний кут, це, звичайно, наближення. Але в межі, як$\text{d}\theta\rightarrow 0\text{,}$ ми повинні закінчитися

$$\rho = \left|\dfrac{ds}{d\theta}\right| \nonumber$$

Тепер у нас є формула радіуса кривизни, але не в дуже зручній формі, тому що для її оцінки нам потрібно було б знати довжину дуги по кривій як функцію кута на$\theta$ крайньому правому малюнку нижче. Тепер ми витратимо деякий час на розробку більш зручних формул для$\rho\text{.}$ Спочатку розглянемо три цифри нижче. Всі вони показують ту ж криву, що і на останньому малюнку. Крайня ліва цифра якраз показує

• крива інтересу, яка є чорною кривою, і
• (синя) точка інтересу на чорній кривій. Ми хочемо знайти кривизну в цій точці.

Середня цифра показує ту саму криву і точку інтересу, а також показує

• червоне коло кривизни (тобто найкраще підходить коло) для чорної кривої на синій крапці.
• Червона крапка є центром кривизни.

На крайньому правому малюнку показана така ж чорна крива, блакитна точка інтересу і червона окружність кривизни (хоча б її частина) дещо збільшена.

• Кут$\theta$ - це кут між$\hat{\pmb{\imath}}$ і вектором радіуса від червоної точки (центру кривизни) до синьої точки (точки інтересу).
• $\hat{\textbf{T}}$дотичний вектор до чорної кривої на синій крапці.
• Кут$\phi$ - це кут між$\hat{\pmb{\imath}}$ і$\hat{\textbf{T}} \text{.}$$\hat{\textbf{T}}$ Вектор також дотичний до червоного кола. Оскільки тангенс і радіус вектори для кіл перпендикулярні один одному ⁴, у нас є що$\phi=\theta+\frac{\pi}{2}$ і, отже,$\rho = \big|\dfrac{ds}{d\phi}\big|$ теж.

Зараз ми в змозі розробити купу формул для радіуса кривизни$\rho$ і кривизни$\kappa=\frac{1}{\rho}\text{,}$, які є більш зручними, ніж$\kappa = \big|\dfrac{ds}{d\phi}\big|^{-1}\text{.}$ Ці формули будуть використовувати

Визначення 1.3.2

Якщо$\vecs{r} (t)$ параметризована крива, то

• $\vecs{v} (t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)$вектор швидкості при$\vecs{r} (t)$
• $\textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t)$вектор прискорення при$\vecs{r} (t)$
• $\hat{\textbf{T}}(t)$є одиничним дотичним вектором до кривої в$\vecs{r} (t)$ цих точках у напрямку збільшення$t\text{.}$
• $\hat{\textbf{N}}(t)$це одиничний вектор нормалі до кривої в$\vecs{r} (t)$ цих точках до центру кривизни.
• $\kappa (t)$це викривлення при$\vecs{r} (t)$
• $\rho(t)$радіус кривизни при$\vecs{r} (t)$

Теорема 1.3.3

1. Задано ⁵,$s(\phi)\text{,}$ тобто якщо ми знаємо довжину дуги вздовж кривої як функцію кута ⁶,$\phi=\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}} )\text{,}$ то

   $$\rho = \left|\dfrac{ds}{d\phi}\right|\qquad \kappa = \left|\dfrac{ds}{d\phi}\right|^{-1}\qquad \kappa = \left|\dfrac{d\phi}{ds}\right| \nonumber$$

2. Задано,$\vecs{r} (s)\text{,}$ тобто якщо ми маємо параметризацію кривої через довжину дуги, то

   $$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s) = \kappa(s)\,\hat{\textbf{N}}(s) \nonumber$$

   де$\hat{\textbf{N}}(s)$ - одиничний вектор нормалі до кривої в$\vecs{r} (s)$ цих точках до центру кривизни.
3. Задано$\vecs{r} (t)\text{,}$ тобто якщо ми маємо загальну параметризовану криву, то

   $$\begin{gather*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt} = \kappa \dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{N}}\qquad \vecs{v} (t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}} (t) \qquad \textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \kappa\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2\hat{\textbf{N}} \end{gather*}$$

4. Задано$\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\text{,}$ (для кривих у$xy$ -площині)

   $$\kappa = \left|\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right| =\frac{\big|\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber$$

5. Задано$y(x)\text{,}$ (знову ж таки для кривих у$xy$ -площині)

   $$\kappa =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\big|} { {\big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber$$

Доказ

(а) Враховуючи$s(\phi)\text{,}$ тоді

$$\rho = \Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big|\qquad \kappa = \Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big|^{-1} \nonumber$$

Як ми припускаємо, що$0 \lt \rho=\Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big| \lt \infty\text{,}$ обернена теорема функції говорить, що ми можемо інвертувати функцію$s(\phi)$ (принаймні локально), щоб отримати$\phi$ як функцію$s\text{,}$ і що

$$\kappa = \Big|\dfrac{d\phi}{ds}\Big| \nonumber$$

(b) Враховуючи$\vecs{r} (s)\text{,}$ тоді, Лема 1.1.4.c,$\hat{\textbf{T}}(s) = \vecs{r} '(s)$ є одиницею дотичної до кривої в$\vecs{r} (s)$ і

$$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi} \dfrac{d\phi}{ds} \tag{$*$} \nonumber$$

Тепер до знака$\dfrac{d\phi}{ds}$ є$\kappa\text{,}$ і просто тому, що$\phi=\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}})\text{,}$ з$\hat{\textbf{T}}$ одиничним вектором,

$$\begin{split} \hat{\textbf{T}} &=\cos\phi\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin\phi\,\hat{\pmb{\jmath}} \\ \implies \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}&= -\sin\phi\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos\phi\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{split} \tag{$**$} \nonumber$$

Так$\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}$ є одиничний вектор, який перпендикулярний ⁷ до$\hat{\textbf{T}}\text{,}$ і, отже, до кривої в$\vecs{r} (s)\text{,}$ і

$$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s) = \kappa(s)\,\hat{\textbf{N}}(s) \tag{$\dagger$} \nonumber$$

з$\hat{\textbf{N}}(s)$ одиничним вектором нормалі до кривої$\vecs{r} (s)\text{.}$ в Фактично,$\hat{\textbf{N}}(s)$ це одиничний нормальний вектор до кривої в$\vecs{r} (s)$ цих точках до центру кривизни.

Щоб побачити це, подивіться на цифри нижче ⁸, і зверніть увагу, що підставляючи інформацію про знак з кожної цифри в ($*$) дає ($\dagger$). Наприклад,

розглянемо цифру зліва внизу. На цьому малюнку

• $x$компонент$\hat{\textbf{T}}$ є негативним ($\hat{\textbf{T}}$ліворуч вказує на малюнку),
  • що робить$\cos\phi$ негативним (див. ($**$)),
  • що робить$y$ компонент$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}$ негативним (див. ($**$) знову),
  • так$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}$ і спрямований вниз,

  так$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}=-\hat{\textbf{N}}$ (центр кривизни - червона точка над кривою) і

• як$s$ збільшується (тобто при русі в напрямку стрілки на кривій),$\phi$ зменшується (на крайній правій частині кривої в$\phi\approx\frac{3\pi}{2}\text{,}$ той час як на крайній лівій частині кривої$\phi\approx\pi$), так$\dfrac{d\phi}{ds} \lt 0$ і$\kappa = \big|\dfrac{d\phi}{ds}\big| = - \dfrac{d\phi}{ds}\text{.}$
• Отже, по ($*$),$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi} \dfrac{d\phi}{ds} =\big(-\hat{\textbf{N}})(-\kappa) = \kappa\hat{\textbf{N}}\text{.}$

У кожній з трьох інших фігур ми також закінчуємо$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa(s)\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}$

Зверніть увагу, що якщо$\kappa(s)=0\text{,}$ тоді$\hat{\textbf{N}}(s)$ не визначено. Це має сенс: якщо крива є (локально) прямою лінією, немає «найкращого облягаючого кола».

(c) Задано,$\vecs{r} (t)\text{,}$ тобто якщо у нас є загальна параметризована крива, ми можемо визначити одиничний дотичний вектор за допомогою Lemma 1.1.4:

$$\vecs{v} (t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}} (t) \quad\implies\quad \hat{\textbf{T}} (t) = \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber$$

Тоді ми можемо визначити$\kappa$ і$\hat{\textbf{N}}$ шляхом диференціації$\hat{\textbf{T}} (t)$ та використання правила ланцюга:

$$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\dfrac{ds}{dt} = \kappa \dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{N}} \quad\implies\quad \kappa(t) = \frac{|\hat{\textbf{T}} '(t)|}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber$$

Крім того, якщо ми диференціюємо,$\vecs{v} (t) = \dfrac{ds}{dt}\hat{\textbf{T}} (t)\text{,}$ ми отримаємо, що прискорення

$$\textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}{t} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \dfrac{ds}{dt}\,\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}+ \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}} \nonumber$$

(d) Задано$\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\text{,}$ (для кривих у$xy$ -площині), ми можемо зчитувати кривизну з

$$\begin{align*} \vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t) &=\Big(\dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t)\Big)\times \Big(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\Big)\\ &= \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} \qquad\text{(since }\hat{\textbf{T}} \times\hat{\textbf{T}} =\vecs{0} \end{align*}$$

Подумайте$\hat{\textbf{T}}$ і$\hat{\textbf{N}}$ як 3d вектори, що чиї$z$ -компоненти трапляються нульовими. Як$\hat{\textbf{T}}$ і$\hat{\textbf{N}}$ є взаємно перпендикулярними одиничними векторами в$xy$ -площині, перехресний добуток$\hat{\textbf{T}} \times\hat{\textbf{N}}$ буде$+\hat{\mathbf{k}}$ або або$-\hat{\mathbf{k}}\text{.}$ В обох випадках,$|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)\big| = \kappa\big|\dfrac{ds}{dt}\big|^3\text{.}$ Так

$$\begin{align*} \kappa &= \left|\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right| =\left|\frac{\big[\dfrac{dx}{dt}\hat{\pmb{\imath}}+\dfrac{dy}{dt}\hat{\pmb{\jmath}}\big]\times \big[\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\pmb{\imath}}+\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\pmb{\jmath}}\big]} {\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right|\\ &=\left|\frac{\big[\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big]\hat{\mathbf{k}}} {\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right|\\ &=\frac{\big|\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } \end{align*}$$

(e) Задано$y(x)\text{,}$ знову для кривих у$xy$ -площині, ми можемо параметризувати криву$x$, використовуючи як параметр:

$$\vecs{r} (t) = \big(X(t)\,,\,Y(t)\big) \qquad\text{with $X(t)=t$ and $Y(t) =y(t)$} \nonumber$$

Тоді

$$\dfrac{dX}{dt} = 1 \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}X}{\mathrm{d}t^{2}} = 0 \qquad \dfrac{dY}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} \nonumber$$

і

$$\kappa =\frac{\big|\dfrac{dX}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dY}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}X}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dX}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dY}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber$$

Погляньте ще раз на теорему 1.3.3 і зауважте, що

• тангенціальна складова прискорення, тобто$\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\text{,}$ виникає чисто від зміни швидкості при
• нормальна складова прискорення, тобто$\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^2\text{,}$ виникає через кривизну і пропорційна квадрату швидкості$\dfrac{ds}{dt}\text{.}$ Подумайте про те, що відчуваєте, коли їдете. Саме тому велодроми і (автомобільні) гоночні траси часто мають банальні повороти.

Приклад 1.3.4

Як приклад розминки, а також перевірка того, що наші формули мають сенс, ми знайдемо$\kappa\text{,}$ радіус кривизни кривизни,$\rho\text{,}$ одиничний тангенс вектор,$\hat{\textbf{T}} \text{,}$ одиничний нормальний вектор$\hat{\textbf{N}}\text{,}$ та центр кривизни параметризованої кривої

$$\vecs{r} (t) = a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$$

з$a \gt 0\text{.}$ константою Це, звичайно, коло радіуса,$a$ зосереджене на початку. Як

$$\vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)= -a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \implies \dfrac{ds}{dt}(t) = |\vecs{v} (t)| = a \nonumber$$

ми маємо, що вектор дотичної одиниці

$$\vecs{T} (t) = \frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|} = -\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$$

Зверніть увагу, як перевірка, що це дійсно вектор довжини один і перпендикулярний вектору радіуса (як очікувалося — крива є колом). Як

$$\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)= -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber$$

ми маємо, що

$$\begin{align*} \hat{\textbf{N}}(t) &= \frac{\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)}{\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)\big|} = -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \kappa(t) &= \frac{\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)\big|}{\dfrac{ds}{dt}(t)} =\frac{1}{a}\\ \rho(t)&=\frac{1}{\kappa(t)} =a \end{align*}$$

Тепер подивіться на малюнок.

Щоб дістатися до центру кривизни, ми повинні почати з$\vecs{r} (t)$ і пройти відстань,$\rho(t)\text{,}$ яка врешті-решт є радіусом кривизни, у напрямку,$\hat{\textbf{N}}(T)\text{,}$ який спрямований до центру кривизни. Таким чином, центр кривизни

$$\vecs{r} (t)+\rho(t)\hat{\textbf{N}}(t) =\big[a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] +a\big[-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] = \vecs{0} \nonumber$$

Це має цілком гарний сенс — радіус кривизни є радіусом вихідного кола, а центр кривизни - центр вихідного кола.

Одним з альтернативних варіантів розрахунку кривизни, використовуючи$x(t) = a\cos t \text{,}$$y(t)=a\sin t\text{,}$ є

$$\begin{align*} \kappa(t) &=\frac{\big| \dfrac{dx}{dt}(t)\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(t)-\dfrac{dy}{dt}(t)\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \big|}{\Big[\big(\dfrac{dx}{dt}(t)\big)^2 +\big(\dfrac{dy}{dt}(t)\big)^2\Big]^{3/2}}\\ &=\frac{\big| -a\sin t\big(-a\sin t\big)-a\cos t\big(-a\cos t\big) \big|}{\big[\big(-a\sin t\big)^2 +\big(a\cos t\big)^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{1}{a} \end{align*}$$

Ще один альтернативний розрахунок кривизни, використовуючи$y(x) =\sqrt{a^2-x^2}$ (для частини кола с$y \gt 0$),

$$\begin{align*} y'(x) &= -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{x}{y(x)} \\ y''(x) &= -\frac{y(x) - xy'(x)}{y(x)^2} = -\frac{y(x)^2 + x^2}{y(x)^3} = -\frac{a^2}{y(x)^3} \end{align*}$$

є

$$\begin{align*} \kappa(x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x)\big|} {\Big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\frac{a^2}{y(x)^3}} {\Big[1+\frac{x^2}{y(x)^2}\Big]^{3/2}} =\frac{a^2}{\big[y(x)^2+x^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{1}{a} \end{align*}$$

Приклад 1.3.5

Як більш обчислювальний приклад, ми проаналізуємо

$$\begin{align*} \vecs{r} (t) &= \big(\cos t + t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t-t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}} \qquad t \gt 0\\ \vecs{v} (t) &= t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \textbf{a}(t) &= \big(\cos t - t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t+t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}$$

Ми можемо прочитати з$\vecs{v} (t)\text{,}$ цього

$$\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}(t) &= |\vecs{v} (t)| =t\\ \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}(t) &= 1\\ \vecs{T} (t)&=\frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|} = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}$$

Далі, від$\textbf{a}(t)\text{,}$ ми зачитали, що

\ begin {align*}\ textbf {a} (t) &=\ великий (\ cos t - t\ sin t\ великий)\ капелюх {\ pmb {\ imath}} +\ великий (\ sin t+t\ cos t\ big)\ капелюх {\ pmb {\ jmath}}\ qquad\ текст {і}\\ textbf {a} (t) &= frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t^ {2}} (t)\,\ hat {\ textbf {T}} (t) +\ каппа (t)\ ліворуч (\ dfrac {ds} {dt} (t)\ праворуч) ^2\ hat {\ textbf {N}} (t\)\\ end {вирівнювати*}

(за теоремою 1.3.3 .c)

\ почати {вирівнювати*} &=\ cos t\,\ hat {\ pmb {\ imath}} +\ sin t\,\ hat {\ pmb {\ jmath}} +t^2\ каппа (t)\ hat {\ textbf {N}} (t)\\ означає t^2\ каппа (t)\ hat {\ textbf {N} t) &= - t\ sin t\,\ hat {\ pmb {\ imath}} + т\ cos t\ cos t\,\ hat {\ pmb {\ jmath}}\ end {align*}

так$t^2\kappa(t)$ що довжина$- t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}$ якої є$t\text{.}$ Таким чином

$$\begin{gather*} \kappa(t) = \frac{1}{t} \quad\text{and}\quad \hat{\textbf{N}}(t)= \frac{- t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}}{t^2\kappa(t)} = -\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}$$

В якості альтернативного розрахунку кривизни ми маємо

$$\begin{align*} \kappa(t) &=\frac{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}{(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{\big|\big[t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\times \big[\big(\cos t - t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t+t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}}\big]\big|} {(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{\big|\big[t\cos t\big(\sin t+t\cos t\big) -t\sin t\big(\cos t - t\sin t\big)\big]\hat{\mathbf{k}}\big|} {(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{|t^2\hat{\mathbf{k}}|}{t^3} =\frac{1}{t} \end{align*}$$

Варто подумати, перш ніж розрахувати!

Вправи

Етап 1

У цій главі є багато констант, які можуть бути новими для вас. До них може знадобитися трохи звикання. Питання 1.3.1.1-1.3.1.5 дають практику роботи з цими константами і інтерпретації їх відносин між собою.

1

Намалюйте криву$\vecs{r} (t)=(3\sin t,3\cos t)\text{.}$ У$(0,3)\text{,}$ мітці точки$\hat{\textbf{T}}$ і$\hat{\textbf{N}}\text{.}$ Дайте значення$\kappa$ і$\rho$ в цій точці також.

2

Розглянемо коло$\vecs{r} (t)=(3\sin t,3\cos t)\text{.}$ Знайти$\hat{\textbf{T}}(t)$ і$\hat{\textbf{T}}(s)\text{.}$ Потім, використовувати частини (b) і (c) теореми 1.3.3, щоб знайти$\hat{\textbf{N}}(t)$ і$\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}$

3

Функція$\vecs{r} (t)=(t\cos t, t\sin t)\text{,}$$t \ge 0\text{,}$ визначає спіраль, орієнтовану на початок. Використовуючи тільки геометричну інтуїцію (без розрахунку), прогнозуйте$\displaystyle\lim_{t \to \infty}\kappa(t)\text{.}$

4

Нехай$\vecs{r} (t)=(e^t,3t,\sin t)\text{.}$ Що таке$\dfrac{ds}{dt}\text{?}$

5

У питанні 1.2.1.5 розділу 1.2 ми виявили, що спіраль

$$\vecs{r} (t) = e^t (\cos t, \sin t) \nonumber$$

параметризований в плані довжини дуги

$$\textbf{R}(s)=\frac{s}{\sqrt{2}}\left(\cos\Big(\ln\Big(\frac{s}{\sqrt{2}}\Big)\Big)\,,\, \sin\Big(\ln\Big(\frac{s}{\sqrt{2}}\Big)\Big)\right). \nonumber$$

Знайдіть$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}$ і$\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}$ для цієї кривої.

6

У цій вправі ми уточнюємо сенс, в якому оскулюлюючий коло - це коло, яке найкраще наближає плоску криву в точці.

• Переводячи і обертаючи нашу систему координат, ми завжди можемо організувати, що точка є$(0,0)$ і що крива$y=f(x)$ з$f'(0)=0$ і$f''(0) \gt 0\text{.}$ (Ми припускаємо, що кривизна в точці ненульова.)
• $y=g(x)$Дозволяти бути нижньою половиною кола радіуса$r$, який знаходиться в центрі$(0,r)\text{.}$

Показати, що якщо$f(x)$ і$g(x)$ мають однаковий другий порядок наближення Тейлора,$x=0\text{,}$$r$ то радіус кривизни$y=f(x)$ at$x=0\text{.}$

Етап 2

7

За заданою кривою$\vecs{r} (t)=(e^t,t^2+t)\text{,}$ обчислити такі величини:

1. $\displaystyle \vecs{v} (t)$
2. $\displaystyle \textbf{a}(t)$
3. $\displaystyle \dfrac{ds}{dt}$
4. $\displaystyle \hat{\textbf{T}}(t)$
5. $\displaystyle \kappa(t)$

8

Знайти$\kappa(t)$ кривизну$\vecs{r} (t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)\text{.}$

9

Знайти мінімальне і максимальне значення кривизни еліпса$x(t)= a \cos t\text{,}$$y(t)=b\sin t\text{.}$ Тут$a \gt b \gt 0\text{.}$

10 ✳

1. Знайти кривизну$y=e^x$ at$(0,1)\text{.}$
2. Знайдіть рівняння кола, яке найкраще підходить$y=e^x$ на$(0,1)\text{.}$

11 ✳

Розглянемо рух пальця, що застряг в протекторі шини, яка знаходиться на велосипеді, що рухається з постійною швидкістю. Цей рух задається параметризованою кривою

$$\vecs{r} (t) = \big(t - \sin t\,,\, 1 - \cos t\big) \nonumber$$

з$t \gt 0\text{.}$

1. Намалюйте криву в$xy$ -площині для$0 \lt t \lt 4\pi\text{.}$
2. Знайти і спростити формулу кривизни$\kappa(t)\text{.}$
3. Знайти радіус кривизни оскуляційної окружності до$\vecs{r} (t)$ at$t = \pi\text{.}$
4. Знайти рівняння оскулюючого кола до$\vecs{r} (t)$ at$t = \pi\text{.}$

Етап 3

12

Знайти кривизну$\kappa$ як функцію довжини дуги$s$ (вимірюється від$(0,0)$) для кривої

$$x(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\frac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\frac{1}{2}\pi t^2\big)dt \nonumber$$

13 ✳

$C$Дозволяти крива в$\mathbb{R}^2$ заданій графіком функції$y=\frac{x^3}{3}\text{.}$$\kappa(x)$ Дозволяти кривизну$C$ в точці$(x, x^3/3)\text{.}$ Знайти всі точки, де$\kappa(x)$ досягають своїх максимальних значень, або ж пояснити, чому таких точок не існує. Які межі$\kappa(x)$ як$x \rightarrow \infty$ і$x \rightarrow -\infty\text{?}$

1. Кола хороші для вивчення «кривизни», тому що, на відміну від парабол наприклад, швидкість, з якою окружність крива рівномірна по всьому колу.
2. «Osculare» - латинське дієслово «цілуватися». Німецький математик Готфрід Вільгельм (фон) Лейбніц (1646—1716) назвав коло «circulus osculans».
3. Ми також припустимо, що криві, що цікавлять, плавні, наприклад, без порізів, а не прямі, так що радіус кривизни$0 \lt \rho \lt \infty\text{.}$
4. Ми бачили, що в прикладі 1.1.6.
5. Рівняння$s=s(\phi)$ називається «внутрішнім рівнянням кривої».
6. Позначення$\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}})$ означає «кут між$\hat{\pmb{\imath}}$ і$\hat{\textbf{T}}$».
7. Подумайте, чому так повинно бути. Зокрема, накидайте$\hat{\textbf{T}}$$\phi$ і подумайте про те, про що говорить ескіз.$\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}\text{.}$
8. На кожній з чотирьох фігур стрілка на кривій визначає напрямок збільшення довжини дуги,$s$ а червона крапка - центр кривої у синьої точки.