1.3: Кривизна

Поки що, коли ми хотіли наблизити складну криву простою кривою біля якоїсь точки, ми намалювали дотичну лінію до кривої в точці. Це досить сире. Зокрема, дотичні лінії прямі - вони не криві. Ми отримаємо набагато краще уявлення про те, як виглядає складна крива, якщо ми наблизимо її локально дуже простою «кривою», а не прямою лінією. Напевно, найпростіша «крива крива» - це коло ¹ і саме це ми і будемо використовувати.

Визначення 1.3.1

1. Коло, яке найкраще наближає задану криву поблизу заданої точки, називається окружністю кривизни або оскуляційним колом ² у точці.
2. Радіус окружності кривизни називається радіусом кривизни в точці і нормально позначається\(\rho\text{.}\)
3. Кривизна в точці\(\kappa=\frac{1}{\rho}\text{.}\)
4. Центр окружності кривизни називається центром кривизни в точці.

Ці визначення проілюстровані на малюнку нижче. Він показує (частина) оскулюючий коло в\(P\text{.}\) точці Точка\(C\) є центром кривизни.

Зверніть увагу, що коли кривизна\(\kappa\) велика, радіус кривизни\(\rho\) невеликий і у нас дуже пишна крива. З іншого боку, коли\(\kappa\) кривизна мала, радіус кривизни\(\rho\) великий, а наша крива майже пряма. Зокрема, прямі мають кривизну рівно нулю.

Ми зараз визначимося з тим, як знайти коло кривизни, починаючи з з'ясування, яким повинен бути її радіус. Спочатку ми розглянемо криві ³, які лежать в\(xy\) -площині, а потім перейти до кривих в 3d. Розглянемо чорну криву на малюнку нижче.

Ця фігура також містить (частину) червоного кола, яке дуже добре підходить до кривої між двома радіальними лініями, які є (дуже маленьким) кутом\(\text{d}\theta\) один від одного. Отже, довжина\(\text{d}s\) дуги частини чорної кривої між двома радіальними лініями повинна бути (по суті) такою ж, як довжина дуги кола між двома радіальними лініями,\(\rho\,|\text{d}\theta|\text{,}\) де\(\rho\) знаходиться радіус кола. (Ми ставимо абсолютні значення, щоб врахувати можливість, яка\(\text{d}\theta\) може бути негативною.) Таким\(\text{d}\theta\) чином\(\text{d}s = \rho\,|\text{d}\theta|\text{.}\) Коли макроскопічний кут, це, звичайно, наближення. Але в межі, як\(\text{d}\theta\rightarrow 0\text{,}\) ми повинні закінчитися

\[ \rho = \left|\dfrac{ds}{d\theta}\right| \nonumber \]

Тепер у нас є формула радіуса кривизни, але не в дуже зручній формі, тому що для її оцінки нам потрібно було б знати довжину дуги по кривій як функцію кута на\(\theta\) крайньому правому малюнку нижче. Тепер ми витратимо деякий час на розробку більш зручних формул для\(\rho\text{.}\) Спочатку розглянемо три цифри нижче. Всі вони показують ту ж криву, що і на останньому малюнку. Крайня ліва цифра якраз показує

• крива інтересу, яка є чорною кривою, і
• (синя) точка інтересу на чорній кривій. Ми хочемо знайти кривизну в цій точці.

Середня цифра показує ту саму криву і точку інтересу, а також показує

• червоне коло кривизни (тобто найкраще підходить коло) для чорної кривої на синій крапці.
• Червона крапка є центром кривизни.

На крайньому правому малюнку показана така ж чорна крива, блакитна точка інтересу і червона окружність кривизни (хоча б її частина) дещо збільшена.

• Кут\(\theta\) - це кут між\(\hat{\pmb{\imath}}\) і вектором радіуса від червоної точки (центру кривизни) до синьої точки (точки інтересу).
• \(\hat{\textbf{T}}\)дотичний вектор до чорної кривої на синій крапці.
• Кут\(\phi\) - це кут між\(\hat{\pmb{\imath}}\) і\(\hat{\textbf{T}} \text{.}\)\(\hat{\textbf{T}}\) Вектор також дотичний до червоного кола. Оскільки тангенс і радіус вектори для кіл перпендикулярні один одному ⁴, у нас є що\(\phi=\theta+\frac{\pi}{2}\) і, отже,\(\rho = \big|\dfrac{ds}{d\phi}\big|\) теж.

Зараз ми в змозі розробити купу формул для радіуса кривизни\(\rho\) і кривизни\(\kappa=\frac{1}{\rho}\text{,}\), які є більш зручними, ніж\(\kappa = \big|\dfrac{ds}{d\phi}\big|^{-1}\text{.}\) Ці формули будуть використовувати

Визначення 1.3.2

Якщо\(\vecs{r} (t)\) параметризована крива, то

• \(\vecs{v} (t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)\)вектор швидкості при\(\vecs{r} (t)\)
• \(\textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \)вектор прискорення при\(\vecs{r} (t)\)
• \(\hat{\textbf{T}}(t)\)є одиничним дотичним вектором до кривої в\(\vecs{r} (t)\) цих точках у напрямку збільшення\(t\text{.}\)
• \(\hat{\textbf{N}}(t)\)це одиничний вектор нормалі до кривої в\(\vecs{r} (t)\) цих точках до центру кривизни.
• \(\kappa (t)\)це викривлення при\(\vecs{r} (t)\)
• \(\rho(t)\)радіус кривизни при\(\vecs{r} (t)\)

Теорема 1.3.3

1. Задано ⁵,\(s(\phi)\text{,}\) тобто якщо ми знаємо довжину дуги вздовж кривої як функцію кута ⁶,\(\phi=\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}} )\text{,}\) то

   \[ \rho = \left|\dfrac{ds}{d\phi}\right|\qquad \kappa = \left|\dfrac{ds}{d\phi}\right|^{-1}\qquad \kappa = \left|\dfrac{d\phi}{ds}\right| \nonumber \]

2. Задано,\(\vecs{r} (s)\text{,}\) тобто якщо ми маємо параметризацію кривої через довжину дуги, то

   \[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s) = \kappa(s)\,\hat{\textbf{N}}(s) \nonumber \]

   де\(\hat{\textbf{N}}(s)\) - одиничний вектор нормалі до кривої в\(\vecs{r} (s)\) цих точках до центру кривизни.
3. Задано\(\vecs{r} (t)\text{,}\) тобто якщо ми маємо загальну параметризовану криву, то

   \[\begin{gather*} \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt} = \kappa \dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{N}}\qquad \vecs{v} (t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}} (t) \qquad \textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \kappa\left(\dfrac{ds}{dt}\right)^2\hat{\textbf{N}} \end{gather*}\]

4. Задано\(\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\text{,}\) (для кривих у\(xy\) -площині)

   \[ \kappa = \left|\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right| =\frac{\big|\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber \]

5. Задано\(y(x)\text{,}\) (знову ж таки для кривих у\(xy\) -площині)

   \[ \kappa =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}\big|} { {\big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber \]

Доказ

(а) Враховуючи\(s(\phi)\text{,}\) тоді

\[ \rho = \Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big|\qquad \kappa = \Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big|^{-1} \nonumber \]

Як ми припускаємо, що\(0 \lt \rho=\Big|\dfrac{ds}{d\phi}\Big| \lt \infty\text{,}\) обернена теорема функції говорить, що ми можемо інвертувати функцію\(s(\phi)\) (принаймні локально), щоб отримати\(\phi\) як функцію\(s\text{,}\) і що

\[ \kappa = \Big|\dfrac{d\phi}{ds}\Big| \nonumber \]

(b) Враховуючи\(\vecs{r} (s)\text{,}\) тоді, Лема 1.1.4.c,\(\hat{\textbf{T}}(s) = \vecs{r} '(s)\) є одиницею дотичної до кривої в\(\vecs{r} (s)\) і

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi} \dfrac{d\phi}{ds} \tag{$*$} \nonumber \]

Тепер до знака\(\dfrac{d\phi}{ds}\) є\(\kappa\text{,}\) і просто тому, що\(\phi=\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}})\text{,}\) з\(\hat{\textbf{T}}\) одиничним вектором,

\[ \begin{split} \hat{\textbf{T}} &=\cos\phi\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin\phi\,\hat{\pmb{\jmath}} \\ \implies \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}&= -\sin\phi\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos\phi\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{split} \tag{$**$} \nonumber \]

Так\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}\) є одиничний вектор, який перпендикулярний ⁷ до\(\hat{\textbf{T}}\text{,}\) і, отже, до кривої в\(\vecs{r} (s)\text{,}\) і

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}(s) = \kappa(s)\,\hat{\textbf{N}}(s) \tag{$\dagger$} \nonumber \]

з\(\hat{\textbf{N}}(s)\) одиничним вектором нормалі до кривої\(\vecs{r} (s)\text{.}\) в Фактично,\(\hat{\textbf{N}}(s)\) це одиничний нормальний вектор до кривої в\(\vecs{r} (s)\) цих точках до центру кривизни.

Щоб побачити це, подивіться на цифри нижче ⁸, і зверніть увагу, що підставляючи інформацію про знак з кожної цифри в (\(*\)) дає (\(\dagger\)). Наприклад,

розглянемо цифру зліва внизу. На цьому малюнку

• \(x\)компонент\(\hat{\textbf{T}}\) є негативним (\(\hat{\textbf{T}}\)ліворуч вказує на малюнку),
  • що робить\(\cos\phi\) негативним (див. (\(**\))),
  • що робить\(y\) компонент\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}\) негативним (див. (\(**\)) знову),
  • так\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}\) і спрямований вниз,

  так\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi}=-\hat{\textbf{N}}\) (центр кривизни - червона точка над кривою) і

• як\(s\) збільшується (тобто при русі в напрямку стрілки на кривій),\(\phi\) зменшується (на крайній правій частині кривої в\(\phi\approx\frac{3\pi}{2}\text{,}\) той час як на крайній лівій частині кривої\(\phi\approx\pi\)), так\(\dfrac{d\phi}{ds} \lt 0\) і\(\kappa = \big|\dfrac{d\phi}{ds}\big| = - \dfrac{d\phi}{ds}\text{.}\)
• Отже, по (\(*\)),\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{d\phi} \dfrac{d\phi}{ds} =\big(-\hat{\textbf{N}})(-\kappa) = \kappa\hat{\textbf{N}}\text{.}\)

У кожній з трьох інших фігур ми також закінчуємо\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds} = \kappa(s)\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\)

Зверніть увагу, що якщо\(\kappa(s)=0\text{,}\) тоді\(\hat{\textbf{N}}(s)\) не визначено. Це має сенс: якщо крива є (локально) прямою лінією, немає «найкращого облягаючого кола».

(c) Задано,\(\vecs{r} (t)\text{,}\) тобто якщо у нас є загальна параметризована крива, ми можемо визначити одиничний дотичний вектор за допомогою Lemma 1.1.4:

\[ \vecs{v} (t) = \dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t) = \dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}} (t) \quad\implies\quad \hat{\textbf{T}} (t) = \frac{\vecs{r} '(t)}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber \]

Тоді ми можемо визначити\(\kappa\) і\(\hat{\textbf{N}}\) шляхом диференціації\(\hat{\textbf{T}} (t)\) та використання правила ланцюга:

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} = \dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\dfrac{ds}{dt} = \kappa \dfrac{ds}{dt} \hat{\textbf{N}} \quad\implies\quad \kappa(t) = \frac{|\hat{\textbf{T}} '(t)|}{|\vecs{r} '(t)|} \nonumber \]

Крім того, якщо ми диференціюємо,\(\vecs{v} (t) = \dfrac{ds}{dt}\hat{\textbf{T}} (t)\text{,}\) ми отримаємо, що прискорення

\[ \textbf{a}(t) = \frac{\mathrm{d}^{2}\vecs{r}}{\mathrm{d}t^{2}}{t} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \dfrac{ds}{dt}\,\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt} = \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}}+ \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}} \nonumber \]

(d) Задано\(\big(x(t)\,,\,y(t)\big)\text{,}\) (для кривих у\(xy\) -площині), ми можемо зчитувати кривизну з

\[\begin{align*} \vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t) &=\Big(\dfrac{ds}{dt}(t)\,\hat{\textbf{T}}(t)\Big)\times \Big(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\textbf{T}} + \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^2\hat{\textbf{N}}\Big)\\ &= \kappa\Big(\dfrac{ds}{dt}\Big)^3\hat{\textbf{T}}\times\hat{\textbf{N}} \qquad\text{(since }\hat{\textbf{T}} \times\hat{\textbf{T}} =\vecs{0} \end{align*}\]

Подумайте\(\hat{\textbf{T}} \) і\(\hat{\textbf{N}}\) як 3d вектори, що чиї\(z\) -компоненти трапляються нульовими. Як\(\hat{\textbf{T}} \) і\(\hat{\textbf{N}}\) є взаємно перпендикулярними одиничними векторами в\(xy\) -площині, перехресний добуток\(\hat{\textbf{T}} \times\hat{\textbf{N}}\) буде\(+\hat{\mathbf{k}}\) або або\(-\hat{\mathbf{k}}\text{.}\) В обох випадках,\(|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)\big| = \kappa\big|\dfrac{ds}{dt}\big|^3\text{.}\) Так

\[\begin{align*} \kappa &= \left|\frac{\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)}{\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right| =\left|\frac{\big[\dfrac{dx}{dt}\hat{\pmb{\imath}}+\dfrac{dy}{dt}\hat{\pmb{\jmath}}\big]\times \big[\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\pmb{\imath}}+\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\hat{\pmb{\jmath}}\big]} {\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right|\\ &=\left|\frac{\big[\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big]\hat{\mathbf{k}}} {\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^3}\right|\\ &=\frac{\big|\dfrac{dx}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dy}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dx}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dy}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } \end{align*}\]

(e) Задано\(y(x)\text{,}\) знову для кривих у\(xy\) -площині, ми можемо параметризувати криву\(x\), використовуючи як параметр:

\[ \vecs{r} (t) = \big(X(t)\,,\,Y(t)\big) \qquad\text{with $X(t)=t$ and $Y(t) =y(t)$} \nonumber \]

Тоді

\[ \dfrac{dX}{dt} = 1 \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}X}{\mathrm{d}t^{2}} = 0 \qquad \dfrac{dY}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \qquad \frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}t^{2}} = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}} \nonumber \]

і

\[ \kappa =\frac{\big|\dfrac{dX}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}Y}{\mathrm{d}t^{2}}-\dfrac{dY}{dt}\frac{\mathrm{d}^{2}X}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[\big(\dfrac{dX}{dt}\big)^2+\big(\dfrac{dY}{dt}\big)^2\big]}^{3/2} } =\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}\big|} { {\big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}\big)^2\big]}^{3/2} } \nonumber \]

Погляньте ще раз на теорему 1.3.3 і зауважте, що

• тангенціальна складова прискорення, тобто\(\frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}\text{,}\) виникає чисто від зміни швидкості при
• нормальна складова прискорення, тобто\(\kappa\big(\dfrac{ds}{dt}\big)^2\text{,}\) виникає через кривизну і пропорційна квадрату швидкості\(\dfrac{ds}{dt}\text{.}\) Подумайте про те, що відчуваєте, коли їдете. Саме тому велодроми і (автомобільні) гоночні траси часто мають банальні повороти.

Приклад 1.3.4

Як приклад розминки, а також перевірка того, що наші формули мають сенс, ми знайдемо\(\kappa\text{,}\) радіус кривизни кривизни,\(\rho\text{,}\) одиничний тангенс вектор,\(\hat{\textbf{T}} \text{,}\) одиничний нормальний вектор\(\hat{\textbf{N}}\text{,}\) та центр кривизни параметризованої кривої

\[ \vecs{r} (t) = a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

з\(a \gt 0\text{.}\) константою Це, звичайно, коло радіуса,\(a\) зосереджене на початку. Як

\[ \vecs{v} (t)=\dfrac{d\vecs{r} }{dt}(t)= -a\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + a\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \implies \dfrac{ds}{dt}(t) = |\vecs{v} (t)| = a \nonumber \]

ми маємо, що вектор дотичної одиниці

\[ \vecs{T} (t) = \frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|} = -\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

Зверніть увагу, як перевірка, що це дійсно вектор довжини один і перпендикулярний вектору радіуса (як очікувалося — крива є колом). Як

\[ \dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)= -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \nonumber \]

ми маємо, що

\[\begin{align*} \hat{\textbf{N}}(t) &= \frac{\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)}{\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)\big|} = -\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \kappa(t) &= \frac{\big|\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{dt}(t)\big|}{\dfrac{ds}{dt}(t)} =\frac{1}{a}\\ \rho(t)&=\frac{1}{\kappa(t)} =a \end{align*}\]

Тепер подивіться на малюнок.

Щоб дістатися до центру кривизни, ми повинні почати з\(\vecs{r} (t)\) і пройти відстань,\(\rho(t)\text{,}\) яка врешті-решт є радіусом кривизни, у напрямку,\(\hat{\textbf{N}}(T)\text{,}\) який спрямований до центру кривизни. Таким чином, центр кривизни

\[ \vecs{r} (t)+\rho(t)\hat{\textbf{N}}(t) =\big[a\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} +a\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] +a\big[-\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} -\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big] = \vecs{0} \nonumber \]

Це має цілком гарний сенс — радіус кривизни є радіусом вихідного кола, а центр кривизни - центр вихідного кола.

Одним з альтернативних варіантів розрахунку кривизни, використовуючи\(x(t) = a\cos t \text{,}\)\(y(t)=a\sin t\text{,}\) є

\[\begin{align*} \kappa(t) &=\frac{\big| \dfrac{dx}{dt}(t)\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}t^{2}}(t)-\dfrac{dy}{dt}(t)\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}(t) \big|}{\Big[\big(\dfrac{dx}{dt}(t)\big)^2 +\big(\dfrac{dy}{dt}(t)\big)^2\Big]^{3/2}}\\ &=\frac{\big| -a\sin t\big(-a\sin t\big)-a\cos t\big(-a\cos t\big) \big|}{\big[\big(-a\sin t\big)^2 +\big(a\cos t\big)^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{1}{a} \end{align*}\]

Ще один альтернативний розрахунок кривизни, використовуючи\(y(x) =\sqrt{a^2-x^2}\) (для частини кола с\(y \gt 0\)),

\[\begin{align*} y'(x) &= -\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{x}{y(x)} \\ y''(x) &= -\frac{y(x) - xy'(x)}{y(x)^2} = -\frac{y(x)^2 + x^2}{y(x)^3} = -\frac{a^2}{y(x)^3} \end{align*}\]

є

\[\begin{align*} \kappa(x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}(x)\big|} {\Big[1+\big(\dfrac{dy}{dx}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\frac{a^2}{y(x)^3}} {\Big[1+\frac{x^2}{y(x)^2}\Big]^{3/2}} =\frac{a^2}{\big[y(x)^2+x^2\big]^{3/2}}\\ &=\frac{1}{a} \end{align*}\]

Приклад 1.3.5

Як більш обчислювальний приклад, ми проаналізуємо

\[\begin{align*} \vecs{r} (t) &= \big(\cos t + t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t-t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}} \qquad t \gt 0\\ \vecs{v} (t) &= t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\\ \textbf{a}(t) &= \big(\cos t - t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t+t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

Ми можемо прочитати з\(\vecs{v} (t)\text{,}\) цього

\[\begin{align*} \dfrac{ds}{dt}(t) &= |\vecs{v} (t)| =t\\ \frac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}(t) &= 1\\ \vecs{T} (t)&=\frac{\vecs{v} (t)}{|\vecs{v} (t)|} = \cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + \sin t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{align*}\]

Далі, від\(\textbf{a}(t)\text{,}\) ми зачитали, що

\ begin {align*}\ textbf {a} (t) &=\ великий (\ cos t - t\ sin t\ великий)\ капелюх {\ pmb {\ imath}} +\ великий (\ sin t+t\ cos t\ big)\ капелюх {\ pmb {\ jmath}}\ qquad\ текст {і}\\ textbf {a} (t) &= frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t^ {2}} (t)\,\ hat {\ textbf {T}} (t) +\ каппа (t)\ ліворуч (\ dfrac {ds} {dt} (t)\ праворуч) ^2\ hat {\ textbf {N}} (t\)\\ end {вирівнювати*}

(за теоремою 1.3.3 .c)

\ почати {вирівнювати*} &=\ cos t\,\ hat {\ pmb {\ imath}} +\ sin t\,\ hat {\ pmb {\ jmath}} +t^2\ каппа (t)\ hat {\ textbf {N}} (t)\\ означає t^2\ каппа (t)\ hat {\ textbf {N} t) &= - t\ sin t\,\ hat {\ pmb {\ imath}} + т\ cos t\ cos t\,\ hat {\ pmb {\ jmath}}\ end {align*}

так\(t^2\kappa(t)\) що довжина\(- t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}\text{,}\) якої є\(t\text{.}\) Таким чином

\[\begin{gather*} \kappa(t) = \frac{1}{t} \quad\text{and}\quad \hat{\textbf{N}}(t)= \frac{- t\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\cos t\,\hat{\pmb{\jmath}}}{t^2\kappa(t)} = -\sin t\,\hat{\pmb{\imath}} + \cos t\,\hat{\pmb{\jmath}} \end{gather*}\]

В якості альтернативного розрахунку кривизни ми маємо

\[\begin{align*} \kappa(t) &=\frac{|\vecs{v} (t)\times\textbf{a}(t)|}{(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{\big|\big[t\cos t\,\hat{\pmb{\imath}} + t\sin t\,\hat{\pmb{\jmath}}\big]\times \big[\big(\cos t - t\sin t\big)\hat{\pmb{\imath}} +\big(\sin t+t\cos t\big)\hat{\pmb{\jmath}}\big]\big|} {(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{\big|\big[t\cos t\big(\sin t+t\cos t\big) -t\sin t\big(\cos t - t\sin t\big)\big]\hat{\mathbf{k}}\big|} {(\dfrac{ds}{dt}(t))^3}\\ &=\frac{|t^2\hat{\mathbf{k}}|}{t^3} =\frac{1}{t} \end{align*}\]

Варто подумати, перш ніж розрахувати!

Вправи

Етап 1

У цій главі є багато констант, які можуть бути новими для вас. До них може знадобитися трохи звикання. Питання 1.3.1.1-1.3.1.5 дають практику роботи з цими константами і інтерпретації їх відносин між собою.

1

Намалюйте криву\(\vecs{r} (t)=(3\sin t,3\cos t)\text{.}\) У\((0,3)\text{,}\) мітці точки\(\hat{\textbf{T}}\) і\(\hat{\textbf{N}}\text{.}\) Дайте значення\(\kappa\) і\(\rho\) в цій точці також.

2

Розглянемо коло\(\vecs{r} (t)=(3\sin t,3\cos t)\text{.}\) Знайти\(\hat{\textbf{T}}(t)\) і\(\hat{\textbf{T}}(s)\text{.}\) Потім, використовувати частини (b) і (c) теореми 1.3.3, щоб знайти\(\hat{\textbf{N}}(t)\) і\(\hat{\textbf{N}}(s)\text{.}\)

3

Функція\(\vecs{r} (t)=(t\cos t, t\sin t)\text{,}\)\(t \ge 0\text{,}\) визначає спіраль, орієнтовану на початок. Використовуючи тільки геометричну інтуїцію (без розрахунку), прогнозуйте\(\displaystyle\lim_{t \to \infty}\kappa(t)\text{.}\)

4

Нехай\(\vecs{r} (t)=(e^t,3t,\sin t)\text{.}\) Що таке\(\dfrac{ds}{dt}\text{?}\)

5

У питанні 1.2.1.5 розділу 1.2 ми виявили, що спіраль

\[ \vecs{r} (t) = e^t (\cos t, \sin t) \nonumber \]

параметризований в плані довжини дуги

\[ \textbf{R}(s)=\frac{s}{\sqrt{2}}\left(\cos\Big(\ln\Big(\frac{s}{\sqrt{2}}\Big)\Big)\,,\, \sin\Big(\ln\Big(\frac{s}{\sqrt{2}}\Big)\Big)\right). \nonumber \]

Знайдіть\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{ds}\) і\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}}}{dt}\) для цієї кривої.

6

У цій вправі ми уточнюємо сенс, в якому оскулюлюючий коло - це коло, яке найкраще наближає плоску криву в точці.

• Переводячи і обертаючи нашу систему координат, ми завжди можемо організувати, що точка є\((0,0)\) і що крива\(y=f(x)\) з\(f'(0)=0\) і\(f''(0) \gt 0\text{.}\) (Ми припускаємо, що кривизна в точці ненульова.)
• \(y=g(x)\)Дозволяти бути нижньою половиною кола радіуса\(r\), який знаходиться в центрі\((0,r)\text{.}\)

Показати, що якщо\(f(x)\) і\(g(x)\) мають однаковий другий порядок наближення Тейлора,\(x=0\text{,}\)\(r\) то радіус кривизни\(y=f(x)\) at\(x=0\text{.}\)

Етап 2

7

За заданою кривою\(\vecs{r} (t)=(e^t,t^2+t)\text{,}\) обчислити такі величини:

1. \(\displaystyle \vecs{v} (t)\)
2. \(\displaystyle \textbf{a}(t)\)
3. \(\displaystyle \dfrac{ds}{dt}\)
4. \(\displaystyle \hat{\textbf{T}}(t)\)
5. \(\displaystyle \kappa(t)\)

8

Знайти\(\kappa(t)\) кривизну\(\vecs{r} (t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t)\text{.}\)

9

Знайти мінімальне і максимальне значення кривизни еліпса\(x(t)= a \cos t\text{,}\)\(y(t)=b\sin t\text{.}\) Тут\(a \gt b \gt 0\text{.}\)

10 ✳

1. Знайти кривизну\(y=e^x\) at\((0,1)\text{.}\)
2. Знайдіть рівняння кола, яке найкраще підходить\(y=e^x\) на\((0,1)\text{.}\)

11 ✳

Розглянемо рух пальця, що застряг в протекторі шини, яка знаходиться на велосипеді, що рухається з постійною швидкістю. Цей рух задається параметризованою кривою

\[ \vecs{r} (t) = \big(t - \sin t\,,\, 1 - \cos t\big) \nonumber \]

з\(t \gt 0\text{.}\)

1. Намалюйте криву в\(xy\) -площині для\(0 \lt t \lt 4\pi\text{.}\)
2. Знайти і спростити формулу кривизни\(\kappa(t)\text{.}\)
3. Знайти радіус кривизни оскуляційної окружності до\(\vecs{r} (t)\) at\(t = \pi\text{.}\)
4. Знайти рівняння оскулюючого кола до\(\vecs{r} (t)\) at\(t = \pi\text{.}\)

Етап 3

12

Знайти кривизну\(\kappa\) як функцію довжини дуги\(s\) (вимірюється від\((0,0)\)) для кривої

\[ x(\theta)=\int_0^\theta \cos\big(\frac{1}{2}\pi t^2\big)dt\quad \quad y(\theta)=\int_0^\theta \sin\big(\frac{1}{2}\pi t^2\big)dt \nonumber \]

13 ✳

\(C\)Дозволяти крива в\(\mathbb{R}^2\) заданій графіком функції\(y=\frac{x^3}{3}\text{.}\)\(\kappa(x)\) Дозволяти кривизну\(C\) в точці\((x, x^3/3)\text{.}\) Знайти всі точки, де\(\kappa(x)\) досягають своїх максимальних значень, або ж пояснити, чому таких точок не існує. Які межі\(\kappa(x)\) як\(x \rightarrow \infty\) і\(x \rightarrow -\infty\text{?}\)

1. Кола хороші для вивчення «кривизни», тому що, на відміну від парабол наприклад, швидкість, з якою окружність крива рівномірна по всьому колу.
2. «Osculare» - латинське дієслово «цілуватися». Німецький математик Готфрід Вільгельм (фон) Лейбніц (1646—1716) назвав коло «circulus osculans».
3. Ми також припустимо, що криві, що цікавлять, плавні, наприклад, без порізів, а не прямі, так що радіус кривизни\(0 \lt \rho \lt \infty\text{.}\)
4. Ми бачили, що в прикладі 1.1.6.
5. Рівняння\(s=s(\phi)\) називається «внутрішнім рівнянням кривої».
6. Позначення\(\measuredangle(\hat{\pmb{\imath}},\hat{\textbf{T}})\) означає «кут між\(\hat{\pmb{\imath}}\) і\(\hat{\textbf{T}}\)».
7. Подумайте, чому так повинно бути. Зокрема, накидайте\(\hat{\textbf{T}}\)\(\phi\) і подумайте про те, про що говорить ескіз.\(\dfrac{d\hat{\textbf{T}} }{d\phi}\text{.}\)
8. На кожній з чотирьох фігур стрілка на кривій визначає напрямок збільшення довжини дуги,\(s\) а червона крапка - центр кривої у синьої точки.