3.3: Спрощення алгебраїчних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57268

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Згадаймо комутативні і асоціативні властивості множення.

Комутативна властивість множення. Якщо a і b є будь-якими цілими числами, то

a · b = b · a, або еквівалентно, ab = ба.

Асоціативна властивість множення. Якщо a, b і c є будь-якими цілими числами, то

(a · b) · c = a · (b · c), або еквівалентно, (ab) c = a (bc).

Комутативне властивість дозволяє змінювати порядок множення, не зачіпаючи твір або відповідь. Асоціативна властивість дозволяє нам перегрупуватися, не зачіпаючи продукт або відповідь.

Приклад 1

Спрощення: 2 (3 x).

Рішення

Використовуйте асоціативну властивість для перегрупування, а потім спростіть.

\[ \begin{aligned} 2(3x) = (2 \cdot 3)x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Regrouping with the associative property.}} \\ = 6x ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 2 \cdot 3 = 6.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Спрощення: −5 (7 y)

Відповідь: −35 г

Твердження 2 (3 х) =6x - це ідентичність. Тобто ліва і права сторони 2 (3 х) =6 х однакові для всіх значень x. Хоча висновок у прикладі 1 повинен бути доказом цього твердження, це допомагає інтуїції перевірити достовірність твердження для одного або двох значень x.

Якщо х = 4, то

\[ \begin{array}{c c c} 2(3x) = 2(3( \textcolor{red}{4})) & \text{and} & 6x = 6( \textcolor{red}{4}) \\ = 2(12) & & = 24 \\ = 24 \end{array}\nonumber \]

Якщо x = −5, то

\[ \begin{array}{c c c} 2(3x) = 2(3( \textcolor{red}{-5})) & \text{and} & 6x = 6( \textcolor{red}{-5}) \\ =2(-15) & & = -30 \\ = -30 \end{array}\nonumber \]

Наведені вище розрахунки показують, що 2 (3 x) =6 x для обох x = 4 і x = −5. Дійсно, твердження 2 (3 х) =6 х вірно, незалежно від того, що замінено на x.

Приклад 2

Спростити: (−3 t) (−5).

Рішення

По суті, ми множимо три числа, −3, t та −5, але символи групування просять нас спочатку помножити −3 та t. Асоціативні і комутативні властивості дозволяють нам змінювати порядок і перегрупувати.

\[ \begin{aligned} (-3t)(-5) = ((-3)(-5))t ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change the order and regroup.}} \\ = 15t ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } (-3)(-5) = 15.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Спрощення: (−8 a) (5)

Відповідь: −40 а

Приклад 3

Спрощення: (−3 x) (−2 y)

Рішення

По суті, ми множимо чотири числа: −3, x, −2 та y, але символи групування визначають певний порядок. Асоціативні і комутативні властивості дозволяють нам змінювати порядок і перегрупувати.

\[ \begin{aligned} (-3x)(-2y) =((-3)(-2))(xy) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Change the order and regroup.}} \\ = 6xy ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } (-3)(-2)=6.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Спрощення: (−4 a) (5 b)

Відповідь: −20 аб

Прискорення речей

Значення виразу 2 · 3 · 4 зрозуміло. Дужки та порядок операцій насправді не потрібні, оскільки комутативні та асоціативні властивості пояснюють, що не має значення, яке з трьох чисел ви помножите спочатку.

Спочатку можна помножити 2 і 3:

\[ \begin{aligned} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= (2 \cdot 3) \cdot 4 \\ &= 6 \cdot 4 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

Або ви можете спочатку помножити 3 і 4:

\[ \begin{aligned} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= 2 \cdot (3 \cdot 4) \\ &= 2 \cdot 12 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

Або ви можете спочатку помножити 2 і 4:

\[ \begin{aligned} 2 \cdot 3 \cdot 4 &= (2 \cdot 4) \cdot 3 \\ &= 8 \cdot 3 \\ &= 24. \end{aligned}\nonumber \]

Отже, не має значення, які два множника ви помножите в першу чергу.

Звичайно, цього б не було, якби існувала суміш множення та інших операторів (ділення, додавання, віднімання). Тоді нам доведеться суворо дотримуватися «Правил, що керують порядком операцій». Але якщо єдиним оператором є множення, порядок множення не має значення.

Таким чином, коли ми бачимо 2 (3 х), як у прикладі 1, ми повинні думати «Це все множення, і це не має значення, які два числа я помножити разом спочатку, так що я буду множити 2 і 3 і отримати 2 (3 х) = 6 х».

Наші коментарі однаково добре стосуються продукту чотирьох або більше факторів. Просто не має значення, як ви групуєте множення. Отже, у випадку (−3 x) (−2 y), як у прикладі 3, знайдіть добуток −2 та −3 і помножте результат на добуток x та y. Тобто, (−3 x) (−2 y) =6 xy.

Приклад 4

Спростити: (2 а) (3 б) (4 с).

Рішення

Єдиним оператором є множення, тому ми можемо замовляти і групувати як завгодно. Отже, візьмемо добуток 2, 3 і 4, а отриманий результат помножимо на добуток a, b і c. тобто

\[(2a)(3b)(4c)=24abc\nonumber \]

Вправа

Спрощення: (−3 x) (−2 y) (−4 z)

Відповідь: −24 хз.

Розподільна власність

Множення є розподільним щодо додавання.

Розподільна власність

Якщо a, b і c є будь-якими цілими числами, то

a · (b + c) = a · b + a · c, або еквівалентно, a (b + c) = ab + ac.

Наприклад, якщо ми слідуємо «Правилам керівного порядку операцій» і спочатку оцінюємо вираз всередині дужок, то

\[ \begin{aligned} 3(4+5)=3(9) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Parentheses first: } 4+5 = 9.} \\ =27. ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } 3(9) = 27.} \end{aligned}\nonumber \]

Але якщо ми «розподіляємо» 3, то отримаємо ту ж відповідь.

\[ \begin{aligned} 3(4+5) =3(4+5) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Each number in parentheses is multiplied}} \\ \textcolor{red}{ \text{ by the number 3 outside the parentheses.}} \end{aligned} \\ = 3(4) +3(5) ~ \\ = 12 + 15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first: } 3(4) = 12,~ 3(5) = 15.} \\ =27 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]

Приклад 5

Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 3 (4 x + 5).

Рішення

Розподіліть 3.

\[ \begin{aligned} 3(4x+5) = 3(4x)+3(5) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Each number in parentheses is multiplied}} \\ \textcolor{red}{ \text{ by the number 3 outside the parentheses.}} \end{aligned} \\ =12x + 15 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first: } 3(4x)=12x,~ 3(5)=15.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 2 (5 z +7).

Відповідь: 10 з 14

Множення також є розподільним щодо віднімання.

Розподільна власність

Якщо a, b і c є будь-якими цілими числами, то

a · (b − c) = a · b − a · c, або еквівалентно, a (b − c) = ab − ac.

Застосування цієї форми розподільного властивості ідентично першій, єдина відмінність - символ віднімання.

приклад 6

Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 5 (3 x − 2).

Рішення

Розподіліть 5.

\[ \begin{aligned} 5(3x - 2) = 5(3x)-5(2) ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Each number in parentheses is multiplied }} \\ \textcolor{red}{ \text{ by the number 5 outside the parentheses.}} \end{aligned} \\ = 15x - 10 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply first: } 5(3x) = 15x, 5(2) = 10.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Скористайтеся властивістю distributive для спрощення: 7 (4 a − 5).

Відповідь: 28 в− 35

Приклад 7

Вилучити дужки: (a) −9 (2 t + 7) та (b) −5 (4 − 3 y).

Рішення

а) Використовувати розподільну властивість.

\[ \begin{aligned} -9(2t+7) = -9(2t)+(-9)(7) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute multiplication by }-9.} \\ = -18t + (-63) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } -9(2t) = -18t \text{ and } -9(7) = -63.} \\ = - 18t - 63 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Write the answer in simpler form.}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ Adding } -63 \text{ is the same as subtracting 63.}} \end{aligned}\nonumber \]

б) Використовувати розподільну властивість.

\[ \begin{aligned} -5(4-3y) = -5(4)-(-5)(3y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute multiplication by }-5.} \\ = -20-(-15y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Multiply: } -5(4) = -20 \text{ and } -5(3y) = -15y.} \\ = - 18t - 63 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Write the answer in simpler form.}} \\ ~ & \textcolor{red}{ \text{ Subtracting } -15y \text{ is the same as adding } 15y.} \end{aligned}\nonumber \]

Вправа

Вилучити дужки: −3 (4 t − 11).

Відповідь: −12 т + 33

Написання математики

Приклад 7 підкреслює важливість використання якомога менше символів для написання остаточної відповіді. Отже, перевага −18 t − 63 у порівнянні з −18 t + (−63), а −20+ 15 y має перевагу над −20 − (−15 y). Ви завжди повинні робити ці остаточні спрощення.

Переміщення трохи швидше

Після того, як ви застосували властивість distributive до ряду проблем, показуючи всю роботу, як у прикладі 7, вам слід спробувати усунути деякі з кроків. Наприклад, розглянемо ще раз приклад 7 (а). Застосовувати розподільне властивість не складно, не записуючи жодного кроку, отримавши:

\[−9(2t + 7) = −18t − 63.\nonumber \]

Ось мислення, що стоїть за цією технікою:

Спочатку множимо −9 на 2 т, отримуючи −18 т.
По-друге, помножте −9 разів +7, отримавши −63.

Зауважте, що це забезпечує точно таке ж рішення, знайдене в прикладі 7 (a).

Давайте спробуємо цю саму техніку на прикладі 7 (b).

\[−5(4 − 3y) = −20 + 15y\nonumber \]

Ось мислення, що стоїть за цією технікою.

Спочатку помножте −5 на 4, отримавши −20.
По-друге, помножте −5 на −3 y, отримавши +15 y.

Зауважте, що це забезпечує точно таке ж рішення, знайдене в прикладі 7 (b).

Розширення розподільної власності

Припустимо, що ми додаємо додатковий термін всередині дужок.

Розподільна власність

Якщо a, b, c і d є будь-якими цілими числами, то

а (б + с + г) = аб + ак + ад.

Зверніть увагу, що ми «розподілили» a раз кожен член всередині дужок. Дійсно, якби ми додали ще один термін всередині дужок, ми б «розподілити» раз цей термін, а також.

Приклад 8

Вилучити дужки: −5 (2 x − 3 y + 8).

Рішення

Ми будемо використовувати техніку «швидше», «розподіляючи» −5 разів кожен термін у дужках подумки.

\[ -5(2x - 3y +8)=-10x + 15y -40\nonumber \]

Ось наш розумовий процес:

Спочатку помножте −5 на 2 x, отримавши −10 x.
По-друге, помножте −5 на −3 y, отримавши +15 y.
По-третє, помножте −5 разів +8, отримавши −40.

Вправа

Вилучити дужки: −3 (4 a − 5 b + 7)

Відповідь: −12 a + 15 б − 21

Приклад 9

Вилучити дужки: −4 (−3 a + 4 b − 5 c + 12).

Рішення

Ми будемо використовувати техніку «швидше», «розподіляючи» −4 рази кожен термін у дужках подумки.

\[ -4(-3a + 4b - 5c +12) = 12a - 16b + 20c - 48\nonumber \]

Ось наш розумовий процес:

Спочатку помножте −4 на −3 a, отримавши 12 a.
По-друге, помножте −4 рази +4 b, отримавши −16 b.
По-третє, множимо −4 рази −5 c, отримуючи +20 с.
По-четверте, помножте −4 рази +12, отримавши −48.

Вправа

Вилучити дужки: −2 (−2 x + 4 y − 5 z − 11).

Відповідь: 4 x − 8 у + 10 г + 22

Розподіл негативу

Корисно нагадати, що заперечення еквівалентно множенню на −1.

Множення на −1

Нехай a буде будь-яке ціле число, тоді

(−1) a = − a і − a = (−1) a.

Ми можемо використовувати цей факт, поєднаний з розподільним властивістю, щоб звести нанівець суму.

приклад 10

Вилучити дужки: − (a + b).

Рішення

Змініть негативний символ на множення на −1, а потім розподіліть −1.

\[ \begin{aligned} -(a + b) =(-1)(a+b) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Negating is equivalent to multiplying by } -1.} \\ =-a-b ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute the }-1.} \end{aligned}\nonumber \]

Ми вирішили використовувати «швидший» метод «розподілу» −1. Ось наше мислення:

Помножте −1 раз a, отримавши − a.
Помножте −1 раз + b, отримавши − b.

Вправа

Вилучити дужки: − (4 a − 3 c)

Відповідь: −4 а + 3 с

Результати в прикладі 10 та прикладі 11 показують нам, як звести нанівець суму: Просто заперечуйте кожен член суми. Позитивні терміни змінюються на негативні, негативні - в позитивні.

Заперечення суми

Щоб звести нанівець суму, просто зведіть нанівець кожен член суми. Наприклад, якщо a і b є цілими числами, то

− (a + b) = − a − b і − (a − b) = − a + b.

Приклад 12

Вилучити дужки: − (5 − 7 u + 3 t).

Рішення

Просто заперечуйте кожен термін в дужках.

\[−(5 − 7u + 3t) = −5+7u − 3t\nonumber \]

Вправа

Вилучити дужки: − (5 − 2 x + 4 y − 5 z)

Відповідь: −5+2 x − 4 у + 5 г

Вправи

У вправах 1-20 використовуйте асоціативні та комутативні властивості множення для спрощення виразу.

1. 10 (−4х)

2. 7 (−8х)

3. (−10x) (−3)

4. (−5х) (−8)

5. −5 (3х)

6. 9 (6х)

7. (−4х) 10

8. (−10х) (−6)

9. (5х 3)

10. (3х3)

11. (5х) 10

12. (−2х) (−10)

13. −9 (−7х)

14. −10 (5х)

15. 6 (2х)

16. 3 (−10х)

17. −8 (−9х)

18. 3 (−3х)

19. (6х7)

20. (−8х) (−5)

У вправах 21-44 спростіть вираз.

21. 8 (7х+ 8)

22. −2 (5х + 5)

23. 9 (−2 + 10х)

24. −9 (4 + 9х)

25. − (−2x + 10y − 6)

26. − (−6й + 9x − 7)

27. 2 (10 + х)

28. 2 (10 − 6х)

29. 3 (3 + 4х)

30. 3 (4 + 6х)

31. − (−5 − 7x + 2г)

32. − (4x − 8 − 7 років)

33. 4 (−6х + 7)

34. 6 (4х + 9)

35. 4 (8х − 9)

36. 10 (−10х + 1)

37. − (4 − 2x − 10 років)

38. − (−4х + 6 − 8 років)

39. − (−5х+1+9г)

40. − (−10 − 5x − 4 роки)

41. − (6х + 2 − 10 років)

42. − (6х + 4 − 10 років)

43. − (−3y − 4+4x)

44. − (−7 − 10х + 7 років)

Відповіді

1. −40х

3. 30х

5. −15х

7. −40х

9. 15х

11. 50х

13. 63х

15. 12х

17. 72х

19. 42х

21. 56х+ 64

23. -18 + 90х

25. 2х − 10 років + 6

27. 20 + 2х

29. 9 + 12х

31. 5+7х − 2 роки

33. −24х+28

35. 32х − 36

37. -4+2х + 10 г

39. 5x − 1 − 9 років

41. −6х − 2 + 10 років

43. 3й + 4 − 4х