9.4: Радикальні вирази

У попередніх двох розділах ми дізналися, як розмножувати і ділити квадратні коріння. Зокрема, ми зараз озброєні наступними двома властивостями.

Нерухомість\(\PageIndex{1}\)

Нехай a і b будуть будь-якими двома дійсними невід'ємними числами. Потім,

\[\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab},\]

і, забезпечити\(b \ne 0\),

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\]

У цьому розділі ми спростимо ряд більш широких виразів, що містять квадратні корені, особливо ті, які є основоположними для вашої роботи на майбутніх курсах математики. Почнемо з побудови деяких фундаментальних навичок.

Асоціативна властивість

Згадуємо асоціативну властивість множення.

Асоціативна властивість множення

Нехай a, b і c будуть будь-якими дійсними числами. Асоціативне властивість множення стверджує, що

\[(ab)c = a(bc) \label{associativeprop}\]

Зауважте, що порядок чисел з кожного боку Equation\ ref {associativeprop} не змінився. Числа з кожного боку рівняння знаходяться в порядку\(a\)\(b\), а потім\(c\).

Однак угруповання змінилося. Ліворуч, дужки навколо добутку\(a\) і\(b\) доручити нам спочатку виконати цей твір, а потім помножити результат на\(c\). Праворуч угруповання відрізняється; дужки навколо b і c доручають нам спочатку виконати цей твір, а потім помножити на\(a\). Ключовим моментом, який слід зрозуміти, є той факт, що різні групи не мають ніякої різниці. Ми отримуємо однакову відповідь в будь-якому випадку.

Наприклад, розглянемо продукт\(2 \cdot 3 \cdot 4\). Якщо спочатку помножити 2 і 3, то отриманий результат множимо на 4, отримаємо

\((2 \cdot 3) \cdot 4 = 6 \cdot 4 =24\)

З іншого боку, якщо спочатку помножити 3 і 4, то множимо результат на 2, отримаємо

\(2 \cdot (3 \cdot 4) = 2 \cdot 12 =24\)

Зверніть увагу, що ми отримуємо однаковий результат в будь-якому випадку. Тобто,

\((2 \cdot 3) \cdot 4 = 2 \cdot (3 \cdot 4)\)

Асоціативна властивість, здавалося б, тривіальна, набуває додаткового рівня витонченості, якщо застосувати його до виразів, що містять радикали. Давайте розглянемо приклад.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Спростити вираз\(3(2\sqrt{5})\). Помістіть свою відповідь в простій радикальній формі.

В даний час дужки навколо 2 і\(\sqrt{5}\) require that we multiply those two numbers first. However, the associative property of multiplication allows us to regroup, розміщуючи дужки навколо 3 та 2, спочатку множивши ці два числа, а потім множимо результат на\(\sqrt{5}\). Влаштовуємо роботу наступним чином.

\(3(2\sqrt{5})=(3 \cdot 2)\sqrt{5}=6\sqrt{5}\).

Читачам варто відзначити схожість з дуже звичною маніпуляцією.

\(3(2x) = (3 \cdot 2)x = 6x\)

На практиці, коли ми стали впевнені в цій перегрупуванні, ми почали пропускати проміжний крок і просто стверджувати, що 3 (2х) = 6х. Подібним чином, як тільки ви станете впевненими в перегрупуванні, ви повинні просто заявити, що\(3(2\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}\). Якщо ви покликані пояснити свою відповідь, ви повинні бути готові пояснити, як ви перегрупували відповідно до асоціативної властивості множення. Аналогічно,

\(−4(5\sqrt{7})=−20\sqrt{7}\),\(12(5\sqrt{11})=60\sqrt{11}\), і\(−5(−3\sqrt{3})=15\sqrt{3}\).

Комутативна властивість множення

Згадуємо комутативну властивість множення.

Комутативна властивість множення

Нехай a і b будуть будь-якими дійсними числами. Комутативна властивість множення стверджує, що

аб = ба

Комутативна властивість стверджує, що порядок множення не має значення. Наприклад,\(2 \cdot 3\) це те ж саме, що\(3 \cdot 2\); they both equal 6. This seemingly trivial property, coupled with the associative property of multiplication, allows us to change the order of multiplication and regroup as we please.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Спростити вираз\(\sqrt{5}(2\sqrt{3})\). Помістіть свою відповідь в простій радикальній формі.

Те, що ми дійсно хотіли б зробити, це спочатку помножити\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{3}\). In order to do this, we must first regroup, then switch the order of multiplication as follows.

\(\sqrt{5}(2\sqrt{3}) = (\sqrt{5} \cdot 2)\sqrt{3} = (2\sqrt{5})\sqrt{3}\)

Це допускається асоціативними і комутативними властивостями множення. Тепер ми знову перегрупуємо і множимо.

\((2\sqrt{5})\sqrt{3} = 2(\sqrt{5}\sqrt{3}) = 2\sqrt{15}\)

На практиці це занадто велика робота для такого простого розрахунку. Як тільки ми зрозуміємо асоціативні та комутативні властивості множення, вираз\(a \cdot b \cdot c\) однозначний. Дужки не потрібні. Ми знаємо, що можемо змінювати порядок множення і перегрупувати як завгодно. Тому при поданні добутку трьох чисел просто помножте два за вашим вибором разом, потім помножте отриманий результат на третє число, що залишилося.

У разі\(\sqrt{5}(2\sqrt{3})\), ми вибираємо спочатку помножити\(\sqrt{5}\) і\(\sqrt{3}\), тобто\(\sqrt{15}\), потім помножити цей результат на 2, щоб отримати\(2\sqrt{15}\). Аналогічно,

\(\sqrt{5}(2\sqrt{7})=2\sqrt{35}\)і\(\sqrt{x}(3\sqrt{5})=3\sqrt{5x}\).

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Спростити вираз\(\sqrt{6}(4\sqrt{8})\). Помістіть свою відповідь в простій радикальній формі.

Починаємо з множення\(\sqrt{6}\) and \(\sqrt{8}\), then the result by 4.

\(\sqrt{6}(4\sqrt{8})=4\sqrt{48}\)

Тепер\(48 = 16 \cdot 3\), щоб ми могли витягти ідеальний квадрат.

\(4\sqrt{48}=4(\sqrt{16}\sqrt{3})=4(4\sqrt{3})\)

Знову вибираємо множити четвірки, потім результат на квадратний корінь з трьох. Тобто,

\(4(4\sqrt{3})=16\sqrt{3}\).

За індукції можна стверджувати, що асоціативні і комутативні властивості дозволять нам групувати і розташувати добуток більше трьох чисел в будь-якому порядку, який нам подобається.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Спростити вираз\(2\sqrt{12}(3\sqrt{3})\). Помістіть свою відповідь в простій радикальній формі.

Ми спочатку візьмемо твір 2 і 3, потім твір\(\sqrt{12}\) and \(\sqrt{3}\), then multiply these results together.

\(2\sqrt{12}(3\sqrt{3}) = (2 \cdot 3)(\sqrt{12}\sqrt{3}) = 6\sqrt{36}\)

Звичайно\(\sqrt{36} = 6\), так ми можемо спростити далі.

\(6\sqrt{36} = 6 \cdot 6 = 36\)

Розподільна власність

Згадаймо розподільне властивість для дійсних чисел.

Розподільна власність

Нехай a, b і c будуть будь-якими дійсними числами. Потім,

а (б+с) = аб + змінний струм

Ви можете згадати наступну операцію, де ви «розподіляєте 2», множивши кожен член у дужках на 2.

2 (3 + х) = 6 + 2х

Точно те ж саме можна зробити і з радикальними виразами.

\(2(3+\sqrt{5})=6+2\sqrt{5}\)

Як і в звичному прикладі вище, ми «розподілили 2», помноживши кожен член в дужках на 2.

Давайте розглянемо докладніше приклади.

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Використовуйте властивість distributive, щоб розширити вираз\(\sqrt{12}(3+\sqrt{3})\), помістивши свою остаточну відповідь в простій радикальній формі.

Спочатку розподіліть\(\sqrt{12}\), multiplying each term in the parentheses by \(\sqrt{12}\). Note те\(\sqrt{12}\sqrt{3} = \sqrt{36}\).

\(\sqrt{12}(3+\sqrt{3})=3\sqrt{12}+\sqrt{36}=3\sqrt{12}+6\)

Однак цей останній вислів не в простій радикальній формі, оскільки ми можемо виділити ідеальний квадрат\((12 = 4 \cdot 3)\).

\(3\sqrt{12}+6=3(\sqrt{4}\sqrt{3})+6 = 3(2\sqrt{3})+6 = 6\sqrt{3}+6\)

Неважливо, чи є мономіальний коефіцієнт спереду чи ззаду суми, ви все одно розподіляєте мономіальні часи кожного члена в дужках.

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Використовуйте властивість distributive для розширення\((\sqrt{3}+2\sqrt{2})\sqrt{6}\). Помістіть свою відповідь в простій радикальній формі.

Спочатку помножте кожен член в дужках на\(\sqrt{6}\).

\((\sqrt{3}+2\sqrt{2})\sqrt{6} = \sqrt{18}+2\sqrt{12}\)

Щоб отримати другий член цього результату, ми вирішили спочатку помножити\(\sqrt{2}\) і\(\sqrt{6}\), тобто\(\sqrt{12}\), потім ми помножили цей результат на 2. Тепер ми можемо враховувати ідеальні квадрати як з 18, так і з 12.

\(\sqrt{18}+2\sqrt{12}= \sqrt{9}\sqrt{2}+2(\sqrt{4}\sqrt{3}) = 3\sqrt{2}+2(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{2}+4\sqrt{3}\)

Пам'ятайте, що ви можете перевірити свої результати за допомогою калькулятора. На малюнку 1 (a) ми знайшли десяткове наближення для вихідного виразу\((\sqrt{3}+2\sqrt{2})\sqrt{6}\), а на малюнку 1 (b) ми маємо десяткове наближення для нашого розв'язку\(3\sqrt{2}+4\sqrt{3}\). Зверніть увагу, що вони однакові, надаючи докази того, що наше рішення правильне.

Малюнок 1. Порівняння вихідного виразу з його простою радикальною формою.

Дистрибутивна властивість також відповідає за те, щоб допомогти нам поєднувати «подібні терміни». Наприклад, ви можете пам'ятати, що 3x + 5x = 8x, здавалося б, простий розрахунок, але саме розподільна властивість насправді забезпечує це рішення. Зверніть увагу, як ми використовуємо розподільну властивість для множника x з кожного члена.

3х+5х = (3+5) х

Значить, 3х+ 5х = 8х. Те ж саме можна зробити і з радикальними виразами.

\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2}\)

Звідси\(3\sqrt{2}+5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\) і структура цього результату ідентична тій, яка показана в 3х + 5х = 8х. Немає різниці в тому, як ми поєднуємо ці «подібні терміни». Повторюємо загальний коефіцієнт і додаємо коефіцієнти. Наприклад,

\(2\sqrt{3}+9\sqrt{3} = 11\sqrt{3}\),\(−4\sqrt{2}+2\sqrt{2} = −2\sqrt{2}\), і\(−3x\sqrt{x}+5x\sqrt{x}=2x\sqrt{x}\).

У кожному випадку вище, ми додаємо «як терміни», повторюючи загальний коефіцієнт і додаючи коефіцієнти.

У випадку, якщо у нас немає подібних термінів, як у 3x+5y, нічого не поробиш. Подібним чином, кожне з наступних виразів не має подібних термінів, які ви можете комбінувати. Вони настільки ж спрощені, як і збираються отримати.

\(3\sqrt{2}+5\sqrt{3}\),\(2\sqrt{11}−8\sqrt{10}\), і\(2\sqrt{x} + 5\sqrt{y}\)

Однак бувають випадки, коли це може виглядати так, ніби у вас немає подібних термінів, але коли ви розміщуєте все в простій радикальній формі, ви виявляєте, що у вас є подібні терміни, які можна поєднувати, додаючи коефіцієнти.

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Спростити вираз\(5\sqrt{27}+8\sqrt{3}\), помістивши кінцевий вираз в просту радикальну форму.

Ми можемо витягти ідеальний квадрат (\(27 = 9 \cdot 3\)).

\(5\sqrt{27}+8\sqrt{3} = 5(\sqrt{9}\sqrt{3})+8\sqrt{3} = 5(3\sqrt{3})+8\sqrt{3} = 15\sqrt{3}+8\sqrt{3}\)

Зверніть увагу, що тепер у нас є «подібні терміни», які можна комбінувати, додаючи коефіцієнти.

\(15\sqrt{3}+8\sqrt{3} =23\sqrt{3}\)

Порівняння вихідного виразу і його спрощеної форми показано на малюнках 2 (а) і (б).

Малюнок 2. Порівняння вихідного виразу з його спрощеною формою.

Приклад\(\PageIndex{12}\)

Спростіть вираз\(2\sqrt{20}+\sqrt{8}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2}\), помістивши результат в просту радикальну форму.

Ми можемо витягти ідеальні квадрати (\(20 = 4 \cdot 5\) and \(8 = 4 \cdot 2\)).

\(2\sqrt{20}+\sqrt{8}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 2(\sqrt{4}\sqrt{5})+\sqrt{4}\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 2(2\sqrt{5})+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 4\sqrt{5}+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2}\)

Тепер ми можемо комбінувати подібні терміни, додаючи коефіцієнти.

\(4\sqrt{5}+2\sqrt{2}+3\sqrt{5}+4\sqrt{2} = 7\sqrt{5}+6\sqrt{2}\)

Дроби можуть бути трохи хитрими.

Приклад\(\PageIndex{13}\)

Спростити\(\sqrt{27}+\frac{1}{\sqrt{12}}\), помістивши результат в просту радикальну форму.

Ми можемо витягти ідеальний квадратний корінь\((27 = 9 \cdot 3)\) Знаменник у другому члені є\(\sqrt{12} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\), тому в знаменнику потрібно ще 3, щоб зробити ідеальний квадрат.

\(\sqrt{27}+\frac{1}{\sqrt{12}} = \sqrt{9}\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{12}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{36}} = 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{6}\)

Щоб скласти ці дроби, нам знадобиться спільний знаменник 6.

\(3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{18\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{19\sqrt{3}}{6}\)

Тепер ми можемо комбінувати чисельники, додаючи коефіцієнти.

\(\frac{18\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{19\sqrt{3}}{6}\)

Десяткові наближення вихідного виразу і його спрощена форма показані на малюнках 3 (а) і (б).

Малюнок 3. Порівняння вихідного виразу з його спрощеною формою.

На перший погляд, відсутність мономіалу в продукті (х + 1) (х + 3) змушує думати, що розподільна властивість не допоможе нам знайти товар. Однак, якщо ми думаємо про другий фактор як про єдину одиницю, ми можемо розподілити його раз на кожен термін у першому факторі.

(х+1) (х+3) = х (х+3) +1 (х+3)

Застосовуйте розподільну властивість вдруге, а потім об'єднайте подібні терміни.

\(x(x+3)+1(x+3)=x^2+3x+x+3 = x^2+4x+3\)

Ми можемо обробляти продукти з радикальними виразами таким же чином.

Приклад\(\PageIndex{14}\)

Спростити\((2+\sqrt{2})(3+5\sqrt{2})\). Помістіть свій результат в простій радикальній формі.

Подумайте про другий фактор як про єдину одиницю і розподіліть його раз на кожен термін у першому факторі.

\((2+\sqrt{2})(3+5\sqrt{2}) = 2(3+5\sqrt{2})+\sqrt{2}(3+5\sqrt{2})\)

Тепер знову використовуйте розподільну властивість.

\(2(3+5\sqrt{2})+\sqrt{2}(3+5\sqrt{2}) = 6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{4}\)

Зверніть увагу, що при знаходженні останнього терміну,\(\sqrt{2}\sqrt{2} = \sqrt{4}\). Тепер\ sqrt {4} = 2, тоді ми можемо об'єднати як терміни.

\(6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5\sqrt{4} = 6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+5(2) = 6+10\sqrt{2}+3\sqrt{2}+10 = 16+13\sqrt{2}\)

Десяткові наближення вихідного виразу і його проста радикальна форма показані на малюнках 4 (а) і (б).

Малюнок 4. Порівняння вихідного виразу з його спрощеною формою.

Спеціальні продукти

Є два спеціальні продукти, які мають важливі програми, що включають радикальні вирази, можливо, одне більше, ніж інше. Перший - добре відома відмінність малюнка двох квадратів.

різниця квадратів

Нехай a і b будуть будь-якими числами. Потім,

\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\).

Ця закономірність включає в себе два біноміальних множника, що мають однакові перший і другий члени, члени в одному множнику розділені знаком плюс, члени в іншому множнику розділені знаком мінус. Коли ми бачимо цю закономірність множення, ми повинні квадрат першого члена будь-якого фактора, квадрат другого члена, а потім відняти результати. Наприклад,

\((2x+3)(2x−3) = 4x^2−9\).

Цей спеціальний продукт однаково добре застосовується, коли перші та/або другі члени включають радикальні вирази.

Приклад\(\PageIndex{15}\)

Використовуйте різницю квадратів візерунків для множення\((2+\sqrt{11})(2−\sqrt{11})\)

Зауважте, що це множення має вигляд (a + b) (a − b), тому ми застосовуємо шаблон різниці квадратів, щоб отримати

\((2+\sqrt{11})(2−\sqrt{11}) = (2)^2−(\sqrt{11})^2\)

Звичайно,\(2^2 = 4\) і\((\sqrt{11})^2 = 11\), так ми можемо закінчити наступним чином.

\((2)^2−(\sqrt{11})^2 = 4−11 = −7\)

Приклад\(\PageIndex{16}\)

Використовуйте візерунок різниці квадратів для множення\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7})\).

Знову ж таки, цей виріб має спеціальну форму (a + b) (a − b), тому ми застосовуємо різницю квадратів візерунка, щоб отримати

\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7}) = (2\sqrt{5})^2−(3\sqrt{7})^2\)

Далі квадратизируем добуток двох факторів за правилом\((ab)^2 = a^{2}b^2\). Таким чином,

\((2\sqrt{5})^2 = (2)^{2}(\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20\)

і

\((3\sqrt{7})^2 =(3)^{2}(\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63\).

Таким чином, ми можемо завершити множення за\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7})\) допомогою

\((2\sqrt{5})^2−(3\sqrt{7})^2 =20−63=−43\).

Цей результат легко перевірити за допомогою калькулятора, як показано на малюнку 5.

Малюнок 5. Наближення\((2\sqrt{5}+3\sqrt{7})(2\sqrt{5}−3\sqrt{7})\).

Другий шаблон, що представляє інтерес, - це ярлик для квадратизації біноміала.

Квадратування біноміального

Нехай a і b - числа. Потім,

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Тут ми квадратизируем перший і другий члени біноміалу, потім виробляємо середній член результату, множивши перший і другий члени і подвоюючи цей результат. Наприклад,

\((2x+9)^2 = (2x)^2 +2(2x)(9)+(9)^2 = 4x^2 +36x+81\).

Цей візерунок також може бути застосований до біноміалів, що містять радикальні вирази.

Приклад\(\PageIndex{17}\)

Використовуйте квадрат біноміального візерунка, щоб розширити\((2\sqrt{x} + \sqrt{5})^2\). Помістіть свій результат в простій радикальній формі. Припустімо, що x є додатним дійсним числом (x > 0).

Застосовуючи квадрат двочленний візерунок, отримуємо

\((2\sqrt{x} + \sqrt{5})^2 = (2\sqrt{x})^2 + 2(2\sqrt{x})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2\).

Як і раніше,\((2\sqrt{x})^2 = (2)^{2}(\sqrt{x})^2 = 4x\) і\((\sqrt{5})^2 = 5\). У випадку з\(2(2\sqrt{x})(\sqrt{5})\), зверніть увагу, що ми множимо чотири числа разом. Асоціативні та комутативні властивості стверджують, що ми можемо помножити ці чотири числа в будь-якому порядку, який нам подобається. Отже, добуток 2 і 2 дорівнює 4, добуток\(\sqrt{x}\) і\(\sqrt{5}\) є\(\sqrt{5x}\), потім ми множимо ці результати, щоб отримати результат\(4\sqrt{5x}\). Таким чином,

\((2\sqrt{x})^2 + 2(2\sqrt{x})(\sqrt{5}) + (\sqrt{5})^2 = 4x + 4\sqrt{5x} + 5\).

Раціоналізація знаменників

Як ми бачили в попередньому розділі, інструкція «раціоналізувати знаменник» - це прохання прибрати всі радикальні вирази зі знаменника. Звичайно, це «третій орієнтир простої радикальної форми», але бувають випадки, особливо в обчисленні, коли інструкція змінюється на «раціоналізувати чисельник». Звичайно, це прохання прибрати з чисельника всі радикали.

Ви не можете мати обидва світи. Ви можете видалити радикальні вирази з знаменника або з чисельника, але не обидва. Якщо вказівки не дано, припустимо, що в грі діє «третя орієнтир простої радикальної форми» і видаліть всі радикальні вирази зі знаменника. Ми вже зробили трохи цього в попередніх розділах, але тут ми звертаємося до трохи більш складного типу вираження.

Приклад\(\PageIndex{18}\)

У виразі\(\frac{3}{2+\sqrt{2}}\) раціоналізуйте знаменник.

Секрет полягає в різниці квадратів візерунком,\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\). For example,

\((2+\sqrt{2})(2−\sqrt{2}) = (2)^2−(\sqrt{2})^2 = 4−2 = 2\).

Це дає приголомшливий натяк на те, як діяти з раціоналізацією знаменника виразу\(\frac{3}{(2+\sqrt{2})}\). Помножте чисельник і знаменник на\(2−\sqrt{2}\).

\(\frac{3}{2+\sqrt{2}} = \frac{3}{2+2\sqrt{2}} \cdot \frac{2−\sqrt{2}}{2−\sqrt{2}}\)

Множимо чисельники і знаменники.

\(\frac{3}{2+2\sqrt{2}} \cdot \frac{2−\sqrt{2}}{2−\sqrt{2}} = \frac{3(2−\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2−\sqrt{2})} = \frac{6−3\sqrt{2}}{(2)^2−(\sqrt{2})^2} = \frac{6−3\sqrt{2}}{4−2} = \frac{6−3\sqrt{2}}{2}\)

Зверніть увагу, що заманливо скасувати 2 в знаменнику на 6 в чисельнику, але вам не дозволяється скасовувати терміни, розділені знаком мінус. Це поширена помилка, тому не ставайте жертвою цієї помилки.

На рисунках 6 (a) і (b) ми порівняємо десяткові наближення вихідного виразу і його простої радикальної форми.

Малюнок 6. Порівняння вихідного виразу з його простою радикальною формою.

Приклад\(\PageIndex{19}\)

У виразі\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}\) раціоналізуйте знаменник.

Помножити чисельник і знаменник на\(\sqrt{3} + \sqrt{2}\).

\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\).

Множимо чисельники і знаменники.

\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\)

У знаменнику ми маємо різницю в два квадрати. Таким чином,

\((\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2−(\sqrt{2})^2 =3−2=1\).

Зверніть увагу, що це очищає знаменник від радикалів. Саме тому ми множимо чисельник і знаменник на\(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). У чисельнику ми можемо використовувати квадрат біноміального ярлика для множення.

\((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{6} +2 = 5+2\sqrt{6}\)

Таким чином, ми можемо завершити спрощення, розпочате вище.

\(\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{5+2\sqrt{6}}{1} = 5+2\sqrt{6}\)

На малюнках 7 (а) і (b) ми порівняємо десяткові наближення вихідного виразу з його простою радикальною формою.

Малюнок 7. Порівняння вихідного виразу з його простою радикальною формою.

Переглянути квадратичну формулу

Ми можемо використовувати те, що ми навчилися розміщувати рішення, надані квадратичною формулою, у простій формі. Давайте розглянемо приклад.

Приклад\(\PageIndex{20}\)

Розв'яжіть рівняння\(x^2 = 2x + 2\) для x. Помістіть своє рішення в простій радикальній формі.

Рівняння нелінійне, тому зробіть одну сторону нулем.

\(x^2−2x−2=0\)

Порівняйте цей результат із загальним виглядом\(ax^2 +bx+c = 0\) і зверніть увагу, що a = 1, b = −2 і c = −2. Запишіть квадратичну формулу, зробіть підстановки, потім спростіть.

\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{(−2)^2−4(1)(−2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}\)

Зауважте, що ми можемо перерахувати ідеальний квадрат від радикала в чисельнику.

\(x= \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4}\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}\)

У цьому пункті зверніть увагу, що і чисельник, і знаменник діляться на 2. Є кілька способів, за якими ми можемо приступити до скорочення.

• Деякі люди вважають за краще фактор, потім скасовувати.

\(\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2(1 \pm \sqrt{3})}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)

• Деякі вважають за краще використовувати розподільне властивість.

\(\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\)

У кожному конкретному випадку остаточна форма відповіді знаходиться в простій радикальній формі і вона зводиться до найнижчих.

Попередження\(\PageIndex{21}\)

При роботі з квадратичною формулою однією з найпоширеніших помилок алгебри є скасування доповнення замість множників, як в

\(\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = \pm 2\sqrt{3}\)

Будь ласка, намагайтеся уникати цієї помилки.

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад\(\PageIndex{22}\)

Розв'яжіть рівняння\(3x^2 − 2x = 6\) для x. Помістіть своє рішення в простій радикальній формі.

Це рівняння нелінійне. Перемістіть кожен член в одну сторону рівняння, зробивши іншу сторону рівняння рівняння рівнянням рівняння рівнянням.

\(3x^2−2x−6=0\)

Порівняйте із загальною формою\(ax^2 +bx+c = 0\) і зверніть увагу, що a = 3, b = −2, а c = −6. Запишіть квадратичну формулу і підставляйте.

\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{(−2)^2−4(3)(−6)}}{2(3)} = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{6}\)

Фактор досконалий квадрат від радикала в чисельнику.

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{4}\sqrt{19}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{19}}{6}\)

Ми вибираємо фактор і скасовуємо.

\(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{2(1 \pm \sqrt{19})}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{3}\)

У вправах 1 - 14 помістіть кожне з радикальних виразів в простій радикальній формі. Перевірте свою відповідь за допомогою калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

\(2(5\sqrt{7})\)

Відповідь

Перегрупувати за допомогою асоціативного властивості і спростити.

\(2(5\sqrt{7})=(2 \cdot 5)\sqrt{7}=10\sqrt{7}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

\(−3(2\sqrt{3})\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

\(−\sqrt{3}(2\sqrt{5})\)

Відповідь

Комутативні та асоціативні властивості дозволяють нам змінювати порядок та перегрупувати.

\(−\sqrt{3}(2\sqrt{5})=2(−\sqrt{3}\sqrt{5})=2(−\sqrt{15})=−2\sqrt{15}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

\(\sqrt{2}(3\sqrt{7})\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

\(\sqrt{3}(5\sqrt{6})\)

Відповідь

Комутативні та асоціативні властивості дозволяють нам змінювати порядок та перегрупувати.

\(\sqrt{3}(5\sqrt{6})=5(\sqrt{3}\sqrt{6})=5(\sqrt{18})\)

Це не в простій формі, оскільки можна виділити ідеальний квадрат.

\(5\sqrt{18}=5\sqrt{9}\sqrt{2}=5 \cdot 3\sqrt{2}=15\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{6}\)

\(\sqrt{2}(−3\sqrt{10})\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

\((2\sqrt{5})(−3\sqrt{3})\)

Відповідь

Комутативні та асоціативні властивості дозволяють нам змінювати порядок та перегрупувати.

\((2\sqrt{5})(−3\sqrt{3})=(2 \cdot −3)(\sqrt{5}\sqrt{3})=−6\sqrt{15}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\((−5\sqrt{2})(−2\sqrt{7})\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

\((−4\sqrt{3})(2\sqrt{6})\)

Відповідь

Комутативні та асоціативні властивості дозволяють нам змінювати порядок та перегрупувати.

\((−4\sqrt{3})(2\sqrt{6}) = (−4 \cdot 2)(\sqrt{3}\sqrt{6})=−8\sqrt{18}\)

Ця відповідь не проста, оскільки ми можемо врахувати ідеальний квадрат.

\(−8\sqrt{18} = −8\sqrt{9}\sqrt{2} = −8 \cdot 3\sqrt{2} = −24\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{10}\)

\((2\sqrt{5})(−3\sqrt{10})\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

\((2\sqrt{3})^2\)

Відповідь

Нагадаємо, що\((ab)^2 = a^{2}b^2\).

\((2\sqrt{3})^2 = (2)^{2}(\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{12}\)

\((−3\sqrt{5})^2\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

\((−5\sqrt{2})^2\)

Відповідь

Нагадаємо, що\((ab)^2 = a^{2}b^2\).

\((−5\sqrt{2})^2 = (−5)^{2}(\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{14}\)

\((7\sqrt{11})^2\)

У вправах 15 - 22 використовуйте розподільну властивість для множення. Помістіть остаточну відповідь у простій радикальній формі. Перевірте результат за допомогою калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{15}\)

\(2(3 +\sqrt{5})\)

Відповідь

Нагадаємо розподільне властивість: a (b + c) = ab + ac.

\(2(3+\sqrt{5}) = 2(3)+2(\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{16}\)

\(−3(4−\sqrt{7})\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

\(2(−5+4\sqrt{2})\)

Відповідь

Нагадаємо розподільне властивість: a (b + c) = ab + ac.

\(2(−5+4\sqrt{2})=2(−5)+2(4\sqrt{2})=−10+8\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{18}\)

\(−3(4−3\sqrt{2})\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

\(\sqrt{2}(2+\sqrt{2})\)

Відповідь

Нагадаємо розподільне властивість: a (b + c) = ab + ac.

\(\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) = \sqrt{2}(2)+\sqrt{2}(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}+\sqrt{4}=2\sqrt{2}+2\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{20}\)

\(\sqrt{3}(4−\sqrt{6})\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

\(\sqrt{2}(\sqrt{10}+\sqrt{14})\)

Відповідь

Нагадаємо розподільне властивість: a (b + c) = ab + ac.

\(\sqrt{2}(\sqrt{10}+\sqrt{14}) = \sqrt{2}(\sqrt{10})+ \sqrt{2}(\sqrt{14}) = \sqrt{20}+\sqrt{28}\)

Однак ця відповідь не в простій формі, тому що ми можемо враховувати ідеальні квадрати.

\(\sqrt{20}+\sqrt{28} = \sqrt{4}\sqrt{5}+\sqrt{4}\sqrt{7} = 2\sqrt{5}+2\sqrt{7}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{22}\)

\(\sqrt{3}(\sqrt{15}−\sqrt{33})\)

У вправах 23 - 30 комбінуйте подібні терміни. Помістіть остаточну відповідь у простій радикальній формі. Перевірте своє рішення за допомогою калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{23}\)

\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2}\)

Відповідь

Використовуйте розподільну властивість для розрахунку\(\sqrt{2}\).

\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2} = (−5+7)\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\)

На практиці ми зазвичай просто об'єднаємо\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2}\) багато, як ми робимо −5x+7x = 2x і просто пишемо\(−5\sqrt{2}+7\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{24}\)

\(2\sqrt{3}+3\sqrt{3}\)

Вправа\(\PageIndex{25}\)

\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6}\)

Відповідь

Використовуйте розподільну властивість для розрахунку\(\sqrt{6}\).

\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6} = (2−8)\sqrt{6} = −6\sqrt{6}\)

На практиці ми зазвичай просто об'єднаємо\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6}\) так само, як і 2x−8x = −6x і просто пишемо\(2\sqrt{6}−8\sqrt{6}=−6\sqrt{6}\).

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{26}\)

\(\sqrt{7}−3\sqrt{7}\)

Вправа\(\PageIndex{27}\)

\(2\sqrt{3}−4\sqrt{2}+3\sqrt{3}\)

Відповідь

Комутативні та асоціативні властивості додавання дозволяють нам змінювати порядок та перегрупувати, тоді ми поєднуємо подібні терміни.

\(2\sqrt{3}−4\sqrt{2}+3\sqrt{3} = (2\sqrt{3}+3\sqrt{3})−4\sqrt{2} = 5\sqrt{3}−4\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{28}\)

\(7\sqrt{5}+2\sqrt{7}−3\sqrt{5}\)

Вправа\(\PageIndex{29}\)

\(2\sqrt{3}+5\sqrt{2}−7\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)

Відповідь

Комутативні та асоціативні властивості додавання дозволяють нам змінювати порядок та перегрупувати, тоді ми можемо додавати подібні терміни.

\(2\sqrt{3}+5\sqrt{2}−7\sqrt{3}+2\sqrt{2} = (2\sqrt{3}−7\sqrt{3})+(5\sqrt{2}+2\sqrt{2})=−5\sqrt{3}+7\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{30}\)

\(3\sqrt{11}−2\sqrt{7}−2\sqrt{11}+4\sqrt{7}\)

У вправах 31 - 40 поєднуйте подібні терміни, де це можливо. Помістіть остаточну відповідь у простій радикальній формі. Скористайтеся калькулятором, щоб перевірити результат.

Вправа\(\PageIndex{31}\)

\(\sqrt{45}+\sqrt{20}\)

Відповідь

\(\sqrt{45}+\sqrt{20} = \sqrt{3^{2} \cdot 5}+ \sqrt{2^2 \cdot 5} = 3\sqrt{5}+2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} =5\sqrt{5}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{32}\)

\(−4\sqrt{45}−4\sqrt{20}\)

Вправа\(\PageIndex{33}\)

\(2\sqrt{18} − \sqrt{8}\)

Відповідь

\(2\sqrt{18}−\sqrt{8} = 2\sqrt{3^2 \cdot 2}−\sqrt{2^2 \cdot 2} = 6\sqrt{2}−2\sqrt{2} = (6−2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{34}\)

\(−\sqrt{20}+4\sqrt{45}\)

Вправа\(\PageIndex{35}\)

\(−5\sqrt{27}+5\sqrt{12}\)

Відповідь

\(−5\sqrt{27}+5\sqrt{12} = −5\sqrt{3^2 \cdot 3}+5\sqrt{2^2 \cdot 3} = −15\sqrt{3}+10\sqrt{3} = (−15+10)\sqrt{3} = −5\sqrt{3}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{36}\)

\(3\sqrt{12}−2\sqrt{27}\)

Вправа\(\PageIndex{37}\)

\(4\sqrt{20}+4\sqrt{45}\)

Відповідь

\(4\sqrt{20}+4\sqrt{45} = 4\sqrt{2^2 \cdot 5}+4\sqrt{3^2 \cdot 5} = 8\sqrt{5}+12\sqrt{5} = (8+12)\sqrt{5} =20\sqrt{5}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{38}\)

\(−2\sqrt{18}−5\sqrt{8}\)

Вправа\(\PageIndex{39}\)

\(2\sqrt{45}+5\sqrt{20}\)

Відповідь

\(2\sqrt{45}+5\sqrt{20} = 2\sqrt{3^2 \cdot 5}+5\sqrt{2^2 \cdot 5} = 6\sqrt{5}+10\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{40}\)

\(3\sqrt{27}−4\sqrt{12}\)

У вправах 41 - 48 спростити кожне з заданих раціональних виразів. Помістіть остаточну відповідь у простій радикальній формі. Перевірте результат за допомогою калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{41}\)

\(\sqrt{2}−\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Відповідь

Помістіть другий термін в простій радикальній формі.

\(\sqrt{2}−\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}−\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}−\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = \sqrt{2}−\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Напишіть кожен член над спільним знаменником 2.

\(\sqrt{2}−\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2}−\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{42}\)

\(3\sqrt{3}−\frac{3}{\sqrt{3}}\)

Вправа\(\PageIndex{43}\)

\(2\sqrt{2}−\frac{2}{\sqrt{2}}\)

Відповідь

Помістіть другий термін в простій радикальній формі.

\(2\sqrt{2}−\frac{2}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}−\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}−\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}}\)

Продовжуючи,

\(2\sqrt{2}−\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = 2\sqrt{2}−\frac{2\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}−\sqrt{2} = \sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{44}\)

\(4\sqrt{5}−\frac{5}{\sqrt{5}}\)

Вправа\(\PageIndex{45}\)

\(5\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}}\)

Відповідь

Помістіть другий термін в простій радикальній формі.

\(5\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}+\frac{3}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{4}} = 5\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Запишіть еквівалентні дроби із загальним знаменником і додайте.

\(\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{13\sqrt{2}}{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{46}\)

\(6\sqrt{3}+\frac{2}{\sqrt{3}}\)

Вправа\(\PageIndex{47}\)

\(\sqrt{8}−\frac{12}{\sqrt{2}}−3\sqrt{2}\)

Відповідь

Помістіть перший і другий члени в простій радикальній формі.

\(\sqrt{8}−\frac{12}{\sqrt{2}}−3\sqrt{2} = \sqrt{4}\sqrt{2}−\frac{12}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}−3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}−\frac{12\sqrt{2}}{2}−3\sqrt{2}\)

Зменшіть дробовий другий член, потім об'єднайте подібні терміни.

\(2\sqrt{2}−\frac{12\sqrt{2}}{2}−3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}−6\sqrt{2}−3\sqrt{2} = −7\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{48}\)

\(\sqrt{27}−\frac{6}{\sqrt{3}}−5\sqrt{3}\)

У вправах 49 - 60 множте, щоб розширити кожне з заданих радикальних виразів. Помістіть остаточну відповідь у простій радикальній формі. Скористайтеся калькулятором, щоб перевірити результат.

Вправа\(\PageIndex{49}\)

\((2+\sqrt{3})(3−\sqrt{3})\)

Відповідь

Розподіліть другий множник раз на кожен термін першого фактора, потім застосуйте розподільну властивість вдруге.

\((2+\sqrt{3})(3−\sqrt{3})=2(3−\sqrt{3})+\sqrt{3}(3−\sqrt{3})=6−2\sqrt{3}+3\sqrt{3}−\sqrt{9}\)

Спрощуйте і комбінуйте подібні терміни.

\(6−2\sqrt{3}+3\sqrt{3}−\sqrt{9}=6−2\sqrt{3}+3\sqrt{3}−3=3+\sqrt{3}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{50}\)

\((5+\sqrt{2})(2−\sqrt{2})\)

Вправа\(\PageIndex{51}\)

\((4+3\sqrt{2})(2−5\sqrt{2})\)

Відповідь

Використовуйте розподільну властивість, щоб помножити другий множник на кожен член першого фактора, потім використовуйте розподільну властивість вдруге.

\((4+3\sqrt{2})(2−5\sqrt{2}) = 4(2−5\sqrt{2})+3\sqrt{2}(2−5\sqrt{2}) = 8−20\sqrt{2}+6\sqrt{2}−15\sqrt{4}\)

Спрощуйте, а потім комбінуйте подібні терміни.

\(8−20\sqrt{2}+6\sqrt{2}−15\sqrt{4}=8−20\sqrt{2}+6\sqrt{2}−30=−22−14\sqrt{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{52}\)

\((3+5\sqrt{3})(1−2\sqrt{3})\)

Вправа\(\PageIndex{53}\)

\((2+3\sqrt{2})(2−3\sqrt{2})\)

Відповідь

Тут ми використовуємо різницю квадратів візерунка:\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\).

\((2+3\sqrt{2})(2−3\sqrt{2}) = (2)^2−(3\sqrt{2})^2\)

Нагадаємо, що\((ab)^2 = a^{2}b^2\).

\((2)^2 −(3\sqrt{2})^2 =4−(3)^{2}(\sqrt{2})^2 = 4−9 \cdot 2 = 4−18 = −14\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{54}\)

\((3 + 2\sqrt{5})(3 − 2\sqrt{5})\)

Вправа\(\PageIndex{55}\)

\((2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}−3\sqrt{2})\)

Відповідь

Тут ми використовуємо різницю квадратів візерунка:\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\).

\((2\sqrt{3}+3\sqrt{2})(2\sqrt{3}−3\sqrt{2}) = (2\sqrt{3})^2−(3\sqrt{2})^2\)

Нагадаємо, що\((ab)^2 = a^{2}b^2\).

\((2\sqrt{3})^2 −(3\sqrt{2})^2 =(2)^2(\sqrt{3})^2−(3)^{2}(\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 3−9 \cdot 2 = 12−18 = −6\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{56}\)

\((8\sqrt{2}+\sqrt{5})(8\sqrt{2}−\sqrt{5})\)

Вправа\(\PageIndex{57}\)

\((2+\sqrt{5})^2\)

Відповідь

Тут ми використовуємо квадрат біноміального візерунка:\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).

Нагадаємо, що\((ab)^2 = a^{2}b^2\).

\((2+\sqrt{5})^2 = (2)^2+2(2)(\sqrt{5})+(\sqrt{5})^2 = 4+4\sqrt{5}+5 = 9+4\sqrt{5}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{58}\)

\((3−\sqrt{2})^2\)

Вправа\(\PageIndex{59}\)

\((\sqrt{3}−2\sqrt{5})^2\)

Відповідь

Тут ми використовуємо квадрат біноміального візерунка:\((a−b)^2 = a^2−2ab+b^2\).

Нагадаємо, що\((ab)^2 = a^{2}b^2\).

\((\sqrt{3}−2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2−2(\sqrt{3})(2\sqrt{5})+(2\sqrt{5})^2 = 3−4\sqrt{15}+ 4 \cdot 5 = 3−4\sqrt{15}+20 = 23−4\sqrt{15}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{60}\)

\((2\sqrt{3} + 3\sqrt{2})^2\)

У вправах 61 - 68 помістіть кожне з заданих раціональних виразів в простій радикальній формі шляхом «раціоналізації знаменника». Перевірте результат за допомогою калькулятора.

Вправа\(\PageIndex{61}\)

\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на\(\sqrt{5}−\sqrt{3}\). Згадаймо різницю квадратів візерунка:\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\).

\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{\sqrt{5}−\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2−(\sqrt{3})^2}\)

Продовжуючи.

\(\frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2−(\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{5−3} = \frac{\sqrt{5}−\sqrt{3}}{2}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{62}\)

\(\frac{1}{2\sqrt{3}−2}\)

Вправа\(\PageIndex{63}\)

\(\frac{6}{2\sqrt{5}−\sqrt{2}}\)

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на\(2\sqrt{5}+\sqrt{2}\). Згадаймо різницю квадратів візерунка:\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\).

\(\frac{6}{2\sqrt{5}−\sqrt{2}} = \frac{6}{2\sqrt{5}−\sqrt{2}} \cdot \frac{2\sqrt{5}+\sqrt{2}}{2\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{(2\sqrt{5})^2−(\sqrt{2})^2}\)

Продовжуючи.

\(\frac{12\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{(2\sqrt{5})^2−(\sqrt{2})^2} = \frac{12\sqrt{5}+6\sqrt{2}}{20−2} = \frac{12\sqrt{5}−6\sqrt{2}}{18}\).

Зменшити. Коефіцієнт чисельника і знаменника і скасувати.

\(\frac{12\sqrt{5}−6\sqrt{2}}{18} = \frac{6(2\sqrt{5}−\sqrt{2})}{6 \cdot 3} = \frac{2\sqrt{5}−\sqrt{2}}{3}\).

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{64}\)

\(\frac{9}{3\sqrt{3}−\sqrt{6}}\)

Вправа\(\PageIndex{65}\)

\(\frac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}}\)

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на\(2+\sqrt{3}\).

\(\frac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2−\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2−\sqrt{3})(2−\sqrt{3})}\).

Використовуйте квадрат біноміального візерунка\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) на чисельнику і різниці квадратів візерунка\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\) на знаменнику.

\(\frac{(2+\sqrt{3})^2}{(2−\sqrt{3})(2−\sqrt{3})} = \frac{(2)^2+2(2)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2}{2^2−(\sqrt{3})^2}\).

Продовжуючи.

\(\frac{(2)^2+2(2)(\sqrt{3})+(\sqrt{3})^2}{2^2−(\sqrt{3})^2} = \frac{4+4\sqrt{3}+3}{4−3} = 7+4\sqrt{3}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{66}\)

\(\frac{3−\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}\)

Вправа\(\PageIndex{67}\)

\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}\)

Відповідь

Помножте чисельник і знаменник на\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\).

\(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}\).

Використовуйте квадрат біноміального візерунка\((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\) на чисельнику і різниці квадратів візерунка\((a+b)(a−b) = a^2−b^2\) на знаменнику.

\(\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}−\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}= \frac{(\sqrt{3})^2+2(\sqrt{3})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2−(\sqrt{2})^2}\).

Продовжуючи.

\(\frac{(\sqrt{3})^2+2(\sqrt{3})(\sqrt{2})+(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2−(\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{6}+2}{3−2} = 5+2\sqrt{6}\)

Перевірка.

Вправа\(\PageIndex{68}\)

\(\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}−\sqrt{2}}\)

У вправах 69 - 76 використовуйте квадратичну формулу для пошуку розв'язків заданого рівняння. Розмістіть свої рішення в простій радикальній формі і зведіть свої рішення до найнижчих термінів.

Вправа\(\PageIndex{69}\)

\(3x^2−8x=5\)

Відповідь

Рівняння нелінійне, тому зробіть одну сторону нулем.

\(3x^2−8x−5=0\)

Порівняйте\(3x^2−8x−5 = 0\) з\(ax^2+bx+c = 0\) і зверніть увагу, що a = 3, b = −8, а c = −5. Запишіть квадратичну формулу і підставляйте.

\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−8) \pm \sqrt{��(−8)^2 −4(3)(−5)}}{2(3)} = \frac{8 \pm \sqrt{124}}{6}\)

Фактор досконалий квадрат від радикала в чисельнику.

\(x = \frac{8 \pm \sqrt{4}\sqrt{31}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{31}}{6}\)

Фактор чисельника і скасування.

\(x = \frac{8 \pm 2\sqrt{31}}{6} = \frac{2(4 \pm \sqrt{31})}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{70}\)

\(5x^2−2x=1\)

Вправа\(\PageIndex{71}\)

\(5x^2=2x+1\)

Відповідь

Рівняння нелінійне, тому зробіть одну сторону нулем.

\(5x^2−2x−1=0\)

Порівняйте\(5x^2−2x−1 = 0\) з\(ax^2+bx+c = 0\) і зверніть увагу, що a = 5, b = −2, а c = −1. Запишіть квадратичну формулу і підставляйте.

\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{��(−2)^2 −4(5)(−1)}}{2(5)} = \frac{2 \pm \sqrt{24}}{10}\)

Фактор досконалий квадрат від радикала в чисельнику.

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{4}\sqrt{6}}{10} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{10}\)

Фактор чисельника і скасування.

\(x = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{10} = \frac{2(1 \pm \sqrt{6})}{2 \cdot 5} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{5}\)

Вправа\(\PageIndex{72}\)

\(3x^2−2x=11\)

Вправа\(\PageIndex{73}\)

\(7x^2=6x+2\)

Відповідь

Рівняння нелінійне, тому зробіть одну сторону нулем.

\(7x^2−6x−2=0\)

Порівняйте\(7x^2−6x−2 = 0\) з\(ax^2+bx+c = 0\) і зверніть увагу, що a = 7, b = −6, а c = −2. Запишіть квадратичну формулу і підставляйте.

\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−6) \pm \sqrt{��(−6)^2 −4(7)(−2)}}{2(7)} = \frac{6 \pm \sqrt{92}}{14}\)

Фактор досконалий квадрат від радикала в чисельнику.

\(x = \frac{6 \pm \sqrt{4}\sqrt{23}}{14} = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{14}\)

Фактор чисельника і скасування.

\(x = \frac{6 \pm 2\sqrt{23}}{14} = \frac{2(3 \pm \sqrt{23})}{2 \cdot 7} = \frac{6 \pm \sqrt{23}}{7}\)

Вправа\(\PageIndex{74}\)

\(11x^2+6x=4\)

Вправа\(\PageIndex{75}\)

\(x^2=2x+19\)

Відповідь

Рівняння нелінійне, тому зробіть одну сторону нулем.

\(x^2−2x−19=0\)

Порівняйте\(x^2−2x−19 = 0\) з\(ax^2+bx+c = 0\) і зверніть увагу, що a = 1, b = −2, а c = −19. Запишіть квадратичну формулу і підставляйте.

\(x = \frac{−b \pm \sqrt{b^2−4ac}}{2a} = \frac{−(−2) \pm \sqrt{��(−2)^2 −4(1)(−19)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2}\)

Фактор досконалий квадрат від радикала в чисельнику.

\(x = \frac{2 \pm \sqrt{16}\sqrt{5}}{2} = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2}\)

Фактор чисельника і скасування.

\(x = \frac{2 \pm 4\sqrt{5}}{2} = \frac{2(1 \pm 2\sqrt{5})}{2 \cdot 1} = 1 \pm 2\sqrt{5}\)

Вправа\(\PageIndex{76}\)

\(100x^2=40x−1\)

У Вправах 77 - 80 ми призупинимо звичне правило, що слід раціоналізувати знаменник. Замість цього, тільки цей раз, раціоналізувати чисельник результуючого виразу.

Вправа\(\PageIndex{77}\)

Дано\(f(x) = \sqrt{x}\), оцініть вираз\(\frac{f(x)−f(2)}{x−2}\), а потім «раціоналізуйте чисельник».

Відповідь

Якщо\(f(x) = \sqrt{x}\), то

\(\frac{f(x)−f(2)}{x−2} = \frac{\sqrt{x}−\sqrt{2}}{x−2}\).

Щоб «раціоналізувати чисельник», помножте чисельник і знаменник на\(\sqrt{x}+\sqrt{2}\), а потім використовуйте шаблон різниці квадратів для спрощення.

\(\frac{\sqrt{x}−\sqrt{2}}{x−2} = \frac{\sqrt{x}−\sqrt{2}}{x−2} \cdot \frac{\sqrt{x}+\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{x})^2−(\sqrt{2})^2}{(x−2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{x−2}{(x−2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})}\)

Чисельник і знаменник враховуються, так що ми можемо скасувати,

\(\frac{x−2}{(x−2)(\sqrt{x}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{2}}\),

за умови, звичайно, що\(x \ne 2\).

Вправа\(\PageIndex{78}\)

Дано\(f(x) = \sqrt{x+2}\), оцініть вираз\(\frac{f(x)−f(3)}{x−3}\), а потім «раціоналізуйте чисельник».

Вправа\(\PageIndex{79}\)

Дано\(f(x) = \sqrt{x}\), оцініть вираз\(\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\), а потім «раціоналізуйте чисельник».

Відповідь

Якщо\(f(x) = \sqrt{x}\), то

\(\frac{f(x+h)−f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h}\)

Щоб «раціоналізувати чисельник», помножте чисельник і знаменник на\(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\), а потім використовуйте шаблон різниці квадратів для спрощення.

\(\frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h} = \frac{\sqrt{x+h}−\sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x+h})^2−(\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{x+h−x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}\)

Спростити, а потім скасувати.

\(\frac{x+h−x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\)

Результат дійсний за умови\(h \ne 0\).

Вправа\(\PageIndex{80}\)

Дано\(f(x) = \sqrt{x−3}\), оцініть вираз\(\frac{f(x+h)−f(x)}{h}\), а потім «раціоналізуйте чисельник».