3.4: Поєднання подібних термінів
- Page ID
- 57260
Починаємо нашу дискусію з визначення терміна.
Визначення: Термін
Термін - це одне число або змінна, або він може бути добутком числа (називається його коефіцієнтом) і однієї або декількох змінних (званих його змінною частиною). Терміни в алгебраїчному виразі відокремлюються символами додавання.
Приклад 1
Визначте терміни в алгебраїчному виразі
\[ 3x^2 + 5xy + 9y^2 + 12\nonumber \]
Для кожного члена визначте його коефіцієнт і змінну частину.
Рішення
У табличній формі перерахуємо кожен член виразу 3x^2 + 5xy + 9y^2 + 12, його коефіцієнт та його змінну частину.
Термін | Коефіцієнт | Змінна частина |
---|---|---|
3 х 2 | 3 | х 2 |
5 xy | 5 | xy |
9 з 2 | 9 | на 2 |
12 | 12 | Жоден |
Вправа
Скільки членів в алгебраїчному виразі 3 x 2 + 2 xy − 3 y 2?
- Відповідь
-
3
Приклад 2
Визначте терміни в алгебраїчному виразі
\[ a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3\nonumber \]
Для кожного члена визначте його коефіцієнт і змінну частину.
Рішення
Першим кроком є написання кожної різниці у вигляді суми, оскільки терміни виразу визначені вище як елементи, розділені символами додавання.
\[ a^3 + (−3a^2b)+3ab^2 + (−b^3)\nonumber \]
У табличній формі перерахуємо кожен член виразу\(a^3+(−3a^2b)+3ab^2+(−b^3)\), його коефіцієнт і його змінну частину.
Термін | Коефіцієнт | Змінна частина |
---|---|---|
a 3 | 1 | a 3 |
-3 а 2 б | −3 | а 2 б |
3 аб 2 | 3 | аб 2 |
− b 3 | −1 | б 3 |
Вправа
Скільки термінів в алгебраїчному виразі\(11 − a^2 − 2ab + 3b^2a\)?
- Відповідь
-
4
Подобається Умови
Ми визначаємо, що мається на увазі під «подібними термінами» і «на відміну від термінів».
Визначення
Як і на відміну від термінів. Змінні частини двох термінів визначають, чи є терміни подібними до термінів чи на відміну від термінів.
Подібні терміни. Два члени називаються як терміни, якщо вони мають однакові змінні частини, а це означає, що терміни повинні містити однакові змінні, підняті до однакових експоненціальних степеней.
На відміну від Умов. Два члени називаються на відміну від термінів, якщо їх змінні частини різні.
Приклад 3
Класифікувати кожну з наступних пар як подібні терміни або відмінні від термінів: (a) 3 x та −7 x, (b) 2 y та 3 y 2, (c) −3 t та 5 u та (d) −4 a 3 і 3 а 3.
Рішення
Подібні терміни повинні мати однакові змінні частини.
- 3 x та −7 x мають однакові змінні частини. Вони «як терміни».
- 2 у і 3 у 2 не мають однакових змінних частин (показники відрізняються). Вони «на відміну від термінів».
- −3 t та 5 u не мають однакових змінних частин (різних змінних). Вони «на відміну від термінів».
- −4 a 3 та 3 a 3 мають однакові змінні частини. Вони «як терміни».
Вправа
Чи є −3 xy та 11 xy подібними або несхожими на терміни?
- Відповідь
-
Подібні терміни
Поєднання подібних термінів
При використанні розподільної властивості не має різниці, чи є множення ліворуч чи праворуч, все одно розподіляє множення разів на кожен член в дужках.
Розподільна власність
Якщо a, b і c є цілими числами, то
а (б + с) = аб + ак і (б + с) а = ба + ка.
У будь-якому випадку ви розподіляєте раз кожен член суми.
«Подібні терміни» можна комбінувати і спрощувати. Інструмент, який використовується для об'єднання подібних термінів, є розподільна властивість. Наприклад, розглянемо вираз 3 y + 7 y, що складається з двох «подібних термінів» із загальною змінною частиною. Ми можемо використовувати розподільну властивість і писати
\[3y+7y=(3+7)y\nonumber \]
Зверніть увагу, що ми використовуємо розподільну властивість у зворотному напрямку, «факторинг» загальної змінної частини кожного члена. Перевіряючи нашу роботу, зверніть увагу, що якщо ми перерозподіляємо змінну part y раз на кожен член в дужках, ми повернемося до вихідного виразу 3 y + 7 y.
Приклад 4
Використовуйте розподільну властивість для об'єднання подібних термінів (якщо можливо) у кожному з наступних виразів: (a) −5 x 2 − 9 x 2, (b) −5 ab + 7 ab, (c) 4 y 3 − 7 y 2 та (d) 3 xy 2 − 7 хх 2.
Рішення
Якщо терміни «схожі на терміни», ви можете використовувати розподільну властивість, щоб «зарахувати» загальну змінну частину.
а) Фактор із загальної змінної частини x 2.
\[ \begin{aligned} -5x^2 -9x^2 =(-5-9)x^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ = -14x^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -5-9=-5+(-9) = -14.} \end{aligned}\nonumber \]
б) Фактор із загальної змінної частини ab.
\[ \begin{aligned} -5ab +7ab = (-5+7)ab ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ =2ab ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -5+7 = 2.} \end{aligned}\nonumber \]
c) Терміни у виразі 4 y 3 − 7 y 2 мають різні змінні частини (експоненти різні). Це «на відміну від термінів» і не можуть бути об'єднані.
г) Фактор із загальної змінної частини xy 2.
\[ \begin{aligned} 3xy^2 - 7xy^2 =(3-7)xy^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ =-4xy^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 3-7=3+(-7)=-4.} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Спрощення: −8 z − 11 z
- Відповідь
-
−19 з
Прискорення речей трохи
Після того, як ви виписали всі кроки для об'єднання подібних термінів, як ті, що показані в прикладі 4, ви можете трохи прискорити процес, дотримуючись цього правила:
Поєднання подібних термінів
Щоб об'єднати подібні терміни, просто додайте їх коефіцієнти і збережіть загальну змінну частину.
Так, наприклад, коли представлена сума двох подібних членів, таких як у 5 х + 8 х, просто додайте коефіцієнти і повторіть загальну змінну частину; тобто 5 х + 8 х = 13 х.
Приклад 5
Поєднуйте подібні терміни:
- −9 г − 8г,
- −3 y 5 + 4 y 5 та
- −3 у 2 + 2 у 2.
Рішення
а) Скласти коефіцієнти і повторити загальну змінну частину. Тому,
\[−9y − 8y = −17y.\nonumber \]
б) Скласти коефіцієнти і повторити загальну змінну частину. Тому,
\[−3y^5 + 4y^5 = 1y^5.\nonumber \]
Однак врахуйте, що 1 у 5 = у 5. Дотримуючись правила, що остаточна відповідь повинна використовувати якомога менше символів, кращою відповіддю буде −3 y 5 + 4 y 5 = y 5.
в) Скласти коефіцієнти і повторити загальну змінну частину. Тому,
\[−3u^2 + 2u^2 = (−1)u^2.\nonumber \]
Однак зауважте, що (−1) u 2 = − u 2. Дотримуючись правила, що остаточна відповідь має використовувати якомога менше символів, кращою відповіддю буде −3 u 2 + 2 u 2 = − u 2.
Вправа
Об'єднати: −3 x, і − 4 x 2
- Відповідь
-
−7 х 2
Спростити
Часто зустрічається інструкція просить читача спростити вираз.
Спростити
Інструкція спростити - це загальний термін, який означає «спробуйте написати вираз в його найбільш компактному вигляді, використовуючи найменшу кількість символів».
Одним із способів досягнення цієї мети є поєднання подібних термінів, коли вони присутні.
Приклад 6
Спрощення: 2 x + 3 y − 5 x + 8 y.
Рішення
Використовуйте комутативну властивість для зміни порядку термінів та асоціативних та розподільних властивостей для перегрупування та об'єднання подібних термінів.
\[ \begin{aligned} 2x + 3y - 5x + 8y = (2x - 5x) + (3y + 8y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reorder and regroup.}} \\ = -3x + 11y ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms:}} \\ ~ & \textcolor{red}{ 2x - 5x = -3x \text{ and } 3y + 8y = 11y.} \end{aligned}\nonumber \]
альтернативне рішення
Звичайно, вам не потрібно показувати крок перегрупування. Якщо вам зручніше поєднувати подібні терміни в голові, ви можете представити свою роботу наступним чином:
\[2x + 3y − 5x + 8y = −3x + 11y.\nonumber \]
Вправа
Спрощення: −3 a + 4 b − 7 a − 9 b
- Відповідь
-
−10 a − 5 б
Приклад 7
Спрощення: −2 x − 3 − (3 x + 4).
Рішення
Спочатку розподіліть негативний знак.
\[ \begin{aligned} -2x-3-(3x+4)= -2x-3-3x-4 ~ & \textcolor{red}{-(3x+4)=-3x-4.} \end{aligned}\nonumber \]
Далі використовуйте комутативну властивість для переупорядкування, потім асоціативну властивість перегрупувати. Потім комбінуйте подібні терміни.
\[ \begin{aligned} =(-2x-3x)+(-3-4) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reorder and regroup.}} \\ =-5x+(-7) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms:}} \\ ~ & \textcolor{red}{ -2x-3x=-5x.} \\ =-5x-7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify:}} \\ ~ & \textcolor{red}{-5x+(-7)=-5x-7.} \end{aligned}\nonumber \]
альтернативне рішення
Ви можете пропустити другий крок, якщо хочете, просто поєднуючи подібні терміни подумки. Тобто цілком можливо замовити свою роботу наступним чином:
\[ \begin{aligned} -2x-3-(3x+4) = -2x-3-3x-4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute negative sign.}} \\ =-5x-7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms.}} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Спрощення: −9 a − 4 − (4 a − 8)
- Відповідь
-
−13 а + 4
Приклад 8
Спрощення: 2 (5 − 3 x) − 4 (x + 3).
Рішення
Використовуйте розподільну властивість для розширення, а потім використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб згрупувати подібні терміни та об'єднати їх.
\[ \begin{aligned} 2(5-3x)-4(x+3) = 10-6x-4x-12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ =(-6x-4x)+(10-12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Group like terms.}} \\ =-10x-2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: }} \\ ~ & \textcolor{red}{-6x-4x=-10x \text{ and} \\ ~ & \textcolor{red}{10-12=-2.} \end{aligned}\nonumber \]
альтернативне рішення
Ви можете пропустити другий крок, якщо хочете, просто поєднуючи подібні терміни подумки. Тобто цілком можливо замовити свою роботу наступним чином:
\[ \begin{aligned} 2(5-3x)-4(x+3) = 10-6x-4x-12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute.}} \\ =-10x-2 ~& \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms.}} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Спрощення: −2 (3 a − 4) − 2 (5 − a)
- Відповідь
-
−4 a − 2
Приклад 9
Спрощення: −8 (3 x 2 y − 9 xy) − 8 (−7 x 2 − 8 xy)
Рішення
Ми будемо діяти трохи швидше з цим рішенням, використовуючи розподільну властивість розширювати, потім поєднуючи подібні терміни подумки.
\[ \begin{aligned} -8(3x^2y-9xy) -8(-7x^2y-8xy)=-24x^2y+72xy+56x^2y+64xy \\ = 32x^2y+136xy \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Спрощення: (a 2 − 2 аб) − 2 (3 аб + a 2)
- Відповідь
-
− 2 − 8 аб
Додатки
Ми можемо спростити ряд корисних формул, поєднуючи подібні терміни.
Приклад 10
Знайдіть периметр P прямокутника (a) та (b) квадрата, зображеного нижче. Максимально спрощуйте свою відповідь.
Рішення
Периметр будь-якої багатокутної фігури - це сума довжин її сторін.
а) Щоб знайти периметр P прямокутника, підсумуйте його чотири сторони.
\[P = L + W + L + W.\nonumber \]
Поєднуйте подібні терміни.
\[P = 2L + 2W.\nonumber \]
б) Щоб знайти периметр P квадрата, підсумуйте його чотири сторони.
\[P = s + s + s + s.\nonumber \]
Поєднуйте подібні терміни.
\[P = 4s.\nonumber \]
Вправа
Правильний шестикутник має шість рівних сторін, кожна з яких має довжину х. Знайти його периметр через x.
- Відповідь
-
Р = 6 х
Іноді корисно замінити змінну виразом, що містить іншу змінну.
Приклад 11
Довжина прямокутника на три фути більше, ніж в два рази більше його ширини. Знайдіть периметр P прямокутника лише через його ширину.
Рішення
З попередньої задачі периметр прямокутника задається
\[P = 2L + 2W,\nonumber \]
де L і W - довжина і ширина прямокутника відповідно. Це рівняння дає периметр з точки зору його довжини та ширини, але ми попросили отримати периметр лише через ширину. Однак ми також враховуємо той факт, що довжина на три фути довша, ніж удвічі більше ширини.
\[ \begin{array} \colorbox{cyan}{Length} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{Three Feet} & \text{ longer than } & \colorbox{cyan}{Twice the Width} \\ L & = & 3 & + & 2W \end{array}\nonumber \]
Оскільки L = 3+2 W, ми можемо замінити L на 3+2 W в рівнянні периметра 3.1.
\[P = 2L + 2W\nonumber \]
\[P = 2(3 + 2W)+2W\nonumber \]
Використовуйте розподільну властивість, а потім комбінуйте подібні терміни.
\[P =6+4W + 2W\nonumber \]
\[P =6+6W.\nonumber \]
Це останнє рівняння дає периметр P через ширину тільки W.
Вправа
Довжина L прямокутника на 5 метрів більше, ніж в два рази більше його ширини W. Знайти периметр P прямокутника через його ширину W.
- Відповідь
-
Відповідь: Р = 6 Вт+ 10
Приклад 12
Ширина прямокутника на два фути менше його довжини. Знайдіть периметр P прямокутника лише через його довжину.
Рішення
Знову ж, периметр прямокутника задається рівнянням
\[P = 2L + 2W,\nonumber \]
де L і W - довжина і ширина прямокутника відповідно. Це рівняння дає периметр з точки зору його довжини та ширини, але ми попросили отримати периметр лише через довжину.
Однак ми також враховуємо той факт, що ширина на два фути менше довжини.
\[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Width} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{Length} & \text{ minus } & \colorbox{cyan}{Two feet} \\ W & = & L & - & 2 \end{aligned}\nonumber \]
Оскільки W = L −2, ми можемо замінити W на L −2 у рівнянні периметра 3.2.
\[P = 2L + 2W\nonumber \]
\[P = 2L + 2(L − 2)\nonumber \]
Використовуйте розподільну властивість, а потім комбінуйте подібні терміни.
\[P = 2L + 2L − 4\nonumber \]
\[P = 4L − 4.\nonumber \]
Це останнє рівняння дає периметр P через довжину L поодинці.
Вправа
Ширина W прямокутника на 5 футів менше, ніж удвічі більше ширини L. Знайти периметр P прямокутника через його довжину L.
- Відповідь
-
Р = 6 Л − 10
Вправи
У вправах 1-16 об'єднайте подібні терміни, спочатку використовуючи розподільну властивість, щоб вивести загальну змінну частину, а потім спрощуючи.
1. 17хх 2 + 18х 2 + 20хх 2
2. 13хх − 3хх+ х
3. −8xy 2 − 3xy 2 − 10xy 2
4. −12xy − 2хх+10хх
5. 4хх − 20хх
6. −7й 3 + 15й 3
7. 12р − 12р
8. 16 років − 5
9. −11х − 13х+ 8х
10. −9р − 10р + 3р
11. −5кв + 7кв
12. 17н +15н
13. р − 13р − 7р
14. 19м + м +15м
15. 3х 3 − 18х 3
16. 13х 2 у + 2х 2 г
У Вправи 17-32 об'єднайте подібні терміни, спочатку переставляючи терміни, потім використовуючи розподільну властивість, щоб виділити загальну змінну частину, а потім спрощуючи.
17. −8 +17н +10 + 8н
18. 11 + 16 с − 14 − 6
19. −2х 3 − 19х 2 у − 15х 2 у + 11х 3
20. −9х 2 у − 10й 3 − 10й 3 + 17х 2 у
21. −14xy − 2х 3 − 2х 3 − 4х
22. −4х 3 + 12х+4хх − 12х 3
23. −13 +16м + м + 16
24. 9 − 11х − 8х + 15
25. −14х 2 у − 2хх 2 + 8х 2 у + 18х 2
26. −19й 2 + 18й 3 − 5й 2 − 17 років 3
27. −14х 3 + 16х+5х 3 + 8х
28. −16xy + 16 років 2 + 7хх + 17 років 2
29. 9н + 10 + 7 +15н
30. −12р + 5 +17 +17р
31. 3й +1+6й + 3
32. 19р +6+8р + 13
У вправах 33-56 спростіть вираз, спочатку використовуючи розподільну властивість для розширення виразу, а потім переставляючи і поєднуючи подібні терміни подумки.
33. −4 (9х 2 у + 8) + 6 (10х 2 у − 6)
34. −4 (−4xy + 5y 3) + 6 (−5xy − 9y 3)
35. 3 (−4х 2 + 10г 2) + 10 (4й 2 − х 2)
36. −7 (−7х 3 + 6х 2) − 7 (−10х 2 − 7х 3)
37. −s + 7 − (−1 − 3с)
38. 10 років − 6 − (−10 − 10 років)
39. −10q − 10 − (−3q + 5)
40. −2n + 10 − (7n − 1)
41. 7 (8 років + 7) − 6 (8 − 7 років)
42. −6 (−5n − 4) − 9 (3+ 4n)
43. 7 (10х 2 − 8х2) − 7 (9хх 2 + 9х 2)
44. 10 (8х 2 у − 10хх 2) + 3 (8хх 2 + 2х 2 у)
45. −2 (6 + 4n) + 4 (−n − 7)
46. −6 (−2 − 6м) + 5 (−9м+ 7)
47. 8 − (4 + 8 років)
48. −1 − (8 + с)
49. −8 (−n + 4) − 10 (−4n + 3)
50. 3 (8р − 7) − 3 (2р − 2)
51. −5 − (10п + 5)
52. −1 − (2p − 8)
53. 7 (1 + 7р) + 2 (4 − 5р)
54. (5 − с) + 10 (9 + 5 с)
55. −2 (−5 − 8x 2) − 6 (6)
56. 8 (10 років 2 + 3х 3) − 5 (−7й 2 − 7х 3)
57. Довжина L прямокутника на 2 фути більше, ніж у 6 разів його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.
58. Довжина L прямокутника в 7 футів більше, ніж 6 разів його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.
59. Ширина W прямокутника на 8 футів коротша за його довжину L. Знайдіть периметр прямокутника лише через його довжину.
60. Ширина W прямокутника на 9 футів коротша за його довжину L. Знайдіть периметр прямокутника лише через його довжину.
61. Довжина L прямокутника на 9 футів коротше, ніж у 4 рази його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.
62. Довжина L прямокутника на 2 фути коротше, ніж у 6 разів його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.
Відповіді
1. 55xy 2
3. −21xy 2
5. −16xy
7. 0
9. −16х
11. 2кв
13. −19р
15. −15х 3
17. 2 +25н
19. 9х 3 − 34х 2 р
21. −18xy − 4х 3
23. 3 + 17м
25. -6х 2 у + 16xy 2
27. -9х 3 + 24 роки
29. Цілодобовий + 17
31. 9 років + 4
33. 24 х 2 р − 68
35. −22х 2 + 70 р 2
37. 2 с + 8
39. −7q − 15
41. 98-й + 1
43. 7х 2 − 119хх 2
45. −40 − 12н
47. 4 − 8 років
49. 48n − 62
51. −10 − 10 п
53. 15 +39р
55. -26 + 16х 2
57. 4 +14 ВТ
59. 4 Л − 16
61. 10 ВТ − 18