Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.4: Поєднання подібних термінів

  • Page ID
    57260
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Починаємо нашу дискусію з визначення терміна.

    Визначення: Термін

    Термін - це одне число або змінна, або він може бути добутком числа (називається його коефіцієнтом) і однієї або декількох змінних (званих його змінною частиною). Терміни в алгебраїчному виразі відокремлюються символами додавання.

    Приклад 1

    Визначте терміни в алгебраїчному виразі

    \[ 3x^2 + 5xy + 9y^2 + 12\nonumber \]

    Для кожного члена визначте його коефіцієнт і змінну частину.

    Рішення

    У табличній формі перерахуємо кожен член виразу 3x^2 + 5xy + 9y^2 + 12, його коефіцієнт та його змінну частину.

    Термін Коефіцієнт Змінна частина
    3 х 2 3 х 2
    5 xy 5 xy
    9 з 2 9 на 2
    12 12 Жоден

    Вправа

    Скільки членів в алгебраїчному виразі 3 x 2 + 2 xy − 3 y 2?

    Відповідь

    3

    Приклад 2

    Визначте терміни в алгебраїчному виразі

    \[ a^3 − 3a^2b + 3ab^2 − b^3\nonumber \]

    Для кожного члена визначте його коефіцієнт і змінну частину.

    Рішення

    Першим кроком є написання кожної різниці у вигляді суми, оскільки терміни виразу визначені вище як елементи, розділені символами додавання.

    \[ a^3 + (−3a^2b)+3ab^2 + (−b^3)\nonumber \]

    У табличній формі перерахуємо кожен член виразу\(a^3+(−3a^2b)+3ab^2+(−b^3)\), його коефіцієнт і його змінну частину.

    Термін Коефіцієнт Змінна частина
    a 3 1 a 3
    -3 а 2 б −3 а 2 б
    3 аб 2 3 аб 2
    b 3 −1 б 3

    Вправа

    Скільки термінів в алгебраїчному виразі\(11 − a^2 − 2ab + 3b^2a\)?

    Відповідь

    4

    Подобається Умови

    Ми визначаємо, що мається на увазі під «подібними термінами» і «на відміну від термінів».

    Визначення

    Як і на відміну від термінів. Змінні частини двох термінів визначають, чи є терміни подібними до термінів чи на відміну від термінів.

    Подібні терміни. Два члени називаються як терміни, якщо вони мають однакові змінні частини, а це означає, що терміни повинні містити однакові змінні, підняті до однакових експоненціальних степеней.

    На відміну від Умов. Два члени називаються на відміну від термінів, якщо їх змінні частини різні.

    Приклад 3

    Класифікувати кожну з наступних пар як подібні терміни або відмінні від термінів: (a) 3 x та −7 x, (b) 2 y та 3 y 2, (c) −3 t та 5 u та (d) −4 a 3 і 3 а 3.

    Рішення

    Подібні терміни повинні мати однакові змінні частини.

    1. 3 x та −7 x мають однакові змінні частини. Вони «як терміни».
    2. 2 у і 3 у 2 не мають однакових змінних частин (показники відрізняються). Вони «на відміну від термінів».
    3. −3 t та 5 u не мають однакових змінних частин (різних змінних). Вони «на відміну від термінів».
    4. −4 a 3 та 3 a 3 мають однакові змінні частини. Вони «як терміни».

    Вправа

    Чи є −3 xy та 11 xy подібними або несхожими на терміни?

    Відповідь

    Подібні терміни

    Поєднання подібних термінів

    При використанні розподільної властивості не має різниці, чи є множення ліворуч чи праворуч, все одно розподіляє множення разів на кожен член в дужках.

    Розподільна власність

    Якщо a, b і c є цілими числами, то

    а (б + с) = аб + ак і (б + с) а = ба + ка.

    У будь-якому випадку ви розподіляєте раз кожен член суми.

    «Подібні терміни» можна комбінувати і спрощувати. Інструмент, який використовується для об'єднання подібних термінів, є розподільна властивість. Наприклад, розглянемо вираз 3 y + 7 y, що складається з двох «подібних термінів» із загальною змінною частиною. Ми можемо використовувати розподільну властивість і писати

    \[3y+7y=(3+7)y\nonumber \]

    Зверніть увагу, що ми використовуємо розподільну властивість у зворотному напрямку, «факторинг» загальної змінної частини кожного члена. Перевіряючи нашу роботу, зверніть увагу, що якщо ми перерозподіляємо змінну part y раз на кожен член в дужках, ми повернемося до вихідного виразу 3 y + 7 y.

    Приклад 4

    Використовуйте розподільну властивість для об'єднання подібних термінів (якщо можливо) у кожному з наступних виразів: (a) −5 x 2 − 9 x 2, (b) −5 ab + 7 ab, (c) 4 y 3 − 7 y 2 та (d) 3 xy 2 − 7 хх 2.

    Рішення

    Якщо терміни «схожі на терміни», ви можете використовувати розподільну властивість, щоб «зарахувати» загальну змінну частину.

    а) Фактор із загальної змінної частини x 2.

    \[ \begin{aligned} -5x^2 -9x^2 =(-5-9)x^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ = -14x^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -5-9=-5+(-9) = -14.} \end{aligned}\nonumber \]

    б) Фактор із загальної змінної частини ab.

    \[ \begin{aligned} -5ab +7ab = (-5+7)ab ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ =2ab ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } -5+7 = 2.} \end{aligned}\nonumber \]

    c) Терміни у виразі 4 y 3 − 7 y 2 мають різні змінні частини (експоненти різні). Це «на відміну від термінів» і не можуть бути об'єднані.

    г) Фактор із загальної змінної частини xy 2.

    \[ \begin{aligned} 3xy^2 - 7xy^2 =(3-7)xy^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ =-4xy^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify: } 3-7=3+(-7)=-4.} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −8 z − 11 z

    Відповідь

    −19 з

    Прискорення речей трохи

    Після того, як ви виписали всі кроки для об'єднання подібних термінів, як ті, що показані в прикладі 4, ви можете трохи прискорити процес, дотримуючись цього правила:

    Поєднання подібних термінів

    Щоб об'єднати подібні терміни, просто додайте їх коефіцієнти і збережіть загальну змінну частину.

    Так, наприклад, коли представлена сума двох подібних членів, таких як у 5 х + 8 х, просто додайте коефіцієнти і повторіть загальну змінну частину; тобто 5 х + 8 х = 13 х.

    Приклад 5

    Поєднуйте подібні терміни:

    1. −9 г − 8г,
    2. −3 y 5 + 4 y 5 та
    3. −3 у 2 + 2 у 2.

    Рішення

    а) Скласти коефіцієнти і повторити загальну змінну частину. Тому,

    \[−9y − 8y = −17y.\nonumber \]

    б) Скласти коефіцієнти і повторити загальну змінну частину. Тому,

    \[−3y^5 + 4y^5 = 1y^5.\nonumber \]

    Однак врахуйте, що 1 у 5 = у 5. Дотримуючись правила, що остаточна відповідь повинна використовувати якомога менше символів, кращою відповіддю буде −3 y 5 + 4 y 5 = y 5.

    в) Скласти коефіцієнти і повторити загальну змінну частину. Тому,

    \[−3u^2 + 2u^2 = (−1)u^2.\nonumber \]

    Однак зауважте, що (−1) u 2 = − u 2. Дотримуючись правила, що остаточна відповідь має використовувати якомога менше символів, кращою відповіддю буде −3 u 2 + 2 u 2 = − u 2.

    Вправа

    Об'єднати: −3 x, і − 4 x 2

    Відповідь

    −7 х 2

    Спростити

    Часто зустрічається інструкція просить читача спростити вираз.

    Спростити

    Інструкція спростити - це загальний термін, який означає «спробуйте написати вираз в його найбільш компактному вигляді, використовуючи найменшу кількість символів».

    Одним із способів досягнення цієї мети є поєднання подібних термінів, коли вони присутні.

    Приклад 6

    Спрощення: 2 x + 3 y − 5 x + 8 y.

    Рішення

    Використовуйте комутативну властивість для зміни порядку термінів та асоціативних та розподільних властивостей для перегрупування та об'єднання подібних термінів.

    \[ \begin{aligned} 2x + 3y - 5x + 8y = (2x - 5x) + (3y + 8y) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reorder and regroup.}} \\ = -3x + 11y ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms:}} \\ ~ & \textcolor{red}{ 2x - 5x = -3x \text{ and } 3y + 8y = 11y.} \end{aligned}\nonumber \]

    альтернативне рішення

    Звичайно, вам не потрібно показувати крок перегрупування. Якщо вам зручніше поєднувати подібні терміни в голові, ви можете представити свою роботу наступним чином:

    \[2x + 3y − 5x + 8y = −3x + 11y.\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −3 a + 4 b − 7 a − 9 b

    Відповідь

    −10 a − 5 б

    Приклад 7

    Спрощення: −2 x − 3 − (3 x + 4).

    Рішення

    Спочатку розподіліть негативний знак.

    \[ \begin{aligned} -2x-3-(3x+4)= -2x-3-3x-4 ~ & \textcolor{red}{-(3x+4)=-3x-4.} \end{aligned}\nonumber \]

    Далі використовуйте комутативну властивість для переупорядкування, потім асоціативну властивість перегрупувати. Потім комбінуйте подібні терміни.

    \[ \begin{aligned} =(-2x-3x)+(-3-4) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Reorder and regroup.}} \\ =-5x+(-7) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms:}} \\ ~ & \textcolor{red}{ -2x-3x=-5x.} \\ =-5x-7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify:}} \\ ~ & \textcolor{red}{-5x+(-7)=-5x-7.} \end{aligned}\nonumber \]

    альтернативне рішення

    Ви можете пропустити другий крок, якщо хочете, просто поєднуючи подібні терміни подумки. Тобто цілком можливо замовити свою роботу наступним чином:

    \[ \begin{aligned} -2x-3-(3x+4) = -2x-3-3x-4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute negative sign.}} \\ =-5x-7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −9 a − 4 − (4 a − 8)

    Відповідь

    −13 а + 4

    Приклад 8

    Спрощення: 2 (5 − 3 x) − 4 (x + 3).

    Рішення

    Використовуйте розподільну властивість для розширення, а потім використовуйте комутативні та асоціативні властивості, щоб згрупувати подібні терміни та об'єднати їх.

    \[ \begin{aligned} 2(5-3x)-4(x+3) = 10-6x-4x-12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Use the distributive property.}} \\ =(-6x-4x)+(10-12) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Group like terms.}} \\ =-10x-2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms: }} \\ ~ & \textcolor{red}{-6x-4x=-10x \text{ and} \\ ~ & \textcolor{red}{10-12=-2.} \end{aligned}\nonumber \]

    альтернативне рішення

    Ви можете пропустити другий крок, якщо хочете, просто поєднуючи подібні терміни подумки. Тобто цілком можливо замовити свою роботу наступним чином:

    \[ \begin{aligned} 2(5-3x)-4(x+3) = 10-6x-4x-12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Distribute.}} \\ =-10x-2 ~& \textcolor{red}{ \text{ Combine like terms.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: −2 (3 a − 4) − 2 (5 − a)

    Відповідь

    −4 a − 2

    Приклад 9

    Спрощення: −8 (3 x 2 y − 9 xy) − 8 (−7 x 2 − 8 xy)

    Рішення

    Ми будемо діяти трохи швидше з цим рішенням, використовуючи розподільну властивість розширювати, потім поєднуючи подібні терміни подумки.

    \[ \begin{aligned} -8(3x^2y-9xy) -8(-7x^2y-8xy)=-24x^2y+72xy+56x^2y+64xy \\ = 32x^2y+136xy \end{aligned}\nonumber \]

    Вправа

    Спрощення: (a 2 − 2 аб) − 2 (3 аб + a 2)

    Відповідь

    2 − 8 аб

    Додатки

    Ми можемо спростити ряд корисних формул, поєднуючи подібні терміни.

    Приклад 10

    Знайдіть периметр P прямокутника (a) та (b) квадрата, зображеного нижче. Максимально спрощуйте свою відповідь.

    Знімок екрана 2019-08-21 о 6.00.44 PM.png

    Рішення

    Периметр будь-якої багатокутної фігури - це сума довжин її сторін.

    а) Щоб знайти периметр P прямокутника, підсумуйте його чотири сторони.

    \[P = L + W + L + W.\nonumber \]

    Поєднуйте подібні терміни.

    \[P = 2L + 2W.\nonumber \]

    б) Щоб знайти периметр P квадрата, підсумуйте його чотири сторони.

    \[P = s + s + s + s.\nonumber \]

    Поєднуйте подібні терміни.

    \[P = 4s.\nonumber \]

    Вправа

    Правильний шестикутник має шість рівних сторін, кожна з яких має довжину х. Знайти його периметр через x.

    Відповідь

    Р = 6 х

    Іноді корисно замінити змінну виразом, що містить іншу змінну.

    Приклад 11

    Довжина прямокутника на три фути більше, ніж в два рази більше його ширини. Знайдіть периметр P прямокутника лише через його ширину.

    Рішення

    З попередньої задачі периметр прямокутника задається

    \[P = 2L + 2W,\nonumber \]

    де L і W - довжина і ширина прямокутника відповідно. Це рівняння дає периметр з точки зору його довжини та ширини, але ми попросили отримати периметр лише через ширину. Однак ми також враховуємо той факт, що довжина на три фути довша, ніж удвічі більше ширини.

    \[ \begin{array} \colorbox{cyan}{Length} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{Three Feet} & \text{ longer than } & \colorbox{cyan}{Twice the Width} \\ L & = & 3 & + & 2W \end{array}\nonumber \]

    Оскільки L = 3+2 W, ми можемо замінити L на 3+2 W в рівнянні периметра 3.1.

    \[P = 2L + 2W\nonumber \]

    \[P = 2(3 + 2W)+2W\nonumber \]

    Використовуйте розподільну властивість, а потім комбінуйте подібні терміни.

    \[P =6+4W + 2W\nonumber \]

    \[P =6+6W.\nonumber \]

    Це останнє рівняння дає периметр P через ширину тільки W.

    Вправа

    Довжина L прямокутника на 5 метрів більше, ніж в два рази більше його ширини W. Знайти периметр P прямокутника через його ширину W.

    Відповідь

    Відповідь: Р = 6 Вт+ 10

    Приклад 12

    Ширина прямокутника на два фути менше його довжини. Знайдіть периметр P прямокутника лише через його довжину.

    Рішення

    Знову ж, периметр прямокутника задається рівнянням

    \[P = 2L + 2W,\nonumber \]

    де L і W - довжина і ширина прямокутника відповідно. Це рівняння дає периметр з точки зору його довжини та ширини, але ми попросили отримати периметр лише через довжину.

    Однак ми також враховуємо той факт, що ширина на два фути менше довжини.

    \[ \begin{aligned} \colorbox{cyan}{Width} & \text{ is } & \colorbox{cyan}{Length} & \text{ minus } & \colorbox{cyan}{Two feet} \\ W & = & L & - & 2 \end{aligned}\nonumber \]

    Оскільки W = L −2, ми можемо замінити W на L −2 у рівнянні периметра 3.2.

    \[P = 2L + 2W\nonumber \]

    \[P = 2L + 2(L − 2)\nonumber \]

    Використовуйте розподільну властивість, а потім комбінуйте подібні терміни.

    \[P = 2L + 2L − 4\nonumber \]

    \[P = 4L − 4.\nonumber \]

    Це останнє рівняння дає периметр P через довжину L поодинці.

    Вправа

    Ширина W прямокутника на 5 футів менше, ніж удвічі більше ширини L. Знайти периметр P прямокутника через його довжину L.

    Відповідь

    Р = 6 Л − 10

    Вправи

    У вправах 1-16 об'єднайте подібні терміни, спочатку використовуючи розподільну властивість, щоб вивести загальну змінну частину, а потім спрощуючи.

    1. 17хх 2 + 18х 2 + 20хх 2

    2. 13хх − 3хх+ х

    3. −8xy 2 − 3xy 2 − 10xy 2

    4. −12xy − 2хх+10хх

    5. 4хх − 20хх

    6. −7й 3 + 15й 3

    7. 12р − 12р

    8. 16 років − 5

    9. −11х − 13х+ 8х

    10. −9р − 10р + 3р

    11. −5кв + 7кв

    12. 17н +15н

    13. р − 13р − 7р

    14. 19м + м +15м

    15. 3х 3 − 18х 3

    16. 13х 2 у + 2х 2 г


    У Вправи 17-32 об'єднайте подібні терміни, спочатку переставляючи терміни, потім використовуючи розподільну властивість, щоб виділити загальну змінну частину, а потім спрощуючи.

    17. −8 +17н +10 + 8н

    18. 11 + 16 с − 14 − 6

    19. −2х 3 − 19х 2 у − 15х 2 у + 11х 3

    20. −9х 2 у − 10й 3 − 10й 3 + 17х 2 у

    21. −14xy − 2х 3 − 2х 3 − 4х

    22. −4х 3 + 12х+4хх − 12х 3

    23. −13 +16м + м + 16

    24. 9 − 11х − 8х + 15

    25. −14х 2 у − 2хх 2 + 8х 2 у + 18х 2

    26. −19й 2 + 18й 3 − 5й 2 − 17 років 3

    27. −14х 3 + 16х+5х 3 + 8х

    28. −16xy + 16 років 2 + 7хх + 17 років 2

    29. 9н + 10 + 7 +15н

    30. −12р + 5 +17 +17р

    31. 3й +1+6й + 3

    32. 19р +6+8р + 13


    У вправах 33-56 спростіть вираз, спочатку використовуючи розподільну властивість для розширення виразу, а потім переставляючи і поєднуючи подібні терміни подумки.

    33. −4 (9х 2 у + 8) + 6 (10х 2 у − 6)

    34. −4 (−4xy + 5y 3) + 6 (−5xy − 9y 3)

    35. 3 (−4х 2 + 10г 2) + 10 (4й 2 − х 2)

    36. −7 (−7х 3 + 6х 2) − 7 (−10х 2 − 7х 3)

    37. −s + 7 − (−1 − 3с)

    38. 10 років − 6 − (−10 − 10 років)

    39. −10q − 10 − (−3q + 5)

    40. −2n + 10 − (7n − 1)

    41. 7 (8 років + 7) − 6 (8 − 7 років)

    42. −6 (−5n − 4) − 9 (3+ 4n)

    43. 7 (10х 28х2) − 7 (9хх 2 + 9х 2)

    44. 10 (8х 2 у − 10хх 2) + 3 (8хх 2 + 2х 2 у)

    45. −2 (6 + 4n) + 4 (−n − 7)

    46. −6 (−2 − 6м) + 5 (−9м+ 7)

    47. 8 − (4 + 8 років)

    48. −1 − (8 + с)

    49. −8 (−n + 4) − 10 (−4n + 3)

    50. 3 (8р − 7) − 3 (2р − 2)

    51. −5 − (10п + 5)

    52. −1 − (2p − 8)

    53. 7 (1 + 7р) + 2 (4 − 5р)

    54. (5 − с) + 10 (9 + 5 с)

    55. −2 (−5 − 8x 2) − 6 (6)

    56. 8 (10 років 2 + 3х 3) − 5 (−7й 2 − 7х 3)


    57. Довжина L прямокутника на 2 фути більше, ніж у 6 разів його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.

    58. Довжина L прямокутника в 7 футів більше, ніж 6 разів його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.

    59. Ширина W прямокутника на 8 футів коротша за його довжину L. Знайдіть периметр прямокутника лише через його довжину.

    60. Ширина W прямокутника на 9 футів коротша за його довжину L. Знайдіть периметр прямокутника лише через його довжину.

    61. Довжина L прямокутника на 9 футів коротше, ніж у 4 рази його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.

    62. Довжина L прямокутника на 2 фути коротше, ніж у 6 разів його ширина W. Знайти периметр прямокутника лише через його ширину.


    Відповіді

    1. 55xy 2

    3. −21xy 2

    5. −16xy

    7. 0

    9. −16х

    11. 2кв

    13. −19р

    15. −15х 3

    17. 2 +25н

    19. 9х 3 − 34х 2 р

    21. −18xy − 4х 3

    23. 3 + 17м

    25. -6х 2 у + 16xy 2

    27. -9х 3 + 24 роки

    29. Цілодобовий + 17

    31. 9 років + 4

    33. 24 х 2 р − 68

    35. −22х 2 + 70 р 2

    37. 2 с + 8

    39. −7q − 15

    41. 98-й + 1

    43. 7х 2 − 119хх 2

    45. −40 − 12н

    47. 4 − 8 років

    49. 48n − 62

    51. −10 − 10 п

    53. 15 +39р

    55. -26 + 16х 2

    57. 4 +14 ВТ

    59. 4 Л − 16

    61. 10 ВТ − 18