3.2: Оцінка алгебраїчних виразів
- Page ID
- 57254
У цьому розділі ми будемо оцінювати алгебраїчні вирази для заданих значень змінних, що містяться у виразах. Ось кілька простих порад, які допоможуть вам досягти успіху.
Поради щодо оцінки алгебраїчних виразів
- Замініть усі входження змінних у виразі відкритими дужками. Залиште місце між дужками, щоб підставити задане значення змінної.
- Підставляємо задані значення змінних у відкриті дужки, підготовлені на першому кроці.
- Оцінити отриманий вираз відповідно до Правил Керівного Порядку операцій.
Почнемо з прикладу.
Приклад 1
Оцініть вираз\(x^2 − 2xy + y^2\) в\(x = −3\) і\(y = 2\).
Рішення
Дотримуючись «Поради щодо оцінки алгебраїчних виразів», спочатку замініть усі входження змінних у виразі x 2 − 2 xy + y 2 відкритими дужками.
\[ x^2 -2xy + y^2 = ( ~ )^2 -2(~)(~) + ( ~ )^2 \nonumber\nonumber \]
По-друге, замініть кожну змінну на задане значення, а по-третє, дотримуйтесь «Правил, що керівний порядок операцій», щоб оцінити отриманий вираз.
\[ \begin{aligned} x^2 -2xy + y^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Original expression.}} \\ =( \textcolor{red}{-3} )^2 -2 ( \textcolor{red}{-3})( \textcolor{red}{2}) + (\textcolor{red}{2})^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute } -3 \text{ for } x \text{and 2 for }y.} \\ =9-2(-3)(2)+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate exponents first.}} \\ = 9-(-6)(2)+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Left to right, multiply } 2(-3)=-6.} \\ =9-(-12)+4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Left to right, multiply: } (-6)(2) = -12.} \\ = 9 + 12 + 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite.}} \\ = 25 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add.}} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Якщо x = −2 і y = −1, оцініть x 3 − y 3.
- Відповідь
-
−7
Приклад 2
Оцінити вираз (a − b) 2 Якщо a = 3 і b = −5, при a = 3 і b = −5.
Рішення
Дотримуючись «Поради щодо оцінки алгебраїчних виразів», спочатку замініть усі входження змінних у виразі (a − b) 2 відкритими дужками.
\[ (a-b)^2 = (()-())^2\nonumber \]
По-друге, замініть кожну змінну на задане значення, а по-третє, дотримуйтесь «Правил, що керівний порядок операцій», щоб оцінити отриманий вираз.
\[ \begin{aligned} (a-b)^2 = (( \textcolor{red}{3})-( \textcolor{red}{-5}))^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 3 for } a \text{ and } -5 \text{ for } b.} \\ = (3+5)^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite: } (3)-(-5)=3+5} \\ = 8^2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Simplify inside parentheses: } 3+5 = 8} \\ =64 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Evaluate exponent: } 8^2 = 64} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Якщо a = 3 і b = −5, оцініть a 2 − b 2.
- Відповідь
-
−16
Приклад 3
Оцінити вираз |a|−|b| при a = 5 та b = −7.
Рішення
Дотримуючись «Поради щодо обчислення алгебраїчних виразів», спочатку замініть усі входження змінних у виразі |a|−|b| відкритими дужками.
\[ |a| - |b| = |( ~ )| - |( ~ )|\nonumber \]
По-друге, замініть кожну змінну на задане значення, а по-третє, дотримуйтесь «Правил, що керівний порядок операцій», щоб оцінити отриманий вираз.
\[ \begin{aligned} |a| - |b| = |( \textcolor{red}{5} )| = |( \textcolor{red}{-7})| ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 5 for } a \text{ and } -7 \text{ for } b.} \\ = 5 - 7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Absolute values first: } |(5)| = 5 \text{ and } |(-7)|=7|} \\ =5+(-7) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposites: } 5 - 7 = 5+(-7).} \\ =-2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 5+(-7)=-2.} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Якщо a = 5 і b = −7, оцініть 2| a | − 3| b |.
- Відповідь
-
−11
Приклад 4
Оцінити вираз | a − b | при a = 5 і b = −7.
Рішення
Слідуючи «Поради щодо оцінки алгебраїчних виразів», спочатку замініть усі входження змінних у виразі | a − b | відкритими дужками.
\[ |a-b| = |(~)-(~)|\nonumber \]
По-друге, замініть кожну змінну на задане значення, а по-третє, дотримуйтесь «Правил, що керівний порядок операцій», щоб оцінити отриманий вираз.
\[ \begin{aligned} |a-b| = |( \textcolor{red}{5})-( \textcolor{red}{-7})| ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute 5 for } a \text{ and } -7 \text{ for } b.} \\ = |5+7| ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add the opposite: } 5-(-7)=5+7.} \\ =|12| ~ & \textcolor{red}{ \text{ Add: } 5+7=12.} \\ =12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Take the absolute value: } |12| = 12.} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Якщо a = 5 і b = −7, оцініть |2 a − 3 b |.
- Відповідь
-
31
Приклад 5
Оцініть вираз
\[ \frac{ad-bc}{a+b}\nonumber \]
при a = 5, b = −3, c = 2, а d = −4.
Рішення
Дотримуючись «Поради щодо оцінки алгебраїчних виразів», спочатку замініть усі входження змінних у виразі відкритими дужками.
\[ \frac{ad-bc}{a+b} = \frac{(~)(~)-(~)(~)}{(~)+(~)}\nonumber \]
По-друге, замініть кожну змінну на задане значення, а по-третє, дотримуйтесь «Правил, що керівний порядок операцій», щоб оцінити отриманий вираз.
\[ \begin{aligned} \frac{ad-bc}{a+b} = \frac{( \textcolor{red}{5}) -( \textcolor{red}{-3}) ( \textcolor{red}{2})}{( \textcolor{red}{5}) + ( \textcolor{red}{-3})} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Substitute: } 5 \text{ for } a,~ -3 \text{ for } b,~ 2 \text{ for } c,~ -4 \text{ for } d.} \\ = \frac{-20-(-6)}{2} ~ & \begin{aligned} \textcolor{red}{ \text{ Numerator: } (5)(=4)=-20,~ (-3)(2) = -6.} \\ \textcolor{red}{ \text{ Denominator: } 5+(-3)=2.} \end{aligned} \\ = \frac{-20+6}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Numerator: Add the opposite.}} \\ = \frac{-14}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Numerator: } -20+6=-14.} \\ = -7 ~ & \textcolor{red}{ \text{Divide.}} \end{aligned}\nonumber \]
Вправа
Якщо a = −7, b = −3, c = −15, 15 і d = −14, оцініть:
\[\frac{a^2+b^2}{c+d}\nonumber \]
- Відповідь
-
−2
приклад 6
На фото нижче - прямокутна призма.
Обсяг прямокутної призми задається за формулою
\[V=LWH,\nonumber \]
де L - довжина, W - ширина, а H - висота прямокутної призми. Знайдіть об'єм прямокутної призми, що має довжину 12 футів, ширину 4 фути та висоту 6 футів.
Рішення
Дотримуючись «Поради щодо оцінки алгебраїчних виразів», спочатку замініть усі випадки L, W та H у формулі
\[ V = LWH\nonumber \]
з відкритими дужками.
\[V = (~)(~)(~)\nonumber \]
Далі замініть 12 футів на L, 4 фути для W та 6 футів для H та спростити.
\[ \begin{aligned} V = (12 \text{ft})(4 \text{ft})(6 \text{ft}) \\ = 288 \text{ft}^3 \end{aligned}\nonumber \]
Значить, обсяг прямокутної призми становить 288 кубічних футів.
Вправа
Площа поверхні призми, зображеної в цьому прикладі, задається за такою формулою:
\[S = 2(W H + LH + LW) \nonumber \]
Якщо L = 12, W = 4, а H = 6 футів, відповідно, обчисліть площу поверхні.
- Відповідь
-
288 квадратних футів
Вправи
У вправах 1-12 оцініть вираз за заданим значенням x.
1. −3x 2 − 6х+ 3 при х = 7
2. 7х 2 − 7х+ 1 при х = −8
3. −6x − 6 при x = 3
4. 6x − 1 при х = −10
5. 5х 2 + 2х+ 4 при х = −1
6. 4х 2 − 9х+ 4 при х = −3
7. −9x − 5 при x = −2
8. −9х + 12 при х = 5
9. 4х 2 + 2х+ 6 при х = −6
10. −3х 2 + 7х+ 4 при х = −7
11. 12х + 10 при х = −12
12. −6х + 7 при х = 11
У вправах 13-28 оцініть вираз при заданих значеннях x і y.
13. |x|−|y| при x = −5 та y = 4
14. |x|−|y| при x = −1 та y = −2
15. −5х 2 + 2у 2 при х = 4 і у = 2
16. −5x 2 − 4y 2 при x = −2 та y = −5
17. |x|−|y| при х = 0 і у = 2
18. |x|−|y| при x = −2 та y = 0
19. |x − y| при x = 4 і y = 5
20. |x − y| при x = −1 і y = −4
21. 5x 2 − 4xy + 3y 2 при х = 1 і y = −4
22. 3х 2 + 5xy + 3у 2 при х = 2 і у = −1
23. |x − y| при x = 4 і y = 4
24. |x − y| при x = 3 і y = −5
25. −5x 2 − 3xy + 5y 2 при x = −1 і y = −2
26. 3x 2 − 2xy − 5y 2 при х = 2 і y = 5
27. 5х 2 + 4у 2 при х = −2 і у = −2
28. −4x 2 + 2y 2 при х = 4 і y = −5
У вправах 29-40 оцініть вираз при заданому значенні x.
29. \( \frac{9+9x}{−x}\)при x = −3
30. \( \frac{9 − 2x}{−x}\)при x = −1
31. \(\frac{−8x + 9}{−9 + x}\)при х = 10
32. \(\frac{2x + 4}{1 + x}\)при х = 0
33. \(\frac{−4+9x}{7x}\)при х = 2
34. \(\frac{−1 − 9x}{x}\)при x = −1
35. \(\frac{−12 − 7x}{x}\)при x = −1
36. \(\frac{12 + 11x}{3x}\)при x = −6
37. \(\frac{6x − 10}{5}\)+ х при x = −6
38. \(\frac{11x + 11}{−4}\)+ х при х = 5
39. \(\frac{10x + 11}{5}\)+ х при x = −4
40. \(\frac{6x + 12}{−3}\)+ х при х = 2
41. Формула
\[d=16t^2\nonumber \]
дає відстань (у футах), яку об'єкт падає з відпочинку з точки зору часу t, який минув з моменту його звільнення. Знайдіть відстань d (у футах), що об'єкт потрапляє за t = 4 секунди.
42. Формула
\[d = 16t^2\nonumber \]
дає відстань (у футах), яку об'єкт падає з відпочинку з точки зору часу t, який минув з моменту його звільнення. Знайдіть відстань d (у футах), що об'єкт потрапляє за t = 24 секунди.
43. Формула
\[C = \frac{5(F − 32)}{9}\nonumber \]
дає температуру Цельсія C через температуру Фаренгейта F Використовуйте формулу, щоб знайти температуру Цельсія (◦ C), якщо температура Фаренгейта дорівнює F = 230◦ F.
44. Формула
\[C = \frac{5(F − 32)}{9}\nonumber \]
дає температуру Цельсія C через температуру Фаренгейта F Використовуйте формулу, щоб знайти температуру Цельсія (◦ C), якщо температура Фаренгейта дорівнює F = 95 ◦ F.
45. Шкала температури Кельвіна використовується в хімії і фізиці. Абсолютний нуль виникає при 0 ◦ К, температурі, при якій молекули мають нульову кінетичну енергію. Вода замерзає при 273 ◦ К і кипить при K = 373 ◦ K. Для зміни температури Кельвіна на температуру Фаренгейта використовуємо формулу
\[F = \frac{9(K − 273)}{5} + 32.\nonumber \]
Використовуйте формулу, щоб змінити 28 ◦ K на Фаренгейт.
46. Шкала температури Кельвіна використовується в хімії і фізиці. Абсолютний нуль виникає при 0 ◦ К, температурі, при якій молекули мають нульову кінетичну енергію. Вода замерзає при 273 ◦ К і кипить при K = 373 ◦ K. Для зміни температури Кельвіна на температуру Фаренгейта використовуємо формулу
\[F = \frac{9(K − 273)}{5} + 32.\nonumber \]
Використовуйте формулу, щоб змінити 248 ◦ K на Фаренгейт.
47. Куля кидається вертикально вгору. Його швидкість t секунд після її звільнення задається за формулою
\[v = v0 − gt,\nonumber \]
де v 0 - його початкова швидкість, g - прискорення за рахунок сили тяжіння, а v - швидкість кулі в момент t. прискорення за рахунок гравітації становить g = 32 фути в секунду в секунду. Якщо початкова швидкість м'яча дорівнює v 0 = 272 футів в секунду, знайдіть швидкість м'яча після t = 6 секунд.
48. Куля кидається вертикально вгору. Його швидкість t секунд після її звільнення задається за формулою
\[v = v_0 − gt,\nonumber \]
де v 0 - його початкова швидкість, g - прискорення за рахунок сили тяжіння, а v - швидкість кулі в момент t. прискорення за рахунок гравітації становить g = 32 фути в секунду в секунду. Якщо початкова швидкість м'яча дорівнює v 0 = 470 футів в секунду, знайдіть швидкість м'яча після t = 4 секунди.
49. Парні числа. Оцініть вираз 2n для наступних значень:
i) п = 1
ii) п = 2
iii) п = 3
iv) п = −4
v) п = −5
vi) Чи завжди результат парне число? Поясніть.
50. Непарні числа. Оцініть вираз 2n + 1 для наступних значень:
i) п = 1
ii) п = 2
iii) п = 3
iv) п = −4
v) п = −5
vi) Чи завжди результат непарне число? Поясніть.
Відповіді
1. −186
3. −24
5. 7
7. 13
9. 138
11. −134
13. 1
15. −72
17. −2
19. 1
21. 69
23. 0
25. 9
27. 36
29. −6
31. −71
33. 1
35. 5
37. 46
39. −29
41. 256 футів
43. 110 градусів
45. −409 ◦ F
47. 80 футів в секунду
49.
i) 2
ii) 4
iii) 6
iv) −8
v) −10
vi) Так, результат завжди буде парним числом, тому що 2 завжди буде множником продукту 2n.