11.7: Дробові лінійні перетворення
- Page ID
- 62827
Дробове лінійне перетворення - це функція виду
\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}\]
де\(a\),\(b\),\(c\), і\(d\) є складними константами і з\(ad - bc \ne 0\).
Їх також називають перетвореннями Мебіуса або білілінійними перетвореннями. Ми будемо скорочувати дробове лінійне перетворення як FLT.
Якщо\(ad - bc = 0\) то\(T(z)\) є постійною функцією.
- Доказ
-
Повний доказ вимагає, щоб ми мали справу з усіма випадками, коли деякі коефіцієнти дорівнюють 0. Ми дамо докази, припускаючи\(c \ne 0\) і залишимо\(c = 0\) справу вам. Припускаючи\(c \ne 0\), умова\(ad - bc = 0\) передбачає
\[\dfrac{a}{c} (c, d) = (a, b).\]
Отже,
\[T(z) = \dfrac{(a/c) (cz + d)}{cz + d} = \dfrac{a}{c}.\]
Тобто,\(T(z)\) є постійним.
Розширення до\(\infty\). Зручно буде розглядати лінійні перетворення, які будуть визначені на розширеній комплексній площині\(C \cup \{ \infty \}\) шляхом визначення
\[\begin{array} {rcl} {T(\infty)} & = & {\begin{cases} a/c & \text{ if } c \ne 0 \\ \infty & \text{ if } c = 0 \end{cases}} \\ {T(-d/c)} & = & {\infty \ \ \ \ \ \ \text{ if } c \ne 0.} \end{array}\]
Нехай\(T(z) = az\). Якщо\(a = r\) реально, це масштабує площину. Якщо\(a = e^{i \theta}\) вона обертається площиною. Якщо\(a = re^{i \theta}\) це робить і те, і інше відразу.
.svg)
Відзначимо, що\(T\) є дробовим лінійним перетворенням з коефіцієнтами
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber\]
(Нижче ми побачимо перевагу представлення коефіцієнтів у матричній формі!)
Нехай\(T(z) = az + b\). Додавання\(b\) терміна вводить переклад до попереднього прикладу.
.svg)
Відзначимо, що\(T\) є дробовим лінійним перетворенням з коефіцієнтами
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber\]
Нехай\(T(z) = 1/z\). Це називається інверсією. Вивертає одиничний коло навиворіт. Зверніть увагу, що\(T(0) = \infty\) і\(T(\infty) = 0\). На малюнку нижче коло, що знаходиться поза одиничною окружністю в\(z\) площині, знаходиться всередині одиничної окружності в\(w\) площині і навпаки. Зверніть увагу, що стрілки на кривих перевернуті.
.svg)
Відзначимо, що\(T\) є дробовим лінійним перетворенням з коефіцієнтами
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \nonumber\]
Нехай
\[T(z) = \dfrac{z - i}{z + i}. \nonumber\]
Ми стверджуємо, що це відображає\(x\) -вісь на одиничну окружність, а верхню півплощину - на одиничний диск.
Рішення
Спочатку візьміть\(x\) реальні, потім
\[|T(x)| = \dfrac{|x - i|}{|x + i|} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1. \nonumber\]
Отже,\(T\) відображає\(x\) -вісь до одиничного кола.
Далі беремо\(z = x + iy\) с\(y > 0\), тобто\(z\) у верхній напівплощині. Чітко
\[|y + 1| > |y - 1|, \nonumber\]
тому
\[|z + i| = |x + i(y + 1)| > |x + i(y - 1)| = |z - i|, \nonumber\]
маючи на увазі, що
\[|T(z)| = \dfrac{|z - i|}{|z + i|} < 1. \nonumber\]
Отже,\(T\) відображає верхню півплощину на одиничний диск.
Ми будемо часто використовувати цю карту, тому для запису зауважимо, що
\(T(i) = 0\),\(T(\infty) = 1\)\(T(-1) = i\),\(T(0) = -1\),\(T(1) = -i\).
Ці обчислення показують, що реальна вісь відображається проти годинникової стрілки навколо одиничного кола, починаючи з 1 і повертаючись до 1.
.svg)
Лінії та кола
Лінійне дробове перетворення відображає лінії та кола на лінії та кола.
Перш ніж довести це, зверніть увагу, що це не говорить, що лінії відображаються на лінії, а кола - на кола. Наприклад, у прикладі 11.7.4 дійсна вісь відображається одиничне коло. Ви також можете перевірити, що інверсія\(w = 1/z\) відображає лінію\(z = 1 + iy\) з колом\(|z - 1/2| = 1/2\).
- Доказ
-
Ми починаємо з показу, що інверсія відображає лінії та кола на лінії та кола. Дано\(z\) і\(w = 1/z\) ми визначаємо\(x, y, u\) і\(v\)
\[z = x + iy \ \ \text{ and } \ \ w = \dfrac{1}{z} = \dfrac{x - iy}{x^2 + y^2} = u + iv \nonumber\]
Отже,
\[u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} \ \ \text{ and } \ \ v = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}. \nonumber\]
Тепер кожне коло або пряма може бути описана рівнянням
\[Ax + By + C(x^2 + y^2) = D \nonumber\]
(Якщо\(C = 0\) він описує лінію, інакше коло.) Ми перетворюємо це в рівняння\(u, v\) наступним чином.
\[\begin{array} {cll} {} & \ & {Ax + By + C(x^2 + y^2) = D} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {\dfrac{Ax}{x^2 + y^2} + \dfrac{By}{x^2 + y^2} + C = \dfrac{D}{x^2 + y^2}} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {Au - Bv + C = D(u^2 + v^2).} \end{array} \nonumber\]
На останньому кроці ми використовували той факт, що
\[u^2 + v^2 = |w|^2 = 1/|z|^2 = 1/(x^2 + y^2). \nonumber\]
Ми показали, що лінія або коло в\(x, y\) перетворюється на лінію або коло в\(u, v\). Це показує, що інверсія відображає лінії та кола на лінії та кола.
Відзначимо, що для інверсії\(w = 1/z\).
- Будь-яка лінія, яка не проходить через початок, відображається на колі через початок.
- Будь-яка лінія, що проходить через початок, відображається на лінії, що проходить через початок.
- Будь-яке коло, що не через початок, відображається на колі, а не через початок.
- Будь-яке коло, що проходить через початок, відображається на лінію, а не через початок.
Тепер, щоб довести, що довільне дробове лінійне перетворення відображає лінії та кола на лінії та кола, ми перерахуємо його в послідовність простіших перетворень.
Спочатку припустимо, що\(c = 0\). Отже,
\[T(z) = (az + b)/d.\]
Оскільки це просто переклад, масштабування та обертання, зрозуміло, що це відображає кола на кола та лінії на лінії.
Тепер припустимо, що\(c \ne 0\). Потім,
\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{\dfrac{a}{c} (cz + d) + b - \dfrac{ad}{c}}{cz + d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b - ad/c}{cz + d} \nonumber\]
Отже,\(w = T(z)\) може бути обчислена як композиція перетворень
\[z \ \ \mapsto \ \ w_1 = cz + d \ \ \mapsto \ \ w_2 = 1/w_1 \ \ \mapsto \ \ w = \dfrac{a}{c} + (b - ad/c) w_2 \nonumber\]
Ми знаємо, що кожен з перетворень у цій послідовності відображає лінії та кола на лінії та кола. Тому вся послідовність робить також.
Відображення\(z_j\) до\(w_j\)
Виходить, що для двох множин по три точки\(z_1, z_2, z_3\) і\(w_1, w_2, w_3\) є дробове лінійне перетворення, яке приймає\(z_j\) до\(w_j\). Ми можемо побудувати цю карту наступним чином.
Нехай
\[T_1 (z) = \dfrac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)}.\]
Зауважте, що
\(T_1(z_1) = 0\),\(T_1 (z_1) = 1\),\(T_1 (z_3) = \infty\).
Так само нехай
\[T_2(w) = \dfrac{(w - w_1) (w_2 - w_3)}{(w - w_3)(w_2 - w_1)}.\]
Зауважте, що
\(T_2(w_1) = 0\),\(T_2(w_2) = 1\),\(T_2 (w_3) = \infty\).
Тепер\(T(z) = T_{2}^{-1} \circ T_1 (z)\) потрібна карта.
Листування з матрицями
Ми можемо визначити трансформацію
\[T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}\]
з матрицею
\[\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.\]
Ця ідентифікація корисна через наступних алгебраїчних фактів.
- Якщо\(r \ne 0\) то\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) і\(r \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) відповідають тому ж ФЛТ.
\(Proof\). Це випливає з очевидної рівності
\[\dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{raz + rb}{rcz + rd}.\] - Якщо\(T(z)\) відповідає\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) і\(S(z)\) відповідає,\(B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}\) то склад\(T \circ S(z)\) відповідає множенню матриці\(AB\).
\(Proof\). Доказом є лише трохи алгебри.
\[\begin{array} {rcl} {T \circ S(z)} & = & {T(\dfrac{ez + f}{gz + h}) = \dfrac{a((ez + f)/(gz + h)) + b}{c((ez + f)/(gz + h)) + d} = \dfrac{(ae + bg)z + af + bh}{(ce + dg) z + cf + dh}} \\ {AB} & = & {\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}} \end{array}\]
Заявлена кореспонденція зрозуміла з останніх записів у двох рядках вище. - Якщо\(T(z)\) відповідає,\(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) то\(T\) має зворотне і\(T^{-1} (w)\) відповідає,\(A^{-1}\) а також до\(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\), тобто\(A^{-1}\) без коефіцієнта\(1/\text{det}(A)\).
\(Proof\). \(A A^{-1} = I\)Так як з попереднього факту зрозуміло, що\(T^{-1}\) відповідає\(A^{-1}\). Так як
\[A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]
Факт 1 має на увазі\(A^{-1}\) і\(\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\) обидва відповідають одному і тому ж FLT, тобто до\(T^{-1}\).
- Матриця\(\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) відповідає\(T(z) = az + b\).
- Матриця\(\begin{bmatrix} e^{i \alpha} & 0 \\ 0 & e^{-i \alpha} \end{bmatrix}\) відповідає обертанню на\(2\alpha\).
- Матриця\(\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) відповідає інверсії\(w = 1/z\).