11.7: Дробові лінійні перетворення

Визначення: Дробові лінійні перетворення

Дробове лінійне перетворення - це функція виду

$$T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$$

де$a$,$b$,$c$, і$d$ є складними константами і з$ad - bc \ne 0$.

Їх також називають перетвореннями Мебіуса або білілінійними перетвореннями. Ми будемо скорочувати дробове лінійне перетворення як FLT.

Проста точка

Якщо$ad - bc = 0$ то$T(z)$ є постійною функцією.

Доказ

Повний доказ вимагає, щоб ми мали справу з усіма випадками, коли деякі коефіцієнти дорівнюють 0. Ми дамо докази, припускаючи$c \ne 0$ і залишимо$c = 0$ справу вам. Припускаючи$c \ne 0$, умова$ad - bc = 0$ передбачає

$$\dfrac{a}{c} (c, d) = (a, b).$$

Отже,

$$T(z) = \dfrac{(a/c) (cz + d)}{cz + d} = \dfrac{a}{c}.$$

Тобто,$T(z)$ є постійним.

Розширення до$\infty$. Зручно буде розглядати лінійні перетворення, які будуть визначені на розширеній комплексній площині$C \cup \{ \infty \}$ шляхом визначення

$$\begin{array} {rcl} {T(\infty)} & = & {\begin{cases} a/c & \text{ if } c \ne 0 \\ \infty & \text{ if } c = 0 \end{cases}} \\ {T(-d/c)} & = & {\infty \ \ \ \ \ \ \text{ if } c \ne 0.} \end{array}$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Scale and Rotate

Нехай$T(z) = az$. Якщо$a = r$ реально, це масштабує площину. Якщо$a = e^{i \theta}$ вона обертається площиною. Якщо$a = re^{i \theta}$ це робить і те, і інше відразу.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Множення за$a = re^{i \theta}$ шкалами на$r$ і обертається на$\theta$. (CC BY-NC; Відповідальний)

Відзначимо, що$T$ є дробовим лінійним перетворенням з коефіцієнтами

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber$$

(Нижче ми побачимо перевагу представлення коефіцієнтів у матричній формі!)

Приклад$\PageIndex{2}$: Scale and Rotate and Translate

Нехай$T(z) = az + b$. Додавання$b$ терміна вводить переклад до попереднього прикладу.

Малюнок$\PageIndex{2}$: Карта$w = az + b$ масштабується, обертає і зміщує квадрат. (CC BY-NC; Відповідальний)

Відзначимо, що$T$ є дробовим лінійним перетворенням з коефіцієнтами

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{3}$: Inversion

Нехай$T(z) = 1/z$. Це називається інверсією. Вивертає одиничний коло навиворіт. Зверніть увагу, що$T(0) = \infty$ і$T(\infty) = 0$. На малюнку нижче коло, що знаходиться поза одиничною окружністю в$z$ площині, знаходиться всередині одиничної окружності в$w$ площині і навпаки. Зверніть увагу, що стрілки на кривих перевернуті.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Карта$w = 1/z$ інвертує площину. (CC BY-NC; Відповідальний)

Відзначимо, що$T$ є дробовим лінійним перетворенням з коефіцієнтами

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \nonumber$$

Приклад$\PageIndex{4}$

Нехай

$$T(z) = \dfrac{z - i}{z + i}. \nonumber$$

Ми стверджуємо, що це відображає$x$ -вісь на одиничну окружність, а верхню півплощину - на одиничний диск.

Рішення

Спочатку візьміть$x$ реальні, потім

$$|T(x)| = \dfrac{|x - i|}{|x + i|} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}} = 1. \nonumber$$

Отже,$T$ відображає$x$ -вісь до одиничного кола.

Далі беремо$z = x + iy$ с$y > 0$, тобто$z$ у верхній напівплощині. Чітко

$$|y + 1| > |y - 1|, \nonumber$$

тому

$$|z + i| = |x + i(y + 1)| > |x + i(y - 1)| = |z - i|, \nonumber$$

маючи на увазі, що

$$|T(z)| = \dfrac{|z - i|}{|z + i|} < 1. \nonumber$$

Отже,$T$ відображає верхню півплощину на одиничний диск.

Ми будемо часто використовувати цю карту, тому для запису зауважимо, що

$T(i) = 0$,$T(\infty) = 1$$T(-1) = i$,$T(0) = -1$,$T(1) = -i$.

Ці обчислення показують, що реальна вісь відображається проти годинникової стрілки навколо одиничного кола, починаючи з 1 і повертаючись до 1.

Малюнок$\PageIndex{4}$: Карта$w = \dfrac{z - i}{z + i}$ відображає верхню половину площини на одиничний диск. (CC BY-NC; Відповідальний)

Лінії та кола

Теорема$\PageIndex{1}$

Лінійне дробове перетворення відображає лінії та кола на лінії та кола.

Перш ніж довести це, зверніть увагу, що це не говорить, що лінії відображаються на лінії, а кола - на кола. Наприклад, у прикладі 11.7.4 дійсна вісь відображається одиничне коло. Ви також можете перевірити, що інверсія$w = 1/z$ відображає лінію$z = 1 + iy$ з колом$|z - 1/2| = 1/2$.

Доказ

Ми починаємо з показу, що інверсія відображає лінії та кола на лінії та кола. Дано$z$ і$w = 1/z$ ми визначаємо$x, y, u$ і$v$

$$z = x + iy \ \ \text{ and } \ \ w = \dfrac{1}{z} = \dfrac{x - iy}{x^2 + y^2} = u + iv \nonumber$$

Отже,

$$u = \dfrac{x}{x^2 + y^2} \ \ \text{ and } \ \ v = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}. \nonumber$$

Тепер кожне коло або пряма може бути описана рівнянням

$$Ax + By + C(x^2 + y^2) = D \nonumber$$

(Якщо$C = 0$ він описує лінію, інакше коло.) Ми перетворюємо це в рівняння$u, v$ наступним чином.

$$\begin{array} {cll} {} & \ & {Ax + By + C(x^2 + y^2) = D} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {\dfrac{Ax}{x^2 + y^2} + \dfrac{By}{x^2 + y^2} + C = \dfrac{D}{x^2 + y^2}} \\ {\Leftrightarrow} & \ & {Au - Bv + C = D(u^2 + v^2).} \end{array} \nonumber$$

На останньому кроці ми використовували той факт, що

$$u^2 + v^2 = |w|^2 = 1/|z|^2 = 1/(x^2 + y^2). \nonumber$$

Ми показали, що лінія або коло в$x, y$ перетворюється на лінію або коло в$u, v$. Це показує, що інверсія відображає лінії та кола на лінії та кола.

Відзначимо, що для інверсії$w = 1/z$.

1. Будь-яка лінія, яка не проходить через початок, відображається на колі через початок.
2. Будь-яка лінія, що проходить через початок, відображається на лінії, що проходить через початок.
3. Будь-яке коло, що не через початок, відображається на колі, а не через початок.
4. Будь-яке коло, що проходить через початок, відображається на лінію, а не через початок.

Тепер, щоб довести, що довільне дробове лінійне перетворення відображає лінії та кола на лінії та кола, ми перерахуємо його в послідовність простіших перетворень.

Спочатку припустимо, що$c = 0$. Отже,

$$T(z) = (az + b)/d.$$

Оскільки це просто переклад, масштабування та обертання, зрозуміло, що це відображає кола на кола та лінії на лінії.

Тепер припустимо, що$c \ne 0$. Потім,

$$T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{\dfrac{a}{c} (cz + d) + b - \dfrac{ad}{c}}{cz + d} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b - ad/c}{cz + d} \nonumber$$

Отже,$w = T(z)$ може бути обчислена як композиція перетворень

$$z \ \ \mapsto \ \ w_1 = cz + d \ \ \mapsto \ \ w_2 = 1/w_1 \ \ \mapsto \ \ w = \dfrac{a}{c} + (b - ad/c) w_2 \nonumber$$

Ми знаємо, що кожен з перетворень у цій послідовності відображає лінії та кола на лінії та кола. Тому вся послідовність робить також.

Відображення$z_j$ до$w_j$

Виходить, що для двох множин по три точки$z_1, z_2, z_3$ і$w_1, w_2, w_3$ є дробове лінійне перетворення, яке приймає$z_j$ до$w_j$. Ми можемо побудувати цю карту наступним чином.

Нехай

$$T_1 (z) = \dfrac{(z - z_1)(z_2 - z_3)}{(z - z_3)(z_2 - z_1)}.$$

Зауважте, що

$T_1(z_1) = 0$,$T_1 (z_1) = 1$,$T_1 (z_3) = \infty$.

Так само нехай

$$T_2(w) = \dfrac{(w - w_1) (w_2 - w_3)}{(w - w_3)(w_2 - w_1)}.$$

Зауважте, що

$T_2(w_1) = 0$,$T_2(w_2) = 1$,$T_2 (w_3) = \infty$.

Тепер$T(z) = T_{2}^{-1} \circ T_1 (z)$ потрібна карта.

Листування з матрицями

Ми можемо визначити трансформацію

$$T(z) = \dfrac{az + b}{cz + d}$$

з матрицею

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}.$$

Ця ідентифікація корисна через наступних алгебраїчних фактів.

1. Якщо$r \ne 0$ то$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ і$r \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ відповідають тому ж ФЛТ.
   $Proof$. Це випливає з очевидної рівності
   $$\dfrac{az + b}{cz + d} = \dfrac{raz + rb}{rcz + rd}.$$
2. Якщо$T(z)$ відповідає$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ і$S(z)$ відповідає,$B = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$ то склад$T \circ S(z)$ відповідає множенню матриці$AB$.
   $Proof$. Доказом є лише трохи алгебри.
   $$\begin{array} {rcl} {T \circ S(z)} & = & {T(\dfrac{ez + f}{gz + h}) = \dfrac{a((ez + f)/(gz + h)) + b}{c((ez + f)/(gz + h)) + d} = \dfrac{(ae + bg)z + af + bh}{(ce + dg) z + cf + dh}} \\ {AB} & = & {\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{bmatrix}} \end{array}$$
   Заявлена кореспонденція зрозуміла з останніх записів у двох рядках вище.
3. Якщо$T(z)$ відповідає,$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ то$T$ має зворотне і$T^{-1} (w)$ відповідає,$A^{-1}$ а також до$\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, тобто$A^{-1}$ без коефіцієнта$1/\text{det}(A)$.
   $Proof$. $A A^{-1} = I$Так як з попереднього факту зрозуміло, що$T^{-1}$ відповідає$A^{-1}$. Так як
   $$A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Факт 1 має на увазі$A^{-1}$ і$\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ обидва відповідають одному і тому ж FLT, тобто до$T^{-1}$.

Приклад$\PageIndex{5}$

1. Матриця$\begin{bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ відповідає$T(z) = az + b$.
2. Матриця$\begin{bmatrix} e^{i \alpha} & 0 \\ 0 & e^{-i \alpha} \end{bmatrix}$ відповідає обертанню на$2\alpha$.
3. Матриця$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ відповідає інверсії$w = 1/z$.