11.3: Аналітичні функції є конформними

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62833

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Теорема\(\PageIndex{1}\) Operational definition of conformal

Якщо\(f\) аналітичний по області\(A\) і\(f'(z_0) \ne 0\), то\(f\) конформний при\(z_0\). Крім того, карта\(f\) множить дотичні вектори на\(z_0\) на\(f'(z_0)\).

Доказ

Доказом є швидке обчислення. \(z = \gamma (t)\)Припустимо, крива через\(z_0\) с\(\gamma (t_0) = z_0\). Крива\(\gamma (t)\) перетворюється\(f\) на криву\(w = f(\gamma (t))\). За правилом ланцюга ми маємо

\[\dfrac{d f(\gamma (t))}{dt} \vert_{t_0} = f'(\gamma (t_0)) \gamma ' (t_0) = f'(z_0) \gamma ' (t_0).\]

Теорема тепер випливає з теореми 11.3.1.

Приклад\(\PageIndex{1}\) Basic example

Припустимо\(c = ae^{i \phi}\) і розглянемо карту\(f(z) = cz\). Геометрично ця карта обертає кожну точку\(\phi\) і масштабує її\(a\). Тому він повинен мати однаковий вплив на всі дотичні вектори до кривих. Дійсно,\(f\) є аналітичним і\(f'(z) = c\) є постійним.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Нехай\(f(z) = z^2\). Отже\(f'(z) = 2z\). Таким чином, карта\(f\) має різний вплив на дотичні вектори в різних точках\(z_1\) і\(z_2\).

Приклад\(\PageIndex{3}\) Linear approximation

Припустимо\(f(z)\), це аналітичний при\(z = 0\). Лінійне наближення (перші два члени ряду Тейлора)

\[f(z) \approx f(0) + f'(0) z.\]

Якщо\(\gamma (t)\) крива з\(\gamma (t_0) = 0\) то, поруч\(t_0\),

\[f(\gamma (t)) \approx f(0) + f'(0) \gamma (t).\]

Тобто, біля 0,\(f\) виглядає як наш основний приклад плюс зрушення по\(f(0)\).

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Карта\(f(z) = \overline{z}\) має багато приємних геометричних властивостей, але вона не є конформною. Він зберігає довжину дотичних векторів і кут між дотичними векторами. Причина, по якій він не конформний, полягає в тому, що він не обертає дотичні вектори. Замість цього він відображає їх поперек\(x\) -осі.

Іншими словами, він змінює орієнтацію пари векторів. Наше визначення конформних карт вимагає, щоб воно зберігало орієнтацію.