11.4: Відступ до гармонійних функцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62841

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Теорема$\PageIndex{1}$

Якщо$u$ і$v$ є гармонійними$g = u + iv$ сполученнями і має$g'(z_0) \ne 0$, то криві рівня$u$ і$v$$z_0$ наскрізні ортогональні.

Примітка

Ми довели це в більш ранній темі за допомогою рівнянь Коші-Рімана. Тут буде зроблений аргумент за участю конформних карт.

Доказ

Спочатку ми розглянемо, як$g$ відображає криву рівня$u(x, y) = a$. Так як$g = u + iv$, зображення кривої рівня є$w = a + iv$, тобто це (міститься в) вертикальна лінія в$w$ -площині. Аналогічним чином крива рівня$v(x, y) = b$ відображається на горизонтальній лінії$w = u + ib$.

Таким чином, зображення двох кривих рівня є ортогональними. Оскільки$g$ конформний він зберігає кут між кривими рівня, тому вони повинні бути ортогональними.

$2020-09-13 2.01.4png$
$g = u + iv$відображає криві рівня$u$ і$v$ лінії сітки.