11.6: Приклади конформних карт та вправ

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62860

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Як ми бачили, як тільки у нас є потоки або гармонічні функції в одній області, ми можемо використовувати конформні карти, щоб зіставити їх на інші регіони. У цьому розділі ми запропонуємо ряд конформних карт між різними регіонами. Об'єднавши їх разом із масштабуванням, обертанням та зміщенням, ми можемо створити велику бібліотеку конформних карт. Звичайно, є багато інших, яких ми не будемо торкатися.

Для зручності в цьому розділі ми дозволимо

\[T_0 (z) = \dfrac{z - i}{z + i}.\]

Це наша стандартна карта взяття верхньої півплощини на одиничний диск.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

\(H_{\alpha}\)Дозволяти бути напівплощині над лінією

\[y = \tan (\alpha) x, \nonumber\]

тобто,\(\{(x, y) : y > \tan (\alpha) x\}\). Знайдіть FLT від\(H_{\alpha}\) до одиничного диска.

Рішення

Робимо це в два етапи. Спочатку використовуйте обертання

\[T_{-\alpha} (a) = e^{-i \alpha} z \nonumber\]

для карти\(H_{\alpha}\) до верхньої півплощини. Дотримуйтесь цього з картою\(T_0\). Отже, наша карта є\(T_0 \circ T_{-\alpha} (z)\).

(Ви постачаєте картину)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

\(A\)Дозволяти бути канал\(0 \le y \le \pi\) в\(xy\) -площині. Знайдіть конформну карту від\(A\) до верхньої півплощини.

Рішення

Карта\(f(z) = e^z\) робить трюк. (Див. примітки до теми 1!)

(Ви подаєте зображення: горизонтальні лінії відображаються на променях від початку, а вертикальні сегменти каналу відображаються на півкола.)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

\(B\)Дозволяти бути верхньою половиною одиничного диска. Покажіть, що\(T_{0}^{-1}\) карти\(B\) до другого квадранта.

Рішення

Ви надаєте аргумент і цифру.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

\(B\)Дозволяти бути верхньою половиною одиничного диска. Знайдіть конформну карту від\(B\) до верхньої півплощини.

Рішення

Карта\(T_{0}^{-1} (z)\) відображає\(B\) другий квадрант. Потім множимо на\(-i\) карти це на перший квадрант. Потім квадрат відображає це на верхню півплощину. Зрештою, ми маємо

\[f(z) = (-i (\dfrac{iz + i}{-z + 1}))^2. \nonumber\]

Ви подаєте послідовність картинок.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Нехай\(A\) буде нескінченний колодязь\(\{(x, y) : x \le 0, 0 \le y \le \pi \}\). Знайдіть конфомальну карту від\(A\) до верхньої півплощини.

003 - (Приклад 11.6.5) .svg — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Нескінченні функції свердловини. (CC BY-NC; Уміти Кая)

Рішення

Карта\(f(z) = e^z\) відображає\(A\) верхню половину одиничного диска. Тоді ми можемо використовувати карту з Приклад\(\PageIndex{4}\) для відображення напівдиска на верхню половину площини.

Ви подаєте послідовність картинок.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Показати, що функція

\[f(z) = z + 1/z \nonumber\]

відображає область, показану на малюнку\(\PageIndex{2}\), до верхньої півплощини.

004 - (Приклад 11.6.6) .svg — Малюнок\(\PageIndex{2}\): (CC BY-NC; Уміт Кая)