Search

12.1: Принцип аргументу
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/12%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83/12.01%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83
\[\begin{array} {rclcl} {\int_{\gamma} \dfrac{(1 + f)' f(z)}{1 + f(z)} \ dz} & = & {\int_{\gamma} \dfrac{f' f(z)}{1 + f(z)} \ dz} & \ \ & {(\text{because } (1 + f)' = f')} \\ {\text{Ind} (1 + f \circ ...\[\begin{array} {rclcl} {\int_{\gamma} \dfrac{(1 + f)' f(z)}{1 + f(z)} \ dz} & = & {\int_{\gamma} \dfrac{f' f(z)}{1 + f(z)} \ dz} & \ \ & {(\text{because } (1 + f)' = f')} \\ {\text{Ind} (1 + f \circ \gamma, 0)} & = & {\text{Ind} (f \circ \gamma, -1)} & \ \ & {(1 + f \text{ winds around 0 } \Leftrightarrow \text{ winds around -1})} \\ {Z_{1 + f, \gamma}} & = & {Z_{1 + f, \gamma}} & \ \ & {(\text{same in both equation}))} \\ {P_{1 + f, \gamma}} & = & {P_{f, \gamma}} & \ \ & {(\text{poles of } f …
1.2: Фундаментальна теорема алгебри
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/01%3A_%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%89%D0%B8%D0%BD%D0%B0/1.02%3A_%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%B4%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B8
Однією з причин використання комплексних чисел є те, що дозволити складні корені означає, що кожен многочлен має точно очікувану кількість коренів. Це називається фундаментальною теоремою алгебри.
11.10: Розв'язування задачі Діріхле для гармонійних функцій
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/11%3A_%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%BD%D1%96_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F/11.10%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D1%96_%D0%94%D1%96%D1%80%D1%96%D1%85%D0%BB%D0%B5_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B3%D0%B0%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9
$\Phi (z) = c_3 + \dfrac{(c_2 - c_3)}{\pi i} \log (z - x_3) + \dfrac{(c_1 - c_2)}{\pi i} \log (z - x_2) + \dfrac{(c_1 - c_0)}{\pi i} \log (z - x_1).$ \[\phi (w) = 1 - \dfrac{1}{\pi} \theta _2 + \dfr... $\Phi (z) = c_3 + \dfrac{(c_2 - c_3)}{\pi i} \log (z - x_3) + \dfrac{(c_1 - c_2)}{\pi i} \log (z - x_2) + \dfrac{(c_1 - c_0)}{\pi i} \log (z - x_1).$ $\phi (w) = 1 - \dfrac{1}{\pi} \theta _2 + \dfrac{1}{\pi} \theta _1 = \text{Re} (1 - \dfrac{1}{\pi i} \log (w - 1) + \dfrac{1}{\pi i} \log (w + 1)).$ $u(z) = \phi \circ T^{-1} (z) = \text{Re} (1 - \dfrac{1}{\pi i} \log (T^{-1} (z) - 1) + \dfrac{1}{\pi i} \log (T^{-1} (z) + 1)).$
9.1: Полюси та нулі
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/09%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%88%D0%BE%D0%BA/9.01%3A_%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%81%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%BD%D1%83%D0%BB%D1%96
$f(z) = \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \dfrac{b_{n - 1}}{(z - z_0)^{n - 1}} + \ ... + \dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + \ ...$ Ми покажемо, що $z = 0$ є полюсом порядку 3, $z = \pm i$ є пол... $f(z) = \dfrac{b_n}{(z - z_0)^n} + \dfrac{b_{n - 1}}{(z - z_0)^{n - 1}} + \ ... + \dfrac{b_1}{z - z_0} + a_0 + a_1 (z - z_0) + \ ...$ Ми покажемо, що $z = 0$ є полюсом порядку 3, $z = \pm i$ є полюсами порядку 1 і $z = -1$ є нулем порядку 1. $g(z) = \dfrac{z + 1}{z^2 + 1} = 1 + a_1 z + a_2 z^2 + \ ... \nonumber$ За адресою $z = i$ : $f(z) = \dfrac{1}{z - i} \cdot \dfrac{z + 1}{z^3 (z + i)}$ . $g(z) = \dfrac{z + 1}{z^3 (z + i)} = a_0 + a_1 (z - i) + a_2 (z - i)^2 + \ ... \nonumber$
3: Багатоваріантна обчислення (огляд)
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/03%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4)
Ці нотатки є коротким резюме того, що нам знадобиться з багатовимірного обчислення. Якщо після прочитання цих частин деякі частини все ще незрозумілі, вам слід проконсультуватися зі своїми нотатками а...Ці нотатки є коротким резюме того, що нам знадобиться з багатовимірного обчислення. Якщо після прочитання цих частин деякі частини все ще незрозумілі, вам слід проконсультуватися зі своїми нотатками або книгою зі свого багатоваріантного обчислення або запитати про це в робочий час. Ми бачили, що складні експоненціальні показники полегшують роботу з тригонометричними функціями та дають уявлення про багато властивостей тригових функцій.
3.1: Термінологія та позначення
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/03%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4)/3.01%3A_%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D1%96%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%BF%D0%BE%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F
У фізиці і в 18.02 ми зазвичай пишемо вектори в площині як $x$ i + $y$ j. Це використання i та j буде заплутаним у 18.04, тому ми напишемо цей вектор як $(x, y)$ . У 18.02 ви могли використовувати к...У фізиці і в 18.02 ми зазвичай пишемо вектори в площині як $x$ i + $y$ j. Це використання i та j буде заплутаним у 18.04, тому ми напишемо цей вектор як $(x, y)$ . У 18.02 ви могли використовувати кутові дужки $\langle x, y \rangle$ для векторів і круглі дужки $(x, y)$ для точок. У 18.04 ми будемо приймати більш стандартну математичну конвенцію і використовувати круглі дужки як для векторів, так і для точок.
14.4: Докази (деяких) властивостей
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/14%3A_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F/14.04%3A_%D0%94%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%B7%D0%B8_(%D0%B4%D0%B5%D1%8F%D0%BA%D0%B8%D1%85)_%D0%B2%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9
$\mathcal{L} (f';s) = s \mathcal{L} (t^{z}; s) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{s^z}$ $\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{z} = \dfrac{\Gamma (z + 2)}{(z + 1) z}$ \[\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + m + 1)}... $\mathcal{L} (f';s) = s \mathcal{L} (t^{z}; s) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{s^z}$ $\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + 1)}{z} = \dfrac{\Gamma (z + 2)}{(z + 1) z}$ $\Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (z + m + 1)}{(z + m) (z + m - 1) + \ ... + (z + 1)z}$ $\text{Res} (\Gamma, -m) = \lim_{z \to -m} (z + m) \Gamma (z) = \dfrac{\Gamma (1)}{(-1)(-2)\ ... (-m)} = \dfrac{(-1)^m}{m!}.$
10.1: Інтеграли функцій, які розпадаються
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/10%3A_%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%88%D0%BE%D0%BA/10.01%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D0%B9%2C_%D1%8F%D0%BA%D1%96_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D0%BF%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%8E%D1%82%D1%8C%D1%81%D1%8F
Теореми в цьому розділі допоможуть нам у виборі замкнутого контуру С, описаного у вступі.
3.8: Розширення та застосування теореми Гріна
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/03%3A_%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%B1%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_(%D0%BE%D0%B3%D0%BB%D1%8F%D0%B4)/3.08%3A_%D0%A0%D0%BE%D0%B7%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B0_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%81%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%93%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%B0
Якщо $D$ просто підключений і $\text{curl} F = 0$ включений $D$ , то $F = \nabla f$ для деяких $f$ . $\oint_{C_1} F \cdot dr + \oint_{C_2} F \cdot dr = \int \int_R \text{curl} F \ dA.$ \[\oint_{C...Якщо $D$ просто підключений і $\text{curl} F = 0$ включений $D$ , то $F = \nabla f$ для деяких $f$ . $\oint_{C_1} F \cdot dr + \oint_{C_2} F \cdot dr = \int \int_R \text{curl} F \ dA.$ $\oint_{C_1} F \cdot dr + \oint_{C_2} F \cdot dr + \oint_{C_3} F \cdot dr + \oint_{C_4} F \cdot dr = \int \int_R \text{curl} F \ dA.$ $\int \int_R \text{curl} F\ dA = \int_{C_1 + C_3 + C_2 - C_3} F \cdot dr = \int_{C_1 + C_2} F \cdot dr.$
12.3: Трохи про негативний зворотний зв'язок
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/12%3A_%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%BF_%D0%B0%D1%80%D0%B3%D1%83%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83/12.03%3A_%D0%A2%D1%80%D0%BE%D1%85%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%BD%D0%B5%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B7%D0%B2'%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA
У петлі негативного зворотного зв'язку вихід системи зациклюється назад і віднімається від входу.
10.4: Інтегради з розрізами гілок
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%BD%D1%96_%D0%B7_%D0%B4%D0%BE%D0%B4%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B8_(Orloff)/10%3A_%D0%92%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%BD%D1%96_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8_%D0%B7_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F%D0%BC_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%D0%BF%D1%80%D0%BE_%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%88%D0%BE%D0%BA/10.04%3A_%D0%86%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%B8_%D0%B7_%D1%80%D0%BE%D0%B7%D1%80%D1%96%D0%B7%D0%B0%D0%BC%D0%B8_%D0%B3%D1%96%D0%BB%D0%BE%D0%BA
\[I = \dfrac{-\pi ie^{i \pi /3}}{1 - e^{i 2\pi /3}} = \dfrac{\pi i}{e^{i \pi /3} - e^{-\pi i/3}} = \dfrac{\pi /2}{(e^{i \pi /3} - e^{-i\pi /3})/2i} = \dfrac{\pi /2}{\sin (\pi /3)} = \dfrac{\pi}{\sqrt{... $I = \dfrac{-\pi ie^{i \pi /3}}{1 - e^{i 2\pi /3}} = \dfrac{\pi i}{e^{i \pi /3} - e^{-\pi i/3}} = \dfrac{\pi /2}{(e^{i \pi /3} - e^{-i\pi /3})/2i} = \dfrac{\pi /2}{\sin (\pi /3)} = \dfrac{\pi}{\sqrt{3}}.$ $\begin{array} {rcl} {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_2} f(z) \ dz} & = & {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{-C_4} f(z) \ dz} \\ {} & = & {\lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{-C_6} f(z)\ dz = \lim_{R \to \infty, r \to 0} \int_{C_8} f(z)\ dz = I.} \end{array}$