Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.1: Геометричне визначення конформних відображень

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    62826

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Почнемо з дещо ручного хвилястого визначення:

    Неформальне визначення: Конформні карти

    Конформні карти - це функції\(C\), на яких зберігаються кути між кривими.

    Точніше: Припустимо\(f(z)\), диференційований при\(z_0\) і\(\gamma (t)\) є плавною кривою наскрізь\(z_0\). Якщо бути конкретним, припустимо\(\gamma (t_0) = z_0\). Функція відображає точку\(z_0\)\(w_0 = f(z_0)\) та\(\gamma\) криву

    \[\tilde{\gamma} (t) = f(\gamma (t)).\]

    Під цією картою тангенс вектор\(\gamma ' (t_0)\) в\(z_0\) відображається на дотичному векторі

    \[\tilde{\gamma} ' (t_0) = (f \circ \gamma)' (t_0)\]

    в\(w_0\). З цими позначеннями ми маємо наступне визначення.

    Визначення: Конформні функції

    Функція\(f(z)\) є конформною,\(z_0\) якщо є кут\(\phi\) і масштаб,\(a > 0\) такий, що для будь-якої плавної\(z_0\) кривої\(\gamma (t)\) через карту\(f\) обертає тангенс вектор на\(z_0\) на\(\phi\) і масштабує його\(a\). Тобто для будь-якого\(\gamma\) дотичний вектор\((f \circ \gamma)' (t_0)\) знаходять\(\gamma '(t_0)\) обертанням на\(\phi\) і масштабуванням його по\(a\).

    Якщо\(f(z)\) визначено на регіоні\(A\), ми говоримо, що це конформна карта,\(A\) якщо вона конформна\(z\) в кожній точці\(A\).

    Примітка

    Масштабний коефіцієнт\(a\) і кут повороту\(\phi\) залежать від точки\(z\), але не від будь-якої з кривих наскрізних\(z\).

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    На малюнку\(\PageIndex{1}\) нижче показано конформну карту, що\(f(z)\) відображає дві криві через\(z_0\) дві криві\(w_0 = f(z_0)\). Дотичні вектори до кожної з вихідних кривих обертаються і масштабуються на однакову величину.

    001 - (Приклад 11.1.1) .svg
    Рисунок\(\PageIndex{1}\): Конформна карта обертається і масштабує всі дотичні вектори\(z_0\) на однакову величину. (CC BY-NC; Відповідальний)

    Зауваження 1. Конформальність - явище локальне. В іншій\(z_1\) точці кут повороту та коефіцієнт масштабу можуть відрізнятися.

    Зауваження 2. Оскільки обертання зберігають кути між векторами, ключовою властивістю конформних карт є те, що вони зберігають кути між кривими.

    Приклад\(\PageIndex{2}\)

    Нагадаємо, що ще в розділі 1 ми бачили, що\(f(z) = z^2\) відображає горизонтальні та вертикальні лінії сітки на взаємно ортогональні параболи. Ми побачимо, що\(f(z)\) це конформно. Отже, ортогональність парабол не випадкова. Конформна карта зберігає прямі кути між лініями сітки.

    002 - (Приклад 11.1.2) .svg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Конформна карта прямокутної сітки. (CC BY-NC; Відповідальний)