11.8: Відображення та симетрія

Відображення і симетрія в лінії

Приклад$\PageIndex{1}$

Припустимо, у нас є лінія,$S$ а точка$z_1$ не на$S$. Відбиття$z_1$ in$S$ - це точка$z_2$ так,$S$ що перпендикулярна бісектриса до відрізка лінії$\overline{z_1 z_2}$. Оскільки існує рівно одна така точка$z_2$, відображення точки в прямій є унікальним.

Визначення

Якщо$z_2$ це відображення$z_1$ в$S$, ми говоримо, що$z_1$ і$z_2$ симетричні по відношенню до лінії$S$.

На малюнку нижче точки$z_1$ і$z_2$ симетричні в$x$ -осі. Точки$z_3$ і$z_4$ симетричні в лінії$S$.

Для того, щоб визначити відображення точки в колі, нам потрібно попрацювати трохи більше. Озираючись назад на попередній приклад, ми можемо показати наступне.

Факт

Якщо$z_1$ і$z_2$ симетричні в лінії$S$, то будь-яке коло наскрізь$z_1$ і$z_2$ перетинається$S$ ортогонально.

Доказ

Викликати коло$C$. $S$Оскільки перпендикулярна бісектриса хорди$C$, центр$C$ лежить на$S$. Тому$S$ є радіальною лінією, тобто вона перетинається$C$ ортогонально.

Кола через симетричні точки перетинають лінію під прямим кутом.

Відображення і симетрія в колі

Ми адаптуємо це для нашого визначення відображення в колі. Щоб логіка текла правильно, потрібно почати з визначення симетричних пар точок.

Визначення

Припустимо,$S$ це лінія або коло. Пара точок$z_1, z_2$ називається симетричною відносно того,$S$ якщо кожна лінія або коло через дві точки перетинаються$S$ ортогонально.

Спочатку ми констатуємо майже тривіальний факт.

Факт

Дробові лінійні перетворення зберігають симетрію. Тобто якщо$z_1, z_2$ симетричні по лінії або колу$S$, то, для FLT$T$,$T(z_1)$ і$T(z_2)$ симетричні в$T(S)$.

Доказ

Визначення симетрії відбувається з точки зору ліній і кіл, і кутів. Дробові лінійні перетворення відображають лінії та кола на лінії та кола і, будучи конформними, зберігають кути.

Теорема$\PageIndex{1}$

Припустимо,$S$ це лінія або коло$z_1$, а точка не на$S$. Є унікальний момент$z_2$ такий, що пара$z_1, z_2$ симетрична в$S$.

Доказ

$T$Дозволяти дробове лінійне перетворення, яке$S$ відображає на лінію. Ми знаємо, що$w_1 = T(z_1)$ має унікальне відображення$w_2$ в цьому рядку. Так як$T^{-1}$ зберігає симетрію,$z_1$ і$z_2 = T^{-1} (w_2)$ симетричні в$S$. Так як$w_2$ унікальна точка симетрична до того$w_1$ ж, вірно для$z_2$ vis-a-vis$z_1$. Це все показано на малюнку нижче.

Тепер ми можемо визначити відображення в колі.

Визначення

Точка$z_2$ в теоремі 11.8.1 називається відображенням$z_1$ в$S$.

Відображення в одиничному колі

Використовуючи функцію збереження симетрії дробових лінійних перетворень, ми починаємо з лінії і трансформуємо в коло. $R$Дозволяти реальна вісь і$C$ одиниця окружності. Ми знаємо FLT

$$T(z) = \dfrac{z - i}{z + i}$$

карти$R$ до$C$. Ми також знаємо, що точки$z$ і$\overline{z}$ симетричні в$R$. Тому

$$w_1 = T(z) = \dfrac{z - i}{z + i} \ \ \ \text{and} \ \ \ w_2 = T(\overline{z}) = \dfrac{\overline{z} - i}{\overline{z} + i}$$

симетричні в$D$. Дивлячись на формули, зрозуміло, що$w_2 = 1/\overline{w_1}$. Це досить важливо, щоб ми виділили його як теорему.

Теорема$\PageIndex{2}$ Reflection in the unit circle

Відображення$z = x + iy = re^{i \theta}$ в одиничному колі

$$\dfrac{1}{\overline{z}} = \dfrac{z}{|z|^2} = \dfrac{x + iy}{x^2 + y^2} = \dfrac{e^{i \theta}}{r}.$$

Розрахунки з$1/\overline{z}$ все тривіальні.

Примітка

1. Можна, але більш виснажливим і менш проникливим, дійти до цієї теореми прямим розрахунком.
2. Якщо$z$ знаходиться на одиничному колі, то$1/\overline{z} = z$. Тобто$z$ є власне відображення в одиничному колі —як і повинно бути.
3. Центр кола 0 симетричний точці в$\infty$.

На малюнку нижче показані три пари точок, симетричних в одиничному колі:

$z_1 = 2; \ w_1 = \dfrac{1}{2}, \ z_2 = 1 + i; \ w_2 = \dfrac{1 + i}{2},\ z_3 = -2 + i; \ w_3 = \dfrac{-2 + i}{5}.$

Пари точок$z_j$:$w_j$ симетричні в одиничному колі.

Приклад$\PageIndex{2}$ Reflection in the circle of radius $R$

Припустимо$S$,$z_1$ це коло$|z| = R$ і пінта не на$S$. Знайдіть відображення$z_1$ в С.

Рішення

Наша стратегія полягає в тому,$S$ щоб зіставити одиничне коло, знайти відображення, а потім зіставити одиничне коло назад$S$.

Почніть з карти$T(z) = w = z/R$. Чітко$T$$S$ відображає одиничний коло і

$$w_1 = T(z_1) = z_1/R.$$

Відображення$w_1$ є

$$w_2 = 1/\overline{w_1} = R/\overline{z}_1.$$

Відображення назад від одиничного кола у$T^{-1}$ нас є

$$z_2 = T^{-1} (w_2) = Rw_2 = R^2/\overline{z}_1.$$

Тому відображення$z_1$ є$R^2/\overline{z}_1.$

Ось три пари точок, симетричних по колу радіуса 2. Зверніть увагу, що це та ж цифра, що і вище, з усім подвоєним.

$z_1 = 4;\ w_1 = 1,\ z_2 = 2 + 2i;\ w_2 = 1 + i, \ z_3 = -4 + 2i;\ w_3 = \dfrac{-4 + 2i}{5}.$

Пари точок$z_j$;$w_j$ симетричні по колу радіуса 2.

Приклад$\PageIndex{3}$

Знайти відображення$z_1$ в колі радіуса з$R$ центром в$c$.

Рішення

Нехай$T(z) = (z - c)/R$. $T$відображає коло з центром$c$ до одиничного кола. Зворотна карта

$$T^{-1} (w) = Rw + c.$$

Отже, відображення$z_1$ задається відображенням$z$ до$T(z)$, відображаючи це в одиничному колі, і відображення назад до вихідної геометрії с$T^{-1}$. Тобто відображення$z_2$ є

$$z_1 \to \dfrac{z_1 - c}{R} \to \dfrac{R}{\overline{z_1 - c}} \to z_2 = \dfrac{R^2}{\overline{z_1 - c}} + c.$$

Тепер ми можемо зафіксувати наступний важливий факт.

(Відображення центру)

Для кола$S$ з центром$c$ пара$c$,$\infty$ симетрична по відношенню до кола.

Доказ

Це безпосередній наслідок формули відображення точки по колу. Наприклад, відображення в$z$ одиничному колі є$1/\overline{z}$. Отже, відображення 0 - нескінченність.

Приклад$\PageIndex{4}$

Показати, що якщо коло і лінія не перетинаються, то є пара точок$z_1, z_2$, які симетричні по відношенню як до лінії, так і по колу.

Рішення

Зсуваючи, масштабуючи та обертаючи, ми можемо знайти дробове лінійне перетворення$T$, яке відображає коло та лінію до наступної конфігурації: Коло відображається на одиничному колі, а лінія - до вертикальної лінії$x = a > 1$.

Для будь-яких реальних$r$,$w_1 = r$ і$w_2 = 1/r$ симетричні в одиничному колі. Ми можемо вибрати конкретні$r$ так, щоб$r$ і$1/r$ були рівновіддалені від$a$, тобто також симетричні в лінії$x = a$. Геометрично зрозуміло, що це можна зробити. Алгебраїчно вирішуємо рівняння

$$\dfrac{r + 1/r}{2} = a \ \ \Rightarrow \ \ r^2 - 2ar + 1 = 0 \ \ \Rightarrow \ \ r = a + \sqrt{a^2 - 1} \ \ \Rightarrow \ \ \dfrac{1}{r} = a - \sqrt{a^2 - 1}.$$

Таким чином$z_1 = T^{-1} (a + \sqrt{a^2 - 1})$ і$z_2 = T^{-1} (a - \sqrt{a^2 - 1})$ є необхідними балами.

Приклад$\PageIndex{5}$

Показати, що якщо два кола не перетинаються, то є пара точок$z_1, z_2$, симетричних по відношенню до обох кіл.

Рішення

Використовуючи дробове лінійне перетворення, яке відображає одне з кіл на пряму (а іншу - на коло), ми можемо зменшити проблему до того, що в попередньому прикладі.

Приклад$\PageIndex{6}$

Показати, що будь-які два кола, які не перетинаються, можуть бути відображені відповідно до концентричних кіл.

Рішення

Викликати кола$S_1$ і$S_2$. У попередньому прикладі почніть з пари точок$z_1, z_2$, які симетричні в обох колах. Далі виберіть дробове лінійне перетворення$T$, яке відображає$z_1$ 0 та$z_2$ нескінченність. Наприклад,

$$T(z) = \dfrac{z - z_1}{z - z_2}.$$

Так як$T$ зберігає симетрію 0 і$\infty$ симетричні в колі$T(S_1)$. Це означає, що 0 є центром$T(S_1)$. Аналогічно 0 є центром$T(S_2)$. Таким чином,$T(S_1)$ і$T(S_2)$ є концентричними.