6.7: Застосування факторингу
У цьому розділі ми вирішимо додатки, рішення яких передбачають факторинг. Почнемо.
Приклад6.7.1
Прямокутна картина полотна вимірює12 дюйми на16 дюйми. Полотно монтується всередині рами рівномірної ширини, збільшуючи загальну площу покритого як полотном, так і каркасом до396 квадратних дюймів. Знайдіть рівномірну ширину рамки.
Рішення
Ми дотримуємося вимог до вирішення проблем Word.
- Налаштуйте словник змінних: Ретельно позначена цифра допоможе нам зберегти нашу увагу. Ми дозволимоx представляти рівномірну ширину кадру.
- Встановіть рівняння: Якщо внутрішні прямокутні розміри16 становлять12 дюйми на дюйми, додавання рамки рівномірної шириниx робить розміри рами плюс полотно16+2x дюймів на12+2x дюйми. Загальна площа знаходить шляхом множення цих зовнішніх розмірів,A=(16+2x)(12+2x). Якщо загальна площа дорівнюєA=396 квадратним дюймам, то маємо наступне рівняння. (16+2x)(12+2x)=396
- Вирішуємо рівняння: Починаємо з розширення правої частини рівняння. (16+2x)(12+2x)=396192+56x+4x2=396Отримане рівняння нелінійне. Зробіть одну сторону нулем. 4x2+56x−204=0Ми могли б фактор4 на лівій стороні, але так як є нуль на правій стороні рівняння, це трохи простіше просто розділити обидві сторони на4. Зверніть увагу, як ми ділимо кожен член з лівого боку на число4. x2+14x−51=0Нам потрібна ціла пара, добуток якоїac=−51 і чия сума дорівнюєb=14. Пара цілих чисел−3,17 приходить на розум. Оскільки коефіцієнтx2 є одним, ми можемо просто «впустити на місце» нашу замовлену пару. (x−3)(x+17)=0Таким чином, рішення єx=3 іx=−17.
- Дайте відповідь на питання: рівномірна ширина рами не може бути−17 дюймами, тому ми виключаємо це рішення з розгляду. Значить, рівномірна ширина рами дорівнює3 дюймам.
- Озирніться назад: Якщо рівномірна ширина кадру дорівнює3 дюймам, то кінцеві розміри будуть виглядати наступним чином.
Таким чином, об'єднана площа рами плюс полотно становитьA=(18)(22), абоA=396 квадратні дюйми, площа, наведена в постановці завдання. Наше рішення правильне.
Вправа6.7.1
Прямокутна картина полотна вимірює7 дюйми на11 дюйми. Полотно монтується всередині рами рівномірної ширини, збільшуючи загальну площу покритого як полотном, так і каркасом до117 квадратних дюймів. Знайдіть рівномірну ширину рамки.
- Відповідь
-
1дюйм
Приклад6.7.2
Снаряд стріляє під кутом у повітря з вершини кліп з видом на океан. Відстань снаряда (у футах) від основи клізадається рівнянням,x=120t а висота снаряда над рівнем моря (у футах) задається рівнянням,y=−16t2+288t+640 деt - кількість часу (у секундах), що минув з моменту випуску снаряда.
- Скільки часу проходить, перш ніж снаряд хлюпається в океан?
- На той момент, як далеко знаходиться снаряд від основи клі?
Рішення
Ми дотримуємося вимог до вирішення проблем Word.
- Налаштуйте словник змінних: змінні вже налаштовані для нас. x=Distance from base of the cliff (in feet).y=Height above sea level (in feet).t=Time since projectile's release (in seconds).
- Налаштування рівняння: Рівняння вже налаштовано (див. Рівняння\ ref {Eq6.7.1} і Рівняння\ ref {Eq6.7.2}).
- Вирішіть рівняння: Коли снаряд хлюпається в океан, його висота над рівнем моря в цей момент становитьy=0 ноги. 0Замінітьy в Equation\ ref {Eq6.7.2} і вирішіть отримане рівняння дляt. y=−16t2+288t+6400=−16t2+288t+640Ми могли б врахувати−16, але так як ліва сторона цього рівняння дорівнює нулю, це трохи легше розділити обидві сторони на−16. Зверніть увагу, як ми ділимо кожен член з правого боку на−16. 0=t2−18t−40Нам потрібна пара цілих чисел, щоб їх добутокac=−40 і їх сума була−18. Пара цілих чисел2,−20 спадає на думку. Оскільки коефіцієнтt2 є одним, ми можемо «падіння на місці» наша ціла пара. 0=(t+2)(t−20)Значить, рішення єt=−2 іt=20.
- Відповідь на питання: Відповідаючи на питання (а),t=−2 секунди рішення не має сенсу. Таким чином, снаряд хлюпається в океан заt=20 лічені секунди. При вирішенні питання (b), щоб знайти відстань снаряда від основи клів цей момент, підставитиt=20 в Equation\ ref {Eq6.7.1}. x=120tx=120(20)x=2400Значить, в той момент, коли снаряд хлюпається в океан, він знаходиться в2,400 ногах від основи клі.
- Озирніться назад: Найкраще, що ми можемо зробити тут, це перевірити наше рішенняt=20 в Equation\ ref {Eq6.7.2}. y=−16t2+288t+640y=−16(20)2+288(20)+640y=−6400+5760+640y=0Дійсно, вt=20, снаряд дійсно хлюпається в океан.
Вправа6.7.2
Висота снаряда (в футах) задається рівняннямy=−16t2+144t+576, де часt вимірюється в секундах. Скільки часу проходить до того, як снаряд вдариться об землю?
- Відповідь
-
12секунд
Приклад6.7.3
Добуток двох послідовних парних чисел дорівнює728. Знайти цілі числа.
Рішення
Ми дотримуємося Вимоги до вирішення проблем Word.
- Налаштувати словник змінних:k Дозволяти представляти перше парне ціле число. Потімk+2 представляє наступне послідовне парне ціле число.
- Встановити рівняння: Добуток цілих чисел дорівнює728. Отже, ми маємо наступне рівняння. k(k+2)=728
- Розв'яжіть рівняння: Розгорніть ліву частину рівняння. k2+2k=728Рівняння нелінійне. Зробіть одну сторону нулем. k2+2k−728=0Див. розділ Використання калькулятора для допомогиac методу -Method. Нам потрібна ціла пара, добуток якоїac=−728 і чия сума дорівнюєb=2. Введіть−728/XY1, а потім налаштуйте таблицю (див. Рис.6.7.1).

Використовуйте клавіші зі стрілками вгору і вниз для прокрутки. Зверніть увагу, що28,−26 є бажаною парою. Оскільки коефіцієнтk2 є одним, ми можемо «впустити на місце» впорядковану пару.
0=(k+28)(k−26)Значить, рішення єk=−28 іk=26.
- Дайте відповідь на питання: Якщоk=−28, наступне послідовне парне ціле число єk+2=−26. По-друге, якщоk=26, наступне послідовне парне ціле числоk+2=28.
- Озирніться назад: Наша перша пара - це−28 і−26. Вони мають необхідний продукт728. Друга наша пара -26 і28. Їх продукт теж є728. Обидва рішення перевіряємо!
Вправа6.7.3
Добуток двох послідовних натуральних непарних чисел дорівнює483. Знайти цілі числа.
- Відповідь
-
21і23
Приклад6.7.4
Прямокутник має периметр54 футів і площа180 квадратних футів. Знайдіть розміри прямокутника.
Рішення
Ми дотримуємося Вимоги до вирішення проблем Word.
- Налаштуйте змінний словник: ескіз допоможе нам зберегти фокус. LДозволяти представляти довжину прямокутника і нехайW представляють його ширину.
- Встановіть рівняння: Периметр - це54 фути, отже2W+2L=54, або розділивши обидві сторониW+L=27 на2:180 Площа квадратних футів, отже:LW=180
- Вирішити рівняння: Система рівнянь (рівняння\ ref {Eq6.7.3} і\ ref {Eq6.7.4}) може бути вирішена методом підстановки. Спочатку розв'яжіть рівняння\ ref {Eq6.7.3} дляW:W=27−L Заставте рівняння\ ref {Eq6.7.5} в Рівняння\ ref {Eq6.7.4}, розгорніть, а потім зробіть нуль з однієї сторони. L(27−L)=18027L−L2=1800=L2−27L+180Пара цілих чисел−12,−15 маєac=180 добуток і сумуb=−27. Крім того, коефіцієнтL2 є один, так що ми можемо «падіння на місці» наша ціла пара. 0=(L−12)(L−15)Значить, рішення єL=12 іL=15.
- Дайте відповідь на питання: Дві можливості по ширині.
- L=12Замінюємо в\ ref {Eq6.7.5}. W=27−LW=27−12W=15
- L=15Замінюємо в\ ref {Eq6.7.5}. W=27−LW=27−15W=12
Обидві відповіді дають однаковий15 прямокутник12 ноги, але ми зазвичай вважаємо термін «довжина» довшою стороною прямокутника.
Отже, давайте підемо з довжиноюL=15 ноги, а ширина -W=12 ноги.
- Озирніться назад: Давайте додамоL=15 стопи іW=12 ступні до діаграми.
Якщо додати розміри навколо прямокутника, периметрP=15+12+15+12, абоP=54 фути, периметр, необхідний в постановці завдання.
Далі, якщо помножити розміри, тоA=(15)(12), абоA=180 квадратні фути, площа, необхідна в постановці завдання. Наше рішення правильне!
Вправа6.7.4
Прямокутник має периметр62 футів і площа234 квадратних футів. Знайдіть розміри прямокутника.
- Відповідь
-
довжина =18 ноги і ширина =13 ноги