6.E: Факторинг (вправи)

6.1: Найбільший загальний фактор

У Вправах 1-6 перерахуйте всі позитивні дільники заданого числа, по порядку, від найменшого до найбільшого.

1)$42$

Відповідь

$\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$

2)$60$

3)$44$

Відповідь

$\{1,2,4,11,22,44\}$

4)$85$

5)$51$

Відповідь

$\{1,3,17,51\}$

6)$63$

У Вправах 7-12 перерахуйте всі загальні позитивні дільники заданих чисел, по порядку, від найменшого до найбільшого.

7)$36$ і$42$

Відповідь

$\{1,2,3,6\}$

8)$54$ і$30$

9)$78$ і$54$

Відповідь

$\{1,2,3,6\}$

10)$96$ і$78$

11)$8$ і$76$

Відповідь

$\{1,2,4\}$

12)$99$ і$27$

У вправах 13-18 викласти найбільший спільний дільник заданих чисел.

13)$76$ і$8$

Відповідь

$4$

14)$84$ і$60$

15)$32$ і$36$

Відповідь

$4$

16)$64$ і$76$

17)$24$ і$28$

Відповідь

$4$

18)$63$ і$27$

У вправах 19-24 використовуйте просту факторизацію, щоб допомогти обчислити найбільший спільний дільник заданих чисел.

19)$600$ і$1080$

Відповідь

$120$

20)$150$ і$120$

21)$1800$ і$2250$

Відповідь

$450$

22)$540$ і$150$

23)$600$ і$450$

Відповідь

$150$

24)$4500$ і$1800$

У Вправах 25-36 знайдіть найбільший спільний фактор заданих виразів.

25)$16b^{4}$ і$56b^{9}$

Відповідь

$8b^{4}$

26)$28s^{2}$ і$36s^{4}$

27)$35z^{2}$ і$49z^{7}$

Відповідь

$7z^{2}$

28)$24w^{3}$ і$30w^{8}$

29)$56x^{3} y^{4}$ і$16x^{2} y^{5}$

Відповідь

$8 x^{2} y^{4}$

30)$35b^{5} c^{3}$ і$63b^{4} c^{4}$

31)$24s^{4} t^{5}$ і$16s^{3} t^{6}$

Відповідь

$8 s^{3} t^{5}$

32)$10v^{4} w^{3}$ і$8v^{3} w^{4}$

33)$18 y^{7}$,$45 y^{6}$, і$27y^{5}$

Відповідь

$9 y^{5}$

34)$8 r^{7}$,$24 r^{6}$, і$12r^{5}$

35)$9 a^{6}$,$6 a^{5}$, і$15a^{4}$

Відповідь

$3 a^{4}$

36)$15 a^{5}$,$24 a^{4}$, і$24a^{3}$

У вправах 37-52 перерахуйте$\mathrm{GCF}$ з кожного з заданих виразів.

37)$25 a^{2}+10 a+20$

Відповідь

$5\left(5 a^{2}+2 a+4\right)$

38)$40 c^{2}+15 c+40$

39)$35 s^{2}+25 s+45$

Відповідь

$5\left(7 s^{2}+5 s+9\right)$

40)$45 b^{2}+20 b+35$

41)$16 c^{3}+32 c^{2}+36 c$

Відповідь

$4 c\left(4 c^{2}+8 c+9\right)$

42)$12 b^{3}+12 b^{2}+18 b$

43)$42 s^{3}+24 s^{2}+18 s$

Відповідь

$6 s\left(7 s^{2}+4 s+3\right)$

44)$36 y^{3}+81 y^{2}+36 y$

45)$35 s^{7}+49 s^{6}+63 s^{5}$

Відповідь

$7 s^{5}\left(5 s^{2}+7 s+9\right)$

46)$35 s^{7}+56 s^{6}+56 s^{5}$

47)$14 b^{7}+35 b^{6}+56 b^{5}$

Відповідь

$7 b^{5}\left(2 b^{2}+5 b+8\right)$

48)$45 x^{5}+81 x^{4}+45 x^{3}$

49)$54 y^{5} z^{3}+30 y^{4} z^{4}+36 y^{3} z^{5}$

Відповідь

$6 y^{3} z^{3}\left(9 y^{2}+5 y z+6 z^{2}\right)$

50)$42 x^{4} y^{2}+42 x^{3} y^{3}+54 x^{2} y^{4}$

51)$45 s^{4} t^{3}+40 s^{3} t^{4}+15 s^{2} t^{5}$

Відповідь

$5.8^{2} t^{3}\left(9 s^{2}+8 s t+3 t^{2}\right)$

52)$20 v^{6} w^{3}+36 v^{5} w^{4}+28 v^{4} w^{5}$

У вправах 53-60, перерахуйте$\mathrm{GCF}$ з кожного з заданих виразів.

53)$7 w(2 w-3)-8(2 w-3)$

Відповідь

$(7 w-8)(2 w-3)$

54)$5 s(8 s-1)+4(8 s-1)$

55)$9 r(5 r-1)+8(5 r-1)$

Відповідь

$(9 r+8)(5 r-1)$

56)$5 c(4 c-7)+2(4 c-7)$

57)$48 a(2 a+5)-42(2 a+5)$

Відповідь

$6(2 a+5)(8 a-7)$

58)$40 v(7 v-4)+72(7 v-4)$

59)$56 a(2 a-1)-21(2 a-1)$

Відповідь

$7(2 a-1)(8 a-3)$

60)$48 r(5 r+3)-40(5 r+3)$

У вправах 61-68 коефіцієнт за групуванням. Не спрощуйте вираз перед факторингом.

61)$x^{2}+2 x-9 x-18$

Відповідь

$(x-9)(x+2)$

62)$x^{2}+6 x-9 x-54$

63)$x^{2}+3 x+6 x+18$

Відповідь

$(x+6)(x+3)$

64)$x^{2}+8 x+7 x+56$

65)$x^{2}-6 x-3 x+18$

Відповідь

$(x-3)(x-6)$

66)$x^{2}-3 x-9 x+27$

67)$x^{2}-9 x+3 x-27$

Відповідь

$(x+3)(x-9)$

68)$x^{2}-2 x+7 x-14$

У вправах 69-76 коефіцієнт за групуванням. Не спрощуйте вираз перед факторингом.

69)$8 x^{2}+3 x-56 x-21$

Відповідь

$(x-7)(8 x+3)$

70)$4 x^{2}+9 x-32 x-72$

71)$9 x^{2}+36 x-5 x-20$

Відповідь

$(9 x-5)(x+4)$

72)$7 x^{2}+14 x-8 x-16$

73)$6 x^{2}-7 x-48 x+56$

Відповідь

$(x-8)(6 x-7)$

74)$8 x^{2}-7 x-72 x+63$

75)$2 x^{2}+12 x+7 x+42$

Відповідь

$(2 x+7)(x+6)$

76)$7 x^{2}+28 x+9 x+36$

6.2: Вирішення нелінійних рівнянь

У вправах 1-8 розв'яжіть задане рівняння для$x$.

1)$(9 x+2)(8 x+3)=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{2}{9},-\dfrac{3}{8}$

2)$(2 x-5)(7 x-4)=0$

3)$x(4 x+7)(9 x-8)=0$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{7}{4}, \dfrac{8}{9}$

4)$x(9 x-8)(3 x+1)=0$

5)$-9 x(9 x+4)=0$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{4}{9}$

6)$4 x(3 x-6)=0$

7)$(x+1)(x+6)=0$

Відповідь

$x=-1,-6$

8)$(x-4)(x-1)=0$

У вправах 9-18, враховуючи, що ви вирішуєте для$x$, введіть, чи є дане рівняння лінійним чи нелінійним. Не вирішуйте рівняння.

9)$x^{2}+7 x=9 x+63$

Відповідь

Нелінійний

10)$x^{2}+9 x=4 x+36$

11)$6 x-2=5 x-8$

Відповідь

Лінійний

12)$-5 x+5=-6 x-7$

13)$7 x^{2}=-2 x$

Відповідь

Нелінійний

14)$4 x^{2}=-7 x$

15)$3 x^{2}+8 x=-9$

Відповідь

Нелінійний

16)$5 x^{2}-2 x=-9$

17)$-3 x+6=-9$

Відповідь

Лінійний

18)$8 x-5=3$

У вправах 19-34 розв'яжіть кожне з заданих рівнянь для$x$.

19)$3 x+8=9$

Відповідь

$\dfrac{1}{3}$

20)$3 x+4=2$

21)$9 x^{2}=-x$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{1}{9}$

22)$6 x^{2}=7 x$

23)$3 x+9=8 x+7$

Відповідь

$\dfrac{2}{5}$

24)$8 x+5=6 x+4$

25)$8 x^{2}=-2 x$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{1}{4}$

26)$8 x^{2}=18 x$

27)$9 x+2=7$

Відповідь

$\dfrac{5}{9}$

28)$3 x+2=6$

29)$9 x^{2}=6 x$

Відповідь

$x=0, \dfrac{2}{3}$

30)$6 x^{2}=-14 x$

31)$7 x^{2}=-4 x$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{4}{7}$

32)$7 x^{2}=-9 x$

33)$7 x+2=4 x+7$

Відповідь

$\dfrac{5}{3}$

34)$4 x+3=2 x+8$

У вправах 35-50 множник шляхом групування вирішує кожне з заданих рівнянь для$x$.

35)$63 x^{2}+56 x+54 x+48=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{6}{7},-\dfrac{8}{9}$

36)$27 x^{2}+36 x+6 x+8=0$

37)$16 x^{2}-18 x+40 x-45=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{5}{2}, \dfrac{9}{8}$

38)$42 x^{2}-35 x+54 x-45=0$

39)$45 x^{2}+18 x+20 x+8=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{4}{9},-\dfrac{2}{5}$

40)$18 x^{2}+21 x+30 x+35=0$

41)$x^{2}+10 x+4 x+40=0$

Відповідь

$x=-4,-10$

42)$x^{2}+11 x+10 x+110=0$

43)$x^{2}+6 x-11 x-66=0$

Відповідь

$x=11,-6$

44)$x^{2}+6 x-2 x-12=0$

45)$15 x^{2}-24 x+35 x-56=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{7}{3}, \dfrac{8}{5}$

46)$12 x^{2}-10 x+54 x-45=0$

47)$x^{2}+2 x+9 x+18=0$

Відповідь

$x=-9,-2$

48)$x^{2}+8 x+4 x+32=0$

49)$x^{2}+4 x-8 x-32=0$

Відповідь

$x=8,-4$

50)$x^{2}+8 x-5 x-40=0$

У вправах 51-54 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 5: intersect утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.2.7.

51)$x^{2}=-4 x$

Відповідь

$x=-4,0$

52)$x^{2}=6 x$

53)$x^{2}=5 x$

Відповідь

$x=0,5$

54)$x^{2}=-6 x$

У вправах 55-58 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати, знайдені за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.2.8.

55)$x^{2}+7 x=0$

Відповідь

$x=-7,0$

56)$x^{2}-8 x=0$

57)$x^{2}-3 x=0$

Відповідь

$x=0,3$

58)$x^{2}+2 x=0$

6.3: Факторинг ax² + bx+c при a = 1

У Вправи 1-6 порівняйте заданий триноміал з$ax^2 + bx + c$, а потім перерахуйте ВСІ цілі пари, добуток яких дорівнює$ac$. Обведіть пару, сума якої дорівнює$b$, а потім використовуйте цю пару, щоб допомогти множити заданий триноміал.

1)$x^{2}+7 x-18$

Відповідь

$(x-2)(x+9)$

2)$x^{2}+18 x+80$

3)$x^{2}-10 x+9$

Відповідь

$(x-1)(x-9)$

4)$x^{2}+12 x+27$

5)$x^{2}+14 x+45$

Відповідь

$(x+5)(x+9)$

6)$x^{2}+9 x+20$

У Вправи 7-12 порівняйте заданий триноміал з$ax^2 +bx+c$, а потім почніть перераховувати цілочисельні пари, добуток яких дорівнює$ac$. Припиніть процес списку, коли ви виявите пару, сума якої дорівнює$b$, потім обведіть і використовуйте цю пару, щоб допомогти множнику заданого триноміалу.

7)$x^{2}-16 x+39$

Відповідь

$(x-3)(x-13)$

8)$x^{2}-16 x+48$

9)$x^{2}-26 x+69$

Відповідь

$(x-3)(x-23)$

10)$x^{2}-22 x+57$

11)$x^{2}-25 x+84$

Відповідь

$(x-4)(x-21)$

12)$x^{2}+13 x-30$

У вправах 13-18 порівняйте заданий триноміал з$ax^2 + bx + c$, потім обчислите$ac$. Спробуйте подумки виявити цілу пару, добуток якої$ac$ і чия сума дорівнює$b$. Фактор тріноміал, «скинувши цю пару на місце».

Примітка: Якщо ви виявите, що не можете ідентифікувати пару подумки, почніть перераховувати цілочисельні пари, чий продукт дорівнює$ac$, а потім припиніть процес лістингу, коли ви зіткнетеся з парою, сума якої дорівнює$b$.

13)$x^{2}-13 x+36$

Відповідь

$(x-4)(x-9)$

14)$x^{2}+x-12$

15)$x^{2}+10 x+21$

Відповідь

$(x+3)(x+7)$

16)$x^{2}-17 x+66$

17)$x^{2}-4 x-5$

Відповідь

$(x+1)(x-5)$

18)$x^{2}-20 x+99$

У вправах 19-24 використовуйте алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.

19)$x^{2}=-7 x+30$

Відповідь

$x=3,-10$

20)$x^{2}=-2 x+35$

21)$x^{2}=-11 x-10$

Відповідь

$x=-1,-10$

22)$x^{2}=x+72$

23)$x^{2}=-15 x-50$

Відповідь

$x=-5,-10$

24)$x^{2}=-7 x-6$

У вправах 25-30 використовуйте алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.

25)$60=x^{2}+11 x$

Відповідь

$x=4,-15$

26)$-92=x^{2}-27 x$

27)$-11=x^{2}-12 x$

Відповідь

$x=1,11$

28)$80=x^{2}-16 x$

29)$56=x^{2}+10 x$

Відповідь

$x=4,-14$

30)$66=x^{2}+19 x$

У вправах 31-36 використовуйте алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.

31)$x^{2}+20=-12 x$

Відповідь

$x=-2,-10$

32)$x^{2}-12=11 x$

33)$x^{2}-36=9 x$

Відповідь

$x=-3,12$

34)$x^{2}+6=5 x$

35)$x^{2}+8=-6 x$

Відповідь

$x=-2,-4$

36)$x^{2}+77=18 x$

У Вправи 37-40 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 5: intersect утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати, знайдені за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.3.6.

37)$x^{2}=x+12$

Відповідь

$x=-3,4$

38)$x^{2}=20-x$

39)$x^{2}+12=8 x$

Відповідь

$x=2,6$

40)$x^{2}+7=8 x$

У вправах 41-44 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.3.7.

41)$x^{2}-6 x-16=0$

Відповідь

$x=8,-2$

42)$x^{2}+7 x-18=0$

43)$x^{2}+10 x-24=0$

Відповідь

$x=-12,2$

44)$x^{2}-9 x-36=0$

6.4: Факторинг ax² + bx+c при a1

У Вправи 1-6 порівняйте заданий триноміал з$ax^2 + bx + c$, а потім перерахуйте ВСІ цілі пари, добуток яких дорівнює$ac$. Обведіть пару, сума якої дорівнює$b$, а потім використовуйте цю пару, щоб допомогти множити заданий триноміал.

1)$6 x^{2}+13 x-5$

Відповідь

$(2 x+5)(3 x-1)$

2)$3 x^{2}-19 x+20$

3)$4 x^{2}-x-3$

Відповідь

$(x-1)(4 x+3)$

4)$6 x^{2}-23 x+7$

5)$3 x^{2}+19 x+28$

Відповідь

$(x+4)(3 x+7)$

6)$2 x^{2}-9 x-18$

У Вправи 7-12 порівняйте заданий триноміал з$ax^2 +bx+c$, а потім почніть перераховувати цілочисельні пари, добуток яких дорівнює$ac$. Припиніть процес списку, коли ви виявите пару, сума якої дорівнює$b$, потім обведіть і використовуйте цю пару, щоб допомогти множнику заданого триноміалу.

7)$12 x^{2}-23 x+5$

Відповідь

$(3 x-5)(4 x-1)$

8)$8 x^{2}+22 x+9$

9)$6 x^{2}+17 x+7$

Відповідь

$(2 x+1)(3 x+7)$

10)$4 x^{2}+19 x+21$

11)$3 x^{2}+4 x-32$

Відповідь

$(x+4)(3 x-8)$

12)$4 x^{2}+x-14$

У вправах 13-18 порівняйте заданий триноміал з$ax^2 + bx + c$, потім обчислите$ac$. Спробуйте подумки виявити цілу пару, добуток якої$ac$ і чия сума дорівнює$b$. Використовуйте цю пару, щоб допомогти фактор заданого триноміалу.

Примітка: Якщо ви виявите, що не можете ідентифікувати пару подумки, почніть перераховувати цілочисельні пари, чий продукт дорівнює$ac$, а потім припиніть процес лістингу, коли ви зіткнетеся з парою, сума якої дорівнює$b$.

13)$3 x^{2}+28 x+9$

Відповідь

$(3 x+1)(x+9)$

14)$6 x^{2}+x-1$

15)$4 x^{2}-21 x+5$

Відповідь

$(x-5)(4 x-1)$

16)$4 x^{2}-x-14$

17)$6 x^{2}-11 x-7$

Відповідь

$(3 x-7)(2 x+1)$

18)$2 x^{2}-17 x+21$

У вправах 19-26 фактор тріноміала.

19)$16 x^{5}-36 x^{4}+14 x^{3}$

Відповідь

$2 x^{3}(2 x-1)(4 x-7)$

20)$12 x^{4}-20 x^{3}+8 x^{2}$

21)$36 x^{4}-75 x^{3}+21 x^{2}$

Відповідь

$3 x^{2}(3 x-1)(4 x-7)$

22)$6 x^{4}-10 x^{3}-24 x^{2}$

23)$6 x^{4}-33 x^{3}+42 x^{2}$

Відповідь

$3 x^{2}(x-2)(2 x-7)$

24)$15 x^{3}-10 x^{2}-105 x$

25)$16 x^{4}-36 x^{3}-36 x^{2}$

Відповідь

$4 x^{2}(x-3)(4 x+3)$

26)$40 x^{4}-10 x^{3}-5 x^{2}$

У вправах 27-38 використовуйте алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.

27)$(10-8)^{2}-(7-5)^{3}$

Відповідь

$x=2,-\dfrac{9}{4}$

28)$2 x^{2}=7 x-3$

29)$3 x^{2}+16=-14 x$

Відповідь

$x=-2,-\dfrac{8}{3}$

30)$2 x^{2}-20=-3 x$

31)$3 x^{2}+30=23 x$

Відповідь

$x=6, \dfrac{5}{3}$

32)$6 x^{2}-7=-11 x$

33)$-7 x-3=-6 x^{2}$

Відповідь

$x=-\dfrac{1}{3}, \dfrac{3}{2}$

34)$13 x-45=-2 x^{2}$

35)$26 x-9=-3 x^{2}$

Відповідь

$x=-9, \dfrac{1}{3}$

36)$-23 x+7=-6 x^{2}$

37)$6 x^{2}=-25 x+9$

Відповідь

$x=\dfrac{1}{3},-\dfrac{9}{2}$

38)$2 x^{2}=13 x+45$

У вправах 39-42 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати, знайдені за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.4.5.

39)$2 x^{2}-9 x-5=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{1}{2},5$

40)$2 x^{2}+x-28=0$

41)$4 x^{2}-17 x-15=0$

Відповідь

$x=-\dfrac{3}{4},5$

42)$3 x^{2}+14 x-24=0$

У вправах 43-46 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати, знайдені за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.4.6.

43)$2 x^{3}=3 x^{2}+20 x$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{5}{2},4$

44)$2 x^{3}=3 x^{2}+35 x$

45)$10 x^{3}+34 x^{2}=24 x$

Відповідь

$x=0,-4, \dfrac{3}{5}$

46)$6 x^{3}+3 x^{2}=63 x$

6.5: Факторингові спеціальні форми

У вправах 1-8 розгорніть кожне з заданих виразів.

1)$(8 r-3 t)^{2}$

Відповідь

$64 r^{2}-48 r t+9 t^{2}$

2)$(6 a+c)^{2}$

3)$(4 a+7 b)^{2}$

Відповідь

$16 a^{2}+56 a b+49 b^{2}$

4)$(4 s+t)^{2}$

5)$\left(s^{3}-9\right)^{2}$

Відповідь

$s^{6}-18 s^{3}+81$

6)$\left(w^{3}+7\right)^{2}$

7)$\left(s^{2}+6 t^{2}\right)^{2}$

Відповідь

$s^{4}+12 s^{2} t^{2}+36 t^{4}$

8)$\left(7 u^{2}-2 w^{2}\right)^{2}$

У вправах 9-28 множник кожного з заданих виразів.

9)$25 s^{2}+60 s t+36 t^{2}$

Відповідь

$(5 s+6 t)^{2}$

10)$9 u^{2}+24 u v+16 v^{2}$

11)$36 v^{2}-60 v w+25 w^{2}$

Відповідь

$(6 v-5 w)^{2}$

12)$49 b^{2}-42 b c+9 c^{2}$

13)$a^{4}+18 a^{2} b^{2}+81 b^{4}$

Відповідь

$\left(a^{2}+9 b^{2}\right)^{2}$

14)$64 u^{4}-144 u^{2} w^{2}+81 w^{4}$

15)$49 s^{4}-28 s^{2} t^{2}+4 t^{4}$

Відповідь

$\left(7 s^{2}-2 t^{2}\right)^{2}$

16)$4 a^{4}-12 a^{2} c^{2}+9 c^{4}$

17)$49 b^{6}-112 b^{3}+64$

Відповідь

$\left(7 b^{3}-8\right)^{2}$

18)$25 x^{6}-10 x^{3}+1$

19)$49 r^{6}+112 r^{3}+64$

Відповідь

$\left(7 r^{3}+8\right)^{2}$

20)$a^{6}-16 a^{3}+64$

21)$5 s^{3} t-20 s^{2} t^{2}+20 s t^{3}$

Відповідь

$5 s t(s-2 t)^{2}$

22)$12 r^{3} t-12 r^{2} t^{2}+3 r t^{3}$

23)$8 a^{3} c+8 a^{2} c^{2}+2 a c^{3}$

Відповідь

$2 a c(2 a+c)^{2}$

24)$18 x^{3} z-60 x^{2} z^{2}+50 x z^{3}$

25)$-48 b^{3}+120 b^{2}-75 b$

Відповідь

$-3 b(4 b-5)^{2}$

26)$-45 c^{3}+120 c^{2}-80 c$

27)$-5 u^{5}-30 u^{4}-45 u^{3}$

Відповідь

$-5 u^{3}(u+3)^{2}$

28)$-12 z^{5}-36 z^{4}-27 z^{3}$

У вправах 29-36 розгорніть кожне з заданих виразів.

29)$(21 c+16)(21 c-16)$

Відповідь

$441 c^{2}-256$

30)$(19 t+7)(19 t-7)$

31)$(5 x+19 z)(5 x-19 z)$

Відповідь

$25 x^{2}-361 z^{2}$

32)$(11 u+5 w)(11 u-5 w)$

33)$\left(3 y^{4}+23 z^{4}\right)\left(3 y^{4}-23 z^{4}\right)$

Відповідь

$9 y^{8}-529 z^{8}$

34)$\left(5 x^{3}+z^{3}\right)\left(5 x^{3}-z^{3}\right)$

35)$\left(8 r^{5}+19 s^{5}\right)\left(8 r^{5}-19 s^{5}\right)$

Відповідь

$64 r^{10}-361 s^{10}$

36)$\left(3 u^{3}+16 v^{3}\right)\left(3 u^{3}-16 v^{3}\right)$

У вправах 37-60 коефіцієнт кожного з заданих виразів.

37)$361 x^{2}-529$

Відповідь

$(19 x+23)(19 x-23)$

38)$9 b^{2}-25$

39)$16 v^{2}-169$

Відповідь

$(4 v+13)(4 v-13)$

40)$81 r^{2}-169$

41)$169 x^{2}-576 y^{2}$

Відповідь

$(13 x+24 y)(13 x-24 y)$

42)$100 y^{2}-81 z^{2}$

43)$529 r^{2}-289 s^{2}$

Відповідь

$(23 r+17 s)(23 r-17 s)$

44)$49 a^{2}-144 b^{2}$

45)$49 r^{6}-256 t^{6}$

Відповідь

$\left(7 r^{3}+16 t^{3}\right)\left(7 r^{3}-16 t^{3}\right)$

46)$361 x^{10}-484 z^{10}$

47)$36 u^{10}-25 w^{10}$

Відповідь

$\left(6 u^{5}+5 w^{5}\right)\left(6 u^{5}-5 w^{5}\right)$

48)$a^{6}-81 c^{6}$

49)$72 y^{5}-242 y^{3}$

Відповідь

$2 y^{3}(6 y+11)(6 y-11)$

50)$75 y^{5}-147 y^{3}$

51)$1444 a^{3} b-324 a b^{3}$

Відповідь

$4 a b(19 a+9 b)(19 a-9 b)$

52)$12 b^{3} c-1875 b c^{3}$

53)$576 x^{3} z-1156 x z^{3}$

Відповідь

$4 x z(12 x+17 z)(12 x-17 z)$

54)$192 u^{3} v-507 u v^{3}$

55)$576 t^{4}-4 t^{2}$

Відповідь

$4 t^{2}(12 t+1)(12 t-1)$

56)$4 z^{5}-256 z^{3}$

57)$81 x^{4}-256$

Відповідь

$\left(9 x^{2}+16\right)(3 x+4)(3 x-4)$

58)$81 x^{4}-1$

59)$81 x^{4}-16$

Відповідь

$\left(9 x^{2}+4\right)(3 x+2)(3 x-2)$

60)$x^{4}-1$

У вправах 61-68 коефіцієнт кожного з заданих виразів повністю.

61)$z^{3}+z^{2}-9 z-9$

Відповідь

$(z+3)(z-3)(z+1)$

62)$3 u^{3}+u^{2}-48 u-16$

63)$x^{3}-2 x^{2} y-x y^{2}+2 y^{3}$

Відповідь

$(x+y)(x-y)(x-2 y)$

64)$x^{3}+2 x^{2} z-4 x z^{2}-8 z^{3}$

65)$r^{3}-3 r^{2} t-25 r t^{2}+75 t^{3}$

Відповідь

$(r+5 t)(r-5 t)(r-3 t)$

66)$2 b^{3}-3 b^{2} c-50 b c^{2}+75 c^{3}$

67)$2 x^{3}+x^{2}-32 x-16$

Відповідь

$(x+4)(x-4)(2 x+1)$

68)$r^{3}-2 r^{2}-r+2$

У вправах 69-80 розв'яжіть кожне з заданих рівнянь для$x$.

69)$2 x^{3}+7 x^{2}=72 x+252$

Відповідь

$x=-6,6,-\dfrac{7}{2}$

70)$2 x^{3}+7 x^{2}=32 x+112$

71)$x^{3}+5 x^{2}=64 x+320$

Відповідь

$x=-8,8,-5$

72)$x^{3}+4 x^{2}=49 x+196$

73)$144 x^{2}+121=264 x$

Відповідь

$x=\dfrac{11}{12}$

74)$361 x^{2}+529=874 x$

75)$16 x^{2}=169$

Відповідь

$x=-\dfrac{13}{4}, \dfrac{13}{4}$

76)$289 x^{2}=4$

77)$9 x^{2}=25$

Відповідь

$x=-\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{3}$

78)$144 x^{2}=121$

79)$256 x^{2}+361=-608 x$

Відповідь

$x=-\dfrac{19}{16}$

80)$16 x^{2}+289=-136 x$

У вправах 81-84 виконайте кожне з наступних завдань:

1. Використовуйте строго алгебраїчну техніку для вирішення даного рівняння.
2. Використовуйте 5: intersect утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити дане рівняння.

Повідомте про результати за допомогою графічного калькулятора, як показано у прикладі 6.5.12.

81)$x^{3}=x$

Відповідь

$x=0,-1,1$

82)$x^{3}=9 x$

83)$4 x^{3}=x$

Відповідь

$x=0,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}$

84)$9 x^{3}=x$

6.6: Стратегія факторингу

У вправах 1-12 множник кожного з заданих поліномів повністю.

1)$484 y^{4} z^{2}-144 y^{2} z^{4}$

Відповідь

$4 y^{2} z^{2}(11 y+6 z)(11 y-6 z)$

2)$72 s^{4} t^{4}-242 s^{2} t^{6}$

3)$3 x^{7} z^{5}-363 x^{5} z^{5}$

Відповідь

$3 x^{5} z^{5}(x+11)(x-11)$

4)$5 r^{5} s^{2}-80 r^{3} s^{2}$

5)$2 u^{7}-162 u^{5}$

Відповідь

$2u^5(u + 9)(u−9)$

6)$405 x^{4}-320 x^{2}$

7)$3 v^{8}-1875 v^{4}$

Відповідь

$3v^4(v^2 + 25)(v + 5)(v−5)$

8)$3 a^{9}-48 a^{5}$

9)$3 x^{6}-300 x^{4}$

Відповідь

$3 x^{4}(x+10)(x-10)$

10)$2 y^{5}-18 y^{3}$

11)$1250 u^{7} w^{3}-2 u^{3} w^{7}$

Відповідь

$2 u^{3} w^{3}\left(25 u^{2}+w^{2}\right)(5 u+w)(5 u-w)$

12)$48 y^{8} z^{4}-3 y^{4} z^{8}$

У вправах 13-24 коефіцієнт кожного з заданих поліномів повністю.

13)$75 a^{6}-210 a^{5}+147 a^{4}$

Відповідь

$3 a^{4}(5 a-7)^{2}$

14)$245 v^{7}-560 v^{6}+320 v^{5}$

15)$180 a^{5} b^{3}+540 a^{4} b^{4}+405 a^{3} b^{5}$

Відповідь

$45 a^{3} b^{3}(2 a+3 b)^{2}$

16)$192 u^{6} v^{4}+432 u^{5} v^{5}+243 u^{4} v^{6}$

17)$2 b^{5}+4 b^{4}+2 b^{3}$

Відповідь

$2 b^{3}(b+1)^{2}$

18)$3 v^{6}+30 v^{5}+75 v^{4}$

19)$2 z^{4}-4 z^{3}+2 z^{2}$

Відповідь

$2 z^{2}(z-1)^{2}$

20)$2 u^{6}-40 u^{5}+200 u^{4}$

21)$324 x^{4}+360 x^{3}+100 x^{2}$

Відповідь

$4 x^{2}(9 x+5)^{2}$

22)$98 b^{4}+84 b^{3}+18 b^{2}$

23)$75 b^{4} c^{5}-240 b^{3} c^{6}+192 b^{2} c^{7}$

Відповідь

$3 b^{2} c^{5}(5 b-8 c)^{2}$

24)$162 a^{5} c^{4}-180 a^{4} c^{5}+50 a^{3} c^{6}$

У вправах 25-36 коефіцієнт кожного з заданих поліномів повністю.

25)$5 a^{5}+5 a^{4}-210 a^{3}$

Відповідь

$5 a^{3}(a-6)(a+7)$

26)$3 y^{5}-9 y^{4}-12 y^{3}$

27)$3 y^{6}-39 y^{5}+120 y^{4}$

Відповідь

$3 y^{4}(y-8)(y-5)$

28)$3 y^{7}-27 y^{6}+42 y^{5}$

29)$3 z^{4}+12 z^{3}-135 z^{2}$

Відповідь

$3 z^{2}(z-5)(z+9)$

30)$5 a^{4}-40 a^{3}-45 a^{2}$

31)$4 a^{6}+64 a^{5}+252 a^{4}$

Відповідь

$4 a^{4}(a+9)(a+7)$

32)$4 x^{4}+64 x^{3}+252 x^{2}$

33)$3 z^{4}+33 z^{3}+84 z^{2}$

Відповідь

$3 z^{2}(z+7)(z+4)$

34)$5 a^{6}+65 a^{5}+180 a^{4}$

35)$5 z^{7}-75 z^{6}+270 z^{5}$

Відповідь

$5 z^{5}(z-6)(z-9)$

36)$3 y^{4}-27 y^{3}+24 y^{2}$

У вправах 37-48 коефіцієнт кожного з заданих поліномів повністю.

37)$4 b^{3}-22 b^{2}+30 b$

Відповідь

$2 b(2 b-5)(b-3)$

38)$4 b^{6}-22 b^{5}+30 b^{4}$

39)$2 u^{4} w^{5}-3 u^{3} w^{6}-20 u^{2} w^{7}$

Відповідь

$u^{2} w^{5}(u-4 w)(2 u+5 w)$

40)$12 x^{5} z^{2}+9 x^{4} z^{3}-30 x^{3} z^{4}$

41)$12 x^{4} y^{5}+50 x^{3} y^{6}+50 x^{2} y^{7}$

Відповідь

$2 x^{2} y^{5}(3 x+5 y)(2 x+5 y)$

42)$24 s^{4} t^{3}+62 s^{3} t^{4}+40 s^{2} t^{5}$

43)$12 x^{3}+9 x^{2}-30 x$

Відповідь

$3 x(4 x-5)(x+2)$

44)$6 v^{4}+2 v^{3}-20 v^{2}$

45)$8 u^{6}+34 u^{5}+30 u^{4}$

Відповідь

$2 u^{4}(4 u+5)(u+3)$

46)$4 a^{4}+29 a^{3}+30 a^{2}$

47)$12 a^{4} c^{4}-35 a^{3} c^{5}+25 a^{2} c^{6}$

Відповідь

$a^{2} c^{A}(4 a-5 c)(3 a-5 c)$

48)$18 x^{6} z^{5}-39 x^{5} z^{6}+18 x^{4} z^{7}$

У вправах 49-56 множник кожного з заданих поліномів повністю.

49)$12 y^{5}+15 y^{4}-108 y^{3}-135 y^{2}$

Відповідь

$3 y^{2}(y+3)(y-3)(4 y+5)$

50)$9 b^{8}+12 b^{7}-324 b^{6}-432 b^{5}$

51)$9 x^{6} z^{5}+6 x^{5} z^{6}-144 x^{4} z^{7}-96 x^{3} z^{8}$

Відповідь

$3 x^{3} z^{5}(x+4 z)(x-4 z)(3 x+2 z)$

52)$12 u^{7} w^{3}+9 u^{6} w^{4}-432 u^{5} w^{5}-324 u^{4} w^{6}$

53)$72 z^{6}+108 z^{5}-2 z^{4}-3 z^{3}$

Відповідь

$z^{3}(6 z+1)(6 z-1)(2 z+3)$

54)$216 x^{7}+324 x^{6}-6 x^{5}-9 x^{4}$

55)$144 a^{6} c^{3}+360 a^{5} c^{4}-4 a^{4} c^{5}-10 a^{3} c^{6}$

Відповідь

$2 a^{3} c^{3}(6 a+c)(6 a-c)(2 a+5 c)$

56)$48 a^{8} c^{4}+32 a^{7} c^{5}-3 a^{6} c^{6}-2 a^{5} c^{7}$

У Вправи 57-60 використовуйте калькулятор, щоб допомогти фактор кожного з заданих триномів. Дотримуйтесь плану процедури в Використання калькулятора для допомоги$ac$ методу.

57)$6 x^{2}+61 x+120$

Відповідь

$(2 x+15)(3 x+8)$

58)$16 x^{2}-62 x-45$

59)$60 x^{2}-167 x+72$

Відповідь

$(15 x-8)(4 x-9)$

60)$28 x^{2}+x-144$

6.7: Застосування факторингу

1) Прямокутна картина полотна вимірює$14$ дюйми на$36$ дюйми. Полотно монтується всередині рами рівномірної ширини, збільшуючи загальну площу покритого як полотном, так і каркасом до$720$ квадратних дюймів. Знайдіть рівномірну ширину рамки.

Відповідь

$2$дюймів

2) Прямокутна картина полотна вимірює$10$ дюйми на$32$ дюйми. Полотно монтується всередині рами рівномірної ширини, збільшуючи загальну площу покритого як полотном, так і каркасом до$504$ квадратних дюймів. Знайдіть рівномірну ширину рамки.

3) Снаряд стріляє під кутом у повітря з вершини кліз видом на океан. Відстань снаряда (у футах) від основи клізадається рівнянням, $$x = 180t \nonumber$$ а висота снаряда над рівнем моря (у футах) задається рівнянням, $$y = −16t^2 + 352t + 1664 \nonumber$$ де$t$ - кількість часу (у секундах), що минув з моменту випуску снаряда. Скільки часу проходить, перш ніж снаряд хлюпається в океан? На той момент, як далеко знаходиться снаряд від основи клі?

Відповідь

$26$секунди,$4,680$ ноги

4) Снаряд стріляє під кутом у повітря з вершини кліз видом на океан. Відстань снаряда (у футах) від основи клізадається рівнянням, $$x = 140t \nonumber$$ а висота снаряда над рівнем моря (у футах) задається рівнянням, $$y = −16t^2 + 288t + 1408 \nonumber$$ де$t$ - кількість часу (у секундах), що минув з моменту випуску снаряда. Скільки часу проходить, перш ніж снаряд хлюпається в океан? На той момент, як далеко знаходиться снаряд від основи клі?

5) Добуток двох послідовних парних цілих чисел дорівнює$624$. Знайти цілі числа.

Відповідь

$-26$і$−24$,$24$ і$26$

6) Добуток двох послідовних парних цілих чисел дорівнює$528$. Знайти цілі числа.

7) Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює$552$. Знайти цілі числа.

Відповідь

$23$,$24$

8) Добуток двох послідовних натуральних чисел дорівнює$756$. Знайти цілі числа.

9) Добуток двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$483$. Знайти цілі числа.

Відповідь

$−23$і$−21$,$21$ і$23$

10) Добуток двох послідовних непарних цілих чисел дорівнює$783$. Знайти цілі числа.

11) Прямокутник має периметр$42$ футів і площа$104$ квадратних футів. Знайдіть розміри прямокутника.

Відповідь

$8$ноги за$13$ ногами

12) Прямокутник має периметр$32$ футів і площа$55$ квадратних футів. Знайдіть розміри прямокутника.

13) Радіус зовнішнього кола на один дюйм більше, ніж в два рази більше радіуса внутрішнього кола.

Якщо площа затіненої області$40\pi$ квадратних дюймів, яка довжина внутрішнього радіуса?

Відповідь

$3$дюймів

14) Радіус зовнішнього кола на два дюйми довше, ніж в три рази більше радіуса внутрішнього кола.

Якщо площа затіненої області$180\pi$ квадратних дюймів, яка довжина внутрішнього радіуса?

15) У вас є два позитивних числа. Друге число в три більше, ніж два рази більше першого числа. Різниця їх квадратів є$144$. Знайдіть обидва додатних числа.

Відповідь

$5$і$13$

16) У вас є два позитивних числа. Друге число в два більше, ніж втричі більше першого числа. Різниця їх квадратів є$60$. Знайдіть обидва додатних числа.

17) Два числа відрізняються на$5$. Сума їх квадратів дорівнює$97$. Знайдіть два числа.

Відповідь

$4$і$9$,$−4$ і$−9$

18) Два числа відрізняються на$6$. Сума їх квадратів дорівнює$146$. Знайдіть два числа.

19) Довжина прямокутника на три фути більше, ніж в шість разів його ширина. Якщо площа прямокутника$165$ квадратних футів, яка ширина прямокутника?

Відповідь

$5$ноги

20) Довжина прямокутника на три фути довше, ніж в дев'ять разів більше його ширини. Якщо площа прямокутника$90$ квадратних футів, яка ширина прямокутника?

21) Відношення ширини до довжини заданого прямокутника$2$ дорівнює$3$, або$\dfrac {2}{3}$. Якщо ширина і довжина збільшені на$4$ дюйми, площа отриманого прямокутника дорівнює$80$ квадратним дюймам. Знайдіть ширину і довжину вихідного прямокутника.

Відповідь

$4$дюйми на$6$ дюйми

22) Відношення ширини до довжини заданого прямокутника$3$ дорівнює$4$, або$\dfrac {3}{4}$. Якщо ширина збільшена на$3$ дюйми, а довжина збільшена на$6$ дюйми, площа отриманого прямокутника -$126$ квадратні дюйми. Знайдіть ширину і довжину вихідного прямокутника.