6.4: Факторинг ax² + bx+c при a1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58301

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми продовжуємо враховувати тріноми форми$ax^2 + bx + c$. В останньому розділі, всі наші приклади були$a = 1$, і ми були в змозі «падіння на місці» наша обведена ціла пара. Однак в цьому розділі і ми скоро побачимо$a \neq 1$, що ми не зможемо використовувати техніку «Drop in place». Однак читачам буде приємно дізнатися, що$ac$ -метод все одно буде застосовуватися.

Приклад$\PageIndex{1}$

Фактор:$2x^2 −7x−15$.

Рішення

Діємо наступним чином:

Порівняйте$2x^2 −7x−15$ з$ax^2 + bx + c$ і ідентифікувати$a = 2$$b = −7$, і$c = −15$. Зверніть увагу, що провідним коефіцієнтом є$a = 2$, тому цей випадок відрізняється від усіх випадків, розглянутих у розділі 6.3.
Розрахувати$ac$. Зверніть увагу$ac = (2)(−15)$, що, так$ac = −30$.
Перерахуйте всі цілі пари, добуток яких є$ac =−30$. \[\begin{array}{ll}{1,-30} & {-1,30} \\ {2,-15} & {-2,15} \\ {3,-10} & {-3,10} \\ {5,-6} & {-5,6}\end{array} \nonumber \]
Обведіть впорядковану пару, сума якої дорівнює$b =−7$. \[\begin{array}{cc}{1,-30} & {-1,30} \\ {2,-15} & {-2,15} \\ {\color {Red}3,-10} & {-3,10} \\ {5,-6} & {-5,6}\end{array} \nonumber \]
Зверніть увагу, що якщо ми «впадемо на місце» наша обведена впорядкована пара,$(x+3)(x-10) \neq 2x^2-7x-15$. Право oкажана, добуток термінів в позиції «Перший» не дорівнює$2x^2$. Замість цього, ми розбиваємо середній член$2x^2 −7x−15$ на суму подібних термінів, використовуючи нашу обведену пару цілих чисел$3$ і$−10$. \[2x^2{\color {Red}-7x}-15 = 2x^2{\color {Red}+3x-10x}-15 \nonumber \]Тепер ми враховуємо групування. Фактор$x$ з перших двох термінів і$−5$ з двох двох термінів. \[= x(2x + 3)−5(2x + 3) \nonumber \]Тепер ми можемо перерахувати (2x + 3). \[=(x−5)(2x + 3) \nonumber \]
Використовуйте ярлик FOIL, щоб подумки перевірити свою відповідь. Для множення$(x−5)(2x + 3)$ скористайтеся наступними кроками:
- Помножте члени в позиціях «Перші»:$2x^2$.
- Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і об'єднайте результати подумки:$3x−10x = −7x$.
- Помножте члени в позиціях «Останній»:$−15$. Тобто:\[(x-5)(2x+3)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}F & & \color {Red}O & & \color {Red}I & & \color {Red}L \\ 2x^2&+&3x&-&10x&-&15 \end{array} \nonumber \]

Поєднуючи подібні терміни$(x − 5)(2x + 3) = 2x^2 − 7x − 15$, що є оригінальним триноміалом, тому наше рішення перевіряє. Врахуйте, що якщо подумки поєднувати продукти «Зовнішній» і «Внутрішній», перевірка йде ще швидше.

Вправа$\PageIndex{1}$

Фактор:$3x^2 + 13x + 14$

Відповідь: $(x + 2)(3x + 7)$

Прискорення речей трохи

Деякі читачі, можливо, вже запитують: «Чи справді мені потрібно перераховувати всі ці замовлені пари, якщо я вже бачу потрібну пару?» Відповідь: «Ні!» Якщо ви бачите потрібну вам пару, використовуйте її, щоб розбити середній термін тріноміалу як суму подібних термінів.

Приклад$\PageIndex{2}$

Фактор:$3x^2 −7x−6$.

Рішення

Порівняйте$3x^2−7x−6$ з$ax^2+bx+c$ і зверніть увагу$a = 3$, що$b =−7$, і$c = −6$. Розрахуйте$ac = (3)(−6)$, так$ac = −18$. Тепер ви можете думати про цілу пару, чий$ac = −18$ добуток і чия сума є$b = −7$? У деяких пара просто вискакує їм в голову:$2$ і$−9$. Розбийте середній термін на суму подібних термінів за допомогою пари$2$ і$−9$.

\[\begin{align*} 3x^2{\color {Red}-7x}-6 &= 3x^2{\color {Red}+2x-9x}-6 \quad \color {Red} -7x=2x-9x\\ &= x(3x+2)-3(3x+2) \quad \color {Red} \text {Factor by grouping.}\\ &= (x-3)(3x+2) \quad \color {Red} \text {Factor out} (3x+2). \end{align*} \nonumber \]

Використовуйте ярлик FOIL, щоб перевірити свою відповідь.

\[(x-3)(3x+2)=\begin{array}{ccccccc} \color {Red}F & & \color {Red}O & & \color {Red}I & & \color {Red}L \\ 3x^2&+&2x&-&9x&-&6 \end{array} \nonumber \]

Поєднуючи подібні терміни$(x−3)(3x+2) = 3x^2−7x−6$, оригінальний триноміал. Наше рішення перевіряє. Врахуйте, що якщо подумки поєднувати продукти «Зовнішній» і «Внутрішній», перевірка йде ще швидше.

Вправа$\PageIndex{2}$

Фактор:$2x^2 −9x + 10$

Відповідь: $(x−2)(2x−5)$

З іншого боку, деякі читачі можуть сказати: «Ну, потрібна замовлена пара не вискакує мені в голову. Чи є у мене спосіб вирубати роботу?» Відповідь - «Так!» Коли ви перераховуєте впорядковані пари, чий продукт дорівнює$ac$, пам'ятайте, що вам потрібна впорядкована пара, сума якої дорівнює$b$. Якщо ви натрапите на потрібну пару, зупиніть процес лістингу і «скиньте» замовлену пару на місце.

Приклад$\PageIndex{3}$

Фактор:$3x^2 −33x + 54$.

Рішення

Порівняйте$3x^2 −33x + 54$ з$ax^2 + bx + c$ і зверніть увагу$a = 3$, що$b = −33$, і$c = 54$. Розрахуйте$ac = (3)(54)$, так$ac = 162$. Ой! Це велика кількість! Однак почніть перераховувати цілочисельні пари, чиї добуток є$ac = 162$, але пам'ятайте, що вам потрібна ціла пара, сума якої дорівнює$b = −33$.

\[\begin{array}{ll}{1,162} \\ {2,81} \\ {3,54} \\ {6,27} & {\color {Red}-6,-27}\end{array} \nonumber\]

Як тільки ми записали пару$6$ і$27$, наш розум сказав «сума$6$ і$7$ є»$33$. Однак, нам потрібно сума дорівнює$b = −33$, тому ми в коробці$−6$ і$−27$ замість цього. Далі ми розбиваємо середній термін на суму подібних термінів, використовуючи нашу обведену пару.

\[\begin{align*} 3x^2{\color {Red}-33x}-54 &= 3x^2{\color {Red}-6x-27x}-54 \quad \color {Red} -33x=-6x-27x\\ &= 3x(x-2)-27(x-2) \quad \color {Red} \text {Factor by grouping.}\\ &= (3x-27)(x-2) \quad \color {Red} \text {Factor out} (x-2). \end{align*} \nonumber\]

Ой-ой! Тепер ми розуміємо, що ми можемо враховувати кожен термін у першому факторі!$3$

\[= 3(x−9)(x−2) \nonumber \]

Ми пропустили виймання$\mathrm {GCF}$! Давайте спробуємо ще раз, тільки цього разу давайте зробимо те, що ми завжди повинні робити на першому кроці: Фактор з$\mathrm {GCF}$.

\[3x^2 −33x + 54 = 3(x^2 −11x + 18) \nonumber \]

Порівнюючи$x^2 − 11x + 18$ з$ax^2 + bx + c$, ми бачимо$a = 1$, що$b = −11$, і$c = 18$. Нам потрібна ціла пара, добуток якої$ac = 18$ і чия сума дорівнює$b = −11$. Зверніть увагу, що ці цифри значно менші, ніж числа, з якими ми мали справу, коли ми забули спочатку перерахувати$\mathrm {GCF}$. Оскільки числа менше, ціла пара$−9$ і$−2$ легко приходить на розум. Крім того, тому що$a = 1$, ми можемо фактор, просто скинувши цілу пару$−9$ і$x^2 − 11x + 18$ на$−2$ місці.

\[3(x2 −11x + 18) = 3(x−9)(x−2) \nonumber \]

Набагато простіше рішення!

Вправа$\PageIndex{3}$

Фактор:$5x^2 −35x−40$

Відповідь: $5( x−8)(x + 1)$

У прикладі ми побачили$\PageIndex{3}$, наскільки складніше ми зробили проблему, забувши спочатку перерахувати найбільший загальний фактор ($\mathrm {GCF}$). Давайте спробуємо не зробити цю помилку знову.

Перше правило факторингу

Першим кроком у факторингу будь-якого полінома є врахування найбільшого спільного фактора.

Приклад$\PageIndex{4}$

Фактор:$30x^3 −21x^2 −18x$.

Рішення

Зверніть увагу, що$\mathrm {GCF}$$30x^3$ of$21x^2$, і$18x$ є$3x$. Фактор це$\mathrm {GCF}$.

\[\begin{align*} 30x^3-21x^2-18x &= {\color{Red}3x}\cdot 10x^2-{\color{Red}3x}\cdot 7x -{\color{Red}3x}\cdot 6\\ &= {\color{Red}3x}(10x^2-7x-6) \end{align*} \nonumber \]

Далі порівняємо$10x^2 −7x−6$ з$ax^2 + bx + c$ і відзначаємо$a = 10$, що$b =−7$, і$c = −6$. Почніть перераховувати цілочисельні пари$ac = −60$, чиї добуток, але пам'ятайте, що вам потрібна ціла пара, сума якої дорівнює$b = −7$.

\[\begin{array}{ll}{1,-60} \\ {2,-30} \\ {3,-20} \\ {4,-15} \\ {\color {Red}5,-12}\end{array} \nonumber\]

Розбийте середній термін на суму подібних термінів, використовуючи нашу обведену пару.

\[\begin{align*} 3x(10x^2-7x-6) &= 3x(10x^2+5x-12x-18) \quad \color {Red} -7x=5x-12x\\ &= 3x[5x(2x+1)-6(2x+1)] \quad \color {Red} \text {Factor by grouping.}\\ &= 3x(5x-6)(2x+1) \quad \color {Red} \text {Factor out} (2x+1). \end{align*} \nonumber\]

Отже,$30x^3 −21x^2 −18x =3x(5x−6)(2x + 1)$.

Перевірка: Спочатку використовуйте ярлик FOIL, щоб помножити два біноміальні множники, а потім розподілити мономіальний коефіцієнт.

\[\begin{align*} 3x(5x-6)(2x + 1) &= 3x(10x^2-7x-6) \quad \color {Red} \text {Apply the FOIL shortcut}\\ &= 3x^3-21x^2-18x \quad \color {Red} \text {Distribute the } 3x. \end{align*} \nonumber\]

Оскільки це оригінальний многочлен, рішення перевіряє.

Вправа$\PageIndex{4}$

Фактор:$12x^4 +2x^3 −30x^2$

Відповідь: $2x^2(3x+5)(2x−3)$

Нелінійні рівняння переглянуті

Давайте використаємо метод факторингу цієї глави для розв'язання деяких нелінійних рівнянь.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішіть рівняння$2x^2 = 13 x−20$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Рішення

Оскільки існує сила х більше одиниці, рівняння нелінійне. Зробіть одну сторону рівною нулю.

\[\begin{align*} 2x^2 &= 13x-20 \quad \color {Red} \text {Original equation}\\2x^2-13x+20 &= 0 \quad \color {Red} \text {Make one side zero.} \end{align*} \nonumber\]

Порівняйте$2x^2 −13x + 20$ з$ax^2 + bx + c$ і зверніть увагу$a = 2$, що,$b = −13$ і$c = 20$. Нам потрібна ціла пара, добуток якої$ac = 40$ і чия сума дорівнює$b = −13$. Ціла пара$−5$ і$−8$ приходить на розум. Запишіть середній член як суму подібних термінів, використовуючи цю пару.

\[\begin{align*} 2x^2-5x-8x+20 &= 0 \quad \color {Red} -13x=-5x-8x\\x(2x-5)(2x-5) &= 0 \quad \color {Red} \text {Factor by grouping.}\\(x-4)(2x-5) &= 0 \quad \color {Red} \text {Factor out } 2x-5 \end{align*} \nonumber\]

У нас є добуток, який дорівнює нулю. Використовуйте властивість нульового продукту, щоб завершити рішення.

\[\begin{align*} x-4 &= 0 \\x & = 4 \end{align*} \nonumber\]

або

\[\begin{align*} 2x-5 &= 0 \\2x & = 5\\x & = \dfrac{5}{2} \end{align*} \nonumber\]

Таким чином, рішення$2x^2 = 13x−20$ є$x = 4$ і$x =5 /2$.

Графічне рішення:

Завантажте кожну сторону рівняння$2x^2 = 13x−20$ в меню Y = вашого графічного калькулятора,$y =2x^2$ в$\mathbb{Y1}$,$y = 13 x−20$ в$\mathbb{Y2}$

(Див. Малюнок$\PageIndex{1}$). Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити зображення зліва на малюнку 6.18. Однак навіть після налаштування параметрів WINDOW ($\mathbb{Xmin} =−10$,,$\mathbb{Xmax} = 10$$\mathbb{Ymin} = −10$, і$\mathbb{Ymax} = 60$) зображення, отримане в результаті натискання кнопки GRAPH (див. Зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{1}$) не показує чітко дві точки перетину.

рис. 6.4.1.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Ескіз$y =2x^2$ і$y = 13x−20$.

Давайте переключимо нашу стратегію і попрацюємо з рівнянням$2x2 −13x + 20 = 0 $ замість цього. Завантажте$y =2x^2 − 13x + 20$$\mathbb{Y1}$ в меню Y=, а потім виберіть 6:ZStandard з меню ZOOM, щоб створити зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{2}$.

рис. 6.4.2.png — Малюнок$\PageIndex{2}$: Ескіз$y =2x^2 −13x + 20$.

Щоб знайти рішення$2x^2−13x+20 = 0$, ми повинні ідентифікувати$x$ -перехоплення графіка на малюнку$\PageIndex{1}$. Виберіть 2: нуль у меню CALC, а потім перемістіть стрілки вліво та вправо =, щоб перемістити курсор ліворуч від першого$x$ перехоплення. Натисніть ENTER, щоб позначити «Ліва межа», потім перемістіть курсор праворуч від$x$ -intercept і натисніть ENTER, щоб позначити «Праворуч». Нарешті, натисніть ENTER, щоб використати поточне положення курсора для вашого «Вгадати». Результат показаний на зображенні зліва на малюнку$\PageIndex{3}$. Повторіть процес, щоб знайти крайній правий$x$ -перехоплення. Результат показаний на зображенні праворуч на малюнку$\PageIndex{3}$.

рис. 6.4.3.png — Малюнок$\PageIndex{3}$: Використовуйте **2: нуль** з меню **CALC**, щоб знайти$x$ -перехоплення.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.

Позначте горизонтальну і вертикальну$x$ осі і$y$ відповідно (див. Рис.$\PageIndex{4}$).
Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.$\PageIndex{4}$).
Позначте графік його рівнянням (див. Рис.$\PageIndex{4}$).
Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну$x$ -перехоплення. Затіньте та позначте$x$ -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинає$x$ вісь -. Це розв'язки рівняння$2x^2 − 13x + 20 = 0$ (див. Рис.$\PageIndex{4}$).

рис. 6.4.4.png — Малюнок$\PageIndex{4}$: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Нарешті, зверніть увагу на те, як графічні рішення$2x^2−13x+20=0$, а саме$x =2.5$ і$x = 4$, відповідають розв'язкам$x =5 /2$ і$x = 4$ знайденим за допомогою алгебраїчного методу. Це є вагомим доказом того, що обидва способи вирішення є правильними. Однак не завадить перевірити остаточні відповіді у вихідному рівнянні, підставляючи$x$ і$5/2$$4$ для$x$.

\ [\ почати {вирівнювати*}
2x^2 &= 13x-20\\
2\ ліворуч (\ dfrac {5} {2}\ праворуч) ^2 & = 13\ ліворуч (\ dfrac {5} {2}\ праворуч) -20\\
2\ ліворуч (\ dfrac {25} {4}\ праворуч) & = 13\ ліворуч (\ dfrac {5} {2}\ праворуч) -20
\\ dfrac {25} {2} & =\ dfrac {65} {2} -\ dfrac {40} {2}
\ end {вирівнювати*}\ nonumber\]

\[\begin{align*} 2x^2 &= 13x-20 \\ 2(4)^2 & = 13(4) -20\\ 2(16) & = 13(4) -20\\ 32 & = 52 - 20 \end{align*} \nonumber\]

Оскільки останні два твердження є істинними твердженнями, рішення$x =5 /2$ і$x = 4$ перевіряють у вихідному рівнянні$2x^2 = 13x−20$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішіть рівняння$5x^2 = 12x + 9$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Відповідь

$-3/5$,$3$

$Вправа 6.4.5.png$

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішіть рівняння$2x^3 + x^2 = 28x$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Рішення

Оскільки існує сила х більше одиниці, рівняння нелінійне. Зробіть одну сторону рівною нулю.

\[\begin{align*} 2x^3+x^2 &= 28x \quad \color {Red} \text {Original equation}\\2x^3+x^2-28x &= 0 \quad \color {Red} \text {Make one side zero.} \end{align*} \nonumber\]

Зверніть увагу, що$\mathrm {GCF}$$2x^3$ of$x^2$, і$28x$ є$x$. Фактор вихід$x$.

\[x(2x^2 + x−28) = 0 \quad \color {Red} \text {Factor out the GCF} \nonumber \]

Порівняйте$2x^2+x−28$ з$ax^2+bx+c$ і зверніть увагу$a = 2$, що,$b = 1$ і$c = −28$. Нам потрібна ціла пара, добуток якої$ac = −56$ і чия сума дорівнює$b = 1$. Ціла пара$−7$ і$8$ приходить на розум. Запишіть середній член як суму подібних термінів, використовуючи цю пару.

\[\begin{align*} x(2x^2-7x+8x-28) &= 0 \quad \color {Red} x=-7x+8x\\x[x(2x-7)+4(2x-7)] &= 0 \quad \color {Red} \text {Factor by grouping.}\\x(x+4)(2x-7) &= 0 \quad \color {Red} \text {Factor out } 2x-7. \end{align*} \nonumber\]

У нас є добуток трьох факторів, що дорівнює нулю. За властивістю нульового добутку хоча б один з факторів повинен дорівнювати нулю.

\[x=0 \nonumber \]

або

\[\begin{align*} x+4 &= 0 \\x & = -4 \end{align*} \nonumber\]

або

\[\begin{align*} 2x-7 & = 0 \\ 2x & = 7\\ x & = \dfrac{7}{2} \end{align*} \nonumber\]

Таким чином, рішення$2x^3 + x^2 = 28x$ є$x = 0$$x =−4$, і$x =7 /2$.

Графічне рішення:

Замість того$2x^3+x^2 = 28x$, щоб працювати з, графікувати кожну сторону окремо і знайти, де графіки перетинаються, ми будемо працювати замість того$2x^3 + x^2 − 28x = 0$, щоб знайти, де графік$y =2x^3 + x^2 − 28x$ перетинає$x$ -вісь. Завантажте$y =2x^3 + x^2 −28x$$\mathbb{Y1}$ в меню Y=, а потім виберіть 6:ZStandard з меню ZOOM, щоб створити зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{5}$.

рис. 6.4.5.png — Малюнок$\PageIndex{5}$: Ескіз$y =2x^3 + x^2 −28x$.

На зображенні праворуч на малюнку ми побачили$\PageIndex{6}$, як графік піднімається з нижньої частини екрана, залишаємо верхню частину екрана, повертаємося і залишаємо через нижню частину екрана, а потім, нарешті, повернутися і залишити через верхню частину екрана. Зрозуміло, що є принаймні дві поворотні точки графіка, які не видно в поточному вікні перегляду. Встановіть параметри WINDOWS, як показано на зображенні зліва на малюнку$\PageIndex{6}$, а потім натисніть кнопку GRAPH, щоб створити зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{6}$. Зауважте, що це вікно тепер показує$x$ -перехоплення, а також поворотні точки графіка многочлена.

рис. 6.4.6.png — Малюнок$\PageIndex{6}$: Налаштування виду так, щоб були видимі точки повороту многочлена.

Щоб знайти рішення$2x^3 + x2 −28x = 0$, ми повинні ідентифікувати$x$ -перехоплення графіка на малюнку$\PageIndex{6}$. Виберіть 2: нуль у меню CALC, а потім за допомогою клавіш зі стрілками вліво та вправо перемістіть курсор ліворуч від першого$x$ перехоплення. Натисніть ENTER, щоб позначити «Ліва межа», потім перемістіть курсор праворуч від$x$ -intercept і натисніть ENTER, щоб позначити «Праворуч». Нарешті, натисніть ENTER, щоб використати поточне положення курсора для вашого «Вгадати». Результат показаний на першому зображенні зліва на малюнку$\PageIndex{7}$. Повторіть процес, щоб знайти інші$x$ -перехоплення. Результати показані на наступних двох зображеннях на рис$\PageIndex{7}$.

рис. 6.4.7.png — Малюнок$\PageIndex{7}$: Використовуйте **2: нуль** з меню **CALC**, щоб знайти$x$ -перехоплення.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Позначте горизонтальну і вертикальну$x$ осі і$y$ відповідно (див. Рис.$\PageIndex{8}$).
Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.$\PageIndex{8}$).
Позначте графік його рівнянням (див. Рис.$\PageIndex{8}$).
Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну$x$ -перехоплення. Затіньте та позначте$x$ -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинає$x$ вісь -. Це розв'язки рівняння$2x^3 + x^2 −28x = 0$ (див. Рис.$\PageIndex{8}$).

рис. 6.4.8.png — Малюнок$\PageIndex{8}$: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Нарешті, зверніть увагу на те, як графічні рішення$2x^3+x^2−28x = 0$$x =−4$, а саме$x = 0$, і$x =3.5$, збігаються з$x = 0$ розв'язками$x = −4$, і$x =7 /2$ знайдені за допомогою алгебраїчного методу.

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішіть рівняння$4x^3 = −x^2 + 14x$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Відповідь

$−2$,$0$,$7/4$

$Вправа 6.4.6.png$