6.2: Вирішення нелінійних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58283

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ми починаємо з введення властивості, яка буде широко використовуватися в цьому і майбутніх розділах.

Нерухомість продукту

Якщо добуток двох і більше чисел дорівнює нулю, то хоча б одне з чисел має дорівнювати нулю. Тобто, якщо

$ab =0$

потім

$a = 0$або$b =0$

Давайте використаємо властивість нульового добутку для вирішення декількох рівнянь.

Приклад$\PageIndex{1}$

Вирішити для$x$:$(x+3)(x-5)=0$

Рішення

Добуток двох множників дорівнює нулю.

\[(x+3)(x-5)=0 \nonumber \]

Значить, хоча б один з факторів повинен дорівнювати нулю. Використовуючи властивість нульового добутку, задайте кожен коефіцієнт рівним нулю, потім вирішуйте отримані рівняння для$x$.

\[\begin{aligned} x+3 &=0 \\ x &=-3 \end{aligned} \nonumber \]

або

\[\begin{aligned} x-5 &=0 \\ x &=5 \end{aligned} \nonumber \]

Отже, рішення є$x = −3$ і$x =5$

Перевірка:

Переконайтеся, що кожне рішення відповідає вихідному рівнянню.

Замінник$−3$ для$x$:

\[\begin{aligned}(x+3)(x-5) &=0 \\(-3+3)(-3-5) &=0 \\(0)(-8) &=0 \\ 0 &=0 \end{aligned} \nonumber \]

Замінник$5$ для$x$:

\[\begin{aligned}(x+3)(x-5) &=0 \\(5+3)(5-5) &=0 \\(8)(0) &=0 \\ 0 &=0 \end{aligned} \nonumber \]

Тому що кожна перевірка виробляє істинне твердження, обидва$x = −3$ і$x = 5$ є рішеннями$(x + 3)(x−5) = 0$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити для х:$(x-7)(x-2)=0$

Відповідь: $7$,$2$

Властивість нульового продукту також працює однаково добре, якщо присутні більше двох факторів. Наприклад, якщо$abc = 0$, то або$a = 0$ або$b = 0$ або$c = 0$. Давайте використаємо цю ідею в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{2}$

Вирішити для$x$:$x(2x + 9)(3x−5) = 0$

Рішення

Добуток трьох множників дорівнює нулю.

\[x(2x + 9)(3x−5) = 0 \nonumber \]

Використовуючи властивість нульового добутку, задайте кожен коефіцієнт рівним нулю, потім вирішуйте отримані рівняння для$x$.

\[x=0 \nonumber \]

або

\[\begin{align*} 2x + 9 &= 0\\ 2x &= -9\\ x &= -\dfrac{9}{2} \end{align*} \nonumber \]

або

\[\begin{align*} 3x - 5 &= 0\\ 3x &= 5\\ x &= \dfrac{5}{3} \end{align*} \nonumber \]

Отже, рішення є$x = 0$$x = −9/2$, і$x =5 /3$. Ми закликаємо читача перевірити рішення.

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити для$x$:$6x(x + 4)(5x + 1) = 0$

Відповідь: $0$,$−4$,$−1/5$

Лінійний проти нелінійних

Всі рівняння, розв'язані в попередніх розділах, були прикладами того, що називаються лінійними рівняннями. Якщо найвища потужність змінної, для якої ми вирішуємо, одна, то графи, що беруть участь, - це лінії. Звідси і термін, лінійне рівняння. Однак якщо потужність змінної, яку ми вирішуємо, перевищує одиницю, то графи, що беруть участь, є кривими. Звідси і термін, нелінійне рівняння. У цьому розділі ми дізнаємося, як розв'язувати нелінійні рівняння за участю поліномів. Однак спочатку переконаємось, що ми можемо розпізнати різницю між лінійним та нелінійним рівнянням.

Визначення: лінійні та нелінійні рівняння

Використовуйте наступні умови, щоб визначити, чи рівняння є лінійним або нелінійним.

Якщо найвища потужність змінної, для якої ми розв'язуємо, одна, то рівняння лінійне.
Якщо найвища потужність змінної, для якої ми розв'язуємо, більше одиниці, то рівняння нелінійне.

Приклад$\PageIndex{3}$

Якщо інструкція «вирішувати для»$x$, класифікуйте кожне з наступних рівнянь як лінійне або нелінійне.

$3x−5=4−7x$
$x^2 =8x$

Рішення

Оскільки інструкція «вирішувати для»$x$, щоб визначити, чи є рівняння лінійним чи нелінійним, ми визначаємо найбільшу потужність$x$ присутніх у рівнянні.

Найвища потужність$x$ присутніх в рівнянні$3x− 5=4− 7x$ - одна. Значить, це рівняння є лінійним.
Рівняння$x^2 =8 x$ містить ступінь$x$ вище одиниці (воно містить$x^2$). Значить, це рівняння нелінійне.

Вправа$\PageIndex{3}$

Класифікують наступне рівняння як лінійне або нелінійне:$2x = x^3 −4$

Відповідь: нелінійних

Тепер, коли ми можемо класифікувати рівняння як лінійні або нелінійні, давайте представимо стратегії розв'язання кожного типу, перший з яких вже повинен бути знайомим.

Стратегія розв'язання лінійного рівняння

Якщо рівняння лінійне, розпочніть процес розв'язання, перемістивши всі члени, що містять змінну, яку ви вирішуєте, на одну сторону рівняння, а потім перемістіть всі члени, які не містять змінної, яку ви вирішуєте, на іншу сторону рівняння.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити для$x$:$3 x−5=4−7x$

Рішення

Оскільки інструкція «вирішувати для$x$», і ми зауважимо, що найбільша сила$x$ теперішнього - одна,$3x−5=4−7x$ рівняння лінійне. Отже, стратегія полягає в тому, щоб перемістити всі члени, що містять$x$ в одну сторону рівняння, а потім перемістити всі інші члени на іншу сторону рівняння.

\[\begin{array}{rlrl}{3 x-5} & {=4-7 x} & {\color {Red} \text { Original equation. }} \\ {3 x-5+7 x} & {=4} & {\color {Red} \text { Add } 7 x \text { to both sides. }} \\ {3 x+7 x} & {=4+5} & {\color {Red} \text { Add } 5 \text { to both sides. }}\end{array} \nonumber \]

Зверніть увагу, як нам вдалося перенести всі члени, що містять$x$ в одну сторону рівняння, і всі члени, які не містять$x$, на іншу сторону рівняння.

\[\begin{array}{rlrl}{10 x} & {=9} & {} & {\color {Red} \text { Simplify both sides. }} \\ {x} & {=\dfrac{9}{10}} & {} & {\color {Red} \text { Divide both sides by } 10 .}\end{array} \nonumber \]

Отже, рішення$3x−5=4−7x$ є$x =9 /10$. Читачам рекомендується перевірити це рішення.

Вправа$\PageIndex{4}$

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь: $1/4$

Ситуація значно відрізняється, коли рівняння нелінійне.

Стратегія розв'язання нелінійного рівняння

Якщо рівняння нелінійне, спочатку перемістіть все в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівняння рівнянням рівною нулю. Продовжуйте процес вирішення шляхом факторингу та застосування властивості нульового продукту.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити для$x$:$x^2 = 8x$

Рішення

Оскільки інструкція «вирішувати для»$x$, а найвища потужність$x$ більша за одиницю, рівняння$x^2 =8x$ нелінійне. Отже, стратегія вимагає, щоб ми перемістили всі члени в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону нулем.

\[\begin{array}{rlrl}{x^{2}} & {=8 x} \quad {\color {Red} \text { Original equation. }} \\ {x^{2}-8 x} & {=0} \quad {\color {Red} \text { Subtract } 8 x \text { from both sides. }}\end{array} \nonumber \]

Зверніть увагу, як нам вдалося перенести всі члени в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівною нулю. Щоб закінчити рішення, ми враховуємо$\mathrm{GCF}$ на лівій стороні.

\[x(x-8) = 0 \quad \color {Red} \text {Factor out the GCF.} \nonumber \]

Зверніть увагу, що тепер у нас є добуток двох факторів, що дорівнює нулю. За властивістю нульового добутку, або перший коефіцієнт дорівнює нулю, або другий коефіцієнт дорівнює нулю.

\[\begin{array}{r}{x=0 \quad \text { or } \quad x-8=0} \\ {x=8}\end{array} \nonumber \]

Значить, рішення є$x = 0$ і$x = 8$.

Перевірка:

Переконайтеся, що кожне рішення відповідає вихідному рівнянню.

\[\begin{array}{l}{\text { Substitute } 0 \text { for } x :} \\ {\qquad \begin{aligned} x^{2} &=8 x \\(0)^{2} &=8(0) \\ 0 &=0 \end{aligned}}\end{array} \nonumber \]

\[\begin{array}{l}{\text { Subtitute } 8 \text { for } x :} \\ {\qquad \begin{aligned} x^{2} &=8 x \\(8)^{2} &=8(8) \\ 64 &=64 \end{aligned}}\end{array} \nonumber\]

Зверніть увагу, що обидва результати є справжніми твердженнями, гарантуючи, що обидва$x = 0$ і$x = 8$ є рішеннями$x^2 =8x$

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити для$x$:$x^2 =−5x$

Відповідь: $0$,$-5$

Попередження!

Наступне невірно!

Розглянемо, що станеться, якщо ми розділимо обидві сторони рівняння$x^2 =8x$ в прикладі$\PageIndex{5}$ на$x$:

\[\begin{aligned} x^{2} &=8 x \\ \dfrac{x^{2}}{x} &=\dfrac{8 x}{x} \\ x &=8 \end{aligned} \nonumber \]

Зверніть увагу, що ми втратили другу відповідь, знайдену в Приклад$\PageIndex{5}$,$x = 0$. Цей приклад демонструє, що ви ніколи не повинні ділити на змінну, для якої ви вирішуєте! Якщо ви це зробите, і скасування відбудеться, ви втратите відповіді.

Спробуємо розв'язати нелінійне рівняння, яке вимагає факторингу шляхом групування.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити для$x$:$6x^2 +9x−8x−12 = 0$

Рішення

Оскільки ми розв'язуємо для$x$ і є сила$x$ більша за одиницю, це рівняння є нелінійним. Отже, першим кроком є переміщення всього в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівною нулю. Ну, що вже зроблено, так що давайте фактор лівої сторони шляхом групування. Зауважте, що ми можемо перерахувати з перших двох термінів і$−4$ з двох других.$3x$

$рис. 6.2.a.png$

Фактор з загального фактора$2x + 3$.

\[(3x-4){\color {Red}(2x + 3)}=0 \nonumber \]

Тепер у нас є добуток двох факторів, що дорівнює нулю. Використовуйте властивість нульового продукту, щоб записати:

\[\begin{aligned} 3x-4 &=0 \\ 3x &= 4 \\ x &=\dfrac{4}{3} \end{aligned} \nonumber \]

або

\[\begin{aligned} 2x+3 &=0 \\ 2x &= -3 \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned}\]

Значить, рішення є$x =4 /3$ і$x =−3/2$.

Перевірка:

Давайте скористаємося графічним калькулятором, щоб перевірити рішення$x =4 /3$. Спочатку збережіть рішення$4/3$ у змінній$\mathbb{X}$ за допомогою наступних натискань клавіш (див. Перше зображення на рис$\PageIndex{1}$.

рис. 6.2.b.png — Рисунок$\PageIndex{1}$ вказує на те, що вираз$6x^2 +9x−8x−12$ дорівнює нулю, коли$x =4 /3$.

рис. 6.2.1.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Перевірка розчину$x =4 /3$.

Тому розчин$x =4 /3$ перевіряє. Читачам рекомендується використовувати свої графічні калькулятори для перевірки другого рішення$x = −3/2$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішити для$x$:$5x^2 −20x−4x + 16 = 0$

Відповідь: $4/5$,$4$

Використання графічного калькулятора

У цьому розділі ми будемо використовувати дві різні процедури калькулятора, щоб знайти рішення нелінійного рівняння. Перш ніж підібрати калькулятор, давайте спочатку використаємо алгебраїчний метод для вирішення рівняння$x^2 = −5x$. Рівняння нелінійне, тому першим кроком є переміщення всього в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівною нулю.

\[\begin{aligned} x^{2} &= -5x \quad \color {Red} \text { Nonlinear. Make one side zero. } \\ x^{2}+5 x &= 0 \quad \color {Red} \text { Add } 5x \text { to both sides. } \\ x(x+5) &= 0 \quad \color {Red} \text { Factor out the GCF. } \end{aligned} \nonumber \]

Використовуйте властивість нульового добутку, задаючи кожен коефіцієнт рівним нулю, потім вирішуючи отримані рівняння для$x$.

\[x=0 \nonumber \]

або

\[\begin{aligned} x+5&=0 \\ x&=-5 \end{aligned} \nonumber \]

Значить, рішення є$x = 0$ і$x = −5$.

Тепер ми скористаємося калькулятором, щоб знайти рішення$x^2 = −5x$. Перша методика використовує процедуру 5: перетину в меню калькулятора.

Приклад$\PageIndex{7}$

Використовуйте утиліта 5:intersect на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівняння$x^2 = −5x$ для$x$.

Рішення

Завантажте ліву частину входу$x^2 = −5x$$\mathbb{Y1}$ та праву частину$\mathbb{Y2}$ (див. Рис.$\PageIndex{2}$). Вибір 6:ZStandard з меню ZOOM створює графіки, показані на зображенні праворуч на малюнку$\PageIndex{2}$.

рис. 6.2.2.png — Малюнок$\PageIndex{2}$: Намалюйте графіки кожної сторони рівняння$x^2 = −5x$.

Зверніть увагу, що граф$y = x^2$ - це парабола, яка відкривається вгору, з вершиною (точкою повороту) біля початку. Цей графік показує, чому рівняння$x^2 = −5x$ називається нелінійним рівнянням (не всі задіяні графіки є лініями). Далі на графіку$y = −5x$ йде лінія з нахилом$−5$ і$y$ -перехопленням у початку.

Два графіки, очевидно, перетинаються біля початку, але також здається, що може бути ще одна точка перетину, яка є oекраном. Давайте$\mathbb{Ymax}$ збільшимо спробу виявити другу точку перетину. Після деяких експериментів параметри, показані на першому зображенні на малюнку,$\PageIndex{3}$ виявляють обидві точки перетину. Натискання кнопки GRAPH створює зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{3}$.

рис. 6.2.3.png — Малюнок$\PageIndex{3}$: Налаштуйте параметри **WINDOW**, щоб виявити обидві точки перетину.

Щоб знайти розв'язки рівняння$x^2 =−5x$, ми повинні знайти координати точок, де графи$y = x^2$ і$y = −5x$ перетинаються. $x$-координата кожної точки перетину буде розв'язком рівняння$x^2 = −5x$.

Почніть з вибору 5: перетин у меню CALC. Коли з'явиться запит на «Перша крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли буде запропоновано «Друга крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли з'явиться запит на «Вгадати», натисніть клавішу ENTER. Результатом є точка,$(0,0)$ показана на зображенні зліва на малюнку$\PageIndex{4}$.
Повторіть процес вдруге. Виберіть 5: перетин в меню CALC. Коли з'явиться запит на «Перша крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли буде запропоновано «Друга крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли з'явиться запит на «Вгадати», скористайтеся клавішею зі стрілкою вліво, щоб перемістити курсор ближче до крайньої лівої точки перетину, а потім натисніть клавішу ENTER. Результатом є точка,$(−5,25)$ показана на зображенні праворуч на малюнку$\PageIndex{4}$.

рис. 6.2.4.png — Малюнок$\PageIndex{4}$: Використовуйте утиліту 5:intersect, щоб знайти точки перетину.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.

рис. 6.2.5.png — Малюнок$\PageIndex{5}$: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Позначте горизонтальну і вертикальну$x$ осі і$y$ відповідно (див. Рис.$\PageIndex{5}$).
Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.$\PageIndex{5}$).
Позначте кожен граф своїм рівнянням (див. Малюнок$\PageIndex{5}$).
Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну точку перетину. Затіньте та позначте$x$ -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинає$x$ вісь -. Це розв'язки рівняння$x^2 =−5x$ (див. Малюнок$\PageIndex{5}$).

Значить, рішення$x^2 = −5x$ є$x = −5$ і$x = 0$. Зауважте, що тепер вони відповідають розв'язкам, знайденим за допомогою алгебраїчної техніки.

Вправа$\PageIndex{7}$

Використовуйте утиліта 5:intersect на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівняння$x^2 =4x$ для$x$.

Відповідь: $Вправа 6.2.4.png$

Перш ніж продемонструвати другий метод графічного калькулятора для розв'язання нелінійних рівнянь, давайте згадаємо визначення нуля функції, яке вперше було представлено в розділі 3 глави 5.

Нулі і$x$-intercepts

Точки, де графік$f$ перетинає$x$ -вісь, називаються$x$ -перехопленнями графіка$f$. $x$-value кожного$x$ -intercept називається нулем функції$f$.

Тепер ми будемо використовувати 2: нульову утиліту з меню CALC, щоб знайти рішення рівняння$x^2 = −5x$.

Приклад$\PageIndex{8}$

Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівняння$x^2 = −5x$ для$x$.

Рішення

Спочатку зробіть одну сторону рівняння рівною нулю.

\[\begin{aligned}x^{2} &=-5 x \quad \color {Red} \text { Make one side zero. } \\ x^{2}+5 x &=0 \quad \color {Red} \text { Add } 5 x \text { to both sides. }\end{aligned} \nonumber \]

Щоб визначити значення цієї марки$x$$x^2 +5x = 0$, ми повинні знайти точки, де графік$f(x)=x^2 +5x$ перетинає$x$ вісь -. Ці точки є$x$ -перехопленнями графіка$f$ і$x$ -значення цих точок є нулями функції$f$.

Завантажте функцію$f(x)=x^2 +5 x$$\mathbb{Y1}$, а потім виберіть 6:ZStandard, щоб створити зображення на малюнку$\PageIndex{6}$. Зверніть увагу, що графік$f$ має два$x$ -перехоплення, а$x$ -значення кожної з цих точок є нулями функції$f$.

рис. 6.2.6.png — Малюнок$\PageIndex{6}$: Намалюйте графік$p(x)=x^2 +5x$.

Примітка

Часто легше знайти розв'язки нелінійного рівняння, зробивши одну сторону нулем і визначаючи, де графік результуючої функції перетинає$x$ вісь -.

Виберіть 2:нуль в меню CALC (див. Рис.$\PageIndex{7}$).

рис. 6.2.7.png — Малюнок$\PageIndex{7}$: Встановлення лівої та правої меж при використанні **2: нульової** утиліти для$x$ пошуку -перехоплень графіка$f(x)=x^2 +5x$.

Калькулятор відповідає, запитуючи «Ліва межа?» За допомогою клавіші зі стрілкою вліво перемістіть курсор так, щоб він лежав зліва від$x$ -перехоплення поблизу$(−5,0)$ (див. Друге зображення на малюнку$\PageIndex{7}$), потім натисніть клавішу ENTER.
Калькулятор відповідає, запитуючи «Right Bound?» Перемістіть курсор так, щоб був трохи праворуч від x-перехоплення поблизу$(−5,0)$ (див. Третій малюнок$\PageIndex{7}$), після чого натисніть клавішу ENTER.
Калькулятор відповідає, запитуючи «Вгадай?» Зверніть увагу на дві трикутні позначки у верхній частині вікна перегляду на першому зображенні на малюнку$\PageIndex{8}$, які позначають ліву та праву межі. Поки ви розміщуєте курсор так, щоб значення x розташування курсора лежало між цими двома мітками, ви зробили правильне припущення. Оскільки курсор вже лежить між цими двома позначками, ми зазвичай залишаємо його там, де він є, і натискаємо клавішу ENTER.

рис. 6.2.8.png — Малюнок$\PageIndex{8}$: *Встановлення правої межі та припущення.*

Зробивши здогадку та натиснувши клавішу ENTER, калькулятор переходить до наближення$x$ -перехоплення, яке лежить між раніше позначеною лівою та правою межею (див. Друге зображення на рис$\PageIndex{8}$. Отже, це$x$ -перехоплення є$(−5,0)$, роблячи$−5$ нуль$f(x)=x^2 +5x$ і рішення рівняння$x^2 +5x = 0$.

Ми залишимо це нашим читачам повторити процес 2: нуль, щоб знайти другий нуль у початку.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Позначте горизонтальну і вертикальну$x$ осі і$y$ відповідно (див. Рис.$\PageIndex{9}$).
Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рисунок$\PageIndex{9}$).
Позначте кожен граф своїм рівнянням (див. Малюнок$\PageIndex{9}$).
Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну$x$ -перехоплення. Затіньте та позначте$x$ -значення кожного$x$ -перехоплення. Це розв'язки рівняння$x^2 = −5x$ (див. Малюнок$\PageIndex{9}$).

рис. 6.2.9.png — Малюнок$\PageIndex{9}$: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Значить, рішення$x^2 = −5x$ є$x = −5$ і$x = 0$. Зверніть увагу, наскільки добре це узгоджується з рішеннями, знайденими за допомогою алгебраїчної техніки, та рішеннями, знайденими за допомогою утиліти 5: intersect у прикладі$\PageIndex{7}$.

Вправа$\PageIndex{8}$

Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівняння$x^2 =4x$ для$x$.

Відповідь: $Вправа 6.2.8.png$