Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2: Вирішення нелінійних рівнянь

Ми починаємо з введення властивості, яка буде широко використовуватися в цьому і майбутніх розділах.

Нерухомість продукту

Якщо добуток двох і більше чисел дорівнює нулю, то хоча б одне з чисел має дорівнювати нулю. Тобто, якщо

ab=0

потім

a=0абоb=0

Давайте використаємо властивість нульового добутку для вирішення декількох рівнянь.

Приклад6.2.1

Вирішити дляx:(x+3)(x5)=0

Рішення

Добуток двох множників дорівнює нулю.

(x+3)(x5)=0

Значить, хоча б один з факторів повинен дорівнювати нулю. Використовуючи властивість нульового добутку, задайте кожен коефіцієнт рівним нулю, потім вирішуйте отримані рівняння дляx.

x+3=0x=3

або

x5=0x=5

Отже, рішення єx=3 іx=5

Перевірка:

Переконайтеся, що кожне рішення відповідає вихідному рівнянню.

Замінник3 дляx:

(x+3)(x5)=0(3+3)(35)=0(0)(8)=00=0

Замінник5 дляx:

(x+3)(x5)=0(5+3)(55)=0(8)(0)=00=0

Тому що кожна перевірка виробляє істинне твердження, обидваx=3 іx=5 є рішеннями(x+3)(x5)=0.

Вправа6.2.1

Вирішити для х:(x7)(x2)=0

Відповідь

7,2

Властивість нульового продукту також працює однаково добре, якщо присутні більше двох факторів. Наприклад, якщоabc=0, то абоa=0 абоb=0 абоc=0. Давайте використаємо цю ідею в наступному прикладі.

Приклад6.2.2

Вирішити дляx:x(2x+9)(3x5)=0

Рішення

Добуток трьох множників дорівнює нулю.

x(2x+9)(3x5)=0

Використовуючи властивість нульового добутку, задайте кожен коефіцієнт рівним нулю, потім вирішуйте отримані рівняння дляx.

x=0

або

2x+9=02x=9x=92

або

3x5=03x=5x=53

Отже, рішення єx=0x=9/2, іx=5/3. Ми закликаємо читача перевірити рішення.

Вправа6.2.2

Вирішити дляx:6x(x+4)(5x+1)=0

Відповідь

0,4,1/5

Лінійний проти нелінійних

Всі рівняння, розв'язані в попередніх розділах, були прикладами того, що називаються лінійними рівняннями. Якщо найвища потужність змінної, для якої ми вирішуємо, одна, то графи, що беруть участь, - це лінії. Звідси і термін, лінійне рівняння. Однак якщо потужність змінної, яку ми вирішуємо, перевищує одиницю, то графи, що беруть участь, є кривими. Звідси і термін, нелінійне рівняння. У цьому розділі ми дізнаємося, як розв'язувати нелінійні рівняння за участю поліномів. Однак спочатку переконаємось, що ми можемо розпізнати різницю між лінійним та нелінійним рівнянням.

Визначення: лінійні та нелінійні рівняння

Використовуйте наступні умови, щоб визначити, чи рівняння є лінійним або нелінійним.

  1. Якщо найвища потужність змінної, для якої ми розв'язуємо, одна, то рівняння лінійне.
  2. Якщо найвища потужність змінної, для якої ми розв'язуємо, більше одиниці, то рівняння нелінійне.

Приклад6.2.3

Якщо інструкція «вирішувати для»x, класифікуйте кожне з наступних рівнянь як лінійне або нелінійне.

  1. 3x5=47x
  2. x2=8x

Рішення

Оскільки інструкція «вирішувати для»x, щоб визначити, чи є рівняння лінійним чи нелінійним, ми визначаємо найбільшу потужністьx присутніх у рівнянні.

  1. Найвища потужністьx присутніх в рівнянні3x5=47x - одна. Значить, це рівняння є лінійним.
  2. Рівнянняx2=8x містить ступіньx вище одиниці (воно міститьx2). Значить, це рівняння нелінійне.

Вправа6.2.3

Класифікують наступне рівняння як лінійне або нелінійне:2x=x34

Відповідь

нелінійних

Тепер, коли ми можемо класифікувати рівняння як лінійні або нелінійні, давайте представимо стратегії розв'язання кожного типу, перший з яких вже повинен бути знайомим.

Стратегія розв'язання лінійного рівняння

Якщо рівняння лінійне, розпочніть процес розв'язання, перемістивши всі члени, що містять змінну, яку ви вирішуєте, на одну сторону рівняння, а потім перемістіть всі члени, які не містять змінної, яку ви вирішуєте, на іншу сторону рівняння.

Приклад6.2.4

Вирішити дляx:3x5=47x

Рішення

Оскільки інструкція «вирішувати дляx», і ми зауважимо, що найбільша силаx теперішнього - одна,3x5=47x рівняння лінійне. Отже, стратегія полягає в тому, щоб перемістити всі члени, що містятьx в одну сторону рівняння, а потім перемістити всі інші члени на іншу сторону рівняння.

3x5=47x Original equation. 3x5+7x=4 Add 7x to both sides. 3x+7x=4+5 Add 5 to both sides. 

Зверніть увагу, як нам вдалося перенести всі члени, що містятьx в одну сторону рівняння, і всі члени, які не містятьx, на іншу сторону рівняння.

10x=9 Simplify both sides. x=910 Divide both sides by 10.

Отже, рішення3x5=47x єx=9/10. Читачам рекомендується перевірити це рішення.

Вправа6.2.4

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь

1/4

Ситуація значно відрізняється, коли рівняння нелінійне.

Стратегія розв'язання нелінійного рівняння

Якщо рівняння нелінійне, спочатку перемістіть все в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівняння рівнянням рівною нулю. Продовжуйте процес вирішення шляхом факторингу та застосування властивості нульового продукту.

Приклад6.2.5

Вирішити дляx:x2=8x

Рішення

Оскільки інструкція «вирішувати для»x, а найвища потужністьx більша за одиницю, рівнянняx2=8x нелінійне. Отже, стратегія вимагає, щоб ми перемістили всі члени в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону нулем.

x2=8x Original equation. x28x=0 Subtract 8x from both sides. 

Зверніть увагу, як нам вдалося перенести всі члени в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівною нулю. Щоб закінчити рішення, ми враховуємоGCF на лівій стороні.

x(x8)=0Factor out the GCF.

Зверніть увагу, що тепер у нас є добуток двох факторів, що дорівнює нулю. За властивістю нульового добутку, або перший коефіцієнт дорівнює нулю, або другий коефіцієнт дорівнює нулю.

x=0 or x8=0x=8

Значить, рішення єx=0 іx=8.

Перевірка:

Переконайтеся, що кожне рішення відповідає вихідному рівнянню.

 Substitute 0 for x:x2=8x(0)2=8(0)0=0

 Subtitute 8 for x:x2=8x(8)2=8(8)64=64

Зверніть увагу, що обидва результати є справжніми твердженнями, гарантуючи, що обидваx=0 іx=8 є рішеннямиx2=8x

Вправа6.2.5

Вирішити дляx:x2=5x

Відповідь

0,5

Попередження!

Наступне невірно!

Розглянемо, що станеться, якщо ми розділимо обидві сторони рівнянняx2=8x в прикладі6.2.5 наx:

x2=8xx2x=8xxx=8

Зверніть увагу, що ми втратили другу відповідь, знайдену в Приклад6.2.5,x=0. Цей приклад демонструє, що ви ніколи не повинні ділити на змінну, для якої ви вирішуєте! Якщо ви це зробите, і скасування відбудеться, ви втратите відповіді.

Спробуємо розв'язати нелінійне рівняння, яке вимагає факторингу шляхом групування.

Приклад6.2.6

Вирішити дляx:6x2+9x8x12=0

Рішення

Оскільки ми розв'язуємо дляx і є силаx більша за одиницю, це рівняння є нелінійним. Отже, першим кроком є переміщення всього в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівною нулю. Ну, що вже зроблено, так що давайте фактор лівої сторони шляхом групування. Зауважте, що ми можемо перерахувати з перших двох термінів і4 з двох других.3x

рис. 6.2.a.png

Фактор з загального фактора2x+3.

(3x4)(2x+3)=0

Тепер у нас є добуток двох факторів, що дорівнює нулю. Використовуйте властивість нульового продукту, щоб записати:

3x4=03x=4x=43

або

2x+3=02x=3x=32

Значить, рішення єx=4/3 іx=3/2.

Перевірка:

Давайте скористаємося графічним калькулятором, щоб перевірити рішенняx=4/3. Спочатку збережіть рішення4/3 у зміннійX за допомогою наступних натискань клавіш (див. Перше зображення на рис6.2.1.

рис. 6.2.b.png
Рисунок6.2.1 вказує на те, що вираз6x2+9x8x12 дорівнює нулю, колиx=4/3.
рис. 6.2.1.png
Малюнок6.2.1: Перевірка розчинуx=4/3.

Тому розчинx=4/3 перевіряє. Читачам рекомендується використовувати свої графічні калькулятори для перевірки другого рішенняx=3/2.

Вправа6.2.6

Вирішити дляx:5x220x4x+16=0

Відповідь

4/5,4

Використання графічного калькулятора

У цьому розділі ми будемо використовувати дві різні процедури калькулятора, щоб знайти рішення нелінійного рівняння. Перш ніж підібрати калькулятор, давайте спочатку використаємо алгебраїчний метод для вирішення рівнянняx2=5x. Рівняння нелінійне, тому першим кроком є переміщення всього в одну сторону рівняння, зробивши одну сторону рівною нулю.

x2=5x Nonlinear. Make one side zero. x2+5x=0 Add 5x to both sides. x(x+5)=0 Factor out the GCF. 

Використовуйте властивість нульового добутку, задаючи кожен коефіцієнт рівним нулю, потім вирішуючи отримані рівняння дляx.

x=0

або

x+5=0x=5

Значить, рішення єx=0 іx=5.

Тепер ми скористаємося калькулятором, щоб знайти рішенняx2=5x. Перша методика використовує процедуру 5: перетину в меню калькулятора.

Приклад6.2.7

Використовуйте утиліта 5:intersect на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівнянняx2=5x дляx.

Рішення

Завантажте ліву частину входуx2=5xY1 та праву частинуY2 (див. Рис.6.2.2). Вибір 6:ZStandard з меню ZOOM створює графіки, показані на зображенні праворуч на малюнку6.2.2.

рис. 6.2.2.png
Малюнок6.2.2: Намалюйте графіки кожної сторони рівнянняx2=5x.

Зверніть увагу, що графy=x2 - це парабола, яка відкривається вгору, з вершиною (точкою повороту) біля початку. Цей графік показує, чому рівнянняx2=5x називається нелінійним рівнянням (не всі задіяні графіки є лініями). Далі на графікуy=5x йде лінія з нахилом5 іy -перехопленням у початку.

Два графіки, очевидно, перетинаються біля початку, але також здається, що може бути ще одна точка перетину, яка є oекраном. ДавайтеYmax збільшимо спробу виявити другу точку перетину. Після деяких експериментів параметри, показані на першому зображенні на малюнку,6.2.3 виявляють обидві точки перетину. Натискання кнопки GRAPH створює зображення праворуч на малюнку6.2.3.

рис. 6.2.3.png
Малюнок6.2.3: Налаштуйте параметри WINDOW, щоб виявити обидві точки перетину.

Щоб знайти розв'язки рівнянняx2=5x, ми повинні знайти координати точок, де графиy=x2 іy=5x перетинаються. x-координата кожної точки перетину буде розв'язком рівнянняx2=5x.

  • Почніть з вибору 5: перетин у меню CALC. Коли з'явиться запит на «Перша крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли буде запропоновано «Друга крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли з'явиться запит на «Вгадати», натисніть клавішу ENTER. Результатом є точка,(0,0) показана на зображенні зліва на малюнку6.2.4.
  • Повторіть процес вдруге. Виберіть 5: перетин в меню CALC. Коли з'явиться запит на «Перша крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли буде запропоновано «Друга крива?» , натисніть клавішу ENTER. Коли з'явиться запит на «Вгадати», скористайтеся клавішею зі стрілкою вліво, щоб перемістити курсор ближче до крайньої лівої точки перетину, а потім натисніть клавішу ENTER. Результатом є точка,(5,25) показана на зображенні праворуч на малюнку6.2.4.
рис. 6.2.4.png
Малюнок6.2.4: Використовуйте утиліту 5:intersect, щоб знайти точки перетину.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.

рис. 6.2.5.png
Малюнок6.2.5: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.
  • Позначте горизонтальну і вертикальнуx осі іy відповідно (див. Рис.6.2.5).
  • Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.6.2.5).
  • Позначте кожен граф своїм рівнянням (див. Малюнок6.2.5).
  • Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну точку перетину. Затіньте та позначтеx -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинаєx вісь -. Це розв'язки рівнянняx2=5x (див. Малюнок6.2.5).

Значить, рішенняx2=5x єx=5 іx=0. Зауважте, що тепер вони відповідають розв'язкам, знайденим за допомогою алгебраїчної техніки.

Вправа6.2.7

Використовуйте утиліта 5:intersect на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівнянняx2=4x дляx.

Відповідь

Вправа 6.2.4.png

Перш ніж продемонструвати другий метод графічного калькулятора для розв'язання нелінійних рівнянь, давайте згадаємо визначення нуля функції, яке вперше було представлено в розділі 3 глави 5.

Нулі іx-intercepts

Точки, де графікf перетинаєx -вісь, називаютьсяx -перехопленнями графікаf. x-value кожногоx -intercept називається нулем функціїf.

Тепер ми будемо використовувати 2: нульову утиліту з меню CALC, щоб знайти рішення рівнянняx2=5x.

Приклад6.2.8

Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівнянняx2=5x дляx.

Рішення

Спочатку зробіть одну сторону рівняння рівною нулю.

x2=5x Make one side zero. x2+5x=0 Add 5x to both sides. 

Щоб визначити значення цієї маркиxx2+5x=0, ми повинні знайти точки, де графікf(x)=x2+5x перетинаєx вісь -. Ці точки єx -перехопленнями графікаf іx -значення цих точок є нулями функціїf.

Завантажте функціюf(x)=x2+5xY1, а потім виберіть 6:ZStandard, щоб створити зображення на малюнку6.2.6. Зверніть увагу, що графікf має дваx -перехоплення, аx -значення кожної з цих точок є нулями функціїf.

рис. 6.2.6.png
Малюнок6.2.6: Намалюйте графікp(x)=x2+5x.

Примітка

Часто легше знайти розв'язки нелінійного рівняння, зробивши одну сторону нулем і визначаючи, де графік результуючої функції перетинаєx вісь -.

Виберіть 2:нуль в меню CALC (див. Рис.\(\PageIndex{7}\)).

рис. 6.2.7.png
Малюнок6.2.7: Встановлення лівої та правої меж при використанні 2: нульової утиліти дляx пошуку -перехоплень графікаf(x)=x2+5x.
  • Калькулятор відповідає, запитуючи «Ліва межа?» За допомогою клавіші зі стрілкою вліво перемістіть курсор так, щоб він лежав зліва відx -перехоплення поблизу(5,0) (див. Друге зображення на малюнку6.2.7), потім натисніть клавішу ENTER.
  • Калькулятор відповідає, запитуючи «Right Bound?» Перемістіть курсор так, щоб був трохи праворуч від x-перехоплення поблизу(5,0) (див. Третій малюнок6.2.7), після чого натисніть клавішу ENTER.
  • Калькулятор відповідає, запитуючи «Вгадай?» Зверніть увагу на дві трикутні позначки у верхній частині вікна перегляду на першому зображенні на малюнку6.2.8, які позначають ліву та праву межі. Поки ви розміщуєте курсор так, щоб значення x розташування курсора лежало між цими двома мітками, ви зробили правильне припущення. Оскільки курсор вже лежить між цими двома позначками, ми зазвичай залишаємо його там, де він є, і натискаємо клавішу ENTER.
рис. 6.2.8.png
Малюнок6.2.8: Встановлення правої межі та припущення.

Зробивши здогадку та натиснувши клавішу ENTER, калькулятор переходить до наближенняx -перехоплення, яке лежить між раніше позначеною лівою та правою межею (див. Друге зображення на рис6.2.8. Отже, цеx -перехоплення є(5,0), роблячи5 нульf(x)=x2+5x і рішення рівнянняx2+5x=0.

Ми залишимо це нашим читачам повторити процес 2: нуль, щоб знайти другий нуль у початку.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.

  • Позначте горизонтальну і вертикальнуx осі іy відповідно (див. Рис.6.2.9).
  • Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рисунок6.2.9).
  • Позначте кожен граф своїм рівнянням (див. Малюнок6.2.9).
  • Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожнуx -перехоплення. Затіньте та позначтеx -значення кожногоx -перехоплення. Це розв'язки рівнянняx2=5x (див. Малюнок6.2.9).
рис. 6.2.9.png
Малюнок6.2.9: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Значить, рішенняx2=5x єx=5 іx=0. Зверніть увагу, наскільки добре це узгоджується з рішеннями, знайденими за допомогою алгебраїчної техніки, та рішеннями, знайденими за допомогою утиліти 5: intersect у прикладі6.2.7.

Вправа6.2.8

Використовуйте 2: нуль утиліту на графічному калькуляторі, щоб вирішити рівнянняx2=4x дляx.

Відповідь

Вправа 6.2.8.png