6.3: Факторинг ax² + bx+c при a = 1

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58282

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми зосереджуємося на тому, щоб навчитися враховувати триноми, що мають форму,$ax^2 +bx+c$ коли$a = 1$. Перше завдання полягає в тому, щоб переконатися, що кожен може правильно визначити коефіцієнти$a$$b$, і$c$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Порівняйте$x^2−8x−9$ з формою$ax^2 +bx+c$ і визначте коефіцієнти$a$$b$, і$c$.

Рішення

Вирівняйте триноміал$x^2−8x−9$ за стандартною формою$ax^2 +bx+c$, потім порівняйте коефіцієнти. Зверніть увагу, що розуміється коефіцієнт$x^2$ є$1$.

\[\begin{array}{l}{a x^{2}+b x+c} \\ {{\color {Red}1} x^{2}-8 x-9}\end{array} \nonumber \]

Ми бачимо$a = 1$, що$b = −8$, і$c = −9$. Оскільки провідним коефіцієнтом є$1$, це тип триноміалу, який ми навчимося враховувати в цьому розділі.

Вправа$\PageIndex{1}$

Порівняйте$2x^2 +5x−3$ з формою$ax^2 + bx + c$ і визначте коефіцієнти$a$$b$, і$c$.

Відповідь: $a = 2$,$b = 5$,$c =−3$

Приклад$\PageIndex{2}$

Порівняйте$−40 + 6x^2 − x$ з формою$ax^2 + bx + c$ і визначте коефіцієнти$a$$b$, і$c$.

Рішення

Спочатку розташуйте$−40+ 6x^2 −x$ в спадних степенях$x$, потім вирівняйте його зі стандартною формою$ax^2 +bx+c$ і порівняйте коефіцієнти. Зверніть увагу, що розуміється коефіцієнт$x$ є$−1$.

\[\begin{array}{l}{a x^{2}+b x+c} \\ {6 x^{2}-{\color {Red} 1} x-40}\end{array} \nonumber \]

Ми бачимо$a = 6$, що$b = −1$, і$c = −40$. Оскільки провідним коефіцієнтом є$6$, нам доведеться почекати, поки ми дізнаємося про факторинг,$ax^2 + bx + c$ коли$a \neq 1$ в розділі 6.4, перш ніж навчитися враховувати цей триноміал.

Вправа$\PageIndex{2}$

Порівняйте$3x +9−7x^2$ з формою$ax^2 + bx + c$ і визначте коефіцієнти$a$$b$, і$c$.

Відповідь: $a = −7$,$b = 3$,$c =9$

У цьому розділі провідний коефіцієнт повинен дорівнювати$1$. Наша робота в цьому розділі буде зосереджена тільки на триноміалах форми$x^2 + bx + c$, тобто формі$ax^2 + bx + c$ де$a = 1$.

$ac$-Метод

Зараз ми збираємося ввести техніку під назвою$ac$ -method (або$ac$ -test) для факторингу триномів форми,$ax^2 +bx+c$ коли$a = 1$. У майбутньому розділі 6.4 про факторинг$ax^2 + bx + c$ коли$a \neq 1$, ми побачимо, що цей метод також може бути використаний$a \neq 1$, коли, за одним незначним винятком. Але для решти цього розділу ми зосереджуємося строго на триномалах, провідним коефіцієнтом яких є$1$.

Давайте почнемо з пошуку наступного продукту:

\[\begin{aligned}(x+12)(x-4) &=x(x-4)+12(x-4) \quad \color {Red} \text { Apply the distributive property. } \\ &=x^{2}-4 x+12 x-48 \quad \color {Red } \text { Distribute again. } \\ &=x^{2}+8 x-48 \quad \color {Red} \text { Simplify. }\end{aligned} \nonumber \]

Тепер, чи можемо ми змінити процес? Тобто, чи можемо ми почати з$x^2 +8x−48$ і розмістити його в первісному факторованому вигляді$(x + 12)(x−4)$? Відповідь - так, якщо ми застосуємо наступну процедуру.

The$ac$-method

Порівняйте даний многочлен зі стандартною формою$ax^2 + bx + c$, визначте коефіцієнти$a$$b$$c$, а потім дійте наступним чином:

Помножте коефіцієнти$a$$c$ і визначте їх продукт$ac$. Перерахуйте всі цілі пари, добуток яких дорівнює$ac$.
Обведіть пару у списку, отриманому на кроці 1$b$, сума якого дорівнює коефіцієнту середнього терміну$ax^2 + bx + c$.
Замініть середній член$bx$ сумою подібних термінів, використовуючи обведену пару з кроку 2.
Фактор за групуванням.
Перевірте результат за допомогою ярлика FOIL.

Давайте дотримуємося кроків$ac$ -method to factor$x^2 +8x−48$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Фактор:$x^2 +8x−48$.

Рішення

Порівняйте$x^2+8x−48$ з$ax^2+bx+c$ і ідентифікувати$a = 1$$b = 8$, і$c = −48$. Зауважимо, що провідним коефіцієнтом є$a = 1$. Розрахувати$ac$. Зверніть увагу$ac = (1)(−48)$, що, так$ac =−48$. Перерахуйте всі цілі пари, добуток яких є$ac = −48$.

\[\begin{array}{ll}{1,-48} & {-1,48} \\ {2,-24} & {-2,24} \\ {3,-16} & {-3,16} \\ {4,-12} & { -4,12} \\ {6,-8} & {-6,8}\end{array} \nonumber \]

Обведіть впорядковану пару, сума якої дорівнює$b = 8$.

\[\begin{array}{ll}{1,-48} & {-1,48} \\ {2,-24} & {-2,24} \\ {3,-16} & {-3,16} \\ {4,-12} & {\color {Red}-4,12} \\ {6,-8} & {-6,8}\end{array} \nonumber \]

Замініть середній член$8x$ сумою подібних термінів, використовуючи кружальну пару, сума якої дорівнює$8$.

\[x^2{\color {Red}+8x}-48 = x^2{\color {Red}-4x + 12x}-48 \nonumber \]

Фактор за групуванням.

\[\begin{aligned} x^{2}+8 x-48 &=x(x-4)+12(x-4) \\ &=(x+12)(x-4) \end{aligned} \nonumber \]

Використовуйте ярлик FOIL, щоб подумки перевірити свою відповідь. Щоб визначити продукт$(x + 12)(x−4)$, скористайтеся наступними кроками:

Помножте члени в позиціях «Перші»:$x^2$.
Помножте члени в положеннях «Зовнішнє» і «Внутрішнє» і об'єднайте результати подумки:$−4x + 12x =8x$.
Помножте члени в позиціях «Останній»:$−48$.

Тобто:

\[(x+12)(x-4) = \begin{array}{ccccccc} {\color {Red}F} & & {\color {Red}O} & & {\color {Red}I} & & {\color {Red}L}\\ x^2&-&4x&+&12x&-&48 \end{array} \nonumber \]

Поєднуючи подібні терміни$(x + 12)(x−4) = x^2 +8x−48$, що є оригінальним триноміалом, тому наше рішення перевіряє. Врахуйте, що якщо подумки поєднувати продукти «Зовнішній» і «Внутрішній», перевірка йде ще швидше.

Вправа$\PageIndex{3}$

Фактор:$x^2 + 11x + 28$

Відповідь: $(x+4)(x+7)$

Деякі читачі можуть запитати: «Чи випадково, що обведена пара,$\color {Red} −4,12$ здавалося, «впала на місце» в результаті факторизації$(x+12)(x−4)$?» Перш ніж відповісти на це питання, давайте спробуємо інший приклад.

Приклад$\PageIndex{4}$

Фактор:$x^2 −9x−36$.

Рішення

Порівняйте$x^2−9x−36$ з$ax^2+bx+c$ і зверніть увагу$a = 1$, що$b = −9$,, і$c =−36$. Розрахуйте$ac = (1)(−36)$, так$ac = −36$.

На цьому етапі деякі читачі можуть запитати: «Що робити, якщо я почну перераховувати впорядковані пари і бачу потрібну пару? Чи потрібно продовжувати перераховувати інші пари?

Відповідь - «Ні». У цьому випадку ми починаємо перераховувати цілочисельні пари, чиї$ac = −36$ добуток, але пам'ятайте, що нам потрібна ціла пара, сума якої є$b =−9$. Пара$−12$ ціла$3$ і має добуток, рівний$ac =−36$ і суму, рівну$b =−9$.

\[\begin{array}{r}{1,-36} \\ {2,-18} \\ {\color {Red}3,-12} \end{array} \nonumber \]

Зверніть увагу, як ми перестали перераховувати впорядковані пари в той момент, коли ми знайшли потрібну нам пару. Далі замініть середній член$−9x$ сумою подібних термінів за допомогою пари, обведеної кругом.

\[x^2{\color {Red}-9x}-36 = x^2{\color {Red}+3x-12x}-36 \nonumber \]

Фактор за групуванням.

\[\begin{aligned} x^{2}{\color {Red}-9 x}-36 &=x(x+3)-12(x+3) \\ &=(x-12)(x+3) \end{aligned} \nonumber \]

Використовуйте ярлик FOIL, щоб перевірити свою відповідь.

\[(x+3)(x-12) = \begin{array}{ccccccc} {\color {Red}F} & & {\color {Red}O} & & {\color {Red}I} & & {\color {Red}L}\\ x^2&-&12x&+&3x&-&36 \end{array} \nonumber\]

Поєднуючи подібні терміни$(x + 3)(x−12) = x^2 −9x−36$, оригінальний триноміал. Наше рішення перевіряє.

Вправа$\PageIndex{4}$

Фактор:$x2 + 10x−24$.

Відповідь: $( x + 12)(x−2)$

Прискорення речей трохи

Читачі можуть знову запитати: «Чи випадково, що обведена пара,$\color {Red} 3,−12$ здавалося, «впала на місце» в результаті факторизації$(x−12)(x + 3)$?» Відповідь - «Ні», це не випадковість. За умови, що провідним коефіцієнтом тріноміалу$ax^2 +bx+c$ є$a = 1$, ви завжди можете «скинути на місце» обведену пару, щоб прийти до остаточної факторизації, пропускаючи факторинг шляхом групування.

Деякі читачі також можуть запитати: «Чи дійсно мені потрібно перераховувати будь-яку з цих замовлених пар, якщо я вже визнаю пару, яка мені потрібна?» Відповідь: «Ні!» Якщо ви бачите потрібну вам пару, киньте її на місце.

Приклад$\PageIndex{5}$

Фактор:$x^2 −5x−24$.

Рішення

Порівняйте$x^2−5x−24$ з$ax^2+bx+c$ і зверніть увагу$a = 1$, що$b =−5$,, і$c =−24$. Розрахуйте$ac = (1)(−24)$, так$ac = −24$. Тепер ви можете думати про цілу пару, чий$ac = −24$ добуток і чия сума є$b = −5$? У деяких потрібна пара просто вискакує їм в голову:$−8$ і$3$. Добуток цих двох цілих чисел є$−24$ і їх сума дорівнює$−5$. «Киньте» цю пару на місце, і все готово.

\[x^2 −5x−24 = (x−8)(x + 3) \nonumber \]

Використовуйте ярлик FOIL, щоб перевірити свою відповідь.

\[(x-8)(x+3) = \begin{array}{ccccccc} {\color {Red}F} & & {\color {Red}O} & & {\color {Red}I} & & {\color {Red}L}\\ x^2&+&3x&-&8x&-&24 \end{array} \nonumber\]

Поєднуючи подібні терміни$(x−8)(x + 3) =x^2 −5x−24$, оригінальний триноміал. Наше рішення перевіряє.

Вправа$\PageIndex{5}$

Фактор:$x^2 −12x + 35$

Відповідь: $(x−7)(x−5)$

Техніка «Drop in Place»$\PageIndex{5}$ Example дозволяє нам трохи переглянути$ac$ метод.

Переглянуто$ac$-method

Порівняйте заданий многочлен зі стандартною формою$ax^2 + bx + c$, визначте коефіцієнти$a$$b$, а потім визначте пару цілих чисел$c$, добуток яких дорівнює,$ac$ а сума яких дорівнює$b$. Потім у вас є два варіанти:

Напишіть середній термін як добуток подібних термінів, використовуючи впорядковану пару, добуток якої$ac$ і сума якої дорівнює$b$. Завершіть процес факторизації факторингом шляхом групування.
(Працює тільки якщо$a =1$.) Просто «скиньте на місце» впорядковану пару, чий продукт є$ac$ і сума якої полягає$b$ в завершенні процесу факторизації. Примітка: Ми дізнаємося про факторинг,$ax^2 + bx + c$ коли$a \neq 1$ в розділі 6.4 чому цей вибір «падіння на місці» не працює, коли$a \neq 1$

Читачам настійно рекомендується перевірити їх факторизацію шляхом визначення продукту методом FOIL. Якщо це створює початковий триноміал, факторизація є правильною.

Нелінійні рівняння переглянуті

Здатність множити триноми виду$ax^2 +bx+c$, де$a = 1$, збільшує кількість нелінійних рівнянь, які ми тепер здатні розв'язати.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішіть рівняння$x^2 =2 x + 3$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Рішення

Оскільки існує сила$x$ більша за одиницю, рівняння нелінійне. Зробіть одну сторону нулем.

\[\begin{aligned} x^{2} &=2 x+3 \quad \color {Red} \text { Original equation. } \\ x^{2}-2 x &=3 \quad \color {Red} \text { Subtract } 2 x \text { from both sides. } \\ x^{2}-2 x-3 &=0 \quad \color {Red} \text { Subtract } 3 \text { from both sides. }\end{aligned} \nonumber \]

Порівняйте$x^2−2x−3$ з$ax^2+bx+c$ і зверніть увагу$a = 1$, що,$b =−2$ і$c =−3$. Нам потрібна ціла пара, добуток якої$ac = −3$ і чия сума дорівнює$b = −2$. Ціла пара$1$ і$−3$ приходить на розум. «Киньте» їх на місце, щоб фактор.

\[(x + 1)(x-3) = 0 \quad \color {Red} \text {Factor.} \nonumber \]

У нас є добуток, який дорівнює нулю. Використовуйте властивість нульового продукту для завершення рішення.

\[\begin{aligned} x+1 &=0 \\ x &=-1 \end{aligned} \nonumber \]

або

\[\begin{array}{r}{x-3=0} \\ {x=3}\end{array} \nonumber \]

Таким чином, рішення$x^2 =2x + 3$ є$x = −1$ і$x = 3$.

Графічне рішення:

Завантажте кожну сторону рівняння$x^2 =2 x + 3$ в меню Y= вашого графічного калькулятора, in$\mathbb {Y1}$,$y = x^2$$y =2x + 3$ in$\mathbb {Y2}$ (див. Рисунок$\PageIndex{1}$). Виберіть 6:ZStandard з меню ZOOM, щоб створити зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{1}$.

рис. 6.3.1.png — Малюнок$\PageIndex{1}$: Ескіз$y = x^2$ і$y =2x + 3$.

Одна з точок перетину видно зліва, а ось друга точка перетину знаходиться дуже близько верхньої частини екрану праворуч (див.$\PageIndex{1}$ Рис. Давайте трохи розширити верхню частину екрана. Натисніть кнопку WINDOW і внесіть коригування до$\mathbb{Ymin}$ і$\mathbb{Ymax}$ (див. Рис.$\PageIndex{2}$), а потім натисніть кнопку GRAPH, щоб прийняти зміни.

Зверніть увагу, що обидві точки перетину тепер видно у вікні перегляду (див.$\PageIndex{2}$ Рис. Щоб знайти координати точок перетину, виберіть 5:intersect з меню CALC. Натисніть клавішу ENTER, щоб прийняти «Перша крива», натисніть клавішу ENTER ще раз, щоб прийняти «Другу криву», потім натисніть клавішу ENTER ще раз, щоб прийняти поточне положення курсора як ваше здогадка. Результат показаний на зображенні зліва на малюнку$\PageIndex{3}$. Повторіть процес, щоб знайти другу точку перетину, лише коли прийде час ввести «Вгадати», використовуйте клавішу зі стрілкою вправо, щоб перемістити курсор ближче до другої точки перетину, ніж перша.

рис. 6.3.2.png — Малюнок$\PageIndex{2}$: Налаштування виду.

рис. 6.3.3.png — Малюнок$\PageIndex{3}$: Використовуйте **5: перетин** з меню **CALC**, щоб знайти точки перетину.

Повідомлення про рішення по домашньому завданню:

Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.

рис. 6.3.4.png — Малюнок$\PageIndex{4}$: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Позначте горизонтальну і вертикальну$x$ осі і$y$ відповідно (див.$\PageIndex{4}$ Рис.
Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.$\PageIndex{4}$).
Позначте кожен граф своїм рівнянням (див. Рис.$\PageIndex{4}$).
Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну точку перетину. Затіньте та позначте$x$ -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинає$x$ вісь -. Це розв'язки рівняння$x^2 =2 x + 3$ (див. Рис.$\PageIndex{4}$).

Нарешті, зверніть увагу на те, як графічні рішення$x^2 =2 x + 3$, а саме$x = −1$ і$x = 3$, відповідають розв'язкам, знайденим за допомогою алгебраїчного методу. Це є вагомим доказом того, що обидва способи вирішення є правильними. Однак не завадить перевірити остаточні відповіді у вихідному рівнянні, підставляючи$x$ і$−1$$3$ для$x$.

\[\begin{aligned} x^{2} &=2 x+3 \\(-1)^{2} &=2(-1)+3 \\ 1 &=-2+3 \end{aligned} \nonumber \]

\[\begin{aligned} x^{2} &=2 x+3 \\(3)^{2} &=2(3)+3 \\ 9 &=6+3 \end{aligned} \nonumber \]

Оскільки останні два твердження є істинними твердженнями, рішення$x = −1$ і$x = 3$ перевіряють у вихідному рівнянні$x^2 =2x + 3$.

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішіть рівняння$x^2 = −3x + 4$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Відповідь

$-4$,$1$

$Вправа 6.3.6.png$

Приклад$\PageIndex{7}$

Вирішіть рівняння$x^2 −4x−96 = 0$ як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.

Рішення

Оскільки існує сила$x$ більша за одиницю, рівняння$x^2 − 4x−96 = 0$ нелінійне. У нас вже є одна сторона нуля, тому ми можемо приступати до факторингу. Почніть перераховувати цілочисельні пари$ac = −96$, добуток яких є, пам'ятаючи про те, що нам потрібна пара, сума якої дорівнює$b = −4$.

\[\begin{array}{l}{1,-96} \\ {2,-48} \\ {3,-32} \\ {4,-24} \\ {6,-16} \\ {\color {Red}8,-12} \\ \end{array} \nonumber \]

Зверніть увагу, що ми зупинили процес лістингу, як тільки ми зіткнулися з парою, сума якої була$b = −4$. «Киньте» цю пару на місце, щоб фактор тріноміалу.

\[\begin{aligned}x^{2}-4 x-96 &=0 \quad \color {Red} \text { Original equation. } \\ (x+8)(x-12) &=0 \quad \color {Red} \text { Factor. }\end{aligned} \nonumber \]

У нас є добуток, який дорівнює нулю. Використовуйте властивість нульового продукту для завершення рішення.

\[\begin{aligned} x+8 &=0 \\ x &=-8 \end{aligned} \nonumber \]

або

\[\begin{aligned} x-12 &=0 \\ x &=12 \end{aligned} \nonumber \]

Таким чином, рішення$x^2 −4x−96 = 0$ є$x =−8$ і$x = 12$.

Графічне рішення:

Завантажте рівняння$y = x^2 −4x−96$$\mathbb{Y1}$ в меню Y= вашого графічного калькулятора (див. Рисунок$\PageIndex{5}$). Виберіть 6:ZStandard з меню ZOOM, щоб створити зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{5}$.

рис. 6.3.5.png — Малюнок$\PageIndex{5}$: Намалюйте графік$y = x^2 −4x−96$.

Коли ступінь полінома два, ми звикли бачити якусь параболу. На малюнку ми побачили$\PageIndex{5}$, як графік спускається вниз і oекран, але ми не бачили, як він повертається і повернеться вгору. Налаштуємо параметри WINDOW так, щоб у вікні перегляду була видна вершина (точка повороту) параболи і обох$x$ -перехоплень. Після деяких експериментів налаштування, показані на малюнку,$\PageIndex{6}$ виявляють вершину та$x$ -перехоплення. Натисніть кнопку GRAPH, щоб створити зображення праворуч на малюнку$\PageIndex{6}$.

рис. 6.3.6.png — Малюнок$\PageIndex{6}$: Налаштування виду.

Зверніть увагу, що обидва$x$ -перехоплення параболи тепер видно у вікні перегляду (див. Рис.$\PageIndex{6}$). Щоб знайти координати$x$ перехоплень, виберіть 2:нуль у меню CALC. Використовуйте клавіші зі стрілками вліво та вправо, щоб перемістити курсор ліворуч від першого$x$ перехоплення, а потім натисніть ENTER, щоб позначити «Ліва межа». Далі наведіть курсор праворуч від першого$x$ -перехоплення, потім натисніть ENTER, щоб позначити «Праворуч». Натисніть клавішу ENTER, щоб прийняти поточне положення курсора як «Вгадати». Результат показаний на зображенні зліва на малюнку$\PageIndex{7}$. Повторіть процес, щоб знайти координати другого$x$ -перехоплення. Результат показаний на зображенні праворуч на малюнку$\PageIndex{7}$.

рис. 6.3.7.png — Малюнок$\PageIndex{7}$: Використовуйте **2: нуль** з меню **CALC**, щоб знайти$x$ -перехоплення.

Повідомлення про рішення домашнього завдання: Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.

Позначте горизонтальну і вертикальну$x$ осі і$y$ відповідно (див.$\PageIndex{8}$ Рис.
Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.$\PageIndex{8}$).
Позначте графік його рівнянням (див. Рис.$\PageIndex{8}$).
Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожну$x$ -перехоплення. Затіньте та позначте$x$ -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинає$x$ вісь -. Це розв'язки рівняння$x^2−4x−96 = 0$ (див. Рис.$\PageIndex{8}$).

рис. 6.3.8.png — Малюнок$\PageIndex{8}$: Повідомлення про графічне рішення на домашнє завдання.

Нарешті, зверніть увагу на те, як графічні рішення$x^2 −4x−96 = 0$, а саме$x = −8$ і$x = 12$, відповідають розв'язкам, знайденим за допомогою алгебраїчного методу. Це є вагомим доказом того, що обидва способи вирішення є правильними. Однак не завадить перевірити остаточні відповіді у вихідному рівнянні, підставляючи$x$ і$−8$$12$ для$x$.

\[\begin{array}{r}{x^{2}-4 x-96=0} \\ {(-8)^{2}-4(-8)-96=0} \\ {64+32-96=0}\end{array} \nonumber \]

\[\begin{aligned} x^{2}-4 x-96 &=0 \\(12)^{2}-4(12)-96 &=0 \\ 144-48-96 &=0 \end{aligned} \nonumber \]

Оскільки останні два твердження є істинними твердженнями, рішення$x = −8$ і$x = 12$ перевіряють у вихідному рівнянні$x^2 −4x−96−0$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Розв'яжіть рівняння$x^2 −21x + 90 = 0$ both algebraically and graphically, then compare your answers.

Відповідь

$6$,$15$

$Вправа 6.3.7.png$

\(ac\)-Метод

Прискорення речей трохи

Нелінійні рівняння переглянуті