Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.6: Стратегія факторингу

Коли ви концентруєтеся на факторингу проблем одного типу, після виконання декількох ви схильні входити в ритм, а решта вправ, оскільки вони схожі, здається, протікають. Однак, коли ви стикаєтеся з сумішшю факторингових проблем різних типів, прогрес складніший. Мета цього розділу - створити стратегію, яку слід дотримуватися при атаці загальної проблеми факторингу.

Якщо це ще не було зроблено, корисно розташувати терміни даного многочлена у певному порядку (за спаданням або зростанням). Тоді ви хочете застосувати наступні рекомендації.

Стратегія факторингу

Ці кроки слід дотримуватися в тому порядку, в якому вони з'являються.

  1. Фактор з найбільшого загального фактора (GCF).
  2. Шукайте спеціальну форму.
    1. Якщо у вас є два досконалих квадрата, розділених знаком мінус, використовуйте для множника різницю квадратів:a2b2=(a+b)(ab)
    2. Якщо у вас є триноміал, перший і останній терміни якого є ідеальними квадратами, ви повинні підозрювати, що у вас є ідеальний квадратний триноміал. Візьміть квадратні корені першого та останнього термінів та фактора наступним чином. a2+2ab+b2=(a+b)2
      Обов'язково перевірте правильність середнього терміну.
  3. Якщо у вас є триноміал формиax2+bx+c, використовуйтеac метод -method to factor.
  4. Якщо у вас є чотиричленний вираз, спробуйте коефіцієнт шляхом групування.

Після того, як ви застосували вищевказану стратегію до даного полінома, цілком можливо, що один з ваших результуючих факторів буде впливати далі. Таким чином, ми маємо наступне правило.

Фактор повністю

Процес факторингу не завершений, доки жоден з решти факторів не може бути врахований далі. В цьому і полягає сенс фрази «фактор повністю».

Нарешті, дуже гарне слово поради.

Перевірте свій факторинг шляхом множення

Після того, як ви повністю врахували даний многочлен, це дуже хороша практика, щоб перевірити свій результат. Якщо ви помножите, щоб знайти добуток ваших факторів, і в результаті отримаєте початковий заданий многочлен, то ви знаєте, що ваша факторизація правильна.

Це трохи більше роботи, щоб перевірити вашу факторизацію, але це варте того. Це допомагає усунути помилки, а також допомагає краще зрозуміти процес факторингу. Пам'ятайте, факторинг - це «немноження», тому чим більше ви множите, тим краще отримуєте при факторингу.

Давайте подивимося, що може статися, коли ви не перевіряєте свою факторизацію!

Попередження! Наступне рішення невірно!

Фактор:2x4+8x2

Рішення: Фактор зGCF

2x4+8x2=2x2(x2+4)=2x2(x+2)2

Відзначимо, що цей учень не спромогся перевірити його факторизацію. Давайте зробимо це для нього зараз.

Перевірка: Множення для перевірки. Пам'ятайте, при квадратизації біноміала існує середній термін.

2x2(x+2)2=2x2(x2+4x+4)=2x4+8x3+8x2

Це не те саме, що оригінальний многочлен2x4+8x2, тому факторизація учня неправильна. Якби студент виконав цю перевірку, він міг би зловити свою помилку, за умови, звичайно, що він правильно розмножується під час перевірки.

Далі слід правильна факторизація.

2x4+8x2=2x2(x2+4)

Сума квадратів не множник, тому ми закінчили.

Перевірка: Множення для перевірки.

2x2(x2+4)=2x4+8x2

Це те ж саме, що і початковий многочлен2x4+8x2, тому ця факторизація є правильною.

Приклад6.6.1

Фактор повністю:3x6+3x2

Рішення

Перше правило факторингу — «Фактор з GCF». GCFЗ3x6 і3x2 є3x2, так що ми могли б враховувати3x2. 3x6+3x2=3x2(x4+1)

Це цілком справедливо, але нам не подобається той факт, що другий фактор починається зx4. Давайте перерахуємо3x2 замість цього. 3x6+3x2=3x2(x41)
Другий фактор - різниця двох квадратів. Візьміть квадратні коріння, відокремлюючи одну пару зі знаком плюс, одну пару зі знаком мінус. =3x2(x2+1)(x21)
Сума квадратів не множник. Але останній фактор - різниця двох квадратів. Візьміть квадратні коріння, відокремлюючи одну пару зі знаком плюс, одну пару зі знаком мінус. =3x2(x2+1)(x+1)(x1)

Перевірка: Множте, щоб перевірити результат.

3x2(x2+1)(x+1)(x1)=3x2(x2+1)(x21)=3x2(x41)=3x6+3x2

Перевірки факторизації.

Вправа6.6.1

Фактор повністю:4x7+64x3

Відповідь

4x3(x2+4)(x+2)(x2)

Приклад6.6.2

Фактор повністю:x3y+9xy3+6x2y2

Рішення

Перше правило факторингу — «Фактор з GCF». GCFЗx3y, і6x2y2 є9xy3xy, так що ми враховуємоxy. x3y+9xy3+6x2y2=xy(x2+9y2+6xy)

Давайте розпоряджаємо, що другий фактор у спадних повноваженняхx. =xy(x2+6xy+9y2)
Перший і останній члени триноміального коефіцієнта є досконалими квадратами. Ми підозрюємо, що у нас є ідеальний квадратний триноміал, тому беремо квадратні корені першого та останнього термінів, перевіряємо середній термін і пишемо:=xy(x+3y)2
Таким чином,x3y+9xy3+6x2y2=xy(x+3y)2.
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. xy(x+3y)2=xy(x2+6xy+9y2)=x3y+6x2y2+9xy3

За винятком порядку, цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.

Вправа6.6.2

Фактор повністю:3a2b4+12a4b212a3b3

Відповідь

3a2b2(2ab)2

Приклад6.6.3

Фактор повністю:2x348x+20x2

Рішення

В останньому прикладі ми визнали необхідність переставляти наші умови після того, як ми витяглиGCF. Цього разу, давайте розставимо наші умови в спаднихx повноваженнях відразу. 2x348x+20x2=2x3+20x248x

Тепер давайте врахуємоGCF. =2x(x2+10x24)
Останній термін триноміального фактора не є ідеальним квадратом. Перейдемо до ac-методу до фактора. Пара цілих чисел2,12 має добуток рівнийac=24 і суму, рівнуb=10. Оскільки коефіцієнтx2 є одним, це ситуація «падіння на місці». Ми кидаємо нашу пару на місце і пишемо:=2x(x2)(x+12)
Таким чином,2x348x+20x2=2x(x2)(x+12).

Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. Ми використовуємо ярлик методу FOIL та розумові розрахунки, щоб прискорити ситуацію. 2x(x2)(x+12)=2x(x2+10x24)=2x3+20x248x

За винятком порядку, цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.

Вправа6.6.3

Додайте сюди текст вправ.

Відповідь

3x2(x4)(x5)

Приклад6.6.4

Фактор повністю:2a213ab24b2

Рішення

Немає загального фактора, який ми можемо врахувати. У нас є триноміал, але перший і останній терміни не є ідеальними квадратами, тому давайте застосуємоac метод -method. Ігноруючи змінні на мить, нам потрібна ціла пара, добуток якоїac=48 і чия сума дорівнює13. Пара цілих чисел3,16 приходить на розум (якщо нічого не спадає на думку, почніть перераховувати цілочисельні пари). Розбийте середній член на суму подібних термінів, використовуючи цілу пару3,16, а потім множник шляхом групування

2a213ab24b2=2a2+3ab16ab24b2=a(2a+3b)8b(2a+3b)=(a8b)(2a+3b)

Таким чином,2a213ab24b2=(a8b)(2a+3b).

Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. Ми використовуємо ярлик методу FOIL та розумові розрахунки, щоб прискорити ситуацію. (a8b)(2a+3b)=2a213ab24b2

Цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.

Вправа6.6.4

Фактор повністю:8x2+14xy15y2

Відповідь

(2x+5y)(4x3y)

Приклад6.6.5

Фактор повністю:30x4+38x320x2

Рішення

Першим кроком є врахування тогоGCF, що в даному випадку є2x2. 30x4+38x320x2=2x2(15x2+19x10)

Перший і останній члени триноміального коефіцієнта не є досконалими квадратами, тому давайте знову перейдемо доac -методу. Порівнюючи15x2+19x10 зax2+bx+c, зверніть увагу, щоac=(15)(10)=150. Нам потрібна ціла пара, добуток якої150 і чия сума дорівнює19. Пара цілих чисел6 і25 задовольняє цим вимогам. a1Тому що це не ситуація «падіння на місці», тому нам потрібно розбити середній термін як суму подібних термінів, використовуючи пару6 і25. =2x2(15x26x+25x10)
Фактор за групуванням. Фактор3x з перших двох термінів і5 з третього та четвертого. =2x2(3x(5x2)+5(5x2))
Нарешті, враховуйте загальний фактор5x2. =2x2(3x+5)(5x2)
Таким чином,30x4+38x320x2=2x2(3x+5)(5x2).

Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. Скористайтеся методом FOIL, щоб спочатку помножити біноміали. 2x2(3x+5)(5x2)=2x2(15x2+19x10)

Розподіліть2x2. =30x4+38x320x2
Цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.

Вправа6.6.5

Фактор повністю:36x3+60x2+9x

Відповідь

3x(6x+1)(2x+3)

Приклад6.6.6

Фактор повністю:8x5+10x472x390x2

Рішення

Кожен з термінів ділиться на3x3. Фактор вихід3x3. 15x633x5240x4+528x3=3x3[5x311x280x+176]

Другий фактор - це чотиричленний вираз. Фактор за групуванням.

=3x3[x2(5x11)16(5x11)]=3x3(x216)(5x11)

Коефіцієнтx216 - це різниця двох квадратів. Візьміть квадратні коріння, відокремте одну пару плюсом, одну пару з мінусом. =3x3(x+4)(x4)(5x11)

Таким чином,15x633x5240x4+528x3=3x3(x+4)(x4)(5x11).

Перевірка: Множте, щоб перевірити результат.

3x3(x+4)(x4)(5x11)=3x3(x216)(5x11)=3x3(5x311x280x+176=15x633x5240x4+528x3

Цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.

Вправа6.6.6

Фактор повністю:15x633x5240x4+528x3

Відповідь

2x2(x3)(x+3)(4x+5)

Використання калькулятора для допомогиac -Method

При використанніac -method для множникаax2+bx+c іac є дуже великим числом, то може бути важко знайти пару, твір якої єac і сума якої вb. Для прикладу розглянемо триноміал:12y211y36

Нам потрібна ціла пара, добуток якоїac=432 і чия сума дорівнюєb=11. Ми починаємо перераховувати цілочисельні можливості пари, але процес швидко стає складним.

1,4322,216

Зауважте, що числа у другому стовпці можна знайтиac=432 шляхом ділення на число у першому стовпці. Тепер ми будемо використовувати цей факт і функцію ТАБЛИЦЯ на нашому калькуляторі, щоб переслідувати бажану цілу пару.

  1. Введіть вираз432/XY1 в меню Y= (див. перше зображення на малюнку6.6.1).
  2. Над кнопкою WINDOW ви побачите TBLSET. За допомогою 2-ї клавіші, потім натисніть кнопку WINDOW, щоб отримати доступ до меню, показаного на другому зображенні малюнка6.6.1. Встановіть tblStart=1Tbl=1, а потім виділіть AUTO як для незалежних, так і для залежних змінних.
  3. Над кнопкою GRAPH ви побачите ТАБЛИЦЮ. Використовуйте 2-ю клавішу, потім натисніть кнопку GRAPH, щоб отримати доступ до таблиці, показаної на третьому зображенні на малюнку6.6.1. Використовуйте клавіші зі стрілками вгору і вниз для прокрутки вмісту таблиці. Зауважте, що ви можете ігнорувати більшість пар, оскільки вони не є цілими числами. Звертайте увагу тільки тоді, коли вони обидва цілі числа. При цьому пам'ятайте, що ви шукаєте пару, сума якої дорівнюєb=11. Зверніть увагу, що пара,16,27 показана на третьому зображенні малюнка,6.6.1 є парою, яку ми шукаємо.
рис. 6.6.1.png
Малюнок6.6.1: Використання функції TABLE для допомогиac методу -method.

Тепер ми можемо розбити середній член на суму подібних термінів, використовуючи12y211y36 впорядковану пару16,27, а потім множник шляхом групування.

12y211y36=12y2+16y27y36=4y(3y+4)9(3y+4)=(4y9)(3y+4)

Перевірка: Використовуйте ярлик методу FOIL та розумові обчислення для множення. (4y9)(3y+4)=12y211y36

Перевірки факторизації.