6.6: Стратегія факторингу
Коли ви концентруєтеся на факторингу проблем одного типу, після виконання декількох ви схильні входити в ритм, а решта вправ, оскільки вони схожі, здається, протікають. Однак, коли ви стикаєтеся з сумішшю факторингових проблем різних типів, прогрес складніший. Мета цього розділу - створити стратегію, яку слід дотримуватися при атаці загальної проблеми факторингу.
Якщо це ще не було зроблено, корисно розташувати терміни даного многочлена у певному порядку (за спаданням або зростанням). Тоді ви хочете застосувати наступні рекомендації.
Стратегія факторингу
Ці кроки слід дотримуватися в тому порядку, в якому вони з'являються.
- Фактор з найбільшого загального фактора (GCF).
- Шукайте спеціальну форму.
- Якщо у вас є два досконалих квадрата, розділених знаком мінус, використовуйте для множника різницю квадратів:a2−b2=(a+b)(a−b)
- Якщо у вас є триноміал, перший і останній терміни якого є ідеальними квадратами, ви повинні підозрювати, що у вас є ідеальний квадратний триноміал. Візьміть квадратні корені першого та останнього термінів та фактора наступним чином. a2+2ab+b2=(a+b)2Обов'язково перевірте правильність середнього терміну.
- Якщо у вас є два досконалих квадрата, розділених знаком мінус, використовуйте для множника різницю квадратів:a2−b2=(a+b)(a−b)
- Якщо у вас є триноміал формиax2+bx+c, використовуйтеac метод -method to factor.
- Якщо у вас є чотиричленний вираз, спробуйте коефіцієнт шляхом групування.
Після того, як ви застосували вищевказану стратегію до даного полінома, цілком можливо, що один з ваших результуючих факторів буде впливати далі. Таким чином, ми маємо наступне правило.
Фактор повністю
Процес факторингу не завершений, доки жоден з решти факторів не може бути врахований далі. В цьому і полягає сенс фрази «фактор повністю».
Нарешті, дуже гарне слово поради.
Перевірте свій факторинг шляхом множення
Після того, як ви повністю врахували даний многочлен, це дуже хороша практика, щоб перевірити свій результат. Якщо ви помножите, щоб знайти добуток ваших факторів, і в результаті отримаєте початковий заданий многочлен, то ви знаєте, що ваша факторизація правильна.
Це трохи більше роботи, щоб перевірити вашу факторизацію, але це варте того. Це допомагає усунути помилки, а також допомагає краще зрозуміти процес факторингу. Пам'ятайте, факторинг - це «немноження», тому чим більше ви множите, тим краще отримуєте при факторингу.
Давайте подивимося, що може статися, коли ви не перевіряєте свою факторизацію!
Попередження! Наступне рішення невірно!
Фактор:2x4+8x2
Рішення: Фактор зGCF
2x4+8x2=2x2(x2+4)=2x2(x+2)2
Відзначимо, що цей учень не спромогся перевірити його факторизацію. Давайте зробимо це для нього зараз.
Перевірка: Множення для перевірки. Пам'ятайте, при квадратизації біноміала існує середній термін.
2x2(x+2)2=2x2(x2+4x+4)=2x4+8x3+8x2
Це не те саме, що оригінальний многочлен2x4+8x2, тому факторизація учня неправильна. Якби студент виконав цю перевірку, він міг би зловити свою помилку, за умови, звичайно, що він правильно розмножується під час перевірки.
Далі слід правильна факторизація.
2x4+8x2=2x2(x2+4)
Сума квадратів не множник, тому ми закінчили.
Перевірка: Множення для перевірки.
2x2(x2+4)=2x4+8x2
Це те ж саме, що і початковий многочлен2x4+8x2, тому ця факторизація є правильною.
Приклад6.6.1
Фактор повністю:−3x6+3x2
Рішення
Перше правило факторингу — «Фактор з GCF». GCFЗ−3x6 і3x2 є3x2, так що ми могли б враховувати3x2. −3x6+3x2=3x2(−x4+1)
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат.
−3x2(x2+1)(x+1)(x−1)=−3x2(x2+1)(x2−1)=−3x2(x4−1)=−3x6+3x2
Перевірки факторизації.
Вправа6.6.1
Фактор повністю:−4x7+64x3
- Відповідь
-
−4x3(x2+4)(x+2)(x−2)
Приклад6.6.2
Фактор повністю:x3y+9xy3+6x2y2
Рішення
Перше правило факторингу — «Фактор з GCF». GCFЗx3y, і6x2y2 є9xy3xy, так що ми враховуємоxy. x3y+9xy3+6x2y2=xy(x2+9y2+6xy)
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. xy(x+3y)2=xy(x2+6xy+9y2)=x3y+6x2y2+9xy3
За винятком порядку, цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.
Вправа6.6.2
Фактор повністю:3a2b4+12a4b2−12a3b3
- Відповідь
-
3a2b2(2a−b)2
Приклад6.6.3
Фактор повністю:2x3−48x+20x2
Рішення
В останньому прикладі ми визнали необхідність переставляти наші умови після того, як ми витяглиGCF. Цього разу, давайте розставимо наші умови в спаднихx повноваженнях відразу. 2x3−48x+20x2=2x3+20x2−48x
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. Ми використовуємо ярлик методу FOIL та розумові розрахунки, щоб прискорити ситуацію. 2x(x−2)(x+12)=2x(x2+10x−24)=2x3+20x2−48x
Вправа6.6.3
Додайте сюди текст вправ.
- Відповідь
-
−3x2(x−4)(x−5)
Приклад6.6.4
Фактор повністю:2a2−13ab−24b2
Рішення
Немає загального фактора, який ми можемо врахувати. У нас є триноміал, але перший і останній терміни не є ідеальними квадратами, тому давайте застосуємоac метод -method. Ігноруючи змінні на мить, нам потрібна ціла пара, добуток якоїac=−48 і чия сума дорівнює−13. Пара цілих чисел3,−16 приходить на розум (якщо нічого не спадає на думку, почніть перераховувати цілочисельні пари). Розбийте середній член на суму подібних термінів, використовуючи цілу пару3,−16, а потім множник шляхом групування
2a2−13ab−24b2=2a2+3ab−16ab−24b2=a(2a+3b)−8b(2a+3b)=(a−8b)(2a+3b)
Таким чином,2a2−13ab−24b2=(a−8b)(2a+3b).
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. Ми використовуємо ярлик методу FOIL та розумові розрахунки, щоб прискорити ситуацію. (a−8b)(2a+3b)=2a2−13ab−24b2
Вправа6.6.4
Фактор повністю:8x2+14xy−15y2
- Відповідь
-
(2x+5y)(4x−3y)
Приклад6.6.5
Фактор повністю:30x4+38x3−20x2
Рішення
Першим кроком є врахування тогоGCF, що в даному випадку є2x2. 30x4+38x3−20x2=2x2(15x2+19x−10)
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат. Скористайтеся методом FOIL, щоб спочатку помножити біноміали. 2x2(3x+5)(5x−2)=2x2(15x2+19x−10)
Вправа6.6.5
Фактор повністю:36x3+60x2+9x
- Відповідь
-
3x(6x+1)(2x+3)
Приклад6.6.6
Фактор повністю:8x5+10x4−72x3−90x2
Рішення
Кожен з термінів ділиться на3x3. Фактор вихід3x3. 15x6−33x5−240x4+528x3=3x3[5x3−11x2−80x+176]
=3x3[x2(5x−11)−16(5x−11)]=3x3(x2−16)(5x−11)
Коефіцієнтx2−16 - це різниця двох квадратів. Візьміть квадратні коріння, відокремте одну пару плюсом, одну пару з мінусом. =3x3(x+4)(x−4)(5x−11)
Перевірка: Множте, щоб перевірити результат.
3x3(x+4)(x−4)(5x−11)=3x3(x2−16)(5x−11)=3x3(5x3−11x2−80x+176=15x6−33x5−240x4+528x3
Цей результат такий же, як і заданий многочлен. Перевірки факторизації.
Вправа6.6.6
Фактор повністю:15x6−33x5−240x4+528x3
- Відповідь
-
2x2(x−3)(x+3)(4x+5)
Використання калькулятора для допомогиac -Method
При використанніac -method для множникаax2+bx+c іac є дуже великим числом, то може бути важко знайти пару, твір якої єac і сума якої вb. Для прикладу розглянемо триноміал:12y2−11y−36
1,−4322,−216…
Зауважте, що числа у другому стовпці можна знайтиac=−432 шляхом ділення на число у першому стовпці. Тепер ми будемо використовувати цей факт і функцію ТАБЛИЦЯ на нашому калькуляторі, щоб переслідувати бажану цілу пару.
- Введіть вираз−432/XY1 в меню Y= (див. перше зображення на малюнку6.6.1).
- Над кнопкою WINDOW ви побачите TBLSET. За допомогою 2-ї клавіші, потім натисніть кнопку WINDOW, щоб отримати доступ до меню, показаного на другому зображенні малюнка6.6.1. Встановіть tblStart=1△Tbl=1, а потім виділіть AUTO як для незалежних, так і для залежних змінних.
- Над кнопкою GRAPH ви побачите ТАБЛИЦЮ. Використовуйте 2-ю клавішу, потім натисніть кнопку GRAPH, щоб отримати доступ до таблиці, показаної на третьому зображенні на малюнку6.6.1. Використовуйте клавіші зі стрілками вгору і вниз для прокрутки вмісту таблиці. Зауважте, що ви можете ігнорувати більшість пар, оскільки вони не є цілими числами. Звертайте увагу тільки тоді, коли вони обидва цілі числа. При цьому пам'ятайте, що ви шукаєте пару, сума якої дорівнюєb=−11. Зверніть увагу, що пара,16,−27 показана на третьому зображенні малюнка,6.6.1 є парою, яку ми шукаємо.

Тепер ми можемо розбити середній член на суму подібних термінів, використовуючи12y2−11y−36 впорядковану пару16,−27, а потім множник шляхом групування.
12y2−11y−36=12y2+16y−27y−36=4y(3y+4)−9(3y+4)=(4y−9)(3y+4)
Перевірка: Використовуйте ярлик методу FOIL та розумові обчислення для множення. (4y−9)(3y+4)=12y2−11y−36