6.5: Факторингові спеціальні форми
У цьому розділі ми переглядаємо дві спеціальні форми продукту, які ми дізналися в главі 5, перший з яких був квадрат біном.
Квадратування біноміального
Ось два більш ранніх правила для квадратизації біноміала.
- (a+b)2=a2+2ab+b2
- (a−b)2=a2−2ab+b2
Ідеальні квадратні триноми
Щоб зробити квадрат біном типу(a+b)2, дійте наступним чином:
- Квадратний перший термін:a
- Помножте перший і другий члени, потім подвоїте:2ab
- Квадратний останній термін:b2
Приклад6.5.1
Розгорнути:(2x+3y)2
Рішення
Використовуючи викрійку(a+b)2=a2+2ab+b2, ми можемо розширити(2x+3y)2 наступним чином:
(2x+3y)2=(2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2=4x2+6xy+9y2
Зверніть увагу, як ми квадратизуємо перший і другий члени, а потім виробляємо середній термін нашої відповіді, множивши перший і другий члени і подвоюючи.
Вправа6.5.1
Розгорнути:(5a+2b)2
- Відповідь
-
25a2+20ab+4b2
Приклад6.5.2
Розгорнути:(3u2−5v2)2
Рішення
Використовуючи викрійку(a−b)2=a2−2ab+b2, ми можемо розширити(3u2−5v2)2 наступним чином:
(3u2−5v2)2=(3u2)2−2(3u2)(5v2)+(5v2)2=9u4−30u2v2+25v4
Зверніть увагу, що ознака середнього терміну на цей раз негативний. Перший і останній терміни все ще позитивні, тому що ми в квадраті.
Вправа6.5.2
Розгорнути:(2s3−7t)2
- Відповідь
-
4s6−28s3t+49t2
Після того, як ви склали кілька біноміалів, настав час виконати всю роботу у вашій голові.
- Квадратний перший термін.
- Помножте перший і другий члени і подвоюйте результат.
- Квадратний другий член.
Приклад6.5.3
Розгорніть кожне з наведених нижче дій:
- (2y−3)2
- (4a−3b)2
- (x3+5)2
Рішення
Використовуючи викрійку(a±b)2=a2±2ab+b2, розширюємо кожну біноміально подумки, записуючи відповідь без будь-яких проміжних кроків.
- (2y−3)2=4y2−12y+9
- (4a−3b)2=16a2−24ab+9b2
- (x3+5)2=x6+10x3+25
Вправа6.5.3
Розгорнути:(5x4−3)2
- Відповідь
-
25x8−30x4+9
Тепер, оскільки факторинг - це «немноження», це має бути простою справою, щоб змінити процес Example6.5.3.
Приклад6.5.4
Фактор кожного з наступних триноміалів:
- 4y2−12y+9
- 16a2−24ab+9b2
- x6+10x3+25
Рішення
Через роботу, яка вже виконана в прикладі6.5.3, це просте завдання, щоб врахувати кожен з цих триноміалів.
- 4y2−12y+9=(2y−3)2
- 16a2−24ab+9b2=(4a−3b)2
- x6+10x3+25=(x3+5)
Вправа6.5.4
Фактор:25x8−30x4+9
- Відповідь
-
(5x4−3)2
Кожен з триноміалів у Прикладі6.5.4 є прикладом ідеального квадратного триноміала.
Ідеальний квадратний триноміал
Якщо тріноміалa2+2ab+b2 - це квадрат двочлена, як в(a+b)2, то тріноміал називається досконалим квадратним тріноміалом.
Отже, як розпізнати ідеальний квадратний триноміал? Якщо перший і останній терміни триноміалу є ідеальними квадратами, то ви повинні підозрювати, що ви можете мати справу з ідеальним квадратним тріноміалом. Однак ви також повинні мати правильний середній термін, щоб мати ідеальний квадратний триноміал.
n | n2 |
---|---|
\ (n\) ">1 | \ (n^2\) ">1 |
\ (n\) ">2 | \ (n^2\) ">4 |
\ (n\) ">3 | \ (n^2\) ">9 |
\ (n\) ">4 | \ (n^2\) ">16 |
\ (n\) ">5 | \ (n^2\) ">25 |
\ (n\) ">6 | \ (n^2\) ">36 |
\ (n\) ">7 | \ (n^2\) ">49 |
\ (n\) ">8 | \ (n^2\) ">64 |
\ (n\) ">9 | \ (n^2\) ">81 |
\ (n\) ">10 | \ (n^2\) ">100 |
\ (n\) ">11 | \ (n^2\) ">121 |
\ (n\) ">12 | \ (n^2\) ">144 |
\ (n\) ">13 | \ (n^2\) ">169 |
\ (n\) ">14 | \ (n^2\) ">196 |
\ (n\) ">15 | \ (n^2\) ">225 |
\ (n\) ">16 | \ (n^2\) ">256 |
\ (n\) ">17 | \ (n^2\) ">289 |
\ (n\) ">18 | \ (n^2\) ">324 |
\ (n\) ">19 | \ (n^2\) ">361 |
\ (n\) ">20 | \ (n^2\) ">400 |
\ (n\) ">21 | \ (n^2\) ">441 |
\ (n\) ">22 | \ (n^2\) ">484 |
\ (n\) ">23 | \ (n^2\) ">529 |
\ (n\) ">24 | \ (n^2\) ">576 |
\ (n\) ">25 | \ (n^2\) ">625 |
Приклад6.5.5
Фактор кожного з наступних триноміалів:
- 9x2−42x+49
- 49a2+70ab+25b2
- 4x2−37x+9
Рішення
Зауважте, що перший і останній члени кожного триноміалу є ідеальними квадратами.
- У триноміалі зверніть увагу9x2−42x+49, що(3x)2=9x2 і72=49. Отже, перший і останній терміни є ідеальними квадратами. Беручи квадратні корені, ми підозрюємо, що9x2−42x+49 фактори такі:9x2−42x+49?=(3x−7)2 Однак ми повинні перевірити, чи правильний середній термін. Помножити3x і7, потім подвоїти:2(3x)(7)=42x. Таким чином, середній термін є правильним і тому9x2−42x+49=(3x−7)2
- У триноміалі зверніть увагу49a2+70ab+25b2, що(7a)2=49a2 і(5b)2=25b2. Отже, перший і останній терміни є ідеальними квадратами. Беручи квадратні корені, ми підозрюємо, що49a2+70ab+25b2 фактори такі:49a2+70ab+25b2?=(7a+5b)2 Однак ми повинні перевірити, чи правильний середній термін. Помножити7a і5b, потім подвоїти:2(7a)(5b)=70ab. Таким чином, середній термін є правильним і тому49a2+70ab+25b2=(7a+5b)2
- У триноміалі зверніть увагу4x2−37x+9, що(2x)2=4x2 і(3)2=9. Отже, перший і останній терміни є ідеальними квадратами. Беручи квадратні коріння, підозрюємо, що4x2−37x+9 фактори такі:4x2−37x+9?=(2x−3)2
Однак ми повинні перевірити, чи правильний середній термін. Помножити2x і3, потім подвоїти:2(2x)(3)=12x. Однак це не середній термін4x2−37x+9, тому ця факторизація невірна! Ми повинні знайти інший спосіб фактора цього триміналу.
Порівнюючи4x2−37x+9 зax2+bx+c, нам потрібна пара цілих чисел, добуток якихac=36 і сума яких дорівнюєb=−37. Ціла пара−1 і−36 приходить на розум. Замініть середній член як суму подібних термінів, використовуючи цю впорядковану пару.
4x2−37x+9=4x2−x−36x+9−37x=−x−36x=x(4x−1)−9(4x−1)Factor by grouping=(x−9)(4x−1)Factor out 4x−1
Цей приклад наочно демонструє, наскільки важливо перевірити середньострокову перспективу.
Вправа6.5.5
Фактор:16x2+72x+81
- Відповідь
-
(4x+9)2
Пам'ятайте перше правило факторингу!
Приклад6.5.6
Фактор кожного з наступних триноміалів:
- 2x3y+12x2y2+18xy3
- −4x5+32x4−64x3
Рішення
Пам'ятайте, перший фактор зGCF.
- У триноміалі відзначимо2x3y+12x2y2+18xy3, щоGCF of2x3y12x2y2, і18xy3 є2xy. Спочатку ми враховуємо2xy. 2x3y+12x2y2+18xy3=2xy(x2+6xy+9y2)Тепер зауважимо, що перший і останній члени отриманого триноміального коефіцієнта є ідеальними квадратами, тому ми приймаємо їх квадратні корені та фактори наступним чином. =2xy(x+3y)2Звичайно, остання факторизація є правильною тільки в тому випадку, якщо середній термін правильний. Оскільки2(x)(3y)=6xy збігається з середнім терміномx2+6xy+9y2, у нас є ідеальний квадратний триноміал, і наш результат правильний.
- У триноміалі відзначимо−4x5+32x4−64x3, щоGCF of4x532x4, і64x3 є4x3. Спочатку ми враховуємо4x3. −4x5+32x4−64x3=4x3(−x2+8x−16)Однак перший і третій члени−x2+8x−16 є негативними, і, отже, не є ідеальними квадратами. Давайте почнемо знову, на цей раз факторинг−4x3. −4x5+32x4−64x3=−4x3(x2−8x+16)Цього разу перший і третій члениx2−8x+16 - ідеальні квадрати. Беремо їх квадратні корені і пишемо:=−4x3(x−4)2 Знову ж таки, ця остання факторизація є правильною лише в тому випадку, якщо середній член правильний. 2(x)(4)=8xТому що у нас є ідеальний квадратний триноміал, і наш результат правильний.
Вправа6.5.6
Фактор:−4x3−24x2−36x
- Відповідь
-
−4x(x+3)2
Різниця квадратів
Друга спеціальна форма продукту, яку ми дізналися в главі 5, була різниця квадратів.
Різниця квадратів
Ось відмінність квадратів правило. (a+b)(a−b)=a2−b2
Якщо ви множите два біноміали, які мають однакові члени в позиціях «Перший» і точно такі ж члени в позиціях «Останній», але один множник розділений знаком плюс, а інший множник розділений знаком мінус, то множте наступним чином:
- Квадратний перший термін:a2
- Квадратний другий член:b2
- Помістіть знак мінус між двома квадратами.
Приклад6.5.7
Розгорніть кожне з наведених нижче дій:
- (3x+5)(3x−5)
- (a3−2b3)(a3+2b3)
Рішення
Застосовуємо різницю квадратів шаблону, щоб розширити кожну з заданих задач.
- В(3x+5)(3x−5), ми маємо точно такі ж терміни в позиціях «Перший» і «Останній», причому перший набір розділений знаком плюс, а другий набір розділений знаком мінус.
- Квадратний перший термін:(3x)2=9x2
- Квадратний другий член:52=25
- Помістіть знак мінус між двома квадратами.
Звідси:(3x+5)(3x−5)=9x2−25
- В(a3−2b3)(a3+2b3), ми маємо точно такі ж терміни в позиціях «Перший» і «Останній», причому перший набір розділений знаком мінус, а другий набір розділений знаком плюс.
- Квадратний перший термін:(a3)2=a6
- Квадратний другий член:(2b3)2=4b6
- Помістіть знак мінус між двома квадратами.
Звідси:(a3−2b3)(a3+2b3)=a6−4b6
Вправа6.5.7
Розгорнути:(4x−3y)(4x+3y)
- Відповідь
-
16x2−9y2
Оскільки факторинг - це «немноження», це має бути простою справою, щоб змінити процес Приклад6.5.7.
Приклад6.5.8
Коефіцієнт кожного з наступних дій:
- 9x2−25
- a6−4b6
Рішення
Через роботу, вже виконану в прикладі6.5.7, це проста справа, щоб коефіцієнт (або «помножити») кожну з цих проблем.
- 9x2−25=(3x+5)(3x−5)
- a6−4b6=(a3−2b3)(a3+2b3)
У кожному випадку зверніть увагу на те, як ми взяли квадратні коріння кожного члена, потім відокремлювали один набір знаком плюс, а інший - знаком мінус. Через комутативного властивості множення неважливо, який з них ви робите плюс, а який робите мінус.
Вправа6.5.8
Фактор:81x2−49
- Відповідь
-
(9x+7)(9x−7)
Завжди пам'ятайте перше правило факторингу.
Приклад6.5.9
Фактор:x3−9x
Рішення
Вx3−9x,GCF зx3 і9x єx. Фактор вихідx. x3−9x=x(x2−9)Зверніть увагу,x2−9 що тепер різниця двох ідеальних квадратів. Візьміть квадратні корінняx2 і9, які єx і3, потім відокремте один набір знаком плюс, а інший поставте зі знаком мінус.
=x(x+3)(x−3)
Вправа6.5.9
Фактор:4x4−16x2
- Відповідь
-
4x2(x+2)(x−2)
Факторинг повністю
Іноді після одного проходу при факторингу залишаються фактори, які можуть бути враховані далі. Ви повинні продовжувати враховувати в цьому випадку.
Приклад6.5.10
Фактор:x4−16
Рішення
Вx4−16, у нас є різниця двох квадратів:(x2)2=x4 і42=16. Спочатку беремо квадратні коріння, потім відокремлюємо один набір знаком плюс, а інший встановлюємо зі знаком мінус. x4−16=(x2+4)(x2−4)Зверніть увагу, щоx2+4 це сума двох квадратів і не множиться далі. Однакx2−4 є різниця двох квадратів. Візьміть квадратні коріння2,x а, потім відокремте один набір знаком плюс, а інший поставте зі знаком мінус.
=(x2+4)(x+2)(x−2)Готово. Ми не можемо враховувати далі.
Вправа6.5.10
Фактор:x4−81
- Відповідь
-
(x2+9)(x+3)(x−3)
Нелінійні рівняння переглянуті
Пам'ятайте, якщо рівняння нелінійне, перший крок - зробити одну сторону рівною нулю, перемістивши всі члени в одну сторону рівняння. Після того, як ви виконаєте цей важливий перший крок, врахуйте та застосуйте властивість нульового продукту, щоб знайти рішення.
Приклад6.5.11
Вирішити дляx:25x2=169
Рішення
Зробіть одну сторону рівною нулю, коефіцієнт, потім застосуйте властивість нульового добутку.
25x2=169Original equation.25x2−169=0Subtract 169 from both sides.
Зверніть увагу, що у нас є два ідеальних квадрата, розділених знаком мінус. У цьому і полягає відмінність малюнка квадратів. Візьміть квадратні коріння, зробивши один член плюс і один термін мінус.
(5x+13)(5x−13)=0Use difference of squares to factor.
Використовуйте властивість нульового добутку для завершення рішення, встановивши кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуючи отримані рівняння.
5x+13=0x=−135
або
5x−13=0x=135
Значить, рішення25x2=169 єx=−13/5 іx=13/5. Ми закликаємо читачів перевірити кожне з цих рішень.
Вправа6.5.11
Вирішити дляx:16x2=121
- Відповідь
-
−11/4,11/4
Приклад6.5.12
Вирішити дляx:49x2+81=126x
Рішення
Зробіть одну сторону рівною нулю, коефіцієнт, потім застосуйте властивість нульового добутку.
49x2+81x=126xOriginal equation.49x2−126x+81=0Subtract 126x from both sides.
Зауважте, що перший і останній члени триноміалу є ідеальними квадратами. Отже, має сенс спробувати фактор як ідеальний квадратний триноміал, беручи квадратні коріння першого та останнього термінів.
(7x−9)2=0Factor as a perfect square trinomial.
Звичайно, обов'язково перевіряйте середньостроковий термін. Тому що−2(7x)(9)=−126x, середній термін є правильним. Тому що(7x−9)2=(7x−9)(7x−9), ми можемо використовувати властивість нульового добутку, щоб встановити кожен коефіцієнт рівний нулю і вирішити отримані рівняння.
7x−9=0x=97
або
7x−9=0x=97
Отже, єдиним рішенням49x2+81=126x єx=9/7. Ми закликаємо читачів перевірити це рішення.
Примітка
Можна також стверджувати, що єдине число, квадрат якого дорівнює нулю, - це число нуль. Отже, можна переходити безпосередньо від(7x−9)2=0 до7x−9=0. Отже, єдиним рішенням49x2+81=126x єx=9/7.
Вправа6.5.12
Вирішити дляx:25x2=80x−64
- Відповідь
-
8/5
Приклад6.5.13
Вирішити дляx:2x3+3x2=50x+75
Рішення
Зробіть одну сторону рівною нулю, коефіцієнт, потім застосуйте властивість нульового добутку.
2x3+3x2=50x+75Original equation.2x3+3x2−50x−75=0Make one side zero.
Це чотиритерміновий вираз, тому ми намагаємося факторинг шляхом групування. Коефіцієнтx2 з перших двох термінів, а−25 з другого двох термінів.
x2(2x+3)−25(2x+3)=0Factor by grouping(x2−25)(2x+3)=0Factor out 2x+3
Завершіть факторизацію, використовуючи різницю квадратів до фактораx2−25.
(x+5)(x−5)(2x+3)=0Use difference of squares to factor.
Нарешті, використовуйте властивість нульового продукту. Встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю і вирішуйте дляx.
x+5=0x=−5
або
x−5=0x=5
або
2x+3=0x=−32
Отже, рішення2x3+3x2=50x+75 єx=−5x=5, іx=−3/2. Ми закликаємо читачів перевірити кожне з цих рішень.
Вправа6.5.13
Вирішити дляx:5x3+36=x2+180x
- Відповідь
-
−6,6,1/5
Розв'яжемо інше нелінійне рівняння, що відповідає алгебраїчному та графічному розв'язкам.
Приклад6.5.14
Вирішіть рівнянняx3=4x, як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.
Рішення
Зверніть увагу, що ми маємо ступіньx більше одиниці, тому рівнянняx3=4x нелінійне. Зробіть одну сторону нуль і коефіцієнт.
x3=4xOriginal equation.x3−4x=0Nonlinear. Make one side zero. x(x2−4)=0Factor out GCF.x(x+2)(x−2)=0Apply difference of squares.
Зверніть увагу, що тепер у нас є добуток трьох факторів, що дорівнює нулю. Властивість нульового продукту говорить про те, що хоча б один з цих факторів повинен дорівнювати нулю.
x=0
або
x+2=0x=−2
або
x−2=0x=2
Отже, рішенняx3=4x єx=0x=−2, іx=2.
Графічне рішення
Завантажтеy=x3Y1 таy=4xY2 в меню Y = вашого калькулятора. Виберіть 6:ZStandard в меню ZOOM, щоб створити графік на малюнку6.5.1.
Хоча зображення на малюнку6.5.1 показує всі три точки перетину, регулюючи параметри ВІКНА, як показано на малюнку6.5.2, тоді натискання кнопки GRAPH створить більш приємний вигляд точок перетину, як показано на малюнку праворуч на малюнку на малюнках. 6.5.2.


Використовуйте інструмент 5: перетин з меню CALC, щоб знайти три точки перетину. Натисніть клавішу ENTER у відповідь на «Перша крива», потім натисніть клавішу ENTER ще раз у відповідь на «Друга крива», потім за допомогою клавіші зі стрілкою вліво перемістіть курсор близько до крайньої лівої точки перетину та натисніть ENTER у відповідь на «Вгадати». Результат показаний на першому зображенні зліва на малюнку6.5.3. Повторіть процес, щоб знайти інші точки перетину. Результати наведені на останніх двох зображеннях на рис6.5.3.

Таким чином, графічні рішення єx=−2x=0, іx=2.
Повідомлення про рішення по домашньому завданню:
Дублюйте зображення у вікні перегляду калькулятора на сторінці домашнього завдання. Використовуйте лінійку, щоб намалювати всі лінії, але від руки будь-які криві.
- Позначте горизонтальну і вертикальнуx осі іy відповідно (див. Рис.6.5.4).
- Розмістіть параметри WINDOW в кінці кожної осі (див. Рис.6.5.4).
- Позначте графік його рівнянням (див. Малюнок6.5.4).
- Пропустіть пунктирні вертикальні лінії через кожнуx -перехоплення. Затіньте та позначтеx -значення точок, де пунктирна вертикальна лінія перетинаєx вісь -. Це розв'язки рівнянняx3=4x (див. Малюнок6.5.4).

Нарешті, зверніть увагу, що графічні рішенняx=−2x=0, іx=2 відповідають нашим алгебраїчним рішенням точно.
Вправа6.5.14
Вирішіть рівнянняx3=16x як алгебраїчно, так і графічно, а потім порівняйте свої відповіді.
- Відповідь
-
−4,0,4