1.3: Показники та наукові позначення
- Page ID
- 59604
- Різні правила експонентів
- Наукові позначення
Математики, вчені та економісти зазвичай стикаються з дуже великими і дуже малими цифрами. Але може бути не очевидно, наскільки поширені такі цифри в повсякденному житті. Наприклад, піксель - це найменша одиниця світла, яку можна сприймати та записати цифровою камерою. Певна камера може записувати зображення\(2,048\) пікселів за\(1,536\) пікселями, що є дуже високою роздільною здатністю. Він також може сприймати глибину кольору (градації в кольорах) до\(48\) бітів на кадр і може знімати еквівалент\(24\) кадрів в секунду. Максимально можлива кількість бітів інформації, яка використовується для зйомки одногодинної (\(3,600\)-секундної) цифрової плівки, тоді надзвичайно велика кількість.
За допомогою калькулятора вводимо\(2,048×1\)\(536×48×24×3\),\(600\) і натискаємо ENTER. На дисплеї відображається калькулятор\(1.304596316E13\). Що це означає? «\(E13\)» частина результату представляє показник\(13\) десяти, тому в цьому годинному фільмі є максимум приблизно\(1.3\times10^{13}\) бітів даних. У цьому розділі ми спочатку переглядаємо правила показників, а потім застосовуємо їх до розрахунків за участю дуже великих або малих чисел.
Використання правила добутку експонентів
Розглянемо продукт\(x^3\times x^4\). Обидва терміни мають однакову базу\(x\), але вони піднімаються до різних показників. Розгорніть кожен вираз, а потім перепишіть отриманий вираз.
\[ \begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}\]
Результат полягає в тому, що\(x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7\).
Зверніть увагу, що експонентою добутку є сума показників термінів. Іншими словами, при множенні експоненціальних виразів з однаковою базою записуємо результат із загальною базою і додаємо показники. Це правило добутку експонентів.
\[a^m\times a^n=a^{m+n}\]
Тепер розглянемо приклад з дійсними числами.
\(2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7\)
Ми завжди можемо перевірити, що це правда, спрощуючи кожне експоненціальне вираз. Ми знаходимо\(8\), що\(2^3\)\(2^4\) є\(16\), є і\(2^7\) є\(128\). Продукт\(8\times16\) дорівнює\(128\), тому відносини вірні. Ми можемо використовувати правило добутку експонентів для спрощення виразів, які є добутком двох чисел або виразів з однаковою базою, але різними показниками.
Для будь-якого дійсного числа a та натуральних чисел\(m\) і\(n\), правило добутку експонентів стверджує, що
\[a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}\]
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.
- \(t^5\times t^3\)
- \((−3)^5\times(−3)\)
- \(x^2\times x^5\times x^3\)
Рішення
Скористайтеся правилом добутку (Equation\ ref {prod}), щоб спростити кожен вираз.
- \(t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8\)
- \((−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6\)
- \(x^2\times x^5\times x^3\)
Спочатку може здатися, що ми не можемо спростити добуток трьох факторів. Однак, використовуючи асоціативне властивість множення, почніть зі спрощення перших двох.
\[x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber\]
Зверніть увагу, що ми отримуємо той самий результат, додаючи три експоненти в одному кроці.
\[x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber\]
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.
- \(k^6\times k^9\)
- \(\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)\)
- \(t^3\times t^6\times t^5\)
- Відповідь на
-
\(k^{15}\)
- Відповідь б
-
\(\left(\dfrac{2}{y}\right)^5\)
- Відповідь c
-
\(t^{14}\)
Використання коефіцієнтного правила експонентів
Частне правило експонентів дозволяє нам спростити вираз, який ділить два числа з однаковою базою, але різними показниками. Аналогічно правилу продукту, ми можемо спростити такий вираз\(\dfrac{y^m}{y^n}\), як, де\(m>n\). Розглянемо на прикладі\(\dfrac{y^9}{y^5}\). Виконують поділ шляхом скасування загальних факторів.
\[\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}\]
Зверніть увагу, що показник частки - це різниця між показниками дільника та дивідендів.
\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\]
Іншими словами, при діленні експоненціальних виразів з однаковою базою записуємо результат із загальною базою і віднімаємо показники.
\(\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4\)
Поки що ми повинні усвідомлювати стан\(m>n\). В іншому випадку різниця\(m-n\) може бути нульовою або негативною. Ці можливості будуть вивчені найближчим часом. Крім того, замість того, щоб кваліфікувати змінні як ненульові щоразу, ми спростимо питання і припустимо звідси, що всі змінні представляють ненульові дійсні числа.
Для будь-якого дійсного числа\(a\) і натуральних чисел\(m\) і\(n\), таким\(m>n\) чином, часткове правило експонентів стверджує, що
\[\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}\]
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.
- \(\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}\)
- \(\dfrac{t^{23}}{t^{15}}\)
- \(\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}\)
Рішення
Використовуйте часткове правило (Equation\ ref {quot}), щоб спростити кожен вираз.
- \(\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5\)
- \(\dfrac{t^{23}}{t^{15}}\)=t^ {23−15} =t^8\)
- \(\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4\)
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.
- \(\dfrac{s^{75}}{s^{68}}\)
- \(\dfrac{(−3)^6}{−3}\)
- \(\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}\)
- Відповідь на
-
\(s^7\)
- Відповідь б
-
\((−3)^5\)
- Відповідь c
-
\((ef^2)^2\)
Використання силового правила експонентів
Припустимо, експоненціальний вираз піднімається до певної міри. Чи можемо ми спростити результат? Так. Для цього скористаємося силовим правилом експонент. Розглянемо вираз\((x^2)^3\). Вираз всередині дужок множиться двічі, оскільки він має показник\(2\). Потім результат множиться три рази, тому що весь вираз має показник\(3\).
\[\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}\]
Показником відповіді є добуток показників:\((x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6\). Іншими словами, при підвищенні експоненціального виразу до степеня ми записуємо результат із загальною базою та добутком показників.
\[(a^m)^n=a^{m⋅n}\]
Будьте обережні, щоб розрізняти використання правила продукту та правила харчування. При використанні правила добутку різні терміни з однаковими основами піднімаються до показників. У цьому випадку ви додаєте експоненти. При використанні силового правила термін в експоненціальних позначеннях піднімається до степеня. У цьому випадку ви множите показники.
| Правило продукту | Правило влади |
|---|---|
| \(5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7\) | \((5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}\) |
| \(x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7\) | \((x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}\) |
| \((3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}\) | \(((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}\) |
Для будь-якого дійсного числа a та натуральних чисел m та n правило степенів показників стверджує, що
\[(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}\]
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.
- \((x^2)^7\)
- \(((2t)^5)^3\)
- \(((−3)^5)^{11}\)
Рішення
Скористайтеся правилом потужності (Equation\ ref {power}), щоб спростити кожен вираз.
- \((x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}\)
- \(((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}\)
- \(((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}\)
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.
- \(((3y)^8)^3\)
- \((t^5)^7\)
- \(((−g)^4)^4\)
- Відповідь на
-
\((3y)^{24}\)
- Відповідь б
-
\(t^{35}\)
- Відповідь c
-
\((−g)^{16}\)
Використання правила нульового показника показників
Поверніться до правила частки. Ми зробили умову, що\(m>n\) так, що різниця ніколи не\(m−n\) буде нульовою або негативною. Що буде, якщо\(m=n\)? У цьому випадку ми б використали правило нульового показника експоненти для спрощення виразу до\(1\). Щоб подивитися, як це робиться, почнемо з прикладу.
\[\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber\]
Якби ми спростили оригінальний вираз, використовуючи часткове правило, ми б мали
\[\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber\]
Якщо прирівняти дві відповіді, результат буде\(t^0=1\). Це вірно для будь-якого ненульового дійсного числа або будь-якої змінної, що представляє дійсне число.
\[a^0=1 \nonumber\]
Єдиним винятком є вираз\(0^0\). Це з'являється пізніше в більш просунутих курсах, але поки ми будемо вважати значення невизначеною.
Для будь-якого ненульового дійсного числа a правило нульового показника показника стверджує, що
\[a^0=1\]
Спрощуйте кожен вираз, використовуючи правило нульового показника експоненти.
- \(\dfrac{c^3}{c^3}\)
- \(\dfrac{-3x^5}{x^5}\)
- \(\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}\)
- \(\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}\)
Рішення
Використовуйте нульовий показник та інші правила для спрощення кожного виразу.
а.\[\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}\]
б.\[\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}\]
c.\[\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}\]
д.\[\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}\]
Спрощуйте кожен вираз, використовуючи правило нульового показника експоненти.
- \(\dfrac{t^7}{t^7}\)
- \(\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}\)
- \(\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}\)
- \(\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}\)
- Відповідь на
-
\(1\)
- Відповідь б
-
\(\dfrac{1}{2}\)
- Відповідь c
-
\(1\)
- Відповідь d
-
\(1\)
Використання негативного правила показників
Ще один корисний результат виникає, якщо ми розслабляємо умову, що\(m>n\) в частковому правилі ще далі. Наприклад, чи можемо ми спростити\(\dfrac{t^3}{t^5}\)? Коли\(m<n\) —тобто, де різниця\(m−n\) негативна - ми можемо використовувати негативне правило експонентів, щоб спростити вираз до його взаємного.
Розділіть одне експоненціальне вираз на інше з більшим показником. Скористайтеся нашим прикладом,\(\dfrac{t^3}{t^5}\).
\[\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}\]
Якби ми спростили оригінальний вираз, використовуючи часткове правило, ми б мали
\[\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}\]
Збираючи відповіді разом, ми маємо\(h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}\). Це вірно для будь-якого ненульового дійсного числа або будь-якої змінної, що представляє ненульове дійсне число.
Коефіцієнт з від'ємним показником стає тим самим коефіцієнтом з додатним показником, якщо він переміщується через дріб - від чисельника до знаменника або навпаки.
Показано, що експоненціальний вираз an визначається, коли\(n\) є натуральним числом\(0\), або негативним від натурального числа. Це означає, що для будь-якого цілого числа визначено an\(n\). Крім того, правила добутку та коефіцієнта та всі правила, які ми розглянемо найближчим часом, утримують будь-яке ціле число\(n\).
Для будь-якого ненульового дійсного числа a та натурального числа n від'ємне правило показників стверджує, що
\[a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\]
Запишіть кожне з наступних коефіцієнтів єдиною базою. Чи не спрощуйте далі. Пишіть відповіді з позитивними показниками.
- \(\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}\)
- \(\dfrac{z^2\times z}{z^4}\)
- \(\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}\)
Рішення
- \(\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}\)
- \(\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}\)
- \(\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}\)
Запишіть кожне з наступних коефіцієнтів єдиною базою. Чи не спрощуйте далі. Пишіть відповіді з позитивними показниками.
- \(\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}\)
- \(\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}\)
- \(\dfrac{2k^4}{5k^7}\)
- Відповідь на
-
\(\dfrac{1}{(-3t)^6}\)
- Відповідь б
-
\(\dfrac{1}{f^3}\)
- Відповідь c
-
\(\dfrac{2}{5k^3}\)
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі. Напишіть відповіді з позитивними показниками.
- \(b^2\times b^{-8}\)
- \((-x)^5\times(-x)^{-5}\)
- \(\dfrac{-7z}{(-7z)^5}\)
Рішення
- \(b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}\)
- \((-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1\)
- \(\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}\)
Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі. Напишіть відповіді з позитивними показниками.
- \(t^{-11}\times t^6\)
- \(\dfrac{25^{12}}{25^{13}}\)
- Відповідь на
-
\(t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}\)
- Відповідь б
-
\(\dfrac{1}{25}\)
Пошук сили продукту
Для спрощення степеня добутку двох експоненціальних виразів можна використовувати силу правила добутку експонентів, яке розбиває силу добутку факторів на добуток чинників. Наприклад, розгляньте\((pq)^3\). Почнемо з використання асоціативних та комутативних властивостей множення для перегрупування факторів.
\[\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}\]
Іншими словами,\((pq)^3=p^3\times q^3\).
Для будь-яких дійсних чисел a та b та будь-якого цілого числа n величина добуткового правила показників стверджує, що
\[(ab)^n=a^nb^n\]
Спростіть кожен з наступних продуктів максимально, використовуючи силу правила продукту. Напишіть відповіді з позитивними показниками.
- \((ab^2)^3\)
- \((2t)^{15}\)
- \((-2w^3)^3\)
- \(\dfrac{1}{(-7z)^4}\)
- \((e^{-2}f^2)^7\)
Рішення
Використовуйте правила продукту та коефіцієнта та нові визначення, щоб спростити кожен вираз.
а.\((ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6\)
б.\((2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}\)
c.\((−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9\)
д.\(\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}\)
е.\((e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}\)
Спростіть кожен з наступних продуктів максимально, використовуючи силу правила продукту. Напишіть відповіді з позитивними показниками.
- \((g^2h^3)^5\)
- \((5t)^3\)
- \((-3y^5)^3\)
- \(\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}\)
- \((r^3s^{-2})^4\)
- Відповідь на
-
\(g^{10}h^{15}\)
- Відповідь б
-
\(125t^3\)
- Відповідь c
-
\(-27y^{15}\)
- Відповідь d
-
\(\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}\)
- Відповідь e
-
\(\dfrac{r^{12}}{s^8}\)
Пошук сили частки
Щоб спростити силу частки двох виразів, можна використовувати силу частки правила, яка стверджує, що сила частки множників є часткою від повноважень факторів. Для прикладу розглянемо наступний приклад.
\[(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}\]
Давайте перепишемо оригінальну проблему по-іншому і подивимося на результат.
\[\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}\]
З останніх двох кроків виявляється, що ми можемо використовувати силу правила продукту як силу часткового правила.
\[\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}\]
Для будь-яких дійсних чисел a та b та будь-якого цілого числа n, ступінь часткового правила показників стверджує, що
\[\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\]
Спростіть кожен з наступних коефіцієнтів, наскільки це можливо, використовуючи силу часткового правила. Напишіть відповіді з позитивними показниками.
- \(\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3\)
- \(\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6\)
- \(\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}\)
- \((j^3k^{-2})^4\)
- \((m^{-2}n^{-2})^3\)
Рішення
а.\(\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}\)
б.\(\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}\)
c.\(\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}\)
д.\((j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}\)
е.\((m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}\)
Спростіть кожен з наступних коефіцієнтів, наскільки це можливо, використовуючи силу часткового правила. Напишіть відповіді з позитивними показниками.
- \(\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3\)
- \(\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4\)
- \(\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}\)
- \((p^{-4}q^3)^8\)
- \((c^{-5}d^{-3})^4\)
- Відповідь на
-
\(\dfrac{b^{15}}{c^3}\)
- Відповідь б
-
\(\dfrac{625}{u^{32}}\)
- Відповідь c
-
\(\dfrac{-1}{w^{105}}\)
- Відповідь d
-
\(\dfrac{q^{24}}{p^{32}}\)
- Відповідь e
-
\(\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}\)
Спрощення експоненціальних виразів
Нагадаємо, що спростити вираз означає переписати його шляхом розчісування термінів або експонентів; іншими словами, писати вираз простіше з меншою кількістю термінів. Правила для експонентів можуть бути об'єднані для спрощення виразів.
Спрощуйте кожен вираз і запишіть відповідь лише з позитивними показниками.
- \((6m^2n^{-1})^3\)
- \(17^5\times17^{-4}\times17^{-3}\)
- \(\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2\)
- \((-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)\)
- \((x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}\)
- \(\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}\)
Рішення
а.\[\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]
б.\[\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]
c.\[\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}\]
д.\[\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}\]
е.\[\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}\]
ф.\[\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}\]
Використання наукових позначень
Нагадаємо на початку розділу, що ми знайшли номер\(1.3\times10^{13}\) при описі бітів інформації в цифрових зображеннях. Інші крайні числа включають ширину людського волоса, який приблизно\(0.00005\; m\), і радіус електрона, який приблизно\(0.00000000000047\; m\). Як ми можемо ефективно працювати читати, порівнювати та обчислювати з такими числами?
Стенографічний метод написання дуже малих і дуже великих чисел називається науковим позначенням, в якому ми виражаємо числа в терміні показників\(10\). Щоб записати число в наукові позначення, перемістіть десяткову крапку праворуч від першої цифри числа. Запишіть цифри у вигляді десяткового числа між\(1\) і\(10\). Підрахуйте кількість знаків\(n\), які ви перемістили десяткову крапку. Помножте десяткове число на\(10\) підвищений до степеня\(n\). Якщо ви перемістили десяткове ліворуч, як у дуже великому числі,\(n\) буде додатним. Якщо ви перемістили десяткове право, як у невеликому великому числі, буде\(n\) від'ємним.
Для прикладу розглянемо число\(2,780,418\). Перемістіть десяткове ліворуч, поки воно не буде праворуч від першої ненульової цифри, яка є\(2\).
Отримаємо\(2.780418\) переміщенням\(6\) десяткових знаків вліво. Тому показник\(10\) є, і він позитивний\(6\), тому що ми перемістили десяткову крапку вліво. Це те, чого слід очікувати від великої кількості.
Робота з малими числами аналогічна. Візьмемо, наприклад, радіус електрона,\(0.00000000000047\; m\). Виконайте ту саму серію кроків, що і вище, за винятком переміщення десяткової крапки вправо.
Будьте обережні, щоб не включати лідируючих\(0\) у свій підрахунок. Ми переміщаємо\(13\) десяткові розряди вправо, тому показник\(10\) є\(13\). Показник негативний, тому що ми перемістили десяткову крапку вправо. Це те, чого слід очікувати від невеликої кількості.
Число записується в науковому позначенні, якщо воно записано у вигляді\(a\times{10}^n\), де\(1≤|a|<10\) і\(n\) є цілим числом.
Запишіть кожне число в науковому позначенні.
- Відстань і тривалість перельоту (скільки летіти з Землі до Андромеда-Галактика\(24,000,000,000,000,000,000,000\; m\)
- Діаметр Галактики Андромеди:\(1,300,000,000,000,000,000,000\; m\)
- Кількість зірок в Галактиці Андромеди:\(1,000,000,000,000\)
- Діаметр електрона:\(0.00000000000094\; m\)
- Імовірність удару блискавки в будь-який рік:\(0.00000143\)
Рішення
а.\(24,000,000,000,000,000,000,000\; m\)\(22\) місця
\(2.4\times{10}^{22}\; m\)
б.\(1,300,000,000,000,000,000,000\; m\)\(21\) місця
\(1.3\times{10}^{21}\; m\)
c.\(1,000,000,000,000\)\(12\) місця
\(1\times{10}^{12}\)
d.\(0.00000000000094\; m\)\(13\) місця
\(9.4\times{10}^{-13}\; m\)
е.\(0.00000143\)\(6\) місця
\(1.43\times{10}^6\)
АналізЗверніть увагу, що якщо дане число більше\(1\), ніж, як у прикладах a—c,\(10\) показник позитивний; а якщо число менше\(1\), ніж, як у прикладах d—e, показник негативний.
Запишіть кожне число в науковому позначенні.
- Державний борг США за платника податків (квітень 2014 р.):\(\$152,000\)
- Населення світу (квітень 2014 р.):\(7,158,000,000\)
- Світовий валовий національний дохід (квітень 2014 року):\(\$85,500,000,000,000\)
- Час для легкої подорожі\(1\; m: 0.00000000334\; s\)
- Імовірність виграшу в лотерею (збіг\(6\)\(49\) можливих чисел):\(0.0000000715\)
- Відповідь на
-
\(\$1.52\times{10}^5\)
- Відповідь б
-
\(7.158\times{10}^9\)
- Відповідь c
-
\(\$8.55\times{10}^{13}\)
- Відповідь d
-
\(3.34\times{10}^{-9}\)
- Відповідь e
-
\(7.15\times{10}^{-8}\)
Перетворення з наукових на стандартні позначення
Щоб перетворити число в науковому позначенні в стандартні позначення, просто зверніть процес назад. Перемістіть десяткові n знаків вправо, якщо\(n\) додатне, або\(n\) місця ліворуч, якщо\(n\) від'ємне, і додайте нулі, якщо потрібно. Пам'ятайте,\(n\) якщо позитивне, то значення числа більше\(1\), а якщо\(n\) від'ємне, то значення числа менше одиниці.
Перетворіть кожне число в науковому позначенні в стандартні позначення.
- \(3.547\times{10}^{14}\)
- \(−2\times{10}^6\)
- \(7.91\times{10}^{−7}\)
- \(−8.05\times{10}^{−12}\)
Рішення
а.\(3.547\times{10}^{14}\)
\(3.54700000000000\)
\(\rightarrow14\)місць
\(354,700,000,000,000\)
б.\(−2\times{10}^6\)
\(−2.000000\)
\(\rightarrow6\)місць
\(−2,000,000\)
c.\(7.91\times{10}^{−7}\)
\(0000007.91\)
\(\rightarrow7\)місць
\(0.000000791\)
д.\(−8.05\times{10}^{−12}\)
\(−000000000008.05\)
\(\rightarrow12\)місць
\(−0.00000000000805\)
Перетворіть кожне число в науковому позначенні в стандартні позначення.
- \(7.03\times{10}^5\)
- \(−8.16\times{10}^{11}\)
- \(−3.9\times{10}^{−13}\)
- \(8\times{10}^{−6}\)
- Відповідь на
-
\(703,000\)
- Відповідь б
-
\(−816,000,000,000\)
- Відповідь c
-
\(−0.00000000000039\)
- Відповідь d
-
\(0.000008\)
Використання наукових позначень у додатках
Наукові позначення, що використовуються з правилами показників, робить обчислення великими або малими числами набагато простіше, ніж робити це за допомогою стандартних позначень. Наприклад, припустимо, що нас просять обчислити кількість\(1\; L\) атомів у воді. Кожна молекула води містить\(3\) атоми (\(2\)водень і\(1\) кисень). Середня крапля води містить навколо\(1.32\times{10}{21}\) молекул води, а\(1\; L\) води утримує близько\(1.22\times{10}^{4}\) середніх крапель. Тому у\(1\; L\) воді приблизно\(3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}\) атоми. Ми просто множимо десяткові члени і додаємо показники. Уявіть, що потрібно виконувати розрахунок без використання наукових позначень!
При виконанні розрахунків з науковими позначеннями обов'язково запишіть відповідь в належному науковому позначенні. Наприклад, розглянемо продукт\((7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}\). Відповідь не в належному науковому позначенні, тому\(35\) що більше, ніж\(10\). Розглянемо\(35\) як\(3.5\times10\). Це додає десятку до показника відповіді.
\((35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}\)
Виконайте операції і напишіть відповідь в науковому позначенні.
- \((8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})\)
- \((4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})\)
- \((2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})\)
- \((1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)\)
- \((3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)\)
Рішення
а.\[\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
б.\[\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
c.\[\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
д.\[\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}\]
е.\[\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}\]
Виконайте операції і напишіть відповідь в науковому позначенні.
- \((−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})\)
- \((1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})\)
- \((3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)\)
- \((9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})\)
- \((−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)\)
- Відповідь на
-
\(−8.475\times{10}^6\)
- Відповідь б
-
\(8\times{10}^{−8}\)
- Відповідь c
-
\(2.976\times{10}^{13}\)
- Відповідь d
-
\(−4.3\times{10}^6\)
- Відповідь e
-
\(≈1.24\times{10}^{15}\)
У квітні 2014 року населення Сполучених Штатів становило близько\(308,000,000\) людей. Державний борг був о\(\$17,547,000,000,000\). Запишіть кожне число в наукові позначення, округляючи цифри до двох знаків після коми, і знайдіть суму боргу на громадянина США. Напишіть відповідь як в наукових, так і в стандартних позначеннях.
Рішення
Населення було\(308,000,000=3.08\times{10}^8\).
Державний борг був\($17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}\).
Щоб знайти суму боргу на одного громадянина, розділіть держборг на кількість громадян.
\[\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}\]
Заборгованість на одного громадянина на той момент була приблизно\($5.7\times{10}^4\), або\($57,000\).
Середній людський організм містить навколо\(30,000,000,000,000\) еритроцитів. Кожна клітина вимірюється приблизно\(0.000008\; m\) довго. Запишіть кожне число в наукові позначення і знайдіть загальну довжину, якщо осередки були прокладені впритул. Напишіть відповідь як в наукових, так і в стандартних позначеннях.
- Відповідь
-
Кількість комірок:\(3\times{10}^{13}\); довжина комірки:\(8\times{10}^{−6}\; m\); загальна довжина:\(2.4\times{10}^8\; m\) або\(240,000,000\; m\).
Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткового навчання та практики з експонентами та науковими позначеннями.
Коефіцієнтне правило для експонентів
Перетворення в десяткові позначення
Ключові рівняння
| Правила показників Для ненульових дійсних чисел a та b та цілих чисел m та n | |
| Правило продукту | \(a^m⋅a^n=a^{m+n}\) |
| Правило частки | \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}\) |
| Правило влади | \((a^m)^n=a^{m⋅n}\) |
| Правило нульового показника | \(a^0=1\) |
| Негативне правило | \(a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}\) |
| Сила правила продукту | \((a⋅b)^n=a^n⋅b^n\) |
| Сила часткового правила | \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\) |
Ключові концепції
- Добуток експоненціальних виразів з однаковою базою можна спростити шляхом додавання показників. Див. Приклад.
- Коефіцієнти експоненціальних виразів з однаковою базою можна спростити шляхом віднімання показників. Див. Приклад.
- Ступені експоненціальних виразів з однаковою базою можна спростити шляхом множення показників. Див. Приклад.
- Вираз з нульовим показником визначається як 1. Див. Приклад.
- Вираз з негативним показником визначається як зворотне. Див. Приклад і Приклад.
- Сила добутку факторів така ж, як добуток повноважень тих же факторів. Див. Приклад.
- Сила частки факторів така ж, як частка від повноважень тих же факторів. Див. Приклад.
- Правила для експоненціальних виразів можна комбінувати для спрощення більш складних виразів. Див. Приклад.
- Наукова позначення використовує повноваження 10 для спрощення дуже великих або дуже малих чисел. Див. Приклад і Приклад.
- Наукові позначення можуть використовуватися для спрощення обчислень з дуже великими або дуже маленькими числами. Див. Приклад і Приклад.