1.4: Радикали та раціональні вирази

Цілі навчання

• Оцініть квадратні коріння.
• Використовуйте правило продукту, щоб спростити квадратні коріння.
• Використовуйте часткове правило, щоб спростити квадратні коріння.
• Додайте і відніміть квадратні коріння.
• Раціоналізувати знаменники.
• Використовуйте раціональні коріння.

Будівельний магазин продає сходи$16$ -ft і$24$ -ft сходи. Вікно розташоване$12$ футами над землею. Потрібно придбати сходи, яка буде доходити до вікна з точки на землі$5$ ноги від будівлі. Щоб дізнатися необхідну довжину сходів, ми можемо намалювати прямокутний трикутник, як показано на малюнку$\PageIndex{1}$, і використовувати теорему Піфагора.

Малюнок $\PageIndex{1}$: Прямокутний трикутник

$$\begin{align*} a^2+b^2&=c^2 \label{1.4.1} \\[4pt] 5^2+12^2&=c^2 \label{1.4.2} \\[4pt] 169 &=c^2 \label{1.4.3} \end{align*}$$

Now, we need to find out the length that, when squared, is $169$, to determine which ladder to choose. In other words, we need to find a square root. In this section, we will investigate methods of finding solutions to problems such as this one.

Evaluating Square Roots

When the square root of a number is squared, the result is the original number. Since $4^2=16$, the square root of $16$ is $4$.The square root function is the inverse of the squaring function just as subtraction is the inverse of addition. To undo squaring, we take the square root.

In general terms, if $a$ is a positive real number, then the square root of $a$ is a number that, when multiplied by itself, gives $a$.The square root could be positive or negative because multiplying two negative numbers gives a positive number. The principal square root is the nonnegative number that when multiplied by itself equals $a$. The square root obtained using a calculator is the principal square root.

The principal square root of $a$ is written as $\sqrt{a}$. The symbol is called a radical, the term under the symbol is called the radicand, and the entire expression is called a radical expression.

Приклад$\PageIndex{1}$

Чи є$\sqrt{25} = \pm 5$?

Рішення

Ні. Хоча обидва$5^2$ і$(−5)^2$ є$25$, радикальний символ має на увазі лише ненегативний корінь, головний квадратний корінь. Основний квадратний корінь$25$ є$\sqrt{25}=5$.

Примітка

Основний квадратний корінь$a$ - це невід'ємне число, яке при множенні на себе дорівнює$a$. Він пишеться як радикальний вираз, з символом, який називається радикалом над терміном, який називається радиканд:$\sqrt{a}$.

Приклад$\PageIndex{2}$: Evaluating Square Roots

Оцініть кожен вираз.

1. $\sqrt{\sqrt{16}}$
2. $\sqrt{49}$-$\sqrt{81}$

Рішення

1. $\sqrt{\sqrt{16}}= \sqrt{4} =2$тому що$4^2=16$ і$2^2=4$
2. $\sqrt{49} -\sqrt{81} =7−9 =−2$тому що$7^2=49$ і$9^2=81$

Приклад$\PageIndex{3}$:

Для$\sqrt{25+144}$, чи можемо ми знайти квадратні коріння перед додаванням?

Рішення

Ні. $\sqrt{25} + \sqrt{144} =5+12=17$. Це не еквівалентно$\sqrt{25+144}=13$. Порядок операцій вимагає від нас додавання термінів в радикаі до знаходження квадратного кореня.

Вправа$\PageIndex{1}$

Оцініть кожен вираз.

1. $\sqrt{\sqrt{81}}$
2. $\sqrt{36} + \sqrt{121}$

 

Відповідь на

$3$

Відповідь б

$17$

Використання правила продукту для спрощення квадратних коренів

Щоб спростити квадратний корінь, переписуємо його так, щоб в радиканді не було ідеальних квадратів. Існує кілька властивостей квадратних коренів, які дозволяють спростити складні радикальні вирази. Перше правило, яке ми розглянемо, - це правило добутку для спрощення квадратних коренів, яке дозволяє відокремити квадратний корінь добутку двох чисел на добуток двох окремих раціональних виразів. Наприклад, ми можемо переписати$\sqrt{15}$ як$\sqrt{3}\times\sqrt{5}$. Ми також можемо використовувати правило продукту для вираження добутку множинних радикальних виразів як єдиного радикального виразу.

Правило продукту для спрощення квадратних коренів

Якщо$a$ і$b$ невід'ємні, квадратний корінь продукту$ab$ дорівнює добутку квадратних коренів$a$ і$b$

$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$$

HOWTO: З урахуванням квадратного кореня радикального виразу, скористайтеся правилом продукту, щоб спростити його.

1. Фактор будь-яких ідеальних квадратів від радиканда.
2. Напишіть радикальний вираз як добуток радикальних виразів.
3. Спростити.

Приклад$\PageIndex{4}$: Using the Product Rule to Simplify Square Roots

Спростити радикальний вираз.

1. $\sqrt{300}$
2. $\sqrt{162a^5b^4}$

Рішення

а.$\sqrt{100\times3}$ фактор ідеального квадрата від радиканда.

$\sqrt{100}\times\sqrt{3}$Пишіть радикальний вираз як добуток радикальних виразів.

$10\sqrt{3}$Спростити

б.$\sqrt{81a^4b^4\times2a}$ фактор ідеального квадрата від radicand

$\sqrt{81a^4b^4}\times\sqrt{2a}$Написати радикальний вираз як добуток радикальних виразів

$9a^2b^2\sqrt{2a}$Спростити

Вправа$\PageIndex{2}$

Спростити$\sqrt{50x^2y^3z}$

Відповідь

$5|x||y|\sqrt{2yz}$

Зверніть увагу на знаки абсолютного значення навколо$x$ і$y$? Це тому, що їх цінність повинна бути позитивною!

Інструкція: Враховуючи добуток множинних радикальних виразів, використовуйте правило добутку, щоб об'єднати їх в один радикальний вираз

1. Висловіть добуток множинних радикальних виразів як єдине радикальне вираз.
2. Спростити.

Приклад$\PageIndex{5}$: Using the Product Rule to Simplify the Product of Multiple Square Roots

Спростити радикальний вираз.

$\sqrt{12}\times\sqrt{3}$

Рішення

$$\begin{align*} &\sqrt{12\times3}\qquad \text{Express the product as a single radical expression}\\ &\sqrt{36}\qquad \text{Simplify}\\ &6 \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{3}$

Спростити$\sqrt{50x}\times\sqrt{2x}$ припущення$x>0$.

Відповідь

$10|x|$

Використання правила частки для спрощення квадратних коренів

Подібно до того, як ми можемо переписати квадратний корінь продукту як продукт квадратних коренів, так і ми можемо переписати квадратний корінь частки як частку квадратних коренів, використовуючи часткове правило для спрощення квадратних коренів. Може бути корисно розділити чисельник і знаменник дробу під радикалом, щоб ми могли взяти їх квадратні корені окремо. Ми можемо переписати

$$\sqrt{\dfrac{5}{2}} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}. \nonumber$$

ЧАСТКОВЕ ПРАВИЛО ДЛЯ СПРОЩЕННЯ КВАДРАТНИХ КОРЕНІВ

Квадратний корінь частки$\dfrac{a}{b}$ дорівнює частці квадратних коренів$a$ і$b$, де$b≠0$.

$$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$

Howto: З огляду на радикальний вираз, використовуйте часткове правило, щоб спростити його

1. Напишіть радикальний вираз як частку двох радикальних виразів.
2. Спростити чисельник і знаменник.

Приклад$\PageIndex{6}$: Using the Quotient Rule to Simplify Square Roots

Спростити радикальний вираз.

$\sqrt{\dfrac{5}{36}}$

Рішення

$$\begin{align*} &\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{\sqrt{5}}{6}\qquad \text {Simplify denominator} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Спростити$\sqrt{\dfrac{2x^2}{9y^4}}$

Відповідь

$\dfrac{x\sqrt{2}}{3y^2}$

Нам не потрібні знаки абсолютного значення,$y^2$ оскільки цей термін завжди буде невід'ємним.

Приклад$\PageIndex{7}$: Using the Quotient Rule to Simplify an Expression with Two Square Roots

Спростити радикальний вираз.

$\dfrac{\sqrt{234x^{11}y}}{\sqrt{26x^7y}}$

Рішення

$$\begin{align*} &\sqrt{\dfrac{234x^{11}y}{26x^7y}}\qquad \text{Combine numerator and denominator into one radical expression}\\ &\sqrt{9x^4}\qquad \text{Simplify fraction}\\ &3x^2\qquad \text{Simplify square root} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{5}$

Спростити$\dfrac{\sqrt{9a^5b^{14}}}{\sqrt{3a^4b^5}}$

Відповідь

$b^4\sqrt{3ab}$

Додавання та віднімання квадратних коренів

Ми можемо додавати або віднімати радикальні вирази лише тоді, коли вони мають однаковий радикальний і коли вони мають той самий радикальний тип, такий як квадратні корені. Наприклад, сума$\sqrt{2}$ і$3\sqrt{2}$ є$4\sqrt{2}$. Однак часто можна спростити радикальні вирази, і це може змінити радиканд. Радикальний вираз$\sqrt{18}$ можна записати з а$2$ в радиканді, як$3\sqrt{2}$, так$\sqrt{2}+\sqrt{18}=\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}$

Howto: З огляду на радикальний вираз, що вимагає додавання або віднімання квадратних коренів, вирішіть

1. Спростіть кожне радикальне вираз.
2. Додайте або відніміть вирази з рівними радикандами.

Приклад$\PageIndex{8}$: Adding Square Roots

Додати$5\sqrt{12}+2\sqrt{3}$.

Рішення

Ми можемо переписати$5\sqrt{12}$ як$5\sqrt{4\times3}$. Згідно з правилом продукту, це стає$5\sqrt{4}\sqrt{3}$. Квадратний корінь з$\sqrt{4}$ є$2$, тому вираз стає$5\times2\sqrt{3}$, який є$10\sqrt{3}$. Тепер ми можемо терміни мати однаковий радиканд, так що ми можемо додати.

$$10\sqrt{3}+2\sqrt{3}=12\sqrt{3} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{6}$

Додати$\sqrt{5}+6\sqrt{20}$

Відповідь

$13\sqrt{5}$

Приклад$\PageIndex{9}$: Subtracting Square Roots

Віднімати$20\sqrt{72a^3b^4c}-14\sqrt{8a^3b^4c}$

Рішення

Перепишіть кожен термін, щоб вони мали рівні радиканди.

$$\begin{align*} 20\sqrt{72a^3b^4c} &= 20\sqrt{9}\sqrt{4}\sqrt{2}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 20(3)(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 120|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}$$

$$\begin{align*} 14\sqrt{8a^3b^4c} &= 14\sqrt{2}\sqrt{4}\sqrt{a}\sqrt{a^2}\sqrt{(b^2)^2}\sqrt{c}\\ &= 14(2)|a|b^2\sqrt{2ac}\\ &= 28|a|b^2\sqrt{2ac} \end{align*}$$

Тепер терміни мають однаковий радиканд, тому ми можемо відняти.

$$120|a|b^2\sqrt{2ac}-28|a|b^2\sqrt{2ac}=92|a|b^2\sqrt{2ac}$$

Вправа$\PageIndex{7}$

Віднімати$3\sqrt{80x}-4\sqrt{45x}$

Відповідь

$0$

Раціоналізація знаменників

Коли вираз за участю квадратних кореневих радикалів пишеться в найпростішій формі, воно не буде містити радикала в знаменнику. Ми можемо видалити радикали з знаменників дробів за допомогою процесу, який називається раціоналізацією знаменника.

Ми знаємо, що множення на$1$ не змінює значення виразу. Ми використовуємо цю властивість множення для зміни виразів, які містять радикали в знаменнику. Щоб видалити радикали зі знаменників дробів, помножте на форму$1$, яка усуне радикал.

Для знаменника, що містить один член, помножте на радикал в знаменнику над собою. Іншими словами, якщо знаменник є$b\sqrt{c}$, помножте на$\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$.

Для знаменника, що містить суму або різницю раціонального і ірраціонального члена, помножте чисельник і знаменник на сполучений знаменник, який знаходять шляхом зміни знака радикальної частини знаменника. Якщо знаменник є$a+b\sqrt{c}$, то сполучений є$a-b\sqrt{c}$.

HowTo: Задано вираз з одним квадратним корінним радикальним терміном у знаменнику, раціоналізуйте знаменник

1. Помножте чисельник і знаменник на радикал в знаменнику.
2. Спростити.

Приклад$\PageIndex{10}$: Rationalizing a Denominator Containing a Single Term

Пишіть$\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}$ в найпростішій формі.

Рішення

Радикал в знаменнику є$\sqrt{10}$. Так помножте дріб на$\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$. Тоді спростити.

$$\begin{align*} &\dfrac{2\sqrt{3}}{3\sqrt{10}}\times\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}\\ &\dfrac{2\sqrt{30}}{30}\\ &\dfrac{\sqrt{30}}{15} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Пишіть$\dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ в найпростішій формі.

Відповідь

$6\sqrt{6}$

Як: Задано вираз з радикальним терміном і константою в знаменнику, раціоналізувати знаменник

1. Знайти сполучений знаменник.
2. Помножте чисельник і знаменник на сполучений.
3. Використовувати розподільну властивість.
4. Спростити.

Приклад$\PageIndex{11}$: Rationalizing a Denominator Containing Two Terms

Пишіть$\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}$ в найпростішій формі.

Рішення

Почніть з знаходження сполучення знаменника з написання знаменника і зміни знака. Отже, сполучений з$1+\sqrt{5}$ є$1-\sqrt{5}$. Потім помножте дріб на$\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}$.

$$\begin{align*} &\dfrac{4}{1+\sqrt{5}}\times\dfrac{1-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\\ &\dfrac{4-4\sqrt{5}}{-4}\qquad \text{Use the distributive property}\\ &\sqrt{5}-1\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Пишіть$\dfrac{7}{2+\sqrt{3}}$ в найпростішій формі.

Відповідь

$14-7\sqrt{3}$

Використання раціональних коренів

Хоча квадратні корені є найпоширенішими раціональними коренями, ми також можемо знайти кубічні$4^{th}$ корені,$5^{th}$ коріння, коріння тощо. Подібно до того, як функція квадратного кореня є оберненою квадратної функції, ці корені є зворотними їх відповідних силових функцій. Ці функції можуть бути корисні, коли нам потрібно визначити число, яке при підвищенні до певної потужності дає певне число.

Розуміння $n^{th}$коренів

Припустимо, ми це знаємо$a^3=8$. Ми хочемо знайти, яке число, підняте до$3^{rd}$ влади, дорівнює$8$. Так як$2^3=8$, ми говоримо, що$2$ це куб корінь$8$.

$n^{th}$Корінь$a$ - це число, яке при підвищенні до$n^{th}$ влади дає a Наприклад,$−3$ є$5^{th}$ коренем$−243$ тому, що${(-3)}^5=-243$. Якщо$a$ є дійсним числом з принаймні одним$n^{th}$ коренем, то основним$n^{th}$ коренем$a$ є число з тим же знаком,$a$ що при підвищенні до$n^{th}$ степені дорівнює$a$.

Основний$n^{th}$ корінь$a$ записується як$\sqrt[n]{a}$, де$n$ додатне ціле число більше або дорівнює$2$. У радикальному вираженні$n$ називається індекс радикала.

Примітка: Принципал$n^{th}$ Root

Якщо$a$ є дійсним числом з хоча б одним$n^{th}$ коренем, то основний$n^{th}$ корінь$a$, записаний як$\sqrt[n]{a}$, - це число з тим же знаком,$a$ що при підвищенні до$n^{th}$ степені дорівнює$a$. Індекс радикала дорівнює$n$.

Приклад$\PageIndex{12}$: Simplifying $n^{th}$ Roots

Спростіть кожне з наступних дій:

1. $\sqrt[5]{-32}$
2. $\sqrt[4]{4}\times\sqrt[4]{10234}$
3. $-\sqrt[3]{\dfrac{8x^6}{125}}$
4. $8\sqrt[4]{3}-\sqrt[4]{48}$

Рішення

а.$\sqrt[5]{-32}=-2$ тому що$(-2)^5=-32$

б. по-перше, висловити твір як єдине радикальне вираз. $\sqrt[4]{4096}=8$тому що$8^4=4096$

c. $$\begin{align*} &\dfrac{-\sqrt[3]{8x^6}}{\sqrt[3]{125}}\qquad \text{Write as quotient of two radical expressions}\\ &\dfrac{-2x^2}{5}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

д. $$\begin{align*} &8\sqrt[4]{3}-2\sqrt[4]{3}\qquad \text{Simplify to get equal radicands}\\ &6\sqrt[4]{3}\qquad \text{Add} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Спростити

1. $\sqrt[3]{-216}$
2. $\dfrac{3\sqrt[4]{80}}{\sqrt[4]{5}}$
3. $6\sqrt[3]{9000}+7\sqrt[3]{576}$

Відповідь на

$-6$

Відповідь б

$6$

Відповідь c

$88\sqrt[3]{9}$

Використання раціональних показників

Радикальні вирази також можна записати без використання радикального символу. Ми можемо використовувати раціональні (дробові) показники. Індекс повинен бути натуральним числом. Якщо індекс$n$ парний, то a не може бути негативним.

$$a^{\tfrac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$

Ми також можемо мати раціональні показники з чисельниками, крім$1$. У цих випадках показник повинен бути дробом у найнижчих показниках. Піднімаємо підставу до сили і беремо n-й корінь. Чисельник говорить нам силу, а знаменник говорить нам корінь.

$$a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Усі властивості експонентів, які ми дізналися для цілих показників, також мають раціональні показники.

Примітка: Раціональні показники

Раціональні показники - ще один спосіб вираження основних$n^{th}$ коренів. Загальна форма перетворення між радикальним виразом з радикальним символом і одиниці з раціональним показником є

$$a^{\tfrac{m}{n}}=(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$$

Howto: З огляду на вираз з раціональним показником, напишіть вираз як радикал

1. Визначте ступінь, подивившись на чисельник показника.
2. Визначте корінь, подивившись на знаменник показника.
3. Використовуючи базу як радиканд, підніміть радиканд до влади і використовуйте корінь як індекс.

Приклад$\PageIndex{13}$: Writing Rational Exponents as Radicals

Пишіть$343^{\tfrac{2}{3}}$ як радикал. Спростити.

Рішення

Він$2$ говорить нам про силу, а потім$3$ говорить нам корінь.

$343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=\sqrt[3]{{343}^2}$

Ми знаємо це$\sqrt[3]{343}=7$ тому, що$7^3 =343$. Оскільки кубічний корінь легко знайти, найпростіше знайти кубічний корінь перед квадратом для цієї проблеми. Загалом, простіше спочатку знайти корінь, а потім підняти його до сили.

$$343^{\tfrac{2}{3}}={(\sqrt[3]{343})}^2=7^2=49$$

Вправа$\PageIndex{11}$

Пишіть$9^{\tfrac{5}{2}}$ як радикал. Спростити.

Відповідь

${(\sqrt{9})}^5=3^5=243$

Приклад$\PageIndex{14}$: Writing Radicals as Rational Exponents

Пишіть з$\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}$ використанням раціонального показника.

Рішення

Сила є$2$ і корінь є$7$, тому раціональний показник буде$\dfrac{2}{7}$. Отримуємо$\dfrac{4}{a^{\tfrac{2}{7}}}$. Використовуючи властивості експонент, отримаємо$\dfrac{4}{\sqrt[7]{a^2}}=4a^{\tfrac{-2}{7}}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Пишіть з$x\sqrt{{(5y)}^9}$ використанням раціонального показника.

Відповідь

$x(5y)^{\dfrac{9}{2}}$

Приклад$\PageIndex{15}$: Simplifying Rational Exponents

Спростити:

а.$5(2x^{\tfrac{3}{4}})(3x^{\tfrac{1}{5}})$

б.$\left(\dfrac{16}{9}\right)^{-\tfrac{1}{2}}$

Рішення

а.

$$\begin{align*} &30x^{\tfrac{3}{4}}\: x^{\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Multiply the coefficients}\\ &30x^{\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{5}}\qquad \text{Use properties of exponents}\\ &30x^{\tfrac{19}{20}}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

б.

$$\begin{align*} &{\left(\dfrac{9}{16}\right)}^{\tfrac{1}{2}}\qquad \text{Use definition of negative exponents}\\ &\sqrt{\dfrac{9}{16}}\qquad \text{Rewrite as a radical}\\ &\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}\qquad \text{Use the quotient rule}\\ &\dfrac{3}{4}\qquad \text{Simplify} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{13}$

Спростити${(8x)}^{\tfrac{1}{3}}\left(14x^{\tfrac{6}{5}}\right)$

Відповідь

$28x^{\tfrac{23}{15}}$

Медіа

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткового навчання та практики з радикалами та раціональними показниками.

Радикали

Раціональні показники

Спрощення радикалів

Раціоналізувати знаменник

Ключові поняття

• Основний квадратний корінь числа \(a\)- це невід'ємне число, яке при множенні на себе дорівнює$a$ . Див. Приклад.
• Якщо \(a\)і$b$ є невід'ємними, квадратний корінь продукту$ab$ дорівнює добутку квадратних коренів$a$ і$b$ Див. Приклад і Приклад.
• Якщо \(a\)і$b$ є невід'ємними, квадратний корінь частки$\dfrac{a}{b}$ дорівнює частці квадратних коренів$a$ і$b$ Див. Приклад і приклад.
• Ми можемо додавати і віднімати радикальні вирази, якщо вони мають однаковий радиканд і той же індекс. Див. приклад і приклад.
• Радикальні вирази, написані в найпростішій формі, не містять радикала в знаменнику. Щоб виключити квадратний корінний радикал від знаменника, помножте і чисельник, і знаменник на сполучений знаменник. Див. приклад і приклад.
• Основний$n^{th}$ корінь$a$ - це число з тим же знаком$a$, що і при підвищенні до$n^{th}$ влади дорівнює$a$. Ці коріння мають ті ж властивості, що і квадратні корені. Див. Приклад.
• Радикали можуть бути переписані як раціональні показники, а раціональні показники можуть бути переписані як радикали. Див. приклад і приклад.
• Властивості експонент застосовуються до раціональних показників. Див. Приклад.

Автори та атрибуція

• Template:ContribOpenStaxPreCalc