6.6: Логарифмічні властивості

Цілі навчання

• Використовуйте правило продукту для логарифмів.
• Використовуйте часткове правило для логарифмів.
• Використовуйте правило потужності для логарифмів.
• Розгорніть логарифмічні вирази.
• Згущуйте логарифмічні вирази.
• Використовуйте формулу зміни основи для логарифмів.

У хімії шкала рН використовується як міра кислотності або лужності речовини. Речовини з рН менше, ніж$7$ вважаються кислими, а речовини з рН більше, ніж кажуть$7$, лужними. Наші тіла, наприклад, повинні підтримувати рН, близький до для$7.35$ того, щоб ферменти працювали належним чином. Щоб відчути, що таке кисле, а що лужне, розглянемо наступні рівні рН деяких поширених речовин:

• Акумуляторна кислота:$0.8$
• Шлункова кислота:$2.7$
• Апельсиновий сік:$3.3$
• Чиста вода:$7$ при$25^\circ C$
• Кров людини:$7.35$
• Свіжий кокос:$7.8$
• Гідроксид натрію (луг):$14$

Щоб визначити, чи є розчин кислим або лужним, знаходимо його рН, який є мірою кількості активних позитивних іонів водню в розчині. РН визначається за такою формулою, де$[\ce{H^{+}}]$ знаходиться концентрація іонів водню в розчині

$$\begin{align} {pH}&=−{\log}([\ce{H^{+}}]) \label{eq1} \\[4pt] &={\log}\left(\dfrac{1}{[\ce{H^{+}}]}\right) \label{eq2} \end{align}$$

Еквівалентність рівнянь\ ref {eq1} і\ ref {eq2} є однією з властивостей логарифма, які ми розглянемо в цьому розділі.

Малюнок$\PageIndex{1}$: РН соляної кислоти перевіряють лакмусовим папером. (Кредит: Девід Берардан).

Використання правила продукту для логарифмів

Нагадаємо, що логарифмічна і експоненціальна функції «скасовують» один одного. Це означає, що логарифми мають схожі властивості з показниками. Тут наведено деякі важливі властивості логарифмів. По-перше, такі властивості легко довести.

$$\begin{align*} \log_b1 &=0 \\[4pt] \log_bb &=1 \end{align*}$$

Наприклад,${\log}_51=0$ так як$5^0=1$. І${\log}_55=1$ з тих пір$5^1=5$.

Далі ми маємо зворотну властивість.

$$\begin{align*} \log_b(b^x) &=x \\[4pt] b^{\log_b x} &=x, \,x>0 \end{align*}$$

Наприклад, для оцінки${\log(100)}$ ми можемо переписати логарифм як${\log}_{10}({10}^2)$, а потім застосувати обернену властивість,${\log}_b(b^x)=x$ щоб отримати${\log}_{10}({10}^2)=2$.

Щоб оцінити$e^{\ln(7)}$, ми можемо переписати логарифм як$e^{{\log}_e7}$, а потім застосувати обернену властивість,$b^{{\log}_bx}=x$ щоб отримати$e^{{\log}_e 7}=7$.

Нарешті, у нас є властивість один-на-один.

$$\log_bM = \log_bN \text{ if and only if } M=N$$

Ми можемо використовувати властивість один до одного для вирішення рівняння${\log}_3(3x)={\log}_3(2x+5)$ для$x$. Оскільки основи однакові, ми можемо застосувати властивість один до одного, встановивши аргументи рівні та вирішивши для$x$:

$3x=2x+5$Встановіть аргументи рівні.

$x=5$Відніміть$2x$.

Але як щодо рівняння${\log}_3(3x)+{\log}_3(2x+5)=2$? Властивість «один-на-один» нам не допомагає в цьому випадку. Перш ніж ми зможемо вирішити подібне рівняння, нам потрібен метод об'єднання членів у лівій частині рівняння.

Нагадаємо, що ми використовуємо правило добутку експонентів для об'єднання добутку експонентів шляхом додавання:$x^ax^b=x^{a+b}$. У нас є подібна властивість для логарифмів, зване правилом добутку для логарифмів, яке говорить, що логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів. Оскільки журнали є показниками, і ми множимо як основи, ми можемо додати експоненти. Ми будемо використовувати зворотну властивість, щоб вивести правило продукту нижче.

Задано будь-яке дійсне число$x$ і додатне дійсне число$M$$N$, і$b$, де$b≠1$, ми покажемо

${\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)$.

Нехай$m={\log}_bM$ і$n={\log}_bN$. У експоненціальному вигляді ці рівняння є$b^m=M$ і$b^n=N$. Звідси випливає, що

$$\begin{align*} {\log}_b(MN)&= {\log}_b(b^mb^n) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m+n}) \qquad \text{Apply the product rule for exponents}\\[4pt] &= m+n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)+{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}$$

Зауважимо, що багаторазові застосування правила добутку для логарифмів дозволяють спростити логарифм добутку будь-якої кількості факторів. Наприклад, розглянемо${\log}_b(wxyz)$. Використовуючи правило добутку для логарифмів, ми можемо переписати цей логарифм добутку як суму логарифмів його множників:

${\log}_b(wxyz)={\log}_bw+{\log}_bx+{\log}_by+{\log}_bz$

Правило продукту для логарифмів

Правило добутку логарифмів може бути використано для спрощення логарифма добутку шляхом перезапису його як суми окремих логарифмів.

$$\begin{align} {\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)\text{ for } b> 0 \end{align}$$

Як: Задано логарифм добутку, використовуйте правило добутку логарифмів, щоб записати еквівалентну суму логарифмів

1. Фактор аргументу повністю, виражаючи кожен цілий числовий множник як добуток простих чисел.
2. Запишіть еквівалентний вираз, підсумовуючи логарифми кожного множника.

Приклад$\PageIndex{1}$: Using the Product Rule for Logarithms

Розгорнути${\log}_3(30x(3x+4))$.

Рішення

Почнемо з факторингу аргументу повністю, виражаючи$30$ як добуток простих чисел.

${\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2⋅3⋅5⋅x⋅(3x+4))$

Далі запишемо еквівалентне рівняння, підсумовуючи логарифми кожного множника.

${\log}_3(30x(3x+4))={\log}_3(2)+{\log}_3(3)+{\log}_3(5)+{\log}_3(x)+{\log}_3(3x+4)$

Вправа$\PageIndex{1}$

Розгорнути${\log}_b(8k)$.

Відповідь

${\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_b2+{\log}_bk=3{\log}_b2+{\log}_bk$

Використання правила частки для логарифмів

Для коефіцієнтів ми маємо аналогічне правило для логарифмів. Нагадаємо, що ми використовуємо частне правило експонентів для об'єднання частки показників шляхом віднімання:$x^{\frac{a}{b}}=x^{a−b}$. Частне правило для логарифмів говорить, що логарифм частки дорівнює різниці логарифмів.

Часткове правило для логарифмів

Коефіцієнтне правило для логарифмів може бути використано для спрощення логарифма або частки шляхом перезапису його як різниці окремих логарифмів.

$${\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_bM−{\log}_bN$$

Так само, як і у випадку з правилом продукту, ми можемо використовувати зворотну властивість, щоб вивести правило частки.

Доказ

Задано будь-яке дійсне число$x$ і додатне дійсне число$M$$N$, і b, b, де$b≠1$, ми покажемо

${\log}_b\left(\dfrac{M}{N}\right)={\log}_b(M)−{\log}_b(N)$.

Нехай$m={\log}_bM$ і$n={\log}_bN$. У експоненціальному вигляді ці рівняння є$b^m=M$ і$b^n=N$. Звідси випливає, що

$$\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{M}{N} \right )&= {\log}_b\left(\dfrac{b^m}{b^n}\right) \qquad \text{Substitute for M and N}\\[4pt] &= {\log}_b(b^{m-n}) \qquad \text{Apply the quotient rule for exponents}\\[4pt] &= m-n \qquad \text{Apply the inverse property of logs}\\[4pt] &= {\log}_b(M)-{\log}_b(N) \qquad \text{Substitute for m and n} \end{align*}$$

Наприклад, щоб розширити${\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )$, ми повинні спочатку висловити частку в найнижчих вираженнях. Факторинг і скасування ми отримуємо,

$$\begin{align*} {\log}\left (\dfrac{2x^2+6x}{3x+9} \right )&= {\log}\left (\dfrac{2x(x+3)}{3(x+3)} \right ) \qquad \text{Factor the numerator and denominator}\\[4pt] &= {\log}\left (\dfrac{2x}{3} \right ) \qquad \text{Cancel the common factors} \end{align*}$$

Далі застосовуємо часткове правило, віднімаючи логарифм знаменника з логарифма чисельника. Потім застосовуємо правило продукту.

$$\begin{align*} {\log}\left(\dfrac{2x}{3}\right) &={\log}(2x)−{\log}(3) \\[4pt] &={\log}(2)+{\log}(x)−{\log}(3) \end{align*}$$

Як: З огляду на логарифм частки, використовуйте часткове правило логарифмів, щоб записати еквівалентну різницю логарифмів

1. Висловіть аргумент у найнижчих вираженнях шляхом факторингу чисельника та знаменника та скасування спільних термінів.
2. Запишіть еквівалентний вираз, віднімаючи логарифм знаменника з логарифма чисельника.
3. Перевірте, щоб переконатися, що кожен термін повністю розширений. Якщо ні, застосуйте правило добутку для логарифмів, щоб повністю розгорнути.

Приклад$\PageIndex{2}$: Using the Quotient Rule for Logarithms

Розгорнути${log}_2\left(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)}\right)$.

Рішення

Спочатку зауважимо, що частка враховується і в найнижчих вираженнях, тому ми застосовуємо правило частки.

${\log}_2(\dfrac{15x(x−1)}{(3x+4)(2−x)})={\log}_2(15x(x−1))−{\log}_2((3x+4)(2−x))$

Зверніть увагу, що отримані терміни є логарифмами продуктів. Для повного розширення застосовуємо правило добутку, зазначивши, що прості множники множника 15 - 3 і 5.

$$\begin{align*} {\log}_2(15x(x-1))-{\log}_2((3x+4)(2-x))&= [{\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)]-[{\log}_2(3x+4)+{\log}_2(2-x)]\\[4pt] &= {\log}_2(3)+{\log}_2(5)+{\log}_2(x)+{\log}_2(x-1)-{\log}_2(3x+4)-{\log}_2(2-x) \end{align*}$$

Аналіз

Є винятки, які слід розглянути в цьому та пізніших прикладах. По-перше, оскільки знаменники ніколи не повинні бути нулем, цей вираз не визначено для$x=−\dfrac{4}{3}$ і$x=2$. Також, оскільки аргумент логарифма повинен бути позитивним, відзначимо, як ми спостерігаємо розширений логарифм, що$x>0$,$x>1$,$x>−\dfrac{4}{3}$, і$x<2$. Поєднання цих умов виходить за рамки даного розділу, і ми не будемо розглядати їх тут або в наступних вправах.

Вправа$\PageIndex{2}$

Розгорнути${\log}_3\left(\dfrac{7x^2+21x}{7x(x−1)(x−2)}\right)$.

Відповідь

${\log}_3(x+3)−{\log}_3(x−1)−{\log}_3(x−2)$

Використання правила потужності для логарифмів

Ми досліджували правило продукту та часткове правило, але як ми можемо взяти логарифм степені, наприклад$x^2$? Один із способів полягає в наступному:

$$\begin{align*} {\log}_b(x^2)&= {\log}_b(x\cdot x)\\[4pt] &= {\log}_bx+{\log}_bx\\[4pt] &= 2{\log}_bx \end{align*}$$

Зверніть увагу, що ми використовували правило продукту для логарифмів, щоб знайти рішення для наведеного вище прикладу. Таким чином, ми вивели правило потужності для логарифмів, яке говорить про те, що журнал степені дорівнює показнику часу журналу бази. Майте на увазі, що, хоча вхід в логарифм не може бути записаний як сила, ми можемо змінити його на потужність. Наприклад,

$100={10}^2$$\sqrt{3}=3^{\dfrac{1}{2}}$$\dfrac{1}{e}=e^{−1}$

Правило потужності для логарифмів

Правило потужності для логарифмів може бути використано для спрощення логарифма степеня, переписуючи його як добуток показника на логарифм основи.

$${\log}_b(M^n)=n{\log}_bM$$

Як: Задано логарифм степеня, використовуйте правило потужності логарифмів, щоб записати еквівалентний добуток множника та логарифма

1. Висловіть аргумент як силу, якщо це необхідно.
2. Запишіть еквівалентний вираз, множивши показник на логарифм основи.

Приклад$\PageIndex{3}$: Expanding a Logarithm with Powers

Розгорнути${\log}_2x^5$.

Рішення

Аргумент вже записаний як ступінь, тому ми ідентифікуємо показник, 5, і базу$x$, і переписуємо еквівалентний вираз, множивши показник на логарифм основи.

${\log}_2(x^5)=5{\log}_2x$

Вправа$\PageIndex{3}$

Розгорнути$\ln x^2$.

Відповідь

$2\ln x$

Приклад$\PageIndex{4}$: Rewriting an Expression as a Power before Using the Power Rule

Розгорніть${\log}_3(25)$ за допомогою правила живлення для журналів.

Рішення

Висловлюючи аргумент як владу, отримуємо${\log}_3(25)={\log}_3(5^2)$.

Далі ми ідентифікуємо показник$2$, і базу$5$, і перепишемо еквівалентний вираз, множивши показник на логарифм основи.

${\log}_3(52)=2{\log}_3(5)$

Вправа$\PageIndex{4}$

Розгорнути$\ln\left (\dfrac{1}{x^2} \right )$.

Відповідь

$−2\ln(x)$

Приклад$\PageIndex{5}$: Using the Power Rule in Reverse

Перепишіть$4\ln(x)$ за допомогою правила потужності для логів на один логарифм з провідним коефіцієнтом$1$.

Рішення

Оскільки логарифм степеня є добутком показника на логарифм основи, то випливає, що добуток числа і логарифма можна записати як ступінь. Для виразу$4\ln(x)$ ми ідентифікуємо множник$4$, як показник і аргумент$x$, як основу, і перепишемо твір як логарифм степеня:$4\ln(x)=\ln(x^4)$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Перепишіть$2{\log}_34$ за допомогою правила потужності для логів на один логарифм з провідним коефіцієнтом$1$.

Відповідь

${\log}_316$

Розширення логарифмічних виразів

У сукупності правило продукту, часткове правило та правило влади часто називають «законами журналів». Іноді ми застосовуємо більше одного правила, щоб спростити вираз. Наприклад:

$$\begin{align*} {\log}_b \left (\dfrac{6x}{y} \right )&= {\log}_b(6x)-{\log}_by\\[4pt] &= {\log}_b6+{\log}_bx-{\log}_by \end{align*}$$

Ми можемо використовувати правило влади для розширення логарифмічних виразів, що включають негативні та дробові показники. Ось альтернативне доказ часткового правила для логарифмів, використовуючи той факт, що зворотна - це негативна сила:

$$\begin{align*} {\log}_b\left (\dfrac{A}{C} \right )&= {\log}_b(AC^{-1})\\[4pt] &= {\log}_b(A)+{\log}_b(C^{-1})\\[4pt] &= {\log}_bA+(-1){\log}_bC\\[4pt] &= {\log}_bA−{\log}_bC \end{align*}$$

Ми також можемо застосувати правило добутку, щоб висловити суму або різницю логарифмів як логарифм добутку.

З практикою ми можемо подивитися на логарифмічний вираз і розширити його подумки, написавши остаточну відповідь. Пам'ятайте, однак, що ми можемо робити це лише з продуктами, частками, повноваженнями та корінням - ніколи не з додаванням або відніманням всередині аргументу логарифма.

Приклад$\PageIndex{6}$: Expanding Logarithms Using Product, Quotient, and Power Rules

Перепишіть$ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )$ як суму або різницю логів.

Рішення

По-перше, оскільки у нас є частка двох виразів, ми можемо використовувати часткове правило:

$\ln \left (\dfrac{x^4y}{7} \right )=\ln(x^4y)−\ln(7)$

Потім побачивши продукт у першому семестрі, ми використовуємо правило продукту:

$\ln(x^4y)−\ln(7)=\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)$

Нарешті, ми використовуємо правило влади на першому терміні:

$\ln(x^4)+\ln(y)−\ln(7)=4\ln(x)+\ln(y)−\ln(7)$

Вправа$\PageIndex{6}$

Розгорнути$\log \left (\dfrac{x^2y^3}{z^4} \right )$.

Відповідь

$2\log x+3\log y−4\log z$

Приклад$\PageIndex{7}$: Using the Power Rule for Logarithms to Simplify the Logarithm of a Radical Expression

Розгорнути$\log(x)$.

Рішення

$$\begin{align*} \log(\sqrt{x})&= \log x^{\left (\tfrac{1}{2} \right )}\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}\log x \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{7}$

Розгорнути$\ln(\sqrt[3]{x^2})$.

Відповідь

$\dfrac{2}{3}\ln x$

Q&A: Чи можемо ми розширити$\ln(x^2+y^2)$?

Ні. Немає можливості розширити логарифм суми або різниці всередині аргументу логарифма.

Приклад$\PageIndex{8}$: Expanding Complex Logarithmic Expressions

Розгорнути${\log}_6 \left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x−1)} \right )$.

Рішення

Ми можемо розширити, застосовуючи Правила продукту та коефіцієнта.

$$\begin{align*} {\log}_6\left (\dfrac{64x^3(4x+1)}{(2x-1)} \right )&= {\log}_664+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1)\qquad \text{Apply the Quotient Rule}\\[4pt] &= {\log}_626+{\log}_6x^3+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Simplify by writing 64 as } 2^6\\[4pt] &= 6{\log}_62+3{\log}_6x+{\log}_6(4x+1)-{\log}_6(2x-1) \qquad \text{Apply the Power Rule} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{8}$

Розгорнути$\ln \left (\dfrac{\sqrt{(x−1){(2x+1)}^2}}{(x^2−9)}\right )$.

Відповідь

$\dfrac{1}{2}\ln(x−1)+\ln(2x+1)−\ln(x+3)−\ln(x−3)$

Конденсація логарифмічних виразів

Ми можемо використовувати правила логарифмів, які ми щойно навчилися конденсувати суми, відмінності та продукти з тією ж основою, як один логарифм. Важливо пам'ятати, що логарифми повинні мати однакову основу для об'єднання. Пізніше дізнаємося, як змінити підставу будь-якого логарифма перед конденсацією.

Як: Задавши суму, різницю або добуток логарифмів з однаковою базою, запишіть еквівалентний вираз як один логарифм

1. Спочатку застосуйте властивість power. Визначте терміни, які є добутком факторів і логарифм, і перепишіть кожен як логарифм степеня.
2. Далі застосовуємо властивість продукту. Перепишіть суми логарифмів як логарифм добутку.
3. Застосувати властивість частки в останню чергу. Перепишіть відмінності логарифмів як логарифм частки.

Приклад$\PageIndex{9}$: Using the Product and Quotient Rules to Combine Logarithms

Запишіть${\log}_3(5)+{\log}_3(8)−{\log}_3(2)$ як єдиний логарифм.

Рішення

Використання продукту і правил коефіцієнта

${\log}_3(5)+{\log}_3(8)={\log}_3(5⋅8)={\log}_3(40)$

Це зводить наш оригінальний вираз до

${\log}_3(40)−{\log}_3(2)$

Потім, використовуючи частне правило

${\log}_3(40)−{\log}_3(2)={\log}_3 \left (\dfrac{40}{2} \right )={\log}_3(20)$

Вправа$\PageIndex{9}$

Конденсація${\log}_3−{\log}_4+{\log}_5−{\log}_6$.

Відповідь

$\log \left (\dfrac{3⋅5}{4⋅6} \right)$; також можна записати,$\log \left (\dfrac{5}{8} \right )$ зменшивши дріб до найнижчих.

Приклад$\PageIndex{10}$: Condensing Complex Logarithmic Expressions

Конденсація${\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)$.

Рішення

Застосовуємо спочатку правило харчування:

${\log}_2(x^2)+\dfrac{1}{2}{\log}_2(x−1)−3{\log}_2({(x+3)}^2)={\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)$

Далі застосовуємо правило добутку до суми:

${\log}_2(x^2)+{\log}_2(\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)$

Нарешті, застосовуємо правило частки до різниці:

${\log}_2(x^2\sqrt{x−1})−{\log}_2({(x+3)}^6)={\log}_2\dfrac{x^2\sqrt{x−1}}{{(x+3)}^6}$

Приклад$\PageIndex{11}$: Rewriting as a Single Logarithm

Перепишіть$2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)$ як єдиний логарифм.

Рішення

Застосовуємо спочатку правило харчування:

$2\log x−4\log(x+5)+\dfrac{1}{x}\log(3x+5)=\log(x^2)−\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{−1}})$

Далі переставляємо і застосовуємо правило добутку до суми:

$$\begin{align*} \log(x^2)-\log{(x+5)}^4+\log({(3x+5)}^{x^{-1}})&= \log(x^2)+\log({(3x+5)}^{x^{-1}}-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log(x^2{(3x+5)}^{x^{-1}})-\log{(x+5)}^4\\[4pt] &= \log\dfrac{x^2{(3x+5)}^{x^{-1}}}{{(x+5)}^4} \qquad \text{Apply the quotient rule to the difference} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{10}$

Перепишіть$\log(5)+0.5\log(x)−\log(7x−1)+3\log(x−1)$ як єдиний логарифм.

Відповідь

$\log \dfrac{5{(x−1)}^3\sqrt{x}}{(7x−1)}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Конденсація$4(3\log(x)+\log(x+5)−\log(2x+3))$.

Відповідь

$\log\dfrac{x^{12}{(x+5)}^4}{{(2x+3)}^4}$; ця відповідь також може бути написана$\log{ \left (\dfrac{x^3(x+5)}{(2x+3)} \right )}^4$

Приклад$\PageIndex{12}$: Applying of the Laws of Logs

Нагадаємо, що, в хімії,${pH}=−\log[H+]$. Якщо концентрація іонів водню в рідині подвоюється, який вплив на рН?

Рішення

Припустимо$C$, початкова концентрація іонів водню, і$P$ є вихідним рН рідини. Потім$P=–\log(C)$. Якщо концентрація подвоюється, нова концентрація становить$2C$. Тоді рН нової рідини дорівнює

$pH=−\log(2C)$

Використання правила виробу колод

$pH=−\log(2C)=−(\log(2)+\log(C))=−\log(2)−\log(C)$

З тих пір$P=–\log(C)$, новий рН

$pH=P−\log(2)≈P−0.301$

Вправа$\PageIndex{12}$

Коли концентрація іонів водню подвоюється, рН знижується приблизно на$0.301$.

Як змінюється рН при зниженні концентрації позитивних іонів водню вдвічі?

Відповідь

РН збільшується приблизно на$0.301$.

Використання формули Change-of-Base для логарифмів

Більшість калькуляторів можуть оцінювати тільки звичайні і натуральні колоди. Для того, щоб оцінити логарифми з основою, відмінною від$10$ руди, e, ми використовуємо формулу зміни основи, щоб переписати логарифм як частку логарифмів будь-якої іншої бази; при використанні калькулятора ми змінимо їх на загальні або природні журнали.

Для отримання формули change-of-base ми використовуємо властивість один на один і правило потужності для логарифмів.

Дано будь-які позитивні дійсні числа$M$$b$, і$n$, де$n≠1$ і$b≠1$, показуємо

${\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}$

Нехай$y={\log}_bM$. Беручи основу$n$ колоди обох сторін рівняння, ми отримуємо експоненціальну форму, а саме$b^y=M$. Звідси випливає, що

$$\begin{align*} {\log}_n(b^y)&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the one-to-one property}\\[4pt] y{\log}_nb&= {\log}_nM \qquad \text{Apply the power rule for logarithms}\\[4pt] y&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Isolate y}\\[4pt] {\log}_bM&= \dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb} \qquad \text{Substitute for y} \end{align*}$$

Наприклад, щоб оцінити${\log}_536$ за допомогою калькулятора, ми повинні спочатку переписати вираз як частку загальних або натуральних журналів. Будемо використовувати загальний колоду.

$$\begin{align*} {\log}_536&= \dfrac{\log(36)}{\log(5)} \qquad \text{Apply the change of base formula using base 10}\\[4pt] &\approx 2.2266 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}$$

ФОРМУЛА ЗМІНИ ОСНОВИ

Формула зміни основи може бути використана для оцінки логарифма з будь-якою основою.

Для будь-яких позитивних дійсних чисел$M$$b$, і$n$, де$n≠1$ і$b≠1$,

$${\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}$$

Звідси випливає, що формула change-of-base може бути використана для перезапису логарифма з будь-якою базою як часткою загальних або натуральних колод.

$${\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}$$

і

$${\log}_bM=\dfrac{\log M}{\log b}$$

Як: Задано логарифм з формою${\log}_bM$, use the change-of-base formula to rewrite it as a quotient of logs with any positive base $n$, where $n≠1$

1. Визначте нове підставу$n$, пам'ятаючи, що загальна$\log(x)$ колода, має підставу 10, а натуральне колоду$\ln(x)$, має підставу$e$.
2. Перепишіть журнал як частку, використовуючи формулу change-of-base
   • Чисельником частки буде логарифм з основою$n$ і аргументом$M$.
   • Знаменником частки буде логарифм з основою$n$ і аргументом$b$.

Приклад$\PageIndex{13}$: Changing Logarithmic Expressions to Expressions Involving Only Natural Logs

${\log}_53$Змінити на частку натуральних логарифмів.

Рішення

Тому що ми будемо виражати${\log}_53$ як частка натуральних логарифмів, нова база,$n=e$.

Ми переписуємо журнал як частку, використовуючи формулу change-of-base. Чисельником частки буде натуральний журнал з аргументом$3$. Знаменником частки буде натуральний лог з аргументом 5.

${\log}_bM=\dfrac{\ln M}{\ln b}$

${\log}_53=\dfrac{\ln3}{\ln5}$

Вправа$\PageIndex{13}$

$\log0.58$Змінити на частку натуральних логарифмів.

Відповідь

$\dfrac{\ln8}{\ln 0.5}$

Q&A: Чи можемо ми змінити загальні логарифми на натуральні логарифми?

Так. $\log9$Пам'ятайте, що засіб${\log}_{10}9$. Отже,$\log9=\dfrac{\ln9}{\ln10}$.

Приклад$\PageIndex{14}$: Using the Change-of-Base Formula with a Calculator

Оцініть${\log}_2(10)$ за допомогою формули зміни основи за допомогою калькулятора.

Рішення

За формулою зміни основи ми можемо переписати базу колоди$2$ як логарифм будь-якої іншої бази. Оскільки наші калькулятори можуть оцінити натуральну колоду, ми можемо вибрати натуральний логарифм, який є основою колоди$e$.

$$\begin{align*} {\log}_210&= \dfrac{\ln10}{\ln2} \qquad \text{Apply the change of base formula using base } e\\[4pt] &\approx 3.3219 \qquad \text{Use a calculator to evaluate to 4 decimal places} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{14}$

Оцініть${\log}_5(100)$ за допомогою формули зміни основи.

Відповідь

$\dfrac{\ln100}{\ln5}≈\dfrac{4.6051}{1.6094}=2.861$

Медіа

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з законами логарифмів.

• Властивості логарифмів
• Розгорнути логарифмічні вирази
• Оцініть природний логарифмічний вираз

Ключові рівняння

Правило продукту для логарифмів	${\log}_b(MN)={\log}_b(M)+{\log}_b(N)$
Правило частки для логарифмів	${\log}_b(\dfrac{M}{N})={\log}_bM−{\log}_bN$
Правило потужності для логарифмів	${\log}_b(M^n)=n{\log}_bM$
Формула зміни бази	${\log}_bM=\dfrac{{\log}_nM}{{\log}_nb}$$n>0$,$n≠1$,$b≠1$

Ключові поняття

• Ми можемо використовувати правило добутку логарифмів, щоб переписати журнал добутку як суму логарифмів. Див$\PageIndex{1}$. Приклад.
• Ми можемо використовувати часткове правило логарифмів, щоб переписати журнал частки як різницю логарифмів. Див$\PageIndex{2}$. Приклад.
• Ми можемо використовувати правило потужності для логарифмів, щоб переписати журнал степені як добуток показника та журналу його бази. Див. розділ Приклад$\PageIndex{3}$ $\PageIndex{4}$, Приклад та Приклад$\PageIndex{5}$.
• Ми можемо використовувати правило продукту, часткове правило та правило потужності разом, щоб об'єднати або розширити логарифм зі складним входом. Див. розділ Приклад$\PageIndex{6}$ $\PageIndex{7}$, Приклад та Приклад$\PageIndex{8}$.
• Правила логарифмів також можуть бути використані для згущення сум, різниць і добутків з тією ж основою, що і один логарифм. Див. Приклад$\PageIndex{9}$ $\PageIndex{10}$, Приклад$\PageIndex{11}$, Приклад та Приклад$\PageIndex{12}$.
• Ми можемо перетворити логарифм з будь-якою базою в частку логарифмів з будь-якою іншою базою, використовуючи формулу зміни основи. Див$\PageIndex{13}$. Приклад.
• Формула зміни основи часто використовується для перезапису логарифма з основою, відмінною від 10, і$e$ як частка натуральних або загальних колод. Таким чином калькулятор може бути використаний для оцінки. Див$\PageIndex{14}$. Приклад.