1.2: Показники та наукові позначення

Цілі навчання

• Різні правила експонентів
• Наукові позначення

Математики, вчені та економісти зазвичай стикаються з дуже великими і дуже малими цифрами. Але може бути не очевидно, наскільки поширені такі цифри в повсякденному житті. Наприклад, піксель - це найменша одиниця світла, яку можна сприймати та записати цифровою камерою. Певна камера може записувати зображення, яке$2,048$ пікселів за$1,536$ пікселями, що є дуже високою роздільною здатністю. Він також може сприймати глибину кольору (градації кольорів) до$48$ бітів на кадр і може знімати еквівалент$24$ кадрів в секунду. Максимально можлива кількість бітів інформації, яка використовується для зйомки одногодинної ($3,600$-секундної) цифрової плівки, тоді надзвичайно велика кількість.

За допомогою калькулятора вводимо$2,048×1$$536×48×24×3$,$600$ і натискаємо ENTER. На дисплеї відображається калькулятор$1.304596316E13$. Що це означає? «$E13$» частина результату представляє показник$13$ десяти, тому в цьому годинному фільмі є максимум приблизно$1.3\times10^{13}$ бітів даних. У цьому розділі ми спочатку переглядаємо правила показників, а потім застосовуємо їх до розрахунків за участю дуже великих або малих чисел.

Використання правила добутку експонентів

Розглянемо продукт$x^3\times x^4$. Обидва терміни мають однакову базу$x$, але вони піднімаються до різних показників. Розгорніть кожен вираз, а потім перепишіть отриманий вираз.

$$\begin{align*} x^3 \times x^4 &= \overbrace{x \times x \times x}^{\text{3 factors}} \times \overbrace{ x \times x \times x\times x}^{\text{4 factors}} \\[4pt] &= \overbrace{x\times x\times x\times x\times x\times x\times x}^{\text{7 factors}} \\[4pt] &=x^7 \end{align*}$$

Результат полягає в тому, що$x^3\times x^4=x^{3+4}=x^7$.

Зверніть увагу, що експонентою добутку є сума показників термінів. Іншими словами, при множенні експоненціальних виразів з однаковою базою записуємо результат із загальною базою і додаємо показники. Це правило добутку експонентів.

$$a^m\times a^n=a^{m+n}$$

Тепер розглянемо приклад з дійсними числами.

$2^3\times2^4=2^{3+4}=2^7$

Ми завжди можемо перевірити, що це правда, спрощуючи кожне експоненціальне вираз. Ми знаходимо, що$2^3$ є$8$,$2^4$ є$16$, і$2^7$ є$128$. Продукт$8\times16$ дорівнює$128$, тому відносини вірні. Ми можемо використовувати правило добутку експонентів для спрощення виразів, які є добутком двох чисел або виразів з однаковою базою, але різними показниками.

ПРАВИЛО ДОБУТКУ ПОКАЗНИКІВ

Для будь-якого дійсного числа a та натуральних чисел$m$ і$n$, правило добутку експонентів стверджує, що

$$a^m\times a^n=a^{m+n} \label{prod}$$

Приклад$\PageIndex{1}$: Using the Product Rule

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.

1. $t^5\times t^3$
2. $(−3)^5\times(−3)$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

Рішення

Скористайтеся правилом добутку (Equation\ ref {prod}), щоб спростити кожен вираз.

1. $t^5\times t^3=t^{5+3}=t^8$
2. $(−3)^5\times(−3)=(−3)^5\times(−3)^1=(−3)^{5+1}=(−3)^6$
3. $x^2\times x^5\times x^3$

Спочатку може здатися, що ми не можемо спростити добуток трьох факторів. Однак, використовуючи асоціативне властивість множення, починайте зі спрощення перших двох.

$$x^2\times x^5\times x^3=(x^2\times x^5) \times x^3=(x^{2+5})\times x^3=x^7\times x^3=x^{7+3}=x^{10} \nonumber$$

Зверніть увагу, що ми отримуємо той самий результат, додаючи три експоненти в одному кроці.

$$x^2\times x^5\times x^3=x^{2+5+3}=x^{10} \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{1}$

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.

1. $k^6\times k^9$
2. $\left(\dfrac{2}{y}\right)^4\times\left(\dfrac{2}{y}\right)$
3. $t^3\times t^6\times t^5$

Відповідь на

$k^{15}$

Відповідь б

$\left(\dfrac{2}{y}\right)^5$

Відповідь c

$t^{14}$

Використання коефіцієнтного правила експонентів

Частне правило експонентів дозволяє нам спростити вираз, який ділить два числа з однаковою базою, але різними показниками. Аналогічно правилу продукту, ми можемо спростити такий вираз$\dfrac{y^m}{y^n}$, як, де$m>n$. Розглянемо на прикладі$\dfrac{y^9}{y^5}$. Виконують поділ шляхом скасування загальних факторів.

$$\begin{align*} \dfrac{y^9}{y^5} &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}{y\cdot y\cdot y\cdot y\cdot y}\\ &= \dfrac{y\cdot y\cdot y\cdot y}{1}\\ &= y^4 \end{align*}$$

Зверніть увагу, що показник частки - це різниця між показниками дільника та дивідендів.

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$$

Іншими словами, при діленні експоненціальних виразів з однаковою базою записуємо результат із загальною базою і віднімаємо показники.

$\dfrac{y^9}{y^5}=y^{9−5}=y^4$

Поки що ми повинні усвідомлювати стан$m>n$. В іншому випадку різниця$m-n$ може бути нульовою або негативною. Ці можливості будуть вивчені найближчим часом. Крім того, замість того, щоб кваліфікувати змінні як ненульові щоразу, ми спростимо питання і припустимо звідси, що всі змінні представляють ненульові дійсні числа.

КОЕФІЦІЄНТНЕ ПРАВИЛО ПОКАЗНИКІВ

Для будь-якого дійсного числа$a$ і натуральних чисел$m$ і$n$, таким$m>n$ чином, часткове правило експонентів стверджує, що

$$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n} \label{quot}$$

Приклад$\PageIndex{2}$: Using the Quotient Rule

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}$

Рішення

Використовуйте часткове правило (Equation\ ref {quot}), щоб спростити кожен вираз.

1. $\dfrac{(−2)^{14}}{(−2)^{9}}=(−2)^{14−9}=(−2)^5$
2. $\dfrac{t^{23}}{t^{15}}$=t^ {23−15} =t^8\)
3. $\dfrac{(z\sqrt{2})^5}{z\sqrt{2}}=(z\sqrt{2})^{5−1}=(z\sqrt{2})^4$

Вправа$\PageIndex{2}$

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.

1. $\dfrac{s^{75}}{s^{68}}$
2. $\dfrac{(−3)^6}{−3}$
3. $\dfrac{(ef^2)^5}{(ef^2)^3}$

Відповідь на

$s^7$

Відповідь б

$(−3)^5$

Відповідь c

$(ef^2)^2$

Використання силового правила експонентів

Припустимо, експоненціальний вираз піднімається до певної міри. Чи можемо ми спростити результат? Так. Для цього скористаємося силовим правилом експонент. Розглянемо вираз$(x^2)^3$. Вираз всередині дужок множиться двічі, оскільки він має показник$2$. Потім результат множиться три рази, тому що весь вираз має показник$3$.

$$\begin{align*} (x^2)^3 &= (x^2)\times(x^2)\times(x^2)\\ &= x\times x\times x\times x\times x\times x\\ &= x^6 \end{align*}$$

Показником відповіді є добуток показників:$(x^2)^3=x^{2⋅3}=x^6$. Іншими словами, при підвищенні експоненціального виразу до степеня ми записуємо результат із загальною базою та добутком показників.

$$(a^m)^n=a^{m⋅n}$$

Будьте обережні, щоб розрізняти використання правила продукту та правила харчування. При використанні правила добутку різні терміни з однаковими основами піднімаються до експонентів. У цьому випадку ви додаєте експоненти. При використанні силового правила термін в експоненціальних позначеннях піднімається до степеня. У цьому випадку ви множите показники.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Правило продукту	Правило влади
$5^3\times5^4=5^{3+4}=5^7$	$(5^3)^4=5^{3\times4}=5^{12}$
$x^5\times x^2=x^{5+2}=x^7$	$(x^5)^2=x^{5\times2}=x^{10}$
$(3a)^7\times(3a)^{10}=(3a)^{7+10}=(3a)^{17}$	$((3a)^7)^{10}=(3a)^{7\times10}=(3a)^{70}$

ПРАВИЛО ВЛАДИ ПОКАЗНИКІВ

Для будь-якого дійсного числа a та натуральних чисел m та n правило степенів показників стверджує, що

$$(a^m)^n=a^{m⋅n} \label{power}$$

Приклад$\PageIndex{3}$: Using the Power Rule

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.

1. $(x^2)^7$
2. $((2t)^5)^3$
3. $((−3)^5)^{11}$

Рішення

Скористайтеся правилом потужності (Equation\ ref {power}), щоб спростити кожен вираз.

1. $(x^2)^7=x^{2⋅7}=x^{14}$
2. $((2t)^5)^3=(2t)^{5⋅3}=(2t)^{15}$
3. $((−3)^5)^{11}=(−3)^{5⋅11}=(−3)^{55}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі.

1. $((3y)^8)^3$
2. $(t^5)^7$
3. $((−g)^4)^4$

Відповідь на

$(3y)^{24}$

Відповідь б

$t^{35}$

Відповідь c

$(−g)^{16}$

Використання правила нульового показника показників

Поверніться до правила частки. Ми зробили умову, що$m>n$ так, що різниця ніколи не$m−n$ буде нульовою або негативною. Що буде, якщо$m=n$? У цьому випадку ми б використали правило нульового показника експоненти для спрощення виразу до$1$. Щоб подивитися, як це робиться, почнемо з прикладу.

$$\dfrac{t^8}{t^8}=1 \nonumber$$

Якби ми спростили оригінальний вираз, використовуючи часткове правило, ми б мали

$$\dfrac{t^8}{t^8}=t^{8−8}=t^0 \nonumber$$

Якщо прирівняти дві відповіді, результат буде$t^0=1$. Це вірно для будь-якого ненульового дійсного числа або будь-якої змінної, що представляє дійсне число.

$$a^0=1 \nonumber$$

Єдиним винятком є вираз$0^0$. Це з'являється пізніше в більш просунутих курсах, але поки ми будемо вважати значення невизначеною.

ПРАВИЛО НУЛЬОВОГО ПОКАЗНИКІВ ПОКАЗНИКІВ

Для будь-якого ненульового дійсного числа a правило нульового показника показника стверджує, що

$$a^0=1$$

Приклад$\PageIndex{4}$: Using the Zero Exponent Rule

Спрощуйте кожен вираз, використовуючи правило нульового показника експоненти.

1. $\dfrac{c^3}{c^3}$
2. $\dfrac{-3x^5}{x^5}$
3. $\dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3}$
4. $\dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2}$

Рішення

Використовуйте нульовий показник та інші правила для спрощення кожного виразу.

а. $$\begin{align*} \dfrac{c^3}{c^3} &= c^{3-3}\\ &= c^0\\ &= 1 \end{align*}$$

б. $$\begin{align*} \dfrac{-3x^5}{x^5} &= -3\times\dfrac{x^5}{x^5}\\ &= -3\times x^{5-5}\\ &= -3\times x^0\\ &= -3\times 1\\ &= -3 \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)\times(j^2k)^3} &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^{1+3}} && \text{ Use the product rule in the denominator}\\ &= \dfrac{(j^2k)^4}{(j^2k)^4} && \text{ Simplify}\\ &= (j^2k)^{4-4} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= (j^2k)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 \end{align*}$$

д. $$\begin{align*} \dfrac{5(rs^2)^2}{(rs^2)^2} &= 5(rs^2)^{2-2} && \text{ Use the quotient rule}\\ &= 5(rs^2)^0 && \text{ Simplify}\\ &= 5\times1 && \text{ Use the zero exponent rule}\\ &= 5 && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{4}$

Спрощуйте кожен вираз, використовуючи правило нульового показника експоненти.

1. $\dfrac{t^7}{t^7}$
2. $\dfrac{(de^2)^{11}}{2(de^2)^{11}}$
3. $\dfrac{w^4\times w^2}{w^6}$
4. $\dfrac{t^3\times t^4}{t^2\times t^5}$

Відповідь на

$1$

Відповідь б

$\dfrac{1}{2}$

Відповідь c

$1$

Відповідь d

$1$

Використання негативного правила показників

Ще один корисний результат виникає, якщо ми розслабляємо умову, що$m>n$ в частковому правилі ще далі. Наприклад, чи можемо ми спростити$\dfrac{t^3}{t^5}$? Коли$m<n$ —тобто, де різниця$m−n$ негативна - ми можемо використовувати негативне правило експонентів, щоб спростити вираз до його взаємного.

Розділіть одне експоненціальне вираз на інше з більшим показником. Скористайтеся нашим прикладом,$\dfrac{t^3}{t^5}$.

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= \dfrac{t\times t\times t}{t\times t\times t\times t\times t} \\ &= \dfrac{1}{t\times t}\\ &= \dfrac{1}{h^2} \end{align*}$$

Якби ми спростили оригінальний вираз, використовуючи часткове правило, ми б мали

$$\begin{align*} \dfrac{t^3}{t^5} &= h^{3-5} \\ &= h^{-2} \end{align*}$$

Збираючи відповіді разом, ми маємо$h^{−2}=\dfrac{1}{h^2}$. Це вірно для будь-якого ненульового дійсного числа або будь-якої змінної, що представляє ненульове дійсне число.

Коефіцієнт з від'ємним показником стає тим самим коефіцієнтом з додатним показником, якщо його переміщують через рядок дробу - від чисельника до знаменника або навпаки.

$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$і$a^n=\dfrac{1}{a^{−n}}$

Показано, що експоненціальний вираз an визначається, коли$n$ є натуральним числом$0$, або негативним від натурального числа. Це означає, що для будь-якого цілого числа визначено an$n$. Крім того, правила добутку та коефіцієнта та всі правила, які ми розглянемо найближчим часом, утримують будь-яке ціле число$n$.

НЕГАТИВНЕ ПРАВИЛО ПОКАЗНИКІВ

Для будь-якого ненульового дійсного числа a та натурального числа n від'ємне правило показників стверджує, що

$$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$$

Приклад$\PageIndex{5}$: Using the Negative Exponent Rule

Запишіть кожне з наступних коефіцієнтів єдиною базою. Чи не спрощуйте далі. Пишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}$

Рішення

1. $\dfrac{\theta^3}{\theta^{10}}=\theta^{3-10}=\theta^{-7}=\dfrac{1}{\theta^7}$
2. $\dfrac{z^2\times z}{z^4}=\dfrac{z^{2+1}}{z^4}=\dfrac{z^3}{z^4}=z^{3-4}=z^{-1}=\dfrac{1}{z}$
3. $\dfrac{(-5t^3)^4}{(-5t^3)^8}=(-5t^3)^{4-8}=(-5t^3)^{-4}=\dfrac{1}{(-5t^3)^4}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Запишіть кожне з наступних коефіцієнтів єдиною базою. Чи не спрощуйте далі. Пишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $\dfrac{(-3t)^2}{(-3t)^8}$
2. $\dfrac{f^{47}}{f^{49}\times f}$
3. $\dfrac{2k^4}{5k^7}$

Відповідь на

$\dfrac{1}{(-3t)^6}$

Відповідь б

$\dfrac{1}{f^3}$

Відповідь c

$\dfrac{2}{5k^3}$

Приклад$\PageIndex{6}$: Using the Product and Quotient Rules

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі. Напишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $b^2\times b^{-8}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}$

Рішення

1. $b^2\times b^{-8}=b^{2-8}=b^{-6}=\dfrac{1}{b^6}$
2. $(-x)^5\times(-x)^{-5}=(-x)^{5-5}=(-x)^0=1$
3. $\dfrac{-7z}{(-7z)^5}= \dfrac{(-7z)^1}{(-7z)^5}=(-7z)^{1-5}=(-7z)^{-4}=\dfrac{1}{(-7z)^4}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Напишіть кожен з наступних продуктів єдиною основою. Чи не спрощуйте далі. Напишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $t^{-11}\times t^6$
2. $\dfrac{25^{12}}{25^{13}}$

Відповідь на

$t^{-5}=\dfrac{1}{t^5}$

Відповідь б

$\dfrac{1}{25}$

Пошук сили продукту

Для спрощення степеня добутку двох експоненціальних виразів можна використовувати силу правила добутку експонентів, яке розбиває силу добутку факторів на добуток чинників. Наприклад, розгляньте$(pq)^3$. Почнемо з використання асоціативних та комутативних властивостей множення для перегрупування факторів.

$$\begin{align*} (pq)^3 &= (pq)\times(pq)\times(pq)\\ &= p\times q\times p\times q\times p\times q\\ &= p^3\times q^3 \end{align*}$$

Іншими словами,$(pq)^3=p^3\times q^3$.

СИЛА ПРАВИЛА ДОБУТКУ ПОКАЗНИКІВ

Для будь-яких дійсних чисел a та b та будь-якого цілого числа n величина добуткового правила показників стверджує, що

$$(ab)^n=a^nb^n$$

Приклад$\PageIndex{7}$: Using the Power of a Product Rule

Спростіть кожен з наступних продуктів максимально, використовуючи силу правила продукту. Напишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $(ab^2)^3$
2. $(2t)^{15}$
3. $(-2w^3)^3$
4. $\dfrac{1}{(-7z)^4}$
5. $(e^{-2}f^2)^7$

Рішення

Використовуйте правила продукту та коефіцієнта та нові визначення, щоб спростити кожен вираз.

а.$(ab^2)^3=(a)^3\times(b^2)^3=a^{1\times3}\times b^{2\times3}=a^3b^6$

б.$(2t)^{15}=(2)^{15}\times(t)^{15}=2^{15}t^{15}=32,768t^{15}$

c.$(−2w^3)^3=(−2)^3\times(w^3)^3=−8\times w^{3\times3}=−8w^9$

д.$\dfrac{1}{(-7z)^4}=\dfrac{1}{(-7)^4\times(z)^4}=\dfrac{1}{2401z^4}$

е.$(e^{-2}f^2)^7=(e^{−2})^7\times(f^2)^7=e^{−2\times7}\times f^{2\times7}=e^{−14}f^{14}=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Спростіть кожен з наступних продуктів максимально, використовуючи силу правила продукту. Напишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $(g^2h^3)^5$
2. $(5t)^3$
3. $(-3y^5)^3$
4. $\dfrac{1}{(a^6b^7)^3}$
5. $(r^3s^{-2})^4$

Відповідь на

$g^{10}h^{15}$

Відповідь б

$125t^3$

Відповідь c

$-27y^{15}$

Відповідь d

$\dfrac{1}{a^{18}b^{21}}$

Відповідь e

$\dfrac{r^{12}}{s^8}$

Пошук сили частки

Щоб спростити силу частки двох виразів, можна використовувати силу частки правила, яка стверджує, що сила частки множників є часткою від повноважень факторів. Для прикладу розглянемо наступний приклад.

$$(e^{−2}f^2)^7=\dfrac{f^{14}}{e^{14}}$$

Давайте перепишемо оригінальну проблему по-іншому і подивимося на результат.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

З останніх двох кроків виявляється, що ми можемо використовувати силу правила продукту як силу часткового правила.

$$\begin{align*} (e^{-2}f^2)^7 &= \left(\dfrac{f^2}{e^2}\right)^7\\ &= \dfrac{(f^2)^7}{(e^2)^7}\\ &= \dfrac{f^{2\times7}}{e^{2\times7}}\\ &= \dfrac{f^{14}}{e^{14}} \end{align*}$$

СИЛА ЧАСТКОВОГО ПРАВИЛА ПОКАЗНИКІВ

Для будь-яких дійсних чисел a та b та будь-якого цілого числа n, ступінь часткового правила показників стверджує, що

$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$$

Приклад$\PageIndex{8}$: Using the Power of a Quotient Rule

Спростіть кожен з наступних коефіцієнтів, наскільки це можливо, використовуючи силу часткового правила. Напишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6$
3. $\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}$
4. $(j^3k^{-2})^4$
5. $(m^{-2}n^{-2})^3$

Рішення

а.$\left(\dfrac{4}{z^{11}}\right)^3=\dfrac{(4)^3}{(z^{11})^3}=\dfrac{64}{z^{11\times3}}=\dfrac{64}{z^{33}}$

б.$\left(\dfrac{p}{q^3}\right)^6=\dfrac{(p)^6}{(q^3)^6}=\dfrac{p^{1\times6}}{q^{3\times6}}=\dfrac{p^6}{q^{18}}$

c.$\left(\dfrac{-1}{t^2}\right)^{27}=\dfrac{(-1)^{27}}{(t^2)^{27}}=\dfrac{-1}{t^{2\times27}}=\dfrac{-1}{t^{54}}=-\dfrac{1}{t^{54}}$

д.$(j^3k^{-2})^4=\left(\dfrac{j^3}{k^2}\right)^4=\dfrac{(j^3)^4}{(k^2)^4}=\dfrac{j^{3\times4}}{k^{2\times4}}=\dfrac{j^{12}}{k^8}$

е.$(m^{-2}n^{-2})^3=\left(\dfrac{1}{m^2n^2}\right)^3=\dfrac{(1)^3}{(m^2n^2)^3}=\dfrac{1}{(m^2)^3(n^2)^3}=\dfrac{1}{m^{2\times3}n^{2\times3}}=\dfrac{1}{m^6n^6}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Спростіть кожен з наступних коефіцієнтів, наскільки це можливо, використовуючи силу часткового правила. Напишіть відповіді з позитивними показниками.

1. $\left(\dfrac{b^5}{c}\right)^3$
2. $\left(\dfrac{5}{u^8}\right)^4$
3. $\left(\dfrac{-1}{w^3}\right)^{35}$
4. $(p^{-4}q^3)^8$
5. $(c^{-5}d^{-3})^4$

Відповідь на

$\dfrac{b^{15}}{c^3}$

Відповідь б

$\dfrac{625}{u^{32}}$

Відповідь c

$\dfrac{-1}{w^{105}}$

Відповідь d

$\dfrac{q^{24}}{p^{32}}$

Відповідь e

$\dfrac{1}{c^{20}d^{12}}$

Спрощення експоненціальних виразів

Нагадаємо, що спростити вираз означає переписати його шляхом розчісування термінів або експонентів; іншими словами, писати вираз простіше з меншою кількістю термінів. Правила для експонентів можуть бути об'єднані для спрощення виразів.

Приклад$\PageIndex{9}$: Simplifying Exponential Expressions

Спрощуйте кожен вираз і запишіть відповідь лише з позитивними показниками.

1. $(6m^2n^{-1})^3$
2. $17^5\times17^{-4}\times17^{-3}$
3. $\left(\dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}}\right)^2$
4. $(-2a^3b^{-1})(5a^{-2}b^2)$
5. $(x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2})^{-4}$
6. $\dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2}$

Рішення

а. $$\begin{align*} (6m^2n^{-1})^3 &= (6)^3(m^2)^3(n^{-1})^3 && \text{ The power of a product rule}\\ &= 6^3m^{2\times3}n^{-1\times3} && \text{ The power rule}\\ &= 216m^6n^{-3} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{216m^6}{n^3} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

б. $$\begin{align*} 17^5\times17^{-4}\times17^{-3} &= 17^{5-4-3} && \text{ The product rule}\\ &= 17^{-2} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{1}{17^2} \text{ or } \dfrac{1}{289} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} \left ( \dfrac{u^{-1}v}{v^{-1}} \right )^2 &= \dfrac{(u^{-1}v)^2}{(v^{-1})^2} && \text{ The power of a quotient rule}\\ &= \dfrac{u^{-2}v^2}{v^{-2}} && \text{ The power of a product rule}\\ &= u^{-2}v^{2-(-2)} && \text{ The quotient rule}\\ &= u^{-2}v^4 && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{v^4}{u^2} && \text{ The negative exponent rule} \end{align*}$$

д. $$\begin{align*} \left (-2a^3b^{-1} \right ) \left(5a^{-2}b^2 \right ) &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ Commutative and associative laws of multiplication}\\ &= -10\times a^{3-2}\times b^{-1+2} && \text{ The product rule}\\ &= -10ab && \text{ Simplify} \end{align*}$$

е. $$\begin{align*} \left (x^2\sqrt{2})^4(x^2\sqrt{2} \right )^{-4} &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^{4-4} && \text{ The product rule}\\ &= \left (x^2\sqrt{2} \right )^0 && \text{ Simplify}\\ &= 1 && \text{ The zero exponent rule} \end{align*}$$

ф. $$\begin{align*} \dfrac{(3w^2)^5}{(6w^{-2})^2} &= \dfrac{(3)^5\times(w^2)^5}{(6)^2\times(w^{-2})^2} && \text{ The power of a product rule}\\ &= \dfrac{3^5w^{2\times5}}{6^2w^{-2\times2}} && \text{ The power rule}\\ &= \dfrac{243w^{10}}{36w^{-4}} && \text{ Simplify}\\ &= \dfrac{27w^{10-(-4)}}{4} && \text{ The quotient rule and reduce fraction}\\ &= \dfrac{27w^{14}}{4} && \text{ Simplify} \end{align*}$$

Використання наукових позначень

Нагадаємо на початку розділу, що ми знайшли номер$1.3\times10^{13}$ при описі бітів інформації в цифрових зображеннях. Інші крайні числа включають ширину людського волоса, який приблизно$0.00005\; m$, і радіус електрона, який приблизно$0.00000000000047\; m$. Як ми можемо ефективно працювати читати, порівнювати та обчислювати з такими числами?

Стенографічний метод написання дуже малих і дуже великих чисел називається науковим позначенням, в якому ми виражаємо числа в терміні показників$10$. Щоб записати число в наукові позначення, перемістіть десяткову крапку праворуч від першої цифри числа. Запишіть цифри у вигляді десяткового числа між$1$ і$10$. Підрахуйте кількість знаків$n$, які ви перемістили десяткову крапку. Помножте десяткове число на$10$ підвищений до степеня$n$. Якщо ви перемістили десяткове ліворуч, як у дуже великому числі,$n$ буде додатним. Якщо ви перемістили десяткове право, як у невеликому великому числі, буде$n$ від'ємним.

Для прикладу розглянемо число$2,780,418$. Перемістіть десяткове ліворуч, поки воно не буде праворуч від першої ненульової цифри, яка є$2$.

Отримаємо$2.780418$ переміщенням$6$ десяткових знаків вліво. Тому показник$10$ є, і він позитивний$6$, тому що ми перемістили десяткову крапку вліво. Це те, чого слід очікувати від великої кількості.

$2.780418\times{10}^6$

Робота з малими числами аналогічна. Візьмемо, наприклад, радіус електрона,$0.00000000000047\; m$. Виконайте ту саму серію кроків, що і вище, за винятком переміщення десяткової крапки вправо.

Будьте обережні, щоб не включати лідируючих$0$ у свій підрахунок. Ми переміщаємо$13$ десяткові розряди вправо, тому показник$10$ є$13$. Показник негативний, тому що ми перемістили десяткову крапку вправо. Це те, чого слід очікувати від невеликої кількості.

$4.7\times{10}^{−13}$

НАУКОВІ ПОЗНАЧЕННЯ

Число записується в науковому позначенні, якщо воно записано у вигляді$a\times{10}^n$, де$1≤|a|<10$ і$n$ є цілим числом.

Приклад$\PageIndex{10}$: Converting Standard Notation to Scientific Notation

Запишіть кожне число в науковому позначенні.

1. Відстань і тривалість перельоту (скільки летіти з Землі до Андромеда-Галактика$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$
2. Діаметр Галактики Андромеди:$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$
3. Кількість зірок в Галактиці Андромеди:$1,000,000,000,000$
4. Діаметр електрона:$0.00000000000094\; m$
5. Імовірність удару блискавки в будь-який рік:$0.00000143$

Рішення

а.$24,000,000,000,000,000,000,000\; m$$22$ місця

$2.4\times{10}^{22}\; m$

б.$1,300,000,000,000,000,000,000\; m$$21$ місця

$1.3\times{10}^{21}\; m$

c.$1,000,000,000,000$$12$ місця

$1\times{10}^{12}$

d.$0.00000000000094\; m$$13$ місця

$9.4\times{10}^{-13}\; m$

е.$0.00000143$$6$ місця

$1.43\times{10}^6$

Аналіз

Зверніть увагу, що якщо дане число більше$1$, ніж, як у прикладах a—c,$10$ показник позитивний; а якщо число менше$1$, ніж, як у прикладах d—e, показник негативний.

Вправа$\PageIndex{10}$

Запишіть кожне число в науковому позначенні.

1. Державний борг США за платника податків (квітень 2014 р.):$\$152,000$
2. Населення світу (квітень 2014 р.):$7,158,000,000$
3. Світовий валовий національний дохід (квітень 2014 року):$\$85,500,000,000,000$
4. Час для легкої подорожі$1\; m: 0.00000000334\; s$
5. Імовірність виграшу в лотерею (збіг$6$$49$ можливих чисел):$0.0000000715$

Відповідь на

$\$1.52\times{10}^5$

Відповідь б

$7.158\times{10}^9$

Відповідь c

$\$8.55\times{10}^{13}$

Відповідь d

$3.34\times{10}^{-9}$

Відповідь e

$7.15\times{10}^{-8}$

Перетворення з наукових на стандартні позначення

Щоб перетворити число в науковому позначенні в стандартні позначення, просто зверніть процес назад. Перемістіть десяткові n знаків вправо, якщо$n$ додатне, або$n$ місця ліворуч, якщо$n$ від'ємне, і додайте нулі, якщо потрібно. Пам'ятайте,$n$ якщо позитивне, то значення числа більше$1$, а якщо$n$ від'ємне, то значення числа менше одиниці.

Приклад$\PageIndex{11}$: Converting Scientific Notation to Standard Notation

Перетворіть кожне число в науковому позначенні в стандартні позначення.

1. $3.547\times{10}^{14}$
2. $−2\times{10}^6$
3. $7.91\times{10}^{−7}$
4. $−8.05\times{10}^{−12}$

Рішення

а.$3.547\times{10}^{14}$

$3.54700000000000$

$\rightarrow14$місць

$354,700,000,000,000$

б.$−2\times{10}^6$

$−2.000000$

$\rightarrow6$місць

$−2,000,000$

c.$7.91\times{10}^{−7}$

$0000007.91$

$\rightarrow7$місць

$0.000000791$

д.$−8.05\times{10}^{−12}$

$−000000000008.05$

$\rightarrow12$місць

$−0.00000000000805$

Вправа$\PageIndex{11}$

Перетворіть кожне число в науковому позначенні в стандартні позначення.

1. $7.03\times{10}^5$
2. $−8.16\times{10}^{11}$
3. $−3.9\times{10}^{−13}$
4. $8\times{10}^{−6}$

Відповідь на

$703,000$

Відповідь б

$−816,000,000,000$

Відповідь c

$−0.00000000000039$

Відповідь d

$0.000008$

Використання наукових позначень у додатках

Наукові позначення, що використовуються з правилами показників, робить обчислення великими або малими числами набагато простіше, ніж робити це за допомогою стандартних позначень. Наприклад, припустимо, що нас просять обчислити кількість$1\; L$ атомів у воді. Кожна молекула води містить$3$ атоми ($2$водень і$1$ кисень). Середня крапля води містить навколо$1.32\times{10}{21}$ молекул води, а$1\; L$ води утримує близько$1.22\times{10}^{4}$ середніх крапель. Тому у$1\; L$ воді приблизно$3⋅(1.32\times{10}^{21})⋅(1.22\times{10}^4)≈4.83\times{10}^{25}$ атоми. Ми просто множимо десяткові члени і додаємо показники. Уявіть, що потрібно виконувати розрахунок без використання наукових позначень!

Виконуючи розрахунки з науковими позначеннями, обов'язково запишіть відповідь в належному науковому позначенні. Наприклад, розглянемо продукт$(7\times{10}^4)⋅(5\times{10}^6)=35\times{10}^{10}$. Відповідь не в належному науковому позначенні, тому$35$ що більше, ніж$10$. Розглянемо$35$ як$3.5\times10$. Це додає десятку до показника відповіді.

$(35)\times{10}^{10}=(3.5\times10)\times{10}^{10}=3.5\times(10\times{10}^{10})=3.5\times{10}^{11}$

Приклад$\PageIndex{12}$: Using Scientific Notation

Виконайте операції і напишіть відповідь в науковому позначенні.

1. $(8.14\times{10}^{−7})(6.5\times{10}^{10})$
2. $(4\times{10}^5)÷(−1.52\times{10}^{9})$
3. $(2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13})$
4. $(1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5)$
5. $(3.33\times{10}^4)(−1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5)$

Рішення

а. $$\begin{align*} (8.14\times{10}^{-7})(6.5\times{10}^{10}) &= (8.14\times6.5)({10}^{-7}\times{10}^{10}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (52.91)({10}^3) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 5.291\times{10}^4 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

б. $$\begin{align*} (4\times{10}^5)\div (-1.52\times{10}^{9}) &= \left(\dfrac{4}{-1.52}\right)\left(\dfrac{{10}^5}{{10}^9}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &\approx (-2.63)({10}^{-4}) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= -2.63\times{10}^{-4} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

c. $$\begin{align*} (2.7\times{10}^5)(6.04\times{10}^{13}) &= (2.7\times6.04)({10}^5\times{10}^{13}) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (16.308)({10}^{18}) \text{ Product rule of exponents}\\ &= 1.6308\times{10}^{19} \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

д. $$\begin{align*} (1.2\times{10}^8)÷(9.6\times{10}^5) &= \left(\dfrac{1.2}{9.6}\right)\left(\dfrac{{10}^8}{{10}^5}\right) \text{ Commutative and associative properties of multiplication}\\ &= (0.125)({10}^3) \text{ Quotient rule of exponents}\\ &= 1.25\times{10}^2 \text{ Scientific notation} \end{align*}$$

е. $$\begin{align*} (3.33\times{10}^4)(-1.05\times{10}^7)(5.62\times{10}^5) &= [3.33\times(-1.05)\times5.62]({10}^4\times{10}^7\times{10}^5)\\ &\approx (-19.65)({10}^{16})\\ &= -1.965\times{10}^{17} \end{align*}$$

Вправа$\PageIndex{12}$

Виконайте операції і напишіть відповідь в науковому позначенні.

1. $(−7.5\times{10}^8)(1.13\times{10}^{−2})$
2. $(1.24\times{10}^{11})÷(1.55\times{10}^{18})$
3. $(3.72\times{10}^9)(8\times{10}^3)$
4. $(9.933\times{10}^{23})÷(−2.31\times{10}^{17})$
5. $(−6.04\times{10}^9)(7.3\times{10}^2)(−2.81\times{10}^2)$

Відповідь на

$−8.475\times{10}^6$

Відповідь б

$8\times{10}^{−8}$

Відповідь c

$2.976\times{10}^{13}$

Відповідь d

$−4.3\times{10}^6$

Відповідь e

$≈1.24\times{10}^{15}$

Приклад$\PageIndex{13}$: Applying Scientific Notation to Solve Problems

У квітні 2014 року населення Сполучених Штатів становило близько$308,000,000$ людей. Державний борг був о$\$17,547,000,000,000$. Запишіть кожне число в наукові позначення, округляючи цифри до двох знаків після коми, і знайдіть суму боргу на громадянина США. Напишіть відповідь як в наукових, так і в стандартних позначеннях.

Рішення

Населення було$308,000,000=3.08\times{10}^8$.

Державний борг був$$17,547,000,000,000≈$1.75\times{10}^{13}$.

Щоб знайти суму боргу на одного громадянина, розділіть держборг на кількість громадян.

$$\begin{align*} (1.75\times{10}^{13})\div (3.08\times{10}^8)&=\left(\dfrac{1.75}{3.08}\right)({10}^5)\\ &\approx 0.57\times{10}^5\\ &=5.7\times{10}^4 \end{align*}$$

Заборгованість на одного громадянина на той момент була приблизно$$5.7\times{10}^4$, або$$57,000$.

Вправа$\PageIndex{13}$

Середній людський організм містить навколо$30,000,000,000,000$ еритроцитів. Кожна клітина вимірюється приблизно$0.000008\; m$ довго. Запишіть кожне число в наукові позначення і знайдіть загальну довжину, якщо осередки були прокладені впритул. Напишіть відповідь як в наукових, так і в стандартних позначеннях.

Відповідь

Кількість комірок:$3\times{10}^{13}$; довжина комірки:$8\times{10}^{−6}\; m$; загальна довжина:$2.4\times{10}^8\; m$ або$240,000,000\; m$.

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткового навчання та практики з експонентами та науковими позначеннями.

Експоненціальне позначення

Властивості експонентів

Нульовий показник

Спрощення виразів експоненти

Коефіцієнтне правило для експонентів

Наукові позначення

Перетворення в десяткові позначення

Ключові рівняння

Правила показників Для ненульових дійсних чисел a та b та цілих чисел m та n
Правило продукту	$a^m⋅a^n=a^{m+n}$
Правило частки	$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m−n}$
Правило влади	$(a^m)^n=a^{m⋅n}$
Правило нульового показника	$a^0=1$
Негативне правило	$a^{−n}=\dfrac{1}{a^n}$
Сила правила продукту	$(a⋅b)^n=a^n⋅b^n$
Сила часткового правила	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}$

Ключові концепції

• Добуток експоненціальних виразів з однаковою базою можна спростити шляхом додавання показників. Див. Приклад.
• Коефіцієнти експоненціальних виразів з однаковою базою можна спростити шляхом віднімання показників. Див. Приклад.
• Ступені експоненціальних виразів з однаковою базою можна спростити шляхом множення показників. Див. Приклад.
• Вираз з нульовим показником визначається як 1. Див. Приклад.
• Вираз з негативним показником визначається як зворотне. Див. Приклад і Приклад.
• Сила добутку факторів така ж, як і добуток повноважень тих же факторів. Див. Приклад.
• Сила частки факторів така ж, як частка від повноважень тих же факторів. Див. Приклад.
• Правила для експоненціальних виразів можуть бути об'єднані для спрощення більш складних виразів. Див. Приклад.
• Наукова позначення використовує повноваження 10 для спрощення дуже великих або дуже малих чисел. Див. Приклад і Приклад.
• Наукові позначення можуть бути використані для спрощення обчислень з дуже великими або дуже малими числами. Див. Приклад і Приклад.